Ἀριθμητικὴ εἰσαγωγή

α. Οἱ παλαιοὶ καὶ πρῶτοι μεθοδεύσαντες ἐπιστήμην κατάρξαντος Πυθαγόρου ὡρίζοντο φιλοσοφίαν εἶναι φιλίαν σοφίας, ὡς καὶ αὐτὸ τὸ ὄνομα ἐμφαίνει, τῶν πρὸ Πυθαγόρου πάντων σοφῶν καλουμένων συγκεχυμένῳ ὀνόματι, ὥςπερ καὶ τέκτων καὶ σκυτοτόμος καὶ κυβερνήτης καὶ ἁπλῶς ὁ τέχνης τινὸς ἢ δημιουργίας ἔμπειρος· ἀλλʼ ὅ γε Πυθαγόρας I. Ioannis Alex. Philoponi Schol. α—ιβ. — Iamblich. Chalcid. p. 1—5. — Anitii Manlii Seuerini Boëthii Arithm. I. 1. — Scholia codd. ΝΓ in Nobbii spec. p. 7—10. 1. ΓΕΡΑΣΙΝΟΥ P — 2. ΠΥΘ. GmH ΠΥΘΑ- ΓΟΡΕΙΟΥ ΝΓ, om. ΡϹμ — 3. εἰςαγωγῆς om. ΡΝ, Boëth. εἰςαγωγὴ τ//// ἀρ. G1; τ in σ mut. G2 εἰςαγωγὴ τῆς ἀριθμ. m ἀριθμητικῆς εἰςαγωγή S τοῦ Γερασ. ἀριθμητικῆς εἰςαγω- γῆς πρῶτον βιβλίον μ cf. libri II titulum. II, 21, 1. II, 29, 5. inscr. tuentur Iambl. (περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰςἀγωγῆς λόγ. δ); Io. Phil. (εἰς τὸ πρῶτον τῆς Νικ. ἀριθ- μητικῆς εἰςαγωγῆς). — 4. εἰς //// δύο G εἰς τὰ δύο mH. I, 6. ὡρίσαντο H — 9. συνκεχ. P — ὥςπερ τέκτ. C — 10. ἁπλῶς] πᾶς add. CμSHΓ συστείλας πάντων τὸ ὄνομα ἐπὶ τὴν τοῦ ὄντος ἐπιστήμην καὶ κατάληψιν καὶ μόνην τὴν ἐν τούτῳ γνῶσιν τῆς ἀληθείας σοφίαν ἰδίως καλέσας εἰκότως καὶ τὴν ταύτης ὄρεξιν καὶ μεταδίωξιν φιλοσοφίαν προςηγόρευσεν, οἷον σοφίας ὄρεξιν. ἀξιοχρεώτερος δέ ἐστι τῶν ἄλλως ὁριζομένων, παῤ ὅσον ἰδίου ὀνόματος καὶ πράγματος ἔννοιαν δηλοῖ· καὶ ταύτην δὲ τὴν σοφίαν ὡρίζετο ἐπιστήμην τῆς ἐν τοῖς οὖσιν ἀληθείας, ἐπιστήμην μὲν οἰόμενος εἶναι κατάληψιν τοῦ ὑποκειμένου ἄπταιστον καὶ ἀμετακίνητον, ὄντα δὲ τὰ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡςαύτως ἀεὶ διατελοῦντα ἐν τῷ κόσμῳ καὶ οὐδέποτε τοῦ εἶναι ἐξιστάμενα οὐδὲ ἐπὶ βραχύ· ταῦτα ἂν εἴη τὰ ἄυλα καὶ ὧν κατὰ μετουσίαν ἕκαστον λοιπὸν τῶν ὁμωνύμως ὄντων καὶ καλουμένων τόδε τι λέγεται καὶ ἔστι. τὰ μὲν γὰρ σωματικὰ δήπου καὶ ὑλικὰ ἐν διηνεκεῖ ῥύσει καὶ μεταβολ διὰ παντός ἐστι μιμούμενα τὴν τῆς ἐξ ἀρχῆς ἀιδίου ὕλης καὶ ὑποστάσεως φύσιν καὶ ἰδιό τητα· ὅλη γὰρ διʼ ὅλης ἦν τρεπτὴ καὶ ἀλλοιωτή· τὰ δὲ περὶ αὐτὴν ἢ καὶ σὺν αὐτῇ θεωρούμενα ἀσώματα, οἷον ποιότητες, ποσότητες, σχηματισμοί, μεγέθη, 1. πάντων om. CμSNΓ — 2. τούτῳ] πάντων add. SHNΓ — 4. καὶ post εἰκ. om. SHNΓ — 5. προςηγόρ.] ἐκάλε σεν ΝΓ — σοφ. ὄρ. σοφ. ἔφεσιν SHNΓ ὄρ. Iambl. p. 5. ἔρεσ. ibid. p. 10. — 6. παρόσον codd. συνεσταλμένον add. Γ — 7. αὐτὴν ΗΝΓ — 11. κατὰ αὐτὰ Γ — διατελεῖντα G — 12 ἀφιστάμενα SNΓ — 13. ταῦτʼ ἂν Ρm ταῦτα δ᾿ ἂν CμSHNΓ — εἴη] ᾖ — καὶ ὧν] καὶ [τὰ H] ἀίδια, ὧν SH καὶ ἀίδια καὶ ὧν CμΓ, cf. Iambl. p. 5. — 14. λοιπ. ἕκ. ΝΓ — ὁμωνύμων m — ὄντων καὶ] καὶ om. PCμG2Γ ὁμων. οὕτω καλ. Η — 15. λέγεται] εἶναι add. G2H — 17. ἐστι] εἰσι Γ — 19. ἀλλοιωτή] περὶ τὰ ὑλικὰ καὶ σωματικά add. SH (ἔδει εἰπεῖν τρεπτικὴ καὶ ἀλλοιωτική lo. Phil. η) — 20. καὶ om. ΝΓ μικρότητες, ἰσότητες, σχέσεις, ἐνέργειαι, διαθέσεις, P τόποι, χρόνοι, πάντα ἁπλῶς, οἷς περιέχεται τὰ ἐν ἑκάστῳ σώματι, ὑπάρχει καθʼ ἑαυτὰ ἀκίνητα καὶ ἀμετάπτωτα, συμβεβηκότως δὲ μετέχει καὶ παριπολαύει τῶν περὶ τὸ ὑποκείμενον σῶμα παθῶν. τῶν δὴ τοιούτων ἐξαιρέτως ἐπιστήμη ἐστὶν ἡ σοφία, συμβεβηκότως δὲ καὶ τῶν μετεχόντων αὐτῶν, ὅ ἐστι σωμάτων.

β. Ἀλλʼ ἐκεῖνα μὲν ἄυλα καὶ ἀίδια καὶ ἀτελεύτητα καὶ διὰ παντὸς ὄμοια καὶ ἀπαράλλακτα πέφυκε διατελεῖν, ὡςαύτως τῇ αὐτῶν οὐσίᾳ ἐπιδιαμένοντα, καὶ ἕκαστον αὐτῶν κυρίως ὂν λέγεται, τὰ δὲ ἐν γενέσει τε καὶ φθορᾷ καὶ αὐξήσει καὶ μειώσει καὶ μεταβολῇ παντοίᾳ καὶ μετουσίᾳ φαίνεται διηνεκῶς τρεπόμενα καὶ λέγεται μὲν ὁμωνύμως ἐκείνοις ὄντα, καθʼ ὅσον αὐτῶν μετέχει, ἔστι δὲ τῇ ἑαυτῶν φύσει οὐκ ὄντως ὄντα· οὐδὲ γὰρ τὸ βραχύτατον ἐπὶ ταὐτοῦ διαμένει, ἀλλ᾿ ἀεὶ μεταβαίνει παντοίως ἀλλασσόμενα κατὰ τὸν παρὰ Πλάτωνι Τίμαιον, ὅς φησι· τί τὸ ὂν ἀεί, II. lo. Phil. ιγ—κα. — lambl. p. 6. 7. — Boëth. l. 1. — Scholia ΝΓ in Nobbii spec. p. 11—16. 1. σμικρότητες Γ, lo. Ph. ι — ἰσότητες⌋ ἀνισότητες add. ΝΗΓ, lo. Ph. ι — 3. σώματα Γ — καθʼ αὑτὰ C — 4. 7. συμβεβηκότως G2 bis corr. ex συμβεβηκότα — 7. ὅ] ὅσα P. II, 9. μὲν] καὶ add. ΝΓ ἄυλα, ἀίδια C — 11. ἑαυ- τῶν CμSΓ — διαμένοντα CμSΗΝΓ — 12. αὐτῶν] αὐτοῦ εἴδους τούτων μ — τὰ] ταῦτα CμSΗΝΓ — 13. τε om. ΗΝΓ — 15. μὲν] cod. G2 ex μὴ corr. — καθόσον codd. — 16. τῆς ἑ. φύσεως Ρ — αὐτῶν μS — 17. ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ CμS — διαμένῃ m — 18. μεταβαίνει] μεταῤῥεῖ SΗΓ μεταῤῥεῖ καὶ μεταβ. Ast — παντοίως G2 corr. ex παντοία — ἀλλασσόμενον S — 19. Πλάτωνα S, cf. Tim. 27. D — ὂν] μὲν add. CμSΗΓ γένεσιν δὲ οὐκ ἔχον, καὶ τί τὸ γινόμενον μέν, ὂν δὲ οὐδέποτε, τὸ μὲν δὴ νοήσει μετὰ λόγου περιληπιόν, ἀεὶ καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ὄν, τὸ δʼ αὖ δόξῃ μετʼ αἰσθήσεως ἀλόγου δοξαστόν, γινόμενόν τε καὶ ἀπολλύμενον, ὄντως δὲ οὐδέποτε ὄν. εὔλογον ἄρα καὶ ἀναγκαιότατον, εἰ τοῦ προςήκοντος καὶ ἀνθρώπῳ πρέποντος τέλους ἐφιέμεθα, τουτέστιν εὐζωίας (αὕτη δὲ διὰ φιλοσοφίας μόνης, ὑφʼ ἑτέρου δὲ οὐδενὸς συντελεῖται· φιλοσοφία δὲ ἡμῖν, ὡς ἔφην, σοφίας ὄρεξις, σοφία δὲ ἐπιστήμη τῆς ἐν τοῖς οὖσιν ἀληθείας, ὄντα δὲ τὰ μὲν κυρίως λεγόμενα, τὰ δὲ ὁμωνύμως), ἀκριβῶς διελεῖν καὶ διαρθρῶσαι τὰ τοῖς οὖσι συμβεβηκότα. τῶν τοίνυν ὄντων τῶν τε κυρίως καὶ τῶν καθʼ ὁμωνυμίαν, ὅπερ ἐστὶ νοητῶν τε καὶ αἰσθητῶν, τὰ μέν ἐστιν ἡνωμένα καὶ ἀλληλουχούμενα, οἷον ζῶον, κόσμος, δένδρον καὶ τὰ ὅμοια, ἅπερ κυρίως καὶ ἰδίως καλεῖται μεγέθη, τὰ δὲ διῃρημένα τε καὶ ἐν παραθέσει καὶ οἷον κατὰ σωρείαν, ἃ καλεῖται πλήθη, οἷον ποίμνη, δῆμος, σωρός, χορὸς καὶ τὰ παραπλήσια. τῶν ἄρα δύο εἰδῶν τούτων ἐπιστήμην νομιστέον τὴν σοφίαν· ἀλλʼ ἐπεὶ πᾶν πλῆθος καὶ πᾶν μέγεθος ἄπειρα τῇ αὑτῶν φύσει ἐξ ἀνάγκης 1. οὐκ] μὴ SΝΓ οὐκ in mg. Γ — γενόμενον m — 3. καὶ om. S — τ᾿ αὐτὰ P — 4. γιγνόμενον Gm — τε om. ΗΝΓ — 5. ὂν] ἔλεγε ταῦτα ὁ Τίμαιος παρὰ Πλάτωνι add. μ. — 7. αὐτή μ — 8. ὑφʼ om. S — 9. ἡμῖν] ἡμ/// G; om. Η, ἐστιν CμSΝΓ — 9. 10. σοφ. ἔφεσις Η, Γ in mg. — 12. διε- λεῖν] διεξελθεῖν (διελεῖν in mg.) S διελεῖν Γ, τε add. Γ — ἀρθρῶσαι — συμβεβηκότως m — 13. ὧν τοίνυν Γ — καὶ καθʼ Γ — 16. δένδ. κόσμ. SΗΝΓ, iidem om. καὶ — ἃ Γ — κυρίως] τε add. μ — 17. τε om. — 18. καλεῖται] καὶ add. Gm — 19. χορ. σωρ. CμSΗΝΓ, Boëth.; στρατός add. S — 20. δύο ἄρα C — τουτ. εἰδ. SΝΓ — 21. νομιστέον] νοη- τέον SΝΓ. — 22. ἄπειρον Γ — αὐτῶν G1P ἑαυτῶν Sμ ἐστί (τὸ μὲν γὰρ πλῆθος ἀπὸ ὡρισμένης ῥίζης ἀρξάμενον P οὐ παύεται προκόπτον, τὸ δὲ μέγεθος ἀπὸ ὡρισμένης ὁλότητος διαιρούμενον οὐδαμὴ δύναται παύειν τὴν τομήν, ἀλλʼ ἐπʼ ἄπειρον διὰ ταῦτα προχωρεῖ), αἱ δὲ ἐπιστῆμαι πάντως πεπερασμένων εἰσὶν ἐπιστῆμαι, ἀπείρων δὲ οὐδέποτε, φαίνεται δή, ὅτι οὔτε περὶ ἁπλῶς μέγεθος οὔτε περὶ ἁπλῶς πλῆθος συσταίη ἄν ποτε ἐπιστήμη (ἀόριστον γὰρ ἑκάτερον καθʼ ἑαυτό ἐστι, πλῆθος μὲν ἐπὶ τὸ πλεῖον, μέγεθος δὲ ἐπὶ τὸ ἔλαττον), ἀλλὰ περί τι ἀπʼ ἀμφοῖν ἀφωρισμένον, ἀπὸ μὲν πλήθους περὶ τὸ ποσόν, ἀπὸ δὲ μεγέθους περὶ τὸ πηλίκον.

γ. Πάλιν δὲ ἐξ ἀρχῆς, ἐπεὶ τοῦ ποσοῦ τὸ μὲν ὁρᾶται καθʼ ἑαυτό, μηδεμίαν πρὸς ἄλλο σχέσιν ἔχον, οἷον ἄρτιον, περιττόν, τέλειον, τὰ ἐοικότα, τὸ δὲ πρὸς ἄλλο πως ἤδη ἔχον καὶ σὺν τῇ πρὸς ἕτερον σχέσει ἐπινοούμενον, οἷον διπλάσιον, μεῖζον, ἔλαττον, ἥμισυ, ἡμιόλιον, ἐπίτριτον, τὰ ἐοικότα, δῆλον ὅτι ἄρα δύο μέθοδοι ἐπιλήψονται ἐπιστημονικαὶ καὶ III. Io. Phil. κα— λβ. — Iambl. p. 6—10. — Boëth. I. 1. — Theonis Smyrnaei Arithm. cap. l. — Schol. ΝΓ in Nobb. spec. p. 16—22. 1. εἰσι C — γὰρ om. C — 4. διὰ ταύτης CμS διʼ αὐ- τῆς ΝΓ — 5. αἱ δὲ αἱ ἐπιστ. G, αἱ δὲ ἐπιστήμοι ἀπείρων δὲ οὐδέποτε φαίνεται, ἀλλὰ πάντως τῶν πεπερασμένων εἰσιν· δῆλον δὲ ὅτι μ — εἰσὶν] ἐστιν Ρ — 8. ποτε om. PSN — ἐπιστ. ποτε Cμ — ἑκάτερον] καὶ add. mPCμS, erasum in G — 9. καθʼ ἑαυτὸ ἑκ. — πλέον ΗΝΓ — 10. ἐπʼ μ — 11. μὲν] γὰρ add. S — πόσον G2 III, 14. αὑτὸ P — 15. οἷον] τετράγωνον add. SΗΝΓ, Boëth. περισσόν ΝΓ — καὶ τὰ G2 — ἐοικώτως m — 16. ἔχον ἤδη C — 17. ἥμ. μεῖζ. ἔλ. CΝΓ. — ἔλασσον H — 18. καὶ τὰ G2 — δηλονότι codd. — 19. ἄρα om. CμSΗΝΓ — διαὶ λήψονται CμG2SΗΝΓ — ἐπιστ. post μεθ. CΝΓ διευκρινήσουσι πᾶν τὸ περὶ τοῦ ποσοῦ σκέμμα, ἀριθμητικὴμὲν τὸ περὶ τοῦ καθʼ ἑαυτό, μουσικὴ δὲ τὸ περὶ τοῦ πρὸς ἄλλο. πάλιν δὲ ἐπεὶ τοῦ πηλίκου τὸ μέν ἐστιν ἐν μονῇ καὶ στάσει, τὸ δὲ ἐν κινήσει καὶ περιφορᾷ, δύο ἕτεραι κατὰ τὰ αὐτὰ ἐπιστῆμαι ἀκρι τὸ πηλίκον, τὸ μὲν μένον καὶ ἠρεμοῦν γεωμετρία, τὸ δὲ φερόμενον καὶ περιπολοῦν σφαιρική. οὐκ ἄρα τούτων ἄνευ δυνατὸν τὰ τοῦ ὄντος εἴδη ἀκριβῶσαι οὐδʼ ἄρα τὴν ἐν τοῖς οὖσιν ἀλήθειαν εὑρεῖν, ἧς ἐπιστήμη σοφία, φαίνεται δέ, ὅτι οὐδʼ ὀρθῶς φιλοσοφεῖν· ὅπερ γὰρ ζωγραφίη συμβάλλεται τέχναις βαναύσοις πρὸς θεωρίης ὀρθότητα, τοῦτό τοι γραμμαὶ καὶ ἀριθμοὶ καὶ ἁρμονικὰ διαστήματα καὶ κύκλων περιπολήσιες πρὸς λόγων σοφῶν μαθήσιας συνεργίην ἔχουσιν, Ἀνδροκύδης φησὶν ὁ Πυθαγορικός. ἀλλὰ καὶ Ἀρχύτας ὁ Ταραντῖνος ἀρχόμενος τοῦ ἁρμονικοῦ τὸ αὐτὸ οὕτω πως λέγει· καλῶς μοι δοκοῦντι περὶ τὰ μαθήματα διαγνώμεναι καὶ οὐδὲν ἄτοπον αὐτοὺς ὀρθῶς, οἷα ἐντί, περὶ ἑκάστου φρο νέειν. περὶ γὰρ τᾶς τῶν ὅλων φύσιος καλῶς διαγνόντες ἔμελλον καὶ περὶ τῶν κατὰ μέρος, οἷα ἐντι, καλῶς ὀψεῖσθαι· περί τε δὴ τᾶς γεωμετρικᾶς καὶ ἀριθμητικᾶς καὶ σφαιρικᾶς παρέδωκαν ἄμμιν σαφῆ 1. αἳ διευκρ. Ast. — πόσου G2 — 2. αὑτὸ CΝΓ — τὸ post δὲ om. Γ — 3. ἐπεὶ] ἐπὶ PS — 5. τὰ om. P ταυτὰ S διακριβιὰσουσι H — 6. ἡρεμ. PH ὁρεμ. G1 — 9. ἀκρι- βῶσαι post δυνατὸν PCμ ἀκριβώσασθαι — 10. ἡ σοφ. — 11—15. ζωγραφία — θεωρίας — συνεργίαν — 12. τοι om. m καὶ add. H — 14. λόγον P — 17. τὸ αὐτὸ om. — 18. δοκοῦντι] τὸ add. PS τοὶ mCμNΓ cf. lo. Phil. κα — μαθηματικὰ P — 19. ὀρθῶς om. Cμ — ἑκάστω H — 20. τᾶς Gm τὰς P τῆς cet. — ὅλων] ἄλλων m ///λλων G — 22. τε] τι G1P — γεωμετρίας G2Cμ ΗΝΓ — τὰς γεω- μετρίας καὶ μουσικᾶς καὶ ἀριθμητικᾶς S — 23. καὶ σφαιρ. om. G1P — ἄμμι H P διάγνωσιν, οὐχ ἥκιστα δὲ καὶ περὶ μουσικᾶς. ταῦτα γὰρ τὰ μαθήματα δοκοῦντι ἔμμεναι ἀδελφεά· περὶ γὰρ ἀδελφεὰ τὰ τοῦ ὄντος πρώτιστα δύο εἴδεα τὰν ἀναστροφὰν ἔχει. καὶ Πλάτων δὲ ἐπὶ τέλει τοῦ τριςκαιδεκάτου τῶν νόμων, ὅπερ τινὲς φιλόσοφον ἐπιγράφουσιν, ὅτι ἐν αὐτῷ περισκοπεῖ καὶ διορίζεται, ποταπὸν χρὴ τὸν ὄντως φιλόσοφον εἶναι, ἀνακεφαλαιούμενος τὰ διὰ πλειόνων προδιαλεχθέντα καὶ προδιαβεβαιωθέντα ἐπιφέρει· ἅπαν διάγραμμα ἀριθμοῦ τε σύστημα καὶ ἁρμονίας σύστασιν ἅπασαν τῆς τε τῶν ἄστρων φορᾶς τὴν ἀναλογίαν μίαν ἀναφανῆναι δεῖ τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι, φανήσεται δʼ ἂν ὃ λέγομεν ὀρθῶς, εἴ τις εἰς ἓν βλέπων πάντα μανθάνει· δεσμὸς γὰρ ἁπάντων τούτων εἷς ἀναφανήσεται· εἰ δέ τις ἄλλως μεταχειριεῖται φιλοσοφίαν, τύχην δεῖ καλεῖν συνεργόν· οὐ γὰρ ἄνευ τούτων ἡ ὁδός ποτε, ἀλλʼ οὗτος ὁ τρόπος, ταῦτα τὰ μαθήματα εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια, ταύτῃ ἰτέον, ἀμελεῖν δὲ οὐ δεῖ. τὸν δὲ ταῦτα πάντα οὕτω λαβόντα, ὡς ἐγὼ λέγω, τοῦτον ἐγὼ καλω σοφώτατον καὶ διισχυρίζομαι παίζων τε καὶ σπουδάζων. δῆλον γάρ, ὅτι κλίμαξί τισι καὶ γεφύραις ἔοικε ταῦτα τὰ 1. μουσικῶν P μωσικᾶς CμNΓ — ταῦτα δὲ P — 2. 3. περὶ γ. ἀδ. G1 om. — 4. Πλ.] epin. 13 — τριςκαιδ.] βιβλίου add. Γ τρεῖς καὶ δ. H — 5. ὅνπερ CΝΓ — 6. περισκοπεῖ om. σκοπεῖ SΝΓ — καὶ διορίζεται om. PCμ — 7. χρὴ] δεῖ PCμH — ὄντως om. PC — 8. τὰ G2 ex το//// [τοὺς?] — προλεχθέντα καὶ διαβεβαιωθέντα SΗΝΓ. διαλεχθ. μ. προβ. C, πρὸς διαλ. καὶ διαβ. P — 11. ὁμολογίαν CμSΗΝΓ Io. Phil. κε — μίαν om. H, εἶναι μίαν καὶ ἀναφ. μ — 13. ὁ λεγόμενας μ — τὰ πάντα SH ἅπαντα ΝΓ — 14. μαν- θάνῃ ΝΓ — τούτ. ἁπ. SHN τὸ τούτ. ἁπ. Γ —- 15. ἄλλος mC — τὴν φιλ. ΝΓ — 17. ταῦτα τὰ G, ταῦτα γὰρ τὰ m — 20. τούτ. δὴ S — τὸν σοφ. H — 21. τε] ἄμα S — 22. ὅτι] ὡς — τισιν ἢ SΝ ἢ καὶ Γ — ἐοίκασι ΝΓ μαθήματα διαβιβάζοντα τὴν διάνοιαν ἡμῶν ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν καὶ δοξαστῶν ἐπὶ τὰ νοητὰ καὶ ἐπιστημονικὰ καὶ ἀπὸ τῶν συντρόφων ἡμῖν καὶ ἐκ βρεφῶν ὄντων συνήθων ὑλικῶν καὶ σωματικῶν ἐπὶ τὰ ἀσυνήθη τε καὶ ἑτερόφυλα πρὸς τὰς αἰσθήσεις, τῇ δὲ ἀυλίᾳ καὶ ἀιδιότητι συγγενέστερα ταῖς ἡμετέραις ψυχαῖς καὶ πολὺ πρότερον τῷ ἐν αὐταῖς νοητικῷ. καθὰ καὶ ὁ παρὰ Πλάτωνι ἐν τ πολιτείᾳ Σωκράτης τοῦ προςδιαλεγομένου αἰτίας τινὰς εὐλόγους ἐπιφέρειν δοκοῦντος τοῖς μαθήμασιν, ὡς εὔχρηστά εἰσι πρὸς τὸν ἀνθρώπινον βίον, ἡ μὲν ἀριθμητικὴ πρός λογισμοὺς καὶ διανομὰς καὶ συνειςφορὰς καὶ ἀμείψεις καὶ κοινωνίας, ἡ δὲ γεωμετρία πρὸς στρατοπεδεύσεις πόλεών τε καὶ ἱερῶν συγκτίσεις καὶ γεωμορίας, ἡ δὲ μουσικὴ πρὸς ἑορτὰς καὶ θυμηδίας καὶ θεῶν θρησκείας, σφαιρικὴ δὲ καὶ ἀστρονομία πρὸς γεωργίας τε καὶ ναυτιλίαν καὶ τὰς ἄλλας καταρχὰς τῶν πράξεων εὐχερείας καὶ ἐπιτηδειότητας προδηλοῦσα, P ἐπιπλήττων φησίν· ὡς ἡδὺς εἶ, ὅτι ἔοικας δεδιέναι, μὴ ἄρα ἄχρηστα ταῦτα τὰ μαθήματα προςτάττοιμι· τὸ δέ ἐστι παγχάλεπον, μᾶλλον δὲ ἀδύνατον· ὄμμα γὰρ τῆς ψυχῆς ὑπὸ τῶν ἄλλων ἐπιτηἡμῶν 1. τὴν δ. S — 4. ὄντων] ἔτι SΝΓ, ὄντ. ἔτι H — 5. τε] om. ΝΓ, μὲν CμS — 7. πρῶτον P — τῶν . . . νοη- τικῶν P, τῷ . . . νοητῷ ΝΓ — 8. Πλᾴτ. cf. polit. VII, 9, 10. — 10. τοῖς μαθ. δοκ. ΝΓ — εἰσι] ἐστι Γ — 12. διαν. καὶ λογ. ΝΓ — 13. στρατοπ ///δεύσ G καὶ add. CμS — 14. συγκήσεις P συγκίσεις S — 16. καὶ ἀστρ. om. S — 17. γε- ωρ///γίας G -αν SΝΓ — ναυτιλίας C — 18. εὐχερείας Gm εὐχρείας P, in mg.: γρ. εὐκαιρίας, quod schol. in ceteros inrepsit. — ἐπιτηδειότητος P — προδηλοῦσαι G2 -ούσας S — 19. εἶ] ὦ λῷστε add. C λῶστε μ — 19. 20. ἔοικε δεδιέ- ται P — 20. ἄχρηστον P — ταῦτα om. μ τὰ μαθ. ταῦτα ΝΓ — 22. τῆς om. C δευμάτων ἀποτυφλούμενον καὶ κατορυττόμενον διὰ τούτων μόνων ἀναζωπυρεῖται καὶ ἀνεγείρεται κρεῖττον ὂν σωθῆναι μυρίων σωματικῶν ὀμμάτων· μόνῳ γὰρ αὐτῷ ἡ περὶ τοῦ παντὸς ἀλήθεια ὁρᾶται.

δ. Τίνα οὖν ἀναγκαῖον πρωτίστην τῶν τεσσάρων τούτων μεθόδων ἐκμανθάνειν; ἢ δηλονότι τὴν φύσει πασῶν προυπάρχουσαν καὶ κυριωτέραν ἀρχῆς τε καὶ ῥίζης καὶ οἱονεὶ πρὸς τὰς ἄλλας μητρὸς λόγον ἐπέχουσαν. ἔστι δὲ αὕτη ἡ ἀριθμητικὴ οὐ μόνον, ὅτι ἔφαμεν αὐτὴν ἐν τῇ τοῦ τεχνίτου θεοῦ διανοίᾳ προυποστῆναι τῶν ἄλλων ὡςανεὶ λόγον τινὰ κοσμικὸν καὶ παραδειγματικόν, πρὸς ὃν ἀπερειδόμενος ὁ τῶν ὅλων δημιουργὸς ὡς πρὸς προκέντημά τι καὶ ἀρχέτυπον παράδειγμα τὰ ἐκ τῆς ὕλης ἀποτελέσματα κοσμεῖ καὶ τοῦ οἰκείου τέλους τυγχάνειν ποιεῖ, ἀλλὰ καὶ ὅτι φύσει προγενεστέρα ὑπάρχει, ὅσῳ συναναιρεῖ μὲν ἑαυτῇ τὰ λοιπά, οὐ συναναιρεῖται δὲ ἐκείνοις· οἷον τὸ ζῶον πρότερον τοῦ ἀνθρώπου φύσει ἐστίν· ἀναιρεθέντος γὰρ τοῦ ζώου ἀναιρεῖται καὶ ὁ ἄνθρωπος, οὐκέτι δὲ ἀναιρεθέντος τοῦ ἀνθρώπου συναναιρεῖται καὶ τὸ ζῶον· καὶ πάλιν ἄνθρωπος προγενέστερος γραμματικοῦ· μὴ γὰρ ὄντος ἀνθρώπου οὐδὲ γραμματικός ἐστι, μὴ ὄντος δὲ γραμματικοῦ δυνατὸν ἄνθρωπον εἶναι· ὥςτε ἐπεὶ συναναιρεῖ, IV. Io. Phil. λγ —λη. — Iambl. p. 10. 11. — Theon. Smyrn. 2. — Boëth. I. 1. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 4. IV, 6. ἐκμαθεῖν Cμ — 11. κόσμιον P — 12. ἢ παραδ. S — 14. ἀποτελ. om. P — 15. ἀποκοσμεῖ P συγκ. CSH — 16. προγενέστερος ὑπάρχων P — 17. αὐτῇ S — 19. ἀνῄ- ρηται CS — ὁ om. G — 21. συνανῄρηται S ἀνῄρηται C — 21. 22. ὁ ἄνθρ. . . τοῦ γρ. CSH — 22. γὰρ om. P — 24. ἐπεὶ οὐ συναναιρεῖται μS διὰ τοῦτο καὶ πρεσβύτερον. καὶ ἐκ τοῦ ἐναντίου δὲ νεώτερον λέγεται καὶ ὑστερογενέστερον, ὃ συνεπιφέρει μὲν ἑαυτῷ τὸ λοιπόν, οὐ συνεπιφέρεται δὲ ἐκείνῳ, οἷον ὁ μουσικός· συνεπιφέρει γὰρ ἑαυτῷ πάντως τὸν ἄνθρωπον· καὶ πάλιν ἵππος· συνεπιφέρεται γὰρ πάντως τὸ ζῶον τούτῳ, οὐκ ἔμπαλιν δέ· ζώου γὰρ ὄντος οὐκ ἀναγκαῖον εἶναι ἵππον οὐδὲ ἀνθρώπου ὑπάρχοντος συνεπιφέρεσθαι μουσικόν. οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν προλεχθεισῶν ἐπιστημῶν· οὔσης μὲν γὰρ γεωμετρίας ἀνάγκη καὶ τὴν ἀριθμητικὴν συνεπιφέρεσθαι· ἄμα γὰρ ταύτῃ τρίγωνον ἢ τετράγωνον ἢ ὀκτάεδρον ἢ εἰκοσάεδρον ἢ διπλάσιον P ἢ ὀκταπλάσιον ἢ ἡμιόλιον ἢ ἄλλο τι τοιοῦτον, ὃ γεωμετρία λέγει, καὶ οὐκ ἄνευ τῶν ἑκάστῳ συνεπιφερομένων ἀριθμῶν ἐπινοεῖσθαι τὰ τοιαῦτα δύναται· πῶς γὰρ οἷόν τε τριπλάσιόν τι εἶναι ἢ λέγεσθαι μὴ προυποκειμένου τοῦ γ ἀριθμοῦ ὀκταπλάσιον μὴ ὑποκειμένου τοῦ η; ἔμπαλιν δὲ εἴη ἂν τὰ γ καὶ τὰ δ καὶ τὰ ἑξῆς μὴ ὄντων τῶν παρωνύμων σχημάτων. συναναιρεῖ ἄρα ἡ ἀριθμητικὴ τὴν γεωμετρίαν, ἀλλʼ οὐ συναναιρεῖται ὑπʼ αὐτῆς, καὶ συνεπιφέρεται μὲν ἐκείνῃ, οὐ συνεπιφέρει δὲ αὐτήν.

ε. Πάλιν δὲ ἐπὶ τῆς μουσικῆς· οὐ γὰρ μόνον V. 10. Phil. λθ —μα. — Boëth. I. 1. 1. πρεσβύτερος Ast. — 3. τὸ om. G1m, add. G2 — 5. πάντα G1m, -ως G2 cet. — 7. οὐκ G2 — 8. συνεπιφέρε- ται μουσικός — 10. τὴν om. SC — 11. ταύτη om. SC — 12. διπλάσιον] ἢ τριπλάσιον ἢ τετραπλάσμον add. CS — 13. ἢ ὀκταπλ. om. C — ἢ ἡμιόλ. om. H — ὃ] ὧν G2SH — 14. λέγων P — ἑκαστω G [ν?] — 15. τὰ τοι.] ταῦτα CS — 16. τε] καὶ add. G — τι om. P — 18. ὑποκειμένου om. CS — 19. τῶν om. P — ὁμωνύμων — 21. 22. συνεπιφέρεται . . . οὐ om. m — 22. ἐκείνῃ] ὑπʼ ἐκείνης CS V, 23. μόνον om. P ὅτι προγενέστερον τὸ καθʼ αὑτὸ τοῦ πρὸς ἄλλο, καθάπερ τὸ μέγα τοῦ μείζονος καὶ τὸ πλούσιον τοῦ πλουσιωτέρου καὶ ὁ ἄνθρωπος τοῦ πατρός, ἀλλʼ ὅτι καὶ αἱ μουσικαὶ συμφωνίαι διὰ τεσσάρων, διὰ πέντε, διὰ πασῶν κατὰ ἀριθμόν εἰσιν ὠνομασμέναι· ὁμοίως καὶ τοὺς άρμονικοὺς λόγους ἀριθμητικοὺς πάντως ἔχουσιν, ἡ μὲν διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος, ἡ δὲ διὰ πέντε ἡμιόλιος, ἡ δὲ διὰ πασῶν διπλάσιος, τριπλάσιος δὲ ἡ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ πέντε, τετραπλάσιος δὲ ἡ τελειοτάτη ἡ δὶς διὰ πασῶν. ἐκδηλότερόν γε μὴν ἡ σφαιρικὴ διʼ ἀριθμητικῆς τυγχάνει πάντων τῶν προςηκόντων αὐτῇ σκεμμάτων οὐ μόνον, ὅτι γεωμετρίας μεταγενεστέρα ἐστιν (ἡ γὰρ κίνησις φύσει μετὰ τὴν μονήν), οὐδʼ τι ἁρμονίας ἐκ παντὸς ἐμμελοῦς τὰ τῶν ἀστέρων κινήματα τέτευχεν, ἀλλʼ ὅτι καὶ ἀριθμῶν περιόδοις καὶ ποσότησιν ἀνατολαί τε καὶ δύσεις καὶ προποδισμοὶ καὶ ἀναποδισμοὶ καὶ ἐπιπροςθήσεις καὶ φάσεις παντοῖαι διαρθροῦνται. ὡς οὖν προγενεστέρας φύσει καὶ τιμιωτέρας καὶ πρεσβυτέρας ὡςανεὶ μητρὸς καὶ τιθήνης καλῶς προτέραν τὴν τεχνολογίαν ὑπεστησάμεθα, τὴν δὲ ἀρχὴν τῆς τεχνολογίας τοῦ σαφοῦς χάριν ἐντεῦθεν ποιησόμεθα.

Ϛ. Πάντα τὰ κατὰ τεχνικὴν διέξοδον ὑπὸ φύσεως ἐν τῷ κόσμῳ διατεταγμένα κατὰ μέρος τε καὶ ὅλα φαίνεται κατὰ ἀριθμὸν ὑπὸ τῆς προνοίας καὶ τοῦ τὰ ὅλα δημιουργήσαντος νοῦ διακεκρίσθαι τε καὶ κεκοσμῆσθαι βεβαιουμένου τοῦ παραδείγματος οἷον λόγον προχαράγματος ἐκ τοῦ ἐπέχειν τὸν ἀριθμὸν προυποστάντα ἐν τῇ τοῦ κοσμοποιοῦ θεοῦ P διανοίᾳ, νοητὸν αὐτὸν μόνον καὶ παντάπασιν ἄυλον, οὐσίαν μέντοι τὴν ὄντως τὴν ἀίδιον, ἵνα πρὸς αὐτὸν ὡς λόγον τεχνικὸν ἀποτελεσθῇ τὰ σύμιπαντα ταῦτα, χρόνος, κίνησις, οὐρανός, ἄστρα, ἐξελιγμοὶ παντοῖοι. ἀναγκαῖον ἄρα, τὸν ἐπιστημονικὸν ἤδη ἀριθμὸν ἐπὶ τῶν τοιούτων ὑπάρχοντα καθʼ ἑαυτὸν ἡρμόσθαι καὶ οὐχ ὑπ᾿ ἄλλου, ἀλλʼ ὑφ᾿ ἑαυτοῦ. πᾶν δὲ ἡρμοσμένον ἐξ ἐναντίων πάντως ἥρμοσται καὶ ὄντων γε· οὔτε γὰρ τὰ μὴ ὄντα ἁρμοσθῆναι οἷά τε οὔτε τὰ ὄντα μέν, ὅμοια δὲ ἀλλήλοις, οὔτε τὰ διαφέροντα μέν, ἄλογα δὲ πρὸς ἄλληλα· ὑπολείπεται δὴ τά, ἐξ ὧν ἁρμόζεται, καὶ ὄντα εἶναι καὶ διάφορα καὶ λόγον πρὸς ἄλληλα ἔχοντα. ἐκ τοιούτων ἄρα καὶ ὁ ἐπιστημονικὸς VI. 10. Phil. μβ—να. — Boëth. I. 8. VI, 1. ΠάνταG2 in ras. (-ως ?) — 2. τεταγμένα S — 5. κο- σμῆσθαι P διακεκ. CS κατακεκ. — διαβεβ. P — 6. ἐκ τοῦ pro τῷ, quod in edit. Wotfl. scripsi, e P restitui: „ eo, quod numerus imaginis instar est“; καὶ οἷον Gm; post λόγον add. καὶ G2 παράδ. ἐκ τοῦ οἷον ἀρχῆς λόγον πρὸ χαράγματος P οἷον ἀρχὴν καὶ λόγον προχ. C, idem omisso οἷον S οἷον post λόγον H καὶ οἷον ἀρχῆς λόγον καὶ προχ. Γ ἐκ τοῦ ἀρχῆς λόγον καὶ οἷον προχ. coni. Ast. p principale in animo condi- toris exemplar Boëth. — 8. αὐτὸν] ὄντα add. CS αὐτομόνον G — 9. τὴν ἀιδ. Gm καὶ ἀίδ. Cμ om. cet. — 10. ἀποτε- λεσθείη CS — 12. τὸν ἐπιστ.] καὶ αὐτὸν praemittunt Cμ — ἤδη] δὴ CSH — 15. τὸ ἡρμοσμ. CS — πάντα m — 18. ἄλλογα P — 20. ἐκ τούτων P ἀριθμός· ἔστι γὰρ τὰ ἐν αὐτῷ πρώτιστα εἴδη δύο οὐσίαν τε ἔχοντα τὴν τῆς ποσότητος καὶ διαφέροντα ἀλλήλων καὶ οὐχ ἑτερογενῆ, περιττὸν καὶ ἄρτιον, καὶ ἐναλλὰξ ὑπὸ θαυμαιτῆς καὶ θείας φύσεως διηρμοσμένα ἀλλήλοις ἀχωρίστως καὶ ἑνοειδῶς, ὡς αὐτίκα εἰσόμεθα.

ζ. Ἀριθμός ἐστι πλῆθος ὡρισμένον ἢ μονάδων σύστημα ἢ ποσότητος χύμα ἐκ μονάδων συγκείμενον, τοῦ δὲ ἀριθμοῦ πρώτη τομὴ τὸ μὲν ἄρτιον, τὸ δὲ περιττόν. ἔστι δὲ ἄρτιον μέν, οἷόν τε εἰς δύο ἷσα διαιρεθῆναι μονάδος μέσον μὴ παρεμπιπτούσης, περιττὸν δὲ τὸ μὴ δυνάμενον εἰς δύο ἶσα μερισθῆναι διὰ τὴν προειρημένην τῆς μονάδος μεσιτείαν. οὗτος μὲν οὖν ὁ ὅρος ἐκ τῆς δημώδους ὑπολήψεως· κατὰ δὲ τὸ Πυθαγορικὸν ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ τὴν εἰς τὰ μέγιστα καὶ τὰ ἐλάχιστα κατὰ ταὐτὸ τομὴν ἐπιδεχόμενος, μέγιστα μὲν πηλικότητι, ἐλάχιστα δὲ ποσόττι, κατὰ φυσικὴν τῶν δύο τούτων γενῶν ἀντιπεπόνθησιν, περισσὸς δὲ ὁ μὴ δυνάμενος τοῦτο παθεῖν, ἀλλʼ εἰς ἄνισα δύο τεμνομενος. ἑτέρῳ δὲ τρόπῳ κατὰ τὸ παλαιὸν ἄρτιός ἐστιν ὁ καὶ εἰς δύο ἶσα τμηθῆναι δυνάμενος καὶ εἰς ἄνισα δύο. πλὴν VII. lo. Phil. νβ— ξα. — lambl. p. 11 seq. — Theon. 3—5. — Boëth. I. 3. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 4. 5. 2. τὴν τῆς γῆς ποσότητα P — 4. θαυμαστοῦ P — 5. ἡρμοσμ. P ἐνηρμοσμ. CSH VΙΙ. Περὶ ἀριθμοῦ m; in G lacuna, quam G2 hisce expleuit uerbis: Ὅρος ἀριθμοῦ καὶ διαίρεσις. — Ὅροι ἀριθμο καὶ τῶν εἰδῶν αὐτοῦ μ Ὅρος ἀριθμρῦ — 7. Ἁπλῶς γὰρ ἀριθμ. SH — πλῆθ. ὡρ. ἢ om. ἢ om. S — 8. χύμα G, χῦμα ceteri, cf. Drac. Straton. 57. 6; 95. 25. 100. 20. — 10. ἔστι δὲ om. S — ἄρτιον cf. Eucl. VII, ὅρ. Ϛ, ζ — 11. μέσης CSH ἐν μέσῳ Io. Ph. νδ — 12. μερισθ.] διαιρεθῆναι CSΗ — 18. τὴν φυσ. CSH — 22. τμεθῆναι P τῆς ἐν αὐτῷ ἀρχοειδοῦς δυάδος θάτερον τὸ διχοτόμημα μόνον ἐπιδεχομένης τὸ εἰς ἶσα, ἐν ᾗτινι οὖν τομῇ παρεμφαίνων τὸ ἕτερον εἶδος μόνον τοῦ ἀριθμοῦ, ὅπως ἂν διχασθῇ, ἀμέτοχον τοῦ λοιποῦ· περισσὸς δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ καθʼ ἡντιναοῦν τομὴν εἰς ἄνισα πάντως P γινομένην ἀμφότερα ἅμα ἐμφαίνων τὰ τοῦ ἀριθμοῦ δύο εἴδη οὐδέποτε ἄκρατα ἀλλήλων, ἀλλὰ πάντοτε σὺν ἀλλήλοις. ἐν δὲ τῷ διʼ ἀλλήλων ὅρῳ περιττός ἐστιν ὁ μονάδι ἐφʼ ἑκάτερα διαφέρων ἀρτίου ἀριθμοῦ, τουτέστιν ἐπὶ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον, ἄρτιος δὲ ὁ μονάδι διαφέρων ἐφʼ ἑκάτερον περισσοῦ ἀριθμοῦ, τουτέστι μονάδι μείζων καὶ μονάδι ἐλάσσων.

η. Πᾶς ἀριθμὸς τῶν παῤ ἑκάτερα συντεθέντων ἅμα ἥμισύς ἐστι καὶ τῶν ὑπὲρ ἕνα ἑκατέρωθεν κειμένων ὁμοίως ἥμισύς ἐστι καὶ ἔτι τῶν ὑπὲρ ἐκείνους καὶ τοῦτο μέχρις οὗ δυνατόν. μονωτάτη δὲ ἡ μονάς διὰ τὸ μὴ ἔχειν ἑκατέρωθεν αὐτὴν δύο ἀριθμοὺς ἑνὸς μόνου τοῦ παρακειμένου ἥμιούς ἐστιν· ἀρχὴ ἄρα πάντων φυσικὴ ἡ μονάς. καθʼ ὑποδιαίρεσιν δὲ τοῦ ἀρτίου τὸ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιον, τὸ δὲ περισσάρτιον, τὸ δὲ ἀρτιοπέριττον· ἐναντία μὲν ἀλλήλοις VIII. lo. Phil. ξβ— οη. — lambl. p. 26 —29. — Theon. 5. 8. — Boëth. l. 4–6. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 5. 6. 2. ἐπιδεχομένου G1 -όμενος G2 — τομῇ om. H — 5. ////ἄριθ G — ἄνισον P — 6. ἐμφαίνοντα, τοῦ ἀρ. P — 8. ἀλλήλων] G2 del. ν. — 9. ἀριθμοῦ om. H — 11. ἑκά- τερα C ἑκάτερα τὰ μέρη lo. Ph. ξα — ἀριθμοῦ om. SH — 12. μονάδι om. P — ἐλ. τοῦ περισσοῦ H VIII. Ὅτι φύσει ἀρχή ἐστιν ἡ μονάς τοῦ ἀριθ. μοῦ H in mrg. — 13. ἑκάτερα] ἑκατέρου lo. Phil. ξβ κειμένων add. C — συντεθειμένων — 14. 15. καὶ τῶν . . . . ἐστι om. G1, in mg. G2 — 17. αὐτῆς S — 19. μονὰς καθ᾿ αὑτό διαίρεσις δὲ P ὥςπερ ἀκρότητες τὸ ἀρτιάκις ἄρτιον καὶ τὸ ἀρτιοπέρισσον, κοινὸν δὲ ἀμφοτέρων ὥςπερ μεσότης τὸ περισσάρτιον.

Ἀρτιάκις οὖν ἄρτιος ἄριθμός ἐστιν ὁ αὐτός τε εἰς δύο ἶσα δυνάμενος διχασθῆναι κατὰ τὴν τοῦ γένους φύσιν καὶ τῶν ἑαυτοῦ μερῶν ὁποτερονοῦν τοιοῦτον ἔχων δίχα διαιρετόν καὶ πάλιν κατὰ τὰ αὐτὰ τῶν ἐν ἐκείνῳ μερῶν ὁποτερονοῦν εἰς δύο ἶσα διαιρετὸν καὶ μέχρις ἂν εἰς τὴν φύσει ἄτομον μονάδα καταντήσῃ ἡ τῶν ἀεὶ ὑπομερισμῶν διαίρεσις. οἷον ὑποδείγματος χάριν ὁ ξδ· τούτου γὰρ ἥμισυς ὁ λβ καὶ τούτου ὁ ιϚ καὶ τούτου ἥμισυς ὁ η καὶ τούτου ὁ δ καὶ τούτου ὁ β, ἔπειτα τὸ τελευταῖον μονὰς τούτου ἡμίσεια, ἥτις φύσει ἄτομος οὖσα οὐκέτι ἐπιδέχεται τὸ ἥμισυ. παρακολουθεῖ δὲ αὐτῷ καί, ὅ τι ἂν ἐν αὐτῷ μέρος ληφθῇ, πάντως ἀρτιάκις ἀρτιώνυμον εἶναι τὴν προςηορίαν, τὸ δὲ αὐτὸ καὶ τῇ ποσότητι τῶν ἐν αὐτῷ μονάδων ἀρτιάκις ἀρτιοδύναμον, μηδέποτε δὲ ἑτέρῳ γένει κοινωνεῖν ἑκάτερον τούτων. μήτοι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο ἀρτιάκις ἄρτιος ὠνόμασται, ὅτι αὐτὸς ἄρτιος ὢν καὶ τὰ μέρη καὶ τὰ τῶν μερῶν μέρη μέχρι μονάδος ἄρτια 1. καὶ τὸ] τὸ om. G — 3. περισσάρτιον] τοῦ τε ἀρτιά- κις ἀρτίου καὶ ἀρτιοπερίσσου add. S VIII, 4. Ὅρος τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου G in mrg. Περὶ ἀρτιάκις ἀρτίου CH, cf. Eucl. VII, ὅρ. η; lambl. p. 37. 41; lo. Phil. ξη, praef. p. V. — 5. διχασθῆναι] τμηθῆναι SH — 7. ἔχον GP, om. C — αἱρετὸν G1, δι add. G2 — 8. ἐν om. G1P, add. G2SH — ἐκείνων m ἐκείνου C — 9. φύσ/// G1 φύσει G2 φύσιν P — 10. ὑποδιαίρεσις S — 11. χάριν] ἔστω add. C — τὸ ἥμισυ — 12. ἥμισυς om. C — 13. ὁ β] πάλιν praem. SH — εἶτα S — 13. 14. τούτου ἥμισυ H — 14. παραδέχεται S — 17. τῇ προςηγορίᾳ G2CSH, αὐτῇ add. S — 18. ἀρτιάκις om. P — 19. δὲ om. G — 20. μήτι G2CSH μὴ ἄρα lo. Phil. ξζ — ἄρα om. C — 21. 22. καὶ τὰ μέρη om. C ἀεὶ ἔχει ὀνόματί τε καὶ δυνάμει· καὶ ἑτέρως πᾶν μέρος, ὃ ἐὰν ἔχῃ, ἀρτιάκις ἄρτιον κατὰ τὸ ὄνομά ἐστι, τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἀρτιάκις ἄρτιόν ἐστι κατὰ τὴν P δύναμιν. γένεσις δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου, ὥςτε μηδένα διαφυγεῖν, ἀλλʼ ἐξ ἑνὸς πάντας ὑποπίπτειν αὐτῇ, εἰ γένοιτο ἂν οὕτως· ἀπὸ μονάδος ὡς ἀπὸ ῥίζης κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον προχωροῦντι μέχρις ἀπείρου, ὅσοι καὶ ἂν γένωνται, οὗτοι πάντες ἀρτιάκις ἄρτιοι εἰσιν, ἄλλους δὲ παρὰ τούτους ἀμήχανόν ἐστιν εὑρεῖν, οἷον πρὸς ὑπόδειγμα α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ, ρκη, σνϚ, φιβ καὶ ἐφ᾿ ὁσονοῦν. ἕκαστος δὴ τῶν προκειμένων γέγονε μὲν κατὰ τὸν ἀπὸ μονάδος διπλασίονα ἀεὶ λύγον, ὑπάρχει δὲ ἀρτιάκις ἄρτιος πάντως καὶ πᾶν δὲ μέρος, ὃ ἂν εὑρεθῇ ἔχων, πάντως καὶ παρώνυμόν ἐστιν ἑνὸς τῶν ἐντὸς αὐτοῦ καὶ μονάδος σύστημα ἐν τούτῳ ὑπάρχει τοσοῦτον, ὁπόσος τῶν ἐντὸς αὐτοῦ εἷς τις ἐστί, κατὰ ἀντιπερίστασιν μέντοι καὶ ἀμοιβήν, ἐὰν μὲν ὦσιν ἄρτιοι αἱ ἐκθέσεις τῶν ἀπὸ μονάδος διπλασιασμῶν· μία μὲν οὐχ οἵα τε μεσότης εὑρεθῆναι, πᾶντως δὲ δύο, ἀφʼ ὧν ἀρχομένη ἡ ἀντιπερίστασις καὶ ἀμοιβὴ μερῶν πρὸς δυνάμεις καὶ 1. ἀεὶ om. — ἑτέρως] ὅτι add. PSH — 2. ἐὰν GP. ἂν cet. — 3. ἔσται H — ἐστι om. H — 2. 3. ἀρτιάκις . . . αὐτὸ καὶ om. C — 5. διαφεύγειν ἐκφυγεῖν (διαφεύ- ξεται) Io. Phil. οβ — ἐξ ἑνὸς] ἑξῆς G2SH, ἐξ ἑν. in mrg. — πάντα H — 6. εἰ Gm καὶ PH, om CS — ἀπὸ μον. ὡς om. P — 8. καὶ om. CSH — ἂν om. P — γένοιντο CS γίνωνται P — 10 ἐστιν om. CSH — εὑρεῖν om. G m — 12. δὴ] γὰρ mC δὲ H — προκειμ.] προειρημένων C — 13. ἀεὶ om. P — 16. μονάδων CSH — 17. ἐν τούτῳ πρὸς τοῦτο S om. C — τοσούτων C — ὁπόσον P -ων CSH — 19. μὲν ὦσιν] μέλλωσιν P — ἄρτιαι S — 20. οὐχ] οὖν praem. G1, del. G2 δυνάμεων πρὸς μέρη προχωρήσει τάξει, πρῶτον μὲν ἐπὶ τοὺς παῤ ἑκάτερα δύο, εἶτα ἐπὶ τοὺς ὑπερκειμένους ἑκατέρωθεν, μέχρις ἂν ἐπὶ τοὺς ἀκροτάτους ἀφίκηται, ὥςτε καὶ τὸ ὅλον ἀντιπαρωνυμεῖσθαι τῇ μονάδι καὶ τὴν μονάδα τῷ ὅλῳ· οἷον λόγου χάριν, ἐὰν τὸν ρκη θῶμεν τὸν μέγιστον, ἀρτιογενεῖς ἔσονται αὐτῷ αἱ ἐκθέσεις τῶν ὅρων, ὀκτὼ γὰρ αἱ μέχρις αὐτοῦ πᾶσαι, καὶ μίαν μεσότητα οὐχ ἕξουσιν, ἀδύνατον γὰρ ἐν ἀρτίῳ, ἀλλʼ ἀναγκαίως δύο, τήν τε η καὶ τὴν ιϛ, αἵτινες ἀνταποκρινοῦνται ἀλλήλαις παρὰ μέρος· τοῦ γὰρ ὅλου τοῦ ρκη ὄγδοον μέν ἐστι τὰ ιϛ, ἔμπαλιν δὲ ἑκκαιδ έκατον τὰ η· καὶ προιόντες ἐφʼ ἑκάτερον τέταρτον μὲν τὰ λβ, τριακοστόδυον δὲ τὰ δ, καὶ πάλιν ἥμισυ μὲν τὰ ξδ, ἑξηκοστοτέταρτον δὲ τὰ β, καὶ τελευταῖον κατὰ τὰς ἀκρότητας ἑκατοστοεικοστόγδοον μὲν ἡ μονάς, ὅλον δὲ κατὰ τὴν μονάδα ἔμπαλιν τὰ ρκή. ἐὰν δὲ ἐν περισσοῖς ὅροις ἡ ἔκθεσις γένηται, οἷον ἐν ἑπτά, προχειρισαμένων ἡμῶν τὰ ξδ, ἡ μεσότης ἀναγκαίως μία ἔσται κατὰ τὴν τῶν περισσῶν P φύσιν καὶ αὐτὴ μὲν ἑαυτῇ ἀνταποκρινεῖται διὰ τὸ σύζυγον μὴ ἔχειν, οἱ δὲ ἑκατέρωθεν αὐτῆς ἀεὶ ἀλλήλοις, μέχρις ἂν εἰς τὰ ἄκρα ἡ ἀνταπόκρισις τελευτήσῃ· οἷον ἑξηκοστοτέταρτον μὲν ἡ μονὰς ἔσται, 2. ἐπὶ τὰ P — εἶτα ἐπὶ] εἶτα ὑπὲρ GmPC εἶτα ἐπὶ τοὺς ὑπὲρ ἐκείνους ὑπερκ. S — 6. ἀρτιογενεῖς] ἀρτιοπλη- θεῖς C -πλησθεὶς μ -ταγεῖς mSΓ -παγεῖς H — 7. αὐτοῦ CS — 9. 10. τὴν] τὸν bis G2 CSH — ἀλλῆλαι P — 11. τῶν ρκη P — 12. ἑξκαιδ. mG2 — προιόντες GP (intell. οἱ ἀρτιάκις ἄρτιοι . . ἔχουσι cf. Io. Phil. ογ.) προιόντι ceteri. — 13. ἑκάτερα C — τριακοστόδυο G1 ν add. G2 — 14. ἑξηκοντατέταρτον G1P — 15. ἐκατοστοεικόγδοον P — 18. προχειρησαμένων P — 19. μεσότης] πάντως add. H — 20. αὐτὴ] αὕτη P ὅλον δὲ κατὰ τὴν μονάδα ξδ, καὶ ἥμισυ μὲν τὰ λβ, τριακοστόδυον δὲ τὰ β, καὶ τέταρτον μὲν τὰ ιϚ, ἑκκαιδ έκατον δὲ τὰ δ, ὄγδοον δὲ ἄνευ ἀντιδιαστολῆς αὐτὰ τὰ ή. συμβέβηκε δὲ πάσαις ταῖς ἐκθέσεσι συντεθειμέναις σωρηδὸν ἴσαις εἶναι τῷ μετʼ αὐτὰς παρὰ μονάδα, ὥςτε ἀναγκαίως ἡ ὁπωςοῦν συγκεφαλαίωσις περισσὸς ἀριθμὸς ἔσται· αἰεὶ γὰρ ὁ παρὰ μονάδα ἶσος τῷ ἀρτίῳ περισσός ἐστι. χρησιμεύσει δʼ ἡμῖν αὕτη ἡ ἐπίγνωσις, ὅσον οὐδέπω, πρὸς τὴν τῶν τελείων ἀριθμῶν σύστασιν· ὑποδείγματος δὲ χάριν τῷ σνϚ οἱ ἐντὸς αὐτοῦ μέχρι μονάδος ἶσοί εἰσι συγκεφαλαιωθέντες παρὰ μίαν μονάδα, τῷ δὲ ρκη τῷ εὐθὺς ὑπʼ αὐτὸν οἱ ἐντὸς αὐτοῦ πάντες ὁμοίως εἰσὶν ἶσοι παρὰ μίαν μονάδα καὶ τοῖς συνεχέσι δὲ ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ οἱ ἐντός, καθὰ καὶ αὐτὴ ἡ μονὰς παρὰ μονάδα ἴση τῷ μετʼ αὐτήν, ὅ ἐστι τῷ β, καὶ οἱ συναμφότεροι παρὰ μονάδα τῷ μετʼ αὐτοὺς καὶ οἱ σύντρεις παρὰ μονάδα τῷ ἑξῆς, καὶ τοῦτο ἐπʼ ἄπειρον προχωροῦν ἄπταιστον εὑρήσεις. κἀκεῖνο δὲ μεμνῆσθαι ἀναγκαιότατον· ἐὰν μὲν γὰρ ἄρτιοι ὦσιν αἱ τοῦ προκεχειρισμένου ἀρτιάκις ἀρτίου ἐκθέσεις, πάντως τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρὸς ἄλληλα πολυπλασιαζομένων 1. κατὰ τὴν μον. om. SH μονάδαν P — τὰ ξδ C — 2. ἑξκαιδ. mG2 — 3. ἀντιδιαστολῆς] ἀντὶ G2 ex al- tero ἄνευ corr., διαστολῆς SH — 4. ή] om. G1 ὀκτώ add. G2 — συντιθεμέναις C — 5. σωρηδ G1 ὸν G2 — ἴσας C — εἶναι] ἐνὶ P ἑνὶ HΓ, qui post μονάδα add. γίνεσθαι — 6. ὁποσονοῦν G2 ὁποσωνοῦν S ὁποσοῦν C — 7. ἐστι] ἔσται SH — μονάδ G1 -α G2 — χρησιμεύσηῃ P — εύει CSH — 9. γνῶσις C — 11. τῶ [τῶν] σνϚ G τῶν ??νς — αὐ- τοῦ] πάντες add. CSH — ἄχρι H — εἰσὶ om. S — 12. μίαν om. S — 13 ὑπʼ] μετ᾿ — πάντες] μέχρι μονάδος add. — 14. καὶ ἐν τοῖς — 18. σὺν τρεῖς P(G1 ?) — 20 ἄρτιαι G2S — 21. προκεχειρ. om. S — ἀρτίου] ἀριθ- μοῦ add. H συντελούμενον ἶσον ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν μέσων πρὸς ἄλληλα, ἐὰν δὲ περισσαί, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου πρὸς ἑαυτό· ἅπαξ γὰρ ρκη ἐν ἀρτίαις ἐκθέσεσιν ἶσόν ἐστι τῷ ὀκτάκις ιϚ καὶ ἔτι τῷ δὶς ξδ καὶ πάλιν τῷ τετράκις λβ καὶ τοῦτο διʼ ὅλου· ἐν δὲ περισσαῖς ἐκθέσεσιν ἶσον τὸ ἅπαξ ξδ τῷ δὶς λβ καὶ τοῦτο τῷ τετράκις ιϚ καὶ τοῦτο πάλιν τῷ ὀκτάκις η μόνον μέσου πρὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιαζομένου.

θ. Ἀρτιοπέριττος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τῷ γένει καὶ αὐτὸς ἄρτιος ὤν, ἀντιδιαστελλόμενος δὲ ἰδικῶς τῷ προφρασθέντι ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ὁ τὴν μὲν εἰς δύο ἶσα διαίρεσιν ἐπιδεχόμενος κατὰ τὸ κοινὸν γένος, τῶν μέντοι μερῶν ἑκάτερον εὐθὺς εἰς δύο ἶσα ἄτμητον ἔχων, οἷον P ὁ ϛ, ὁ ι, ὁ ιδ, ὁ ιη, ἡ κβ, ὁ κϛ, οἱ ὅμοιοι· μετὰ γὰρ τὸ διχασθῆναι ἕκαστον τούτων ἀδίχαστα εὐθὺς τὰ μέρη εὑρίσκεται. συμβέβηκε δὲ αὐτῷ πᾶν, ὃ ἐὰν εὑρεθῇ μέρος ἔχων, ἐναντιώνυμον τῇ δυνάμει εἶναι καὶ πᾶσαν μέρους ποσότητα ἐναντιοδύναμον τῷ ὀνόματι, μηδέποτε δὲ μηδενὶ τρόπῳ IX. Io. Phil. οθ— πη. — lambl. p. 29—31. — Theon. 9. — Boëth. l. 7. — Schol. NΓ Nobb. p. 6. 1. ἔστι S — ὑπὸ] ἀπὸ P — 3. ὁ ρκη PC — ἐν ἀρτ.] ἐναντίαις H — 4. ἴσος PC — 7. πάλιν om. H — 8. μόνον G μόνου τοῦ ceteri — ἑαυτὸ μ — πολλαπλασιαζ. P, ante μόνον G2, πολυπλ. ΗΓ, om. G1mCμS IX. Περὶ ἀρτιοπερίσσου mCμ H Περὶ τοῦ ἀρ- τιοπ. S — 10. εἰδικῶς CSH — 13. ἑκάτερον G2 [α ?] — εὐθὺς om. S — 15. ὁ Ϛ, ὁ ι om. H — 16. καὶ οἱ ὅμ. CH — 17. εὑρεθήσεται (εὑρίσκ. in mrg.) — 18. ἂν CSH — ἔχον Gm — 19. εἶναι om. H — πᾶσαν μέρ. mCS πᾶσαν τὴν τοῦ μ. G πᾶσαν τῆν τοῦ μ. PH — 20. δὲ om. G ὁμογενῆ τὴν δύναμιν τοῦ μέρους τῷ αὐτῷ ὀνόματι ὑπάρχειν· οἷον ἐφʼ ἑνὸς τοῦ ιη τὸ μὲν ἥμισυ ἀρτιακῶς ὠνομασμένον ὑπάρχει θ, περισσὸν τῇ δυνάμει, τὸ δὲ τρίτον ἔμπαλιν περισσῶς ὀνοματοπεποιημένον Ϛ ἄρτιον τῇ δυνάμει· τὸ δὲ ἐξ ἀντιστροφῆς γ καὶ τὸ θον β, κἀπὶ τῶν ἑτέρων ὁ αὐτὸς εὑρεθήσεται τρόπος. μήτοι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο τοιαύτης προςηγορίας τέτευχεν, ὅτι ἄρτιος ὢν περισσῶν τῶν ἡμισευμάτων εὐθὺς τετύχηκε. γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι διαφερόντων, ὅ ἐστι περισσῶν, εὐτάκτως ἐκτεθέντων, μέχρις οὗ βούλει, δυάδι πολυπλασιασθέντων· οἱ γὰρ ἀποτελούμενοι γένοιντο ἂν τάξει οὗτοι Ϛ, ι, ιδ, ιη, κβ, κϛ, λ, καὶ μέχρις ἂν προχωρεῖν ἐθέλῃς· διαφέρουσι δὲ ἀλλήλων τετράδι οἱ μείζονες ἀεὶ τῶν ἐγγὺς ἐλαττόνων· αἴτιον δὲ τούτου, ὅτι οἱ ἐξ ἀρχῆς γνώμονες αὐτῶν, τουτέστιν οἱ περισσοί, δυάδι ἀλλήλων ὑπερ φέροντες δυάδι ἐμηκύνθησαν, ἵνα οὗτοι γένωνται, δυὰς δὲ δυάδα πολυπλασιάσασα τετράδα ποιεῖ. ἐν οὖν τῷ φυσικῷ ὕφει τοῦ ἀριθμοῦ εὑρεθήσονται οἱ ἀρτιοπέρισσοι πέμπτοι μὲν ἀπʼ ἀλλήλων, τετράδι δὲ ὑπερέχοντες, τρεῖς δὲ ὑπερβαίνοντες, δυάδι δὲ μηκυνομένων 1. αὐτοῦ S ἑαυτοῦ C — 3. ὀνομασμ. G — τὸ δὲ θ περ. S ὁ δὲ θ περισσὸς H — 4. ὠνοματοπεποιημένον G — 5. δυ- νάμει Gm (H in mrg.) ὑποστάσει PCSH — G1 ον G2 — ἀντιστρόφου mC ἀναστρόφου P ἀναστροφῆς S — 6. θG1 -ον G2 — 7. μήτι ἄρα S — 12. διάδι G — πολλαπλασ. CS — 15. ἐθέλοις C θέλῃς S — 16. ἐγγὺς] μ add.: σχόλιον τινὸς ἀνωνύμου· ἀναγκαῖον κτλ. seq. Io. Phil. Schol. πδ. — 18. ὑπερέχοντες C — 19. ///μικ///ύνθησαν G1 ι in η mut. G2 — γενῶνται P γεννῶνται S — 23. τρεῖς] τριάδι PH — δυάδι δὲ] δὲ om. G τῶν περισσῶν γεννώμενοι. ἐναντιοπαθεῖν δὲ λέγονται τοῖς ἀρτιάκις ἀρτίοις, ὅτι τούτων μὲν τὸ μέγιστον ἄκρον μόνον διαιρετόν, ἐκείνων δὲ τὸ ἐλάχιστον μόνον ἦν ἀδιαίρετον· καὶ δὴ καί, ὅτι ἐπʼ ἐκείνων μὲν ἡ ἀντιπερίστασις τῶν μερῶν ἀπʼ ἀκροτήτων εἰς μεσότητα ἢ μεσόσητας ἀπετέλει τὸ ὑπό‾ ἶσον τῷ ἀπό‾ ἢ τῷ ὑπό‾· τούτων δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀμοιβὴν καὶ ἐξέτασιν ὑποδιπλάσιον τὸ μέσον τῶν δύο ἄκρων συντεθέντων, ἢ εἰ δύο εἴη τὰ μέσα, καὶ αὐτὰ ἶσα ἀμφότερα τοῖς δυσὶν ἄκροις.

ι. Περισσάρτιος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τὸ τρίτον εἶδος τοῦ ἀρτίου ἐμφαίνων, κοινὸς ὢν ἀμφοτέρων P τῶν εἰρημένων ὡςανεὶ δύο ἀκροτήτων μία τις ὢν αὐτὸς μεσότης· ὅμοιος γὰρ κατὰ μέν τι τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ ὑπάρχει, κατὰ δέ τι τῷ ἀρτιοπερίσσῳ, καὶ μὲν τοῦ ἑτέρου ἀπήλλακται, τούτῳ κοινωνεῖ τῷ λοιπῷ, δὲ κοινόν τι ἔχει πρὸς ἕτερον, τούτῳ διαφέρει τοῦ λοιποῦ. ἔστι δέ, ὅταν ἀριθμὸς ἄρτιος X. Io. Phil. πθ — ??ε. — lambl. p. 31—35. — Theon. 10. — Boëth. l. 8. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 6. 7. 1. γενόμενοι C (γεννώμ. in mrg.) procreati Boëth. — 2. ἀρ- τιάκοις ἀρτ. GP — 4. ἦν om. SH — 6. 7. τοῖς ὑπο ἢ τῶ ἀπο G2 τῷ ὑπὸ ἢ ἀπὸ C τὸ ἀπὸ ἶσον τῷ ἀπὸ τῷ μείζῳ ἢ τοῖς ὑπὸ τοῦ μέσου P, in mrg. †. intellegendum τὸ ὑπὸ τῶν ἀκροτητων ἶσον τῷ ἀπὸ τῆς μεσότητος ἢ τῷ ὑπὸ τῶν μεσοτήτων — 7. τούτων] ἐπὶ praemitt. G2H ἐπὶ τῶν ἀρτιοπερίσσων add. S — 8. ἀντεξέτασιν G2CH καὶ κατ᾿ ἐξέτασιν S — 9. εἰ om. G1m — ἢ καὶ δύο εἰσί P — 10. δύο H X. Περὶ περισσαρτίου codd. tit. om. P — 12. ὢν om. CSH — 13. προειρημένων SH — 15. ὑπάρχει om. H — 16. ἀπήλακται P — 17. ᾧ] ὃ H — τὸν ἕτερον H τὸ C — 18. λοιποῦ] ἑτέρου SH εἰς δύο ἶσα διαιρεθῆναι δυνάμενος διαιρούμενα ὁμοίως τὰ ἑαυτοῦ μέρη ἔχῃ, ἔστι δʼ ὅτε καὶ τῶν μερῶν τὰ μέρη, μέχρι μέντοι μονάδος μὴ δυνάμενος τὴν τῶν μερῶν λύσιν ἀγαγεῖν· οἷός ἐστιν ὁ κδ, ὁ κη, ὁ μ· ἥμισυ μὲν γὰρ ἕκα αστος τούτων ἴδιον ἔχει καὶ πάντως ἡμίσους ἥμισυ· ἔστι δʼ ὅτε ἐν αὐτοῖς τις εὑρίσκεται καὶ ἐπὶ πλέον τὸν διχασμὸν ἐπιδεχόμενος εἰς τὰ μέρη, οὐδεὶς μέντοι τὸ παράπαν μέχρι τῆς φύσει ἀτόμου μονάδος τὰ μέρη μεριστὰ εἰς ἡμίση ἕξει. τῷ μὲν οὖν πλείονας μιᾶς τομῆς ἐπιδέχεσθαι ὁμοιοῦται μὲν τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ἀφίσταται δὲ τοῦ ἀρτιοπερίσσου, τῷ δὲ μὴ ἀπολήγειν ποτὲ εἰς μονάδα αὐτοῦ τὰς τομὰς ὁμοιοῦται μὲν τῷ ἀρτιοπερίσσῳ, ἀφίσταται δὲ…