De partibus philosophiae

δέ, ὥς φασιν οἱ Πυθαγόρειοι, διὰ τοῦτο μόνον λέγεται μαθη-

ματικόν, ἐπειδὴ ἐν τῇ διανοίᾳ ἔχει τὴν ὕπαρξιν· μόνη γὰρ

ἡ διάνοια μανθάνει· ὁ γὰρ νοῦς ἁπλῇ προσβολῇ πάντα γινώσ-

κει.

Πέντε δὲ κεφάλαια ἔχομεν περὶ τοῦ μαθηματικοῦ εἰ-

πεῖν. καὶ πρῶτον μέν ἐστι κεφάλαιον, ἐν ᾧ λέγομεν, πόσα

καὶ ποῖα εἴδη εἰσὶ τοῦ μαθηματικοῦ· δεύτερον, διὰ τί τοσ-

αῦτά εἰσι· τρίτον, ἐν ᾧ λέγομεν τὴν τάξιν αὐτῶν· τέταρ-

τον, τίνος εἰσὶν εὑρήματα· πέμπτον, τίνα παράκειται τού-

τοις τοῖς εἴδεσιν.

Εἴπωμεν δὲ τὸ πρῶτον, πόσα καὶ ποῖα εἴδη εἰσὶ τοῦ

μαθηματικοῦ. εἰσὶ δὲ ταῦτα· ἀριθμητικὴ μουσικὴ γεωμετρία

ἀστρονομία.

ἔλθωμεν δὲ καὶ ἐπὶ τὸ δεύτερον, διὰ τί

τοσαῦτα εἴδη εἰσὶ τοῦ μαθηματικοῦ. ἰστέον ὅτι τὸ μαθημα-

τικὸν περὶ τὸ ποσὸν καταγίνεται. ἢ γὰρ περὶ τοὺς ἀριθμοὺς

καταγίνεται ὥσπερ ἡ ἀριθμητική· τοῦτο γὰρ ποσόν ἐστιν· ἢ περὶ

τὰς σχέσεις τῶν φθόγγων ὥσπερ ἡ μουσική· καὶ τοῦτο δὲ ποσόν

ἐστι· ζητεῖ γὰρ ποῖαι τὸν διπλάσιον λόγον ἔχουσι καὶ ποῖαι

τὸν ἐν ἡμιολίῳ· ἢ περὶ τὰ σχήματα τῆς γῆς καταγίνεται ὥσπερ

ἡ γεωμετρία· καὶ τοῦτο δὲ ποσόν ἐστιν· ἢ περὶ τὴν κίνησιν τῶν

οὐρανίων σωμάτων 〈καταγίνεται ὥσπερ ἡ ἀστρονομία〉· καὶ τοῦτο δὲ

ὁμοίως ποσόν ἐστιν· ἔχουσι γάρ τινα διαστήματα.

γνωσθέν-

των τοίνυν τῶν μαθηματικῶν ὅτι περὶ τὸ ποσὸν καταγίνονται,

δεῖ γινώσκειν ὅτι τὸ ποσὸν διττόν ἐστιν· ἢ γὰρ συνεχές

ἐστιν ἢ διωρισμένον. καὶ συνεχὲς μὲν ποσόν ἐστιν, οὗ τὰ

μόρια εἰς ἕνα ὅρον συνάπτονται ὥσπερ τοῦ τοίχου· οὗτος γὰρ

συνεχὲς ποσόν ἐστιν. καὶ γὰρ ἐὰν τέμῃς τοῦτον δυνάμει εἰς

πολλοὺς τόπους, πάντα τὰ μόρια τὰ τμηθέντα εἰς ἕνα ὅρον συν-

άπτονται· καὶ γὰρ τοῦτο τὸ τμῆμα μετὰ τοῦ ἄλλου συνημμένον

ἐστὶ διὰ τῆς γραμμῆς τῆς νοητῶς παραληφθείσης ἐν τῷ γενέσ-

θαι τὴν τομήν. καὶ γὰρ ἡ γραμμὴ ἡ δυνάμει τὴν τομὴν ποιή-

σασα μεταξὺ τῶν δυνάμει τμηθέντων ἐστίν· εὑρίσκεται γὰρ

τόδε τὸ μέρος συναπτόμενον τῇ γραμμῇ καὶ τὸ ἄλλο τῇ γραμμῇ

καὶ διὰ τῆς γραμμῆς συνάπτονται ἀλλήλοις. δυνάμει γὰρ τῇ

τομῇ καθυπεβλήθησαν, οὐ μὴν ἐνεργείᾳ, ἵνα χωρισθῶσιν ἀλλή-

λων.

διωρισμένον δὲ ποσόν ἐστι τὸ διακεχωρισμένον

καὶ μὴ ἔχον τι μεταξὺ τὸ ὀφεῖλον συνάφειαν ποιήσασθαι τοῦδε

πρὸς τόδε ὡς ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν. καὶ γὰρ ὁ δέκα ἀριθμὸς κεχω-

ρισμένος ἐστίν. εἴτε γὰρ ἀπὸ μονάδων λάβῃς αὐτὸν συγκείμεν-

ον εἴτε ἀπὸ τοῦ πέντε, οὐκ ἔχει ἄλλον ἀριθμὸν μεταξὺ τὸν

ὀφείλοντα συνάφειαν τοῦδε τοῦ ἀριθμοῦ ποιήσασθαι πρὸς τόνδε.

ἐὰν γὰρ προσλάβῃ ἄλλον ἀριθμόν, εὑρίσκεται ἐκπίπτων τοῦ δέκα

μείζων γινόμενος.

καὶ τούτων διττὸν ἑκάτερόν ἐστι·

τοῦ γάρ τοι διωρισμένου ποσοῦ τὸ μέν ἐστι καθ' αὑτό, τὸ δὲ

κατὰ σχέσιν. καὶ καθ' αὑτὸ μέν, ὡς ὅταν τοὺς ἀριθμοὺς αὐ-

τοὺς καθ' αὑτοὺς λάβωμεν οἷον τὸν δέκα αὐτὸν καθ' αὑτὸν

λάβωμεν καὶ μὴ ἐξετάσωμεν πρὸς ἄλλον ἀριθμόν. κατὰ σχέσιν

δέ, ὡς ὅταν τόνδε τὸν ἀριθμὸν ἐξετάσωμεν πρὸς τόνδε οἷον

τὸν δέκα πρὸς τὸν πέντε, ὅτι διπλασίονα λόγον ἔχει πρὸς τὸν

πέντε.

καὶ τὸ συνεχὲς δὲ ποσὸν διττόν ἐστι; τὸ μὲν

γὰρ ἀκίνητον, τὸ δὲ κινητόν. καὶ ἀκίνητον μὲν ὥσπερ ἡ γῆ,

οὐδὲ γὰρ ἀπέρχεται ἐκ τοῦδε εἰς τόνδε τὸν τόπον αὕτη· κινη-

τὸν δὲ ὥσπερ ὁ οὐρανός, οὗτος γὰρ ἀεὶ κινεῖται.

ἐπειδὴ οὖν τὸ μαθηματικὸν περὶ τὸ ποσὸν καταγίνεται (τὸ δὲ

ποσόν, ὡς εἴρηται, διττόν ἐστιν· ἢ γὰρ συνεχές ἐστιν ἢ

διωρισμένον; ἑκάτερον δὲ τούτων διττόν ἐστιν· ἔστι γὰρ

ποσὸν διωρισμένον καθ' αὑτὸ καὶ ποσὸν διωρισμένον κατὰ σχέ-

σιν καὶ ποσὸν συνεχὲς ἀκίνητον καὶ ποσὸν συνεχὲς κινούμενον),

τούτου χάριν πρὸς ἀναλογίαν τῶν τεσσάρων τούτων τῶν συναγο-

μένων ἐκ τοῦ ποσοῦ τοῦ διωρισμένου καὶ τοῦ συνεχοῦς τέσσαρά

εἰσιν εἴδη τοῦ μαθηματικοῦ οἷον ἀριθμητικὴ μουσικὴ γεωμε-

τρία ἀστρονομία. καὶ ἡ μὲν ἀριθμητικὴ καταγίνεται περὶ τὸ

ποσὸν τὸ διωρισμένον τὸ καθ' αὑτό, ἡ δὲ μουσικὴ περὶ τὸ

ποσὸν τὸ διωρισμένον τὸ κατὰ σχέσιν, ἡ δὲ γεωμετρία περὶ

τὸ ποσὸν τὸ ἀκίνητον τὸ συνεχές; ἡ δὲ ἀστρονομία περὶ τὸ

ποσὸν τὸ συνεχὲς τὸ κινούμενον.

Ἰστέον δὲ ὅτι ἡ ἀριθμητικὴ καὶ ἡ μουσικὴ προτερεύ-

ουσι τῆς γεωμετρίας καὶ τῆς ἀστρονομίας, ἐπειδὴ ἡ μὲν ἀριθ-

μητικὴ καὶ ἡ μουσικὴ περὶ τὸ ποσὸν τὸ διωρισμένον κατα-

γίνεται, ἡ δὲ γεωμετρία καὶ ἡ ἀστρονομία περὶ τὸ ποσὸν τὸ

συνεχές· τιμιώτερον δὲ τὸ ποσὸν τὸ διωρισμένον τοῦ ποσοῦ

τοῦ συνεχοῦς·

καὶ γὰρ τὸ ποσὸν τὸ διωρισμένον δύ-

ναται ἀσυγχύτως δέξασθαι διάφορα εἴδη. ἰδοὺ γὰρ ὁ εἴκοσι

πέντε ἀριθμὸς ποσὸν διωρισμένον δέχεται ἀσυγχύτως διάφορα

εἴδη· ἔστι γὰρ καὶ κύκλος καὶ τετράγωνον. καὶ κύκλος

μέν, ὅτι ὥσπερ ἐν τῷ κύκλῳ ἡ ἀρχὴ συνάπτεται τῷ πέρατι,

οὕτω καὶ ἐνταῦθα ἄρχεται ἀπὸ τοῦ πέντε ἐν τῷ πολυπλασιασμῷ

καὶ εἰς τὸ αὐτὸ λήγει ἀποτελούμενος, οἷον πεντάκις πέντε,

εἴκοσι πέντε ἰδοὺ καὶ ἀπὸ τοῦ πέντε ἄρχεται καὶ ἀποτελού-

μενος εἰς τὸν πέντε λήγει. τετράγωνον δὲ λέγεται,

ἐπειδὴ πᾶς ἀριθμὸς πολυπλασιαζόμενος τετράγωνον ἀριθμὸν

ἀποτελεῖ, οἷον τρὶς τρεῖς ἐννέα, τετράκις τέσσαρες ἑκκαί-

δεκα· οὕτως οὖν καὶ πεντάκις πέντε εἴκοσι πέντε. τὸ δὲ

ποσὸν τὸ συνεχὲς οὐ δύναται ἀσυγχύτως διάφορα εἴδη ἐπι-

δέξασθαι.

ἰδοὺ γὰρ ἐν τῷ κηρῷ, ὅπερ ἐστὶ συνεχὲς

ποσόν, ἐάν τις ποιήσῃ εἶδος Ἕκτορος, οὐ δύναται ποιῆσαι

ἄλλο εἶδος, εἰ μὴ ἀφανισθῇ τὸ πρῶτον εἶδος, ἐπεὶ σύγχυσις

γίνεται. ἐπειδὴ οὖν τὸ ποσὸν τὸ διωρισμένον τιμιώτερόν

ἐστι τοῦ ποσοῦ τοῦ συνεχοῦς, τούτου χάριν καὶ ἡ ἀριθμη-

τικὴ καὶ ἡ μουσικὴ ὡς περὶ τὸ ποσὸν τὸ διωρισμένον κατα-

γινόμεναι προτερεύουσι τῆς γεωμετρίας καὶ ἀστρονομίας ὡς

τούτων περὶ τὸ ποσὸν τὸ συνεχὲς καταγινομένων.

ἡ

δὲ ἀριθμητικὴ προτερεύει τῆς μουσικῆς, ἐπειδὴ ἡ μὲν ἀριθ-

μητική, ὡς εἴρηται, περὶ τὸ ποσὸν τὸ καθ' αὑτὸ καταγίνε-

ται, ἡ δὲ μουσικὴ περὶ τὸ ποσὸν τὸ κατὰ σχέσιν. προ-

τερεύει δὲ τὸ καθ' αὑτὸ τοῦ κατὰ σχέσιν, ἐπειδὴ πρῶτον

δεῖ ἁπλῶς τι εἶναι καὶ τότε ἐν σχέσει πρὸς ἕτερον λαμ-

βάνεσθαι.

ἡ δὲ γεωμετρία προτερεύει τῆς ἀστρο-

νομίας, ἐπειδὴ ἡ μὲν γεωμετρία περὶ τὸ ποσὸν τὸ συνεχὲς

τὸ ἀκίνητον καταγίνεται, ἡ δὲ ἀστρονομία περὶ τὸ ποσὸν

τὸ συνεχὲς τὸ κινούμενον· προτερεύει δὲ τὸ ἀκίνητον τοῦ

κινουμένου· ἀρχὴ γὰρ κινήσεως ἠρεμία ἐστίν· ὁ γὰρ μέλ-

λων κινεῖσθαι ἀπὸ ἠρεμίας προέρχεται. αὕτη οὖν ἡ αἰτία

τῆς τάξεως αὐτῶν.

ἔστι δὲ καὶ ἄλλη αἰτία, ἐπειδὴ

οὕτως ἀναλογεῖ ἡ μὲν ἀριθμητικὴ τῇ μονάδι, ἡ δὲ μουσικὴ

τῇ δυάδι, ἡ δὲ γεωμετρία τῇ τριάδι, ἡ δὲ ἀστρονομία τῇ

τετράδι. πρὸς ἀναλογίαν οὖν τῆς τάξεως αὐτῶν τῶν ἀριθ-

μῶν ἐκτήσαντο ταύτην τὴν τάξιν. ἀναλογεῖ γὰρ ἡ ἀριθμη-

τικὴ τῇ μονάδι· περὶ γὰρ τὸ καθ' αὑτὸ ποσὸν καταγίνεται,

ὅτι τὸ καθ' αὑτὸ ἕν ἐστιν· ἡ δὲ μουσικὴ τῇ δυάδι, ὅτι

περὶ τὸ ἐν σχέσει ποσὸν καταγίνεται, ἡ δὲ σχέσις τὸ ἐλά-

χιστον ἐπὶ δύο λαμβάνεται.

ἡ δὲ γεωμετρία ἀνα-

λογεῖ τῇ τριάδι· καὶ γὰρ ἡ γεωμετρία περὶ τὸ ἐπίπεδον

σχῆμα καταγίνεται, πρῶτον δὲ σχῆμα τὸ τρίγωνόν ἐστιν·

οὔτε γὰρ μία γραμμὴ οὔτε δύο ἀποτελοῦσι σχῆμα. ἡ δὲ

ἀστρονομία ἀναλογεῖ τῇ τετράδι, ὅτι περὶ τὰ οὐράνια σώ-

ματα καταγίνεται. πᾶν δὲ σῶμα τριχῇ ἐστι διαστατόν· ἔχει

γὰρ μῆκος πλάτος βάθος, ἕκαστον δὲ τούτων ὑπὸ δύο ὅρων

περιέχεται· καὶ γὰρ τὸ μῆκος ἔνθεν καὶ ἔνθεν περιέχεται

καὶ τὸ πλάτος ὁμοίως καὶ τὸ βάθος, ὥστε συνάγεσθαι ἓξ

ὅρους ἤγουν πέρατα. ἐκ δὲ τούτων τῶν ἓξ τέσσαρα γίνονται·

τὸ γὰρ ἓν πέρας κοινόν ἐστι τῶν δύο· τὸ γάρ τοι πέρας

τοῦ πλάτους εὑρίσκεται ἀρχὴ τοῦ μήκους ἢ τοῦ βάθους. ἐπεὶ

οὖν ἡ ἀστρονομία περὶ τὰ οὐράνια σώματα καταγίνεται, πᾶν

δὲ σῶμα τριχῇ διαστατόν ἐστιν, ὡς εἴρηται, ταῦτα δὲ τέσσα-

ρας ὅρους ἤγουν τέσσαρα πέρατα ἔχουσι, τούτου χάριν λέγου-

σιν αὐτὴν τετράδι ἀναλογεῖν. ἔχομεν οὖν, διὰ τί πρώτη

ἐστὶν ἡ ἀριθμητικὴ καὶ δευτέρα ἡ μουσικὴ καὶ τρίτη ἡ γεω-

μετρία καὶ τετάρτη ἡ ἀστρονομία.

Ἔλθωμεν δὲ καὶ εἴπωμεν, τίνων εἰσὶν εὑρήματα.

ἰστέον ὅτι ἡ ἀριθμητικὴ ὑπὸ τῶν Φοινίκων εὑρέθη ὡς ἐμπορι-

κῶν ὄντων καὶ δεομένων τῶν ἀριθμῶν εἰς τὰς ψήφους. τὴν δὲ

μουσικὴν οἱ Θρᾷκες· ἐκεῖθεν γὰρ ὁ Ὀρφεύς, ὅστις λέγεται

εὑρηκέναι τὴν μουσικήν. ἐπενόησε δὲ ἐμβατήρια μέλη διε-

γείροντα πρὸς θυμὸν τοὺς ἄγαν πολεμικοὺς ὄντας. ἡ γὰρ ψῦ-

ξις ἀποκλείσασα τὸ θερμὸν ἐν τῷ βάθει δριμύτερον αὐτὸ ποι-

εῖ, ὅθεν καὶ θυμοειδεῖς εἰσι καὶ πολεμικοὶ τῇ βίᾳ τοῦ θερ-

μοῦ καὶ ὀρχηστικοὶ δὲ διὰ τὰς ἑτοίμους φυγὰς τῶν βελῶν.

ἔστι γὰρ καὶ πυρρίχειος παρ' αὐτοῖς ὄρχησις, ὅ ἐστιν ἐν-

όπλιος, κατὰ τὸ εἰρημένον τῷ ποιητῇ

Μηριόνη, τάχα κέν σε καὶ ὀρχηστήν περ ἐόντα.

Τὴν δὲ γεωμετρίαν οἱ Αἰγύπτιοι εὗρον ἐξ ἀνάγκης.

τοῦ γὰρ Νείλου συνεχῶς ἀνιόντος καὶ τὴν Αἴγυπτον ἐπικλύ-

ζοντος σύγχυσις τῶν ὁροθεσίων ἐγίνετο καὶ οἱ Αἰγύπτιοι

ἐφόνευον ἀλλήλους καὶ λοιπὸν ἐπενόησαν μέτρον τι δι' οὗ

ἐμέτρουν τὴν γῆν καὶ ἐ...