Definitiones

ἢ μᾶλλον νοηθέντος ἐν ῥύσει νοεῖται γραμμή, καὶ

οὕτω σημεῖον ἀρχή ἐστι γραμμῆς, ἐπιφάνεια δὲ στερεοῦ

σώματος.

[Περὶ γραμμῆς.]

Γραμμὴ δέ ἐστι μῆκος ἀπλατὲς καὶ ἀβαθὲς ἢ τὸ

πρῶτον ἐν μεγέθει τὴν ὑπόστασιν λαμβάνον ἢ τὸ ἐφ'

ἓν διαστατόν τε καὶ διαιρετόν· γίνεται δὲ σημείου

ῥυέντος ἄνωθεν κάτω ἐννοίᾳ τῇ κατὰ τὴν συνέχειαν,

περιέχεταί τε καὶ περατοῦται σημείοις πέρας ἐπιφανείας

αὐτὴ γενομένη. λέγοιτο δὲ ἂν εἶναι γραμμὴ τὸ διαι-

ροῦν ἀπὸ τῆς σκιᾶς τὴν ἡλιακὴν ἀκτῖνα ἢ ἀπὸ τοῦ

πεφωτισμένου μέρους τὴν σκιὰν καὶ ἐν ἱματίῳ ὡς ἐν

συνεχεῖ νοουμένῳ τὸ χωρίζον τὴν πορφύραν ἀπὸ τοῦ

ἐρίου ἢ τὸ ἔριον ἀπὸ τῆς πορφύρας. ἤδη δὲ κἀν τῇ

συνηθείᾳ τῆς γραμμῆς ἔννοιαν ἔχομεν ὡς μῆκος μόνον

ἐχούσης, οὐκέτι δὲ πλάτος ἢ βάθος. λέγομεν γοῦν· εἷς

τοῖχός ἐστι καθ' ὑπόθεσιν πηχῶν ρ̅, οὐκέτι ἀποβλέ-

ποντες εἰς τὸ πλάτος ἢ τὸ πάχος, ἢ ὁδὸς σταδίων ν̅,

τὸ μῆκος μόνον, οὐκέτι δὲ καὶ τὸ πλάτος αὐτῆς πολυ-

πραγμονοῦντες, ὡς γραμμικὴν ἡμῖν εἶναι καὶ τὴν τοι-

αύτην ἐξαρίθμησιν· αὐτίκα καὶ εὐθυμετρικὴ καλεῖται.

[Τίνες αἱ τῶν γραμμῶν διαφοραί;]

Τῶν γραμμῶν αἱ μέν εἰσιν εὐθεῖαι, αἱ δὲ οὔ, καὶ

τῶν μὴ εὐθειῶν αἱ μέν εἰσι κυκλικαὶ περιφέρειαι

ὀνομαζόμεναι, αἱ δὲ ἑλικοειδεῖς, αἱ δὲ καμπύλαι.

[Τίς εὐθεῖα γραμμή;]

Εὐθεῖα μὲν οὖν γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς

ἐπ' αὐτῆς σημείοις κεῖται ὀρθὴ οὖσα καὶ οἷον ἐπ'

ἄκρον τεταμένη ἐπὶ τὰ πέρατα· ἥτις δύο δοθέντων

σημείων μεταξὺ ἐλαχίστη ἐστὶν τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα

ἐχουσῶν γραμμῶν, καὶ ἧς πάντα τὰ μέρη πᾶσι τοῖς

μέρεσι παντοίως ἐφαρμόζειν πέφυκε, καὶ τῶν περάτων

μενόντων καὶ αὐτὴ μένουσα, οἷον ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ

στρεφομένη καὶ περὶ τὰ αὐτὰ πέρατα, τὸν αὐτὸν ἀεὶ

τόπον ἔχουσα. οὔτε δὲ μία εὐθεῖα οὔτε δύο σχῆμα

τελοῦσιν.

[Τίνες αἱ κυκλικαὶ γραμμαί;]

Κυκλικαὶ γραμμαί εἰσιν, ὅσαι περὶ ἓν σημεῖον

περιφερῶς ἐπ' ἄκρον τεταμέναι ἢ κύκλους ἢ μέρη

κύκλων ἀποτελοῦσι μόναι τῶν ἄλλων γραμμῶν σχή-

ματος οὖσαι ποιητικαί.

[Τίνες αἱ καμπύλαι γραμμαί;]

Τῶν δὲ καμπύλων γραμμῶν ἔστιν μέντοι πλῆθος

ἄπειρον· αἱ μὲν γὰρ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κοῖλα

ἔχουσιν, αἱ δὲ οὔ. ἐπὶ τὰ αὐτὰ μὲν οὖν κοίλη γραμμή

ἐστιν, ὅταν δύο σημείων ληφθέντων αὐτῆς ὁποιωνοῦν

ἡ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἤτοι κατ' αὐτῆς

πίπτῃ τῆς γραμμῆς ἢ ἐντός, ἐκτὸς δὲ μηδέποτε. οὐκ

ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κοίλη γραμμή ἐστιν ἡ οὐχ οὕτως

ἔχουσα.

[Τίνες αἱ ἑλικοειδεῖς γραμμαί;]

Ἕλιξ δὲ γραμμή ἐστιν ἐν ἐπιπέδῳ μέν, ἐὰν εὐθείας

μένοντος τοῦ ἑτέρου πέρατος [καὶ] κινουμένης ἐν τῷ

ἐπιπέδῳ, ἕως εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, φέρηταί

τι σημεῖον ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος ὁμοῦ ἀρξάμενον

τῇ εὐθείᾳ· καὶ ἡ μὲν ἀπὸ ταύτης τῆς εὐθείας γινομένη

γραμμὴ κύκλος ἔσται, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ κατὰ τῆς εὐθείας

φερομένου σημείου ἕλιξ καλεῖται. ἐὰν δὲ παραλληλογράμ-

μου ὀρθογωνίου μενούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν

ὀρθὴν γωνίαν περιενεχθέντος τὸ μὲν παραλληλόγραμ-

μον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο

φέρεσθαι, ἅμα δὲ τῷ παραλληλογράμμῳ σημεῖόν τι

φέρηται κατ' αὐτῆς τῆς μὴ μενούσης παραλλήλου

ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ ἑτέρου πέρατος, τὸ μὲν [οὖν] περι-

ληφθὲν σχῆμα ὑπὸ τῆς τοῦ παραλληλογράμμου κινή-

σεως καλεῖται κύλινδρος, ἡ δὲ ὑπὸ τοῦ φερομένου ση-

μείου γραμμὴ γίνεται ἕλιξ, ἧς πᾶν μέρος ἐπὶ πᾶν

ἐφαρμόζει, ὅταν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κοῖλα ἔχῃ.

[Περὶ ἐπιφανείας.]

Ἐπιφάνειά ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει

ἢ πέρας σώματος καὶ τόπου ἢ τὸ ἐπὶ δύο διαστατὸν

ἀβαθὲς ἢ τὸ παντὸς στερεοῦ τε καὶ ἐπιπέδου σχήματος

κατὰ δύο διαστάσεις μήκους καὶ πλάτους ἐπιφαινόμε-

νον πέρας. γίνεται δὲ ῥύσει ὑπὸ γραμμῆς κατὰ πλάτος

ἀπὸ δεξιῶν ἐπ' ἀριστερὰ ῥυείσης. καὶ νοοῖτ' ἂν εἶναι

ἐπιφάνεια πᾶσα σκιὰ καὶ πᾶσα χρόα, καθ' ὃ καὶ χρόας

ἐκάλουν οἱ Πυθαγόρειοι τὰς ἐπιφανείας· νοοῖτο καί,

καθ' ὃ μίγνυται ὁ ἀὴρ τῇ γῇ ἢ ἄλλῳ στερεῷ σώματι

ἢ ὁ ἀὴρ ὕδατι ἢ τὸ ὕδωρ ποτηρίῳ ἢ ἄλλῳ τινὶ δοχείῳ.

[Τίνες αἱ τῶν ἐπιφανειῶν γενικαὶ διαφοραί· ἢ τίς

ἐπίπεδος ἐπιφάνεια;]

Τῶν δὲ ἐπιφανειῶν αἱ μὲν ἐπίπεδοι καλοῦνται,

αἱ δὲ οὔ.

[Τί ἐστιν ἐπίπεδος ἐπιφάνεια;]

Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ'

ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται ὀρθὴ οὖσα ἀποτεταμένη· ἧς

ἐπειδὰν δύο σημείων ἅψηται εὐθεῖα, καὶ ὅλη αὐτῇ

κατὰ πάντα τόπον παντοίως ἐφαρμόζεται, τουτέστιν ἡ

κατὰ ὅλην εὐθεῖαν ἐφαρμόζουσα, καὶ ἡ ἐλαχίστη πασῶν

τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν ἐπιφανειῶν, καὶ ἧς πάντα

τὰ μέρη ἐφαρμόζειν πέφυκε.

[Τίς δὲ οὐκ ἐπίπεδος ἐπιφάνεια;]

Οὐκ ἐπίπεδοι ἐπιφάνειαί εἰσιν αἱ μὴ οὕτως ἔχου-

σαι, τουτέστιν αἱ μὴ πάντη κατ' εὐθείας φερόμεναι

γραμμάς, ἔχουσαι δέ τινα ἀνωμαλίαν καὶ οὐκ ὀρθαὶ

δι' ὅλου.

[Περὶ στερεοῦ σώματος.]

Στερεόν ἐστι σῶμα τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος

ἔχον ἢ τὸ ταῖς τρισὶ διαστάσεσι κεχρημένον. καλοῦν-

ται δὲ στερεὰ σώματα καὶ οἱ τόποι. σῶμα μὲν οὖν

μαθηματικόν ἐστι τὸ τριχῆ διαστατόν, σῶμα δὲ ἁπλῶς

τὸ τριχῆ διαστατὸν μετὰ ἀντιτυπίας. περατοῦται δὲ

πᾶν στερεὸν ὑπὸ ἐπιφανειῶν καὶ γίνεται ἐπιφανείας

ἀπὸ τῶν πρόσω [ἔμπροσθεν] ἐπὶ τὰ ὀπίσω ἐνεχθείσης.

[Περὶ γωνίας καὶ κεκλασμένης γραμμῆς.]

Γωνία ἐστὶ συναγωγὴ πρὸς ἓν σημεῖον ὑπὸ κε-

κλασμένης ἐπιφανείας ἢ γραμμῆς ἀποτελουμένη. κεκλασ-

μένη δὲ λέγεται γραμμή, ἥτις ἐκβαλλομένη οὐ συμ-

πίπτει αὐτὴ καθ' ἑαυτῆς.

[Τίνες αἱ γενικαὶ γωνιῶν διαφοραί;]

Τῶν δὲ γωνιῶν αἱ μέν εἰσιν ἐπίπεδοι, αἱ δὲ

στερεαί, καὶ τῶν ἐπιπέδων ἢ στερεῶν αἱ μέν εἰσιν

εὐθύγραμμοι, αἱ δὲ οὔ.

[Τί ἐστι κοινῶς ἐπίπεδος γωνία;]

Ἐπίπεδος μὲν οὖν ἐστι κοινῶς γωνία ἡ ἐν ἐπι-

πέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ'

εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.

εἰσὶ δὲ οὐ συνεχεῖς ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ γραμμαί,

ὅταν ἡ ἑτέρα προσεκβαλλομένη κατὰ τὴν ἑαυτῆς σύν-

νευσιν μὴ πίπτῃ κατὰ τῆς ἑτέρας. καὶ ἄλλως δέ·

ἐπίπεδός ἐστι γωνία γραμμῆς ἐν ἐπιπέδῳ πρὸς ἑνὶ

σημείῳ κλάσις ἢ συναγωγὴ πρὸς ἓν σημεῖον ὑπὸ κε-

κλασμένῃ γραμμῇ.

[Τίς ἡ ἐπίπεδος εὐθύγραμμος γωνία;]

Ἐπίπεδος δὲ εὐθύγραμμος καλεῖται γωνία, ὅταν

αἱ περιέχουσαι αὐτὴν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν [ἐπίπεδος

δὲ γωνία ἡ ἐν ἐπιπέδῳ πρὸς ἑνὶ σημείῳ σύννευσις

γραμμῆς], ἢ γραμμῆς εὐθείας πρὸς ἑνὶ σημείῳ κλάσις·

οὕτω γοῦν γλωχῖνας ἐκάλουν οἱ Πυθαγόρειοι τὰς

γωνίας.

[Τίνες αἱ τῶν εὐθυγράμμων γωνιῶν διαφοραί;]

Τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις οὐκ εὐθυγράμμων γωνιῶν

πλῆθός ἐστιν ἄπειρον. τῶν δὲ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις εὐθυ-

γράμμων γωνιῶν εἴδη ἐστὶ τρία· αἱ μὲν γὰρ ὀρθαί, αἱ

δὲ ὀξεῖαι, αἱ δὲ ἀμβλεῖαι καλοῦνται.

[Τίς ἡ ὀρθὴ γωνία;]

Ὀρθὴ μὲν οὖν ἐστι γωνία ἡ τῇ ἀντικειμένῃ ἴση.

ἀντικείμεναι δέ εἰσιν, ἃς ποιεῖ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν

σταθεῖσα· ὅταν γὰρ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς

ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν

ἴσων γωνιῶν ἐστιν.

[Τίς ἡ ὀξεῖα γωνία;]

Ὀξεῖα γωνία ἐστὶν ἡ ἐλάττων ὀρθῆς.

[Τίς ἡ ἀμβλεῖα γωνία;]

Ἀμβλεῖα δὲ ἡ μείζων ὀρθῆς· ὅταν γὰρ εὐθεῖα ἐπ'

εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ἀνίσους ποιῇ, ἡ μὲν ἐλάττων

καλεῖται ὀξεῖα, ἡ δὲ μείζων ἀμβλεῖα.

[Πῶς ἔχουσι πρὸς ἀλλήλας αἱ εὐθύγραμμοι;]

Πᾶσα μὲν ὀρθὴ πάσῃ ὀρθῇ ἐστιν ἴση, οὐκέτι δὲ

πᾶσα ὀξεῖα πάσῃ ὀξείᾳ ἐστὶν ἴση, οὐδὲ πᾶσα ἀμβλεῖα

πάσῃ ἀμβλείᾳ ἐστὶν ἴση. εὐθείας γὰρ ἐπὶ εὐθεῖαν στα-

θείσης καὶ ἐγκλινάσης ἀπὸ τῆς ὀρθῆς μέχρι τούτου

ἐλαττοῦται ἡ ὀξεῖα, ἕως συνιζήσωσιν αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι

καὶ ἐφίκωνται ἀλλήλων, εὐθείας δὲ ἐπ' εὐθεῖαν στα-

θείσης καὶ ἀποκλινάσης ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας μέχρι

τούτου μείζων γίνεται ἡ ἀμβλεῖα, ἕως ἂν ὑπτιάσασα

ἡ κάθετος ἐπ' εὐθείας καὶ συνεχὴς γένηται τῇ ὑπο-

κειμένῃ.

[Ὅτι ἡ ὀρθὴ γωνία καὶ τὸ νῦν καὶ ἡ μονὰς

ὁμοίως ἔχουσιν.]

Ἡ ὀρθὴ γωνία καὶ τὸ νῦν καὶ μονὰς ὁμοίως

ἔχουσιν· ἥ τε γὰρ ὀρθὴ γωνία ἀεὶ ἕστηκεν ἡ αὐτὴ μέ-

νουσα τῆς ὀξείας καὶ ἀμβλείας ἐπ' ἄπειρον μετακινου-

μένων, ἥ τε μονὰς μὲν αὐτὴ ἕστηκεν, ὁ δὲ μερισμὸς

περὶ αὐτὴν καὶ ἡ σύνθεσις, καὶ τὸ νῦν δὲ αὐτὸ ἕστη-

κεν, ὁ δὲ παρεληλυθὼς καὶ ὁ μέλλων ἐπ' ἄπειρον.

[Περὶ στερεᾶς γωνίας.]

Στερεὰ γωνία κοινῶς μέν ἐστιν ἐπιφανείας ἐπὶ

τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κοῖλα ἐχούσης πρὸς ἑνὶ σημείῳ συν-

αγωγή. καὶ ἄλλως δέ· στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ τριῶν

ἢ πλειόνων γωνιῶν περιεχομένη [ἢ] συναγωγὴ στερεοῦ

πρὸς ἑνὶ σημείῳ ὑπὸ κεκλασμένῃ ἐπιφανείᾳ. κεκλασ-

μένη δέ ἐστιν ἐπιφάνεια πρὸς γραμμήν, ἥτις ἐκβαλ-

λομένη οὐ συμπίπτει αὐτὴ καθ' ἑαυτῆς· νοεῖται δὲ

ἐκβαλλομένη, ὅταν [μὴ] φαίνηται μὴ ἐκβαίνουσα ὅλον

αὐτῆς τὸ μῆκος· ὁμοίως καὶ ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον

νοεῖται.

Ἰδίως δὲ εὐθύγραμμοι στερεαὶ γωνίαι καλοῦνται,

ὧν αἱ ἐπιφάνειαι αἱ ποιοῦσαι τὰς γωνίας ὑπὸ ἐπι-

πέδων εὐθυγράμμων περιέχονται, ὡς αἱ τῶν πυραμί-

δων καὶ αἱ τῶν στερεῶν πολυέδρων καὶ αἱ τοῦ κύβου,

οὐκ εὐθύγραμμοι δὲ αἱ μὴ οὕτως ἔχουσαι, ὡς αἱ τῶν

κώνων.

[Περὶ σχήματος.]

Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχό-

μενον ἢ τὸ πέρατι ἢ πέρασι συγκλειόμενον. τουτὶ μὲν

οὖν τὸ ἐσχηματισμένον· λέγεται δὲ ἄλλως σχῆμα πέρας

συγκλεῖον ἀπὸ τοῦ συσχηματίζοντος. εἴρηται δὲ τὸ

σχῆμα παρὰ τὸ σῆμα, ὅ ἐστι συγκλειόμενον ἢ συγκλεῖον.

διαφέρει δὲ τὸ περιέχον πέρατος· πέρας μὲν γὰρ καὶ

τὸ σημεῖον, οὔπω δὲ σχήματος ποιητικόν.

[Τίνες οἱ τῶν σχημάτων ὅροι;]

Ὅροι δὲ σχημάτων εἰσὶν αἵ τε ἐπιφάνειαι καὶ

γραμμαί. κέκληνται δὲ ὅροι παρὰ τὸ ὁρίζειν, μέχρι

ποῦ τὸ σχῆμά ἐστι, τουτέστι τὰ τέλη τῶν σχημάτων

καὶ τὰ πέρατα δείκνυται.

[Τίνες αἱ γενικαὶ τῶν σχημάτων διαφοραί;]

Τῶν δὲ σχημάτων ἃ μέν ἐστιν ἐπίπεδα, ἃ δὲ

στερεά. ἐπίπεδα μὲν οὖν ἐστι τὰ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ

πάσας ἔχοντα τὰς γραμμάς, στερεὰ δὲ τὰ μὴ ἐν τῷ

αὐτῷ ἐπιπέδῳ πάσας ἔχοντα τὰς γραμμάς.

[Τίνες αἱ τῶν ἐπιπέδων σχημάτων διαφοραί;]

Τῶν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις σχημάτων ἃ μέν εἰσιν

ἀσύνθετα, ἃ δὲ σύνθετα. ἀσύνθετα μὲν οὖν ἐστι τὰ

μὴ συγκείμενα ἐκ γραμμῶν, σύνθετα δὲ τὰ ἐκ γραμ-

μῶν συγκείμενα. τῶν δὲ συνθέτων σχημάτων τῶν ἐν

ταῖς ἐπιφανείαις ἃ μέν ἐστιν ἐξ ὁμογενῶν σύνθετα, ἃ

δὲ ἐξ ἀνομογενῶν, οἷον οἱ λεγόμενοι τομεῖς τῶν κύκλων

καὶ τὰ ἡμικύκλια καὶ αἱ ἁψῖδες καὶ τὰ μείζονα τμή-

ματα τῶν κύκλων. λέγοιντο δ' ἂν ἐξ ὁμογενῶν σύν-

θετα οἱ μηνίσκοι καὶ αἱ στεφάναι καὶ τὰ παραπλήσια.

[Περὶ ἀσυνθέτου ἐπιπέδου σχήματος, ὅ ἐστι κύκλος.]

Κύκλος ἐστὶ τὸ ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον

ἐπίπεδον. τὸ μὲν οὖν σχῆμα καλεῖται κύκλος, ἡ δὲ

περιέχουσα γραμμὴ αὐτὸ περιφέρεια, πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς

σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ

προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐὰν μὲν

οὖν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τὸ σημεῖον ᾖ, κέντρον κα-

λεῖται, ἐὰν δὲ μὴ ᾖ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, πόλος, ὡς

ἔχει ἐπὶ τῶν ἐν ταῖς σφαίραις κύκλων. λέγεται δὲ καὶ

ἄλλως κύκλος γραμμή, ἥτις πρὸς πάντα τὰ μέρη [πάντα]

ἴσα ποιεῖ τὰ διαστήματα. γίνεται δὲ κύκλος, ἐπὰν

εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὑπάρχουσα μένοντος τοῦ

ἑνὸς πέρατος τῷ ἑτέρῳ περιενεχθεῖσα εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν

ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι.

[Περὶ διαμέτρου.]

Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ

κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη,

ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον, ἢ εὐθεῖα διὰ τοῦ κέν-

τρου ἕως τῆς περιφερείας διηγμένη.

[Περὶ τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐξ ἀνομογενῶν συν-

θέτων περιφερειῶν σχημάτων, οἷον τί ἐστιν ἡμικύκλιον;]

Ἡμικύκλιόν ἐστιν τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε

τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ' αὐτῆς

περιφερείας, ἢ τὸ ὑπὸ διαμέτρου κύκλου καὶ περιφε-

ρείας περιεχόμενον σχῆμα.

[Τί ἐστιν ἁψίς;]

Ἁψὶς δέ ἐστιν τὸ ἔλαττον ἡμικυκλίου περιεχόμε-

νον ὑπὸ εὐθείας ἐλάττονος τῆς διαμέτρου καὶ περιφε-

ρείας ἐλάττονος ἡμικυκλίου.

[Τί ἐστιν τμῆμα κύκλου τὸ μεῖζον;]

Τμῆμα δὲ κύκλου τὸ μεῖζόν ἐστιν, ὃ περιέχεται

ὑπὸ εὐθείας ἐλάττονος τῆς διαμέτρου καὶ περιφερείας

μείζονος ἡμικυκλίου.

[Τί ἐστι κοινῶς τμῆμα κύκλου;]

Κοινῶς δὲ τμῆμα κύκλου ἐστίν, ἄν τε μεῖζον ἄν

τε ἔλαττον ἡμικυκλίου, τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ

εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας.

[Τίς ἡ ἐν τμήματι κύκλου γωνία;]

Ἐν τμήματι κύκλου γωνία ἐστίν, ὅταν ἐπὶ τῆς

περιφερείας τοῦ τμήματος ληφθῇ τι σημεῖον, ἀπὸ δὲ

τοῦ σημείου ἐπὶ τὰ πέρατα τῆς εὐθείας ἐπιζευχθῶσιν

εὐθεῖαι, ἡ περιεχομένη γωνία ἐν τῷ σχήματι.

[Τί ἐστιν τομεὺς κύκλου;]

Τομεὺς δὲ κύκλου ἐστὶ τὸ περιεχόμενον σχῆμα

ὑπὸ δύο μὲν εὐθειῶν, μιᾶς δὲ περιφερείας, ἢ τὸ περι-

εχόμενον σχῆμα ὑπὸ τῶν τὴν τυχοῦσαν ἐν κύκλῳ γω-

νίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης

ὑπ' αὐτῶν περιφερείας.

[Περὶ τῶν ἐκ δύο περιφερειῶν ἐπιπέδων σχη-

μάτων καὶ λοιπῶν, τουτέστι περὶ κυρτῆς καὶ κοίλης

περιφερείας.]

Πᾶσα περιφέρεια κατὰ μὲν τὴν πρὸς τὸ περιεχό-

μενον χωρίον νόησιν κοίλη καλεῖται, κατὰ δὲ τὴν πρὸς

τὸ περιέχον κυρτή.

[Τί ἐστι μηνίσκος;]

Μηνίσκος τοίνυν ἐστὶ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ

δύο περιφερειῶν κοίλης καὶ κυρτῆς, ἢ δύο κύκλων οὐ

περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὑπεροχή, ἢ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ

δύο περιφερειῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κοῖλα ἐχουσῶν.

[Τί ἐστι στεφάνη;]

Στεφάνη δέ ἐστιν τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ [τῶν]

δύο κυρτῶν περιφερειῶν, ἢ δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ

κέντρον ὑπεροχή.

[Τί ἐστι πέλεκυς;]

Πέλεκυς δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δ̅ περι-

φερειῶν, δύο κοίλων καὶ δύο κυρτῶν.

Καθόλου δὲ εἰπεῖν ἀπερίληπτόν ἐστι τὸ πλῆθος

τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐκ περιφερειῶν σχημάτων, ἔτι

δὲ μᾶλλον τῶν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις.

[Τίνες αἱ τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις εὐθυγράμμων

σχημάτων διαφοραί;]

Τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις εὐθυγράμμων σχημάτων ἃ

μέν εἰσι τρίγωνα ἢ τρίπλευρα, ἃ δὲ τετράγωνα ἢ τε-

τράπλευρα, ἃ δὲ ἐπ' ἄπειρον πολύγωνα ἢ πολύπλευρα.

[Τί ἐστι τρίγωνον;]

Τρίγωνόν ἐστι σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ τριῶν εὐθειῶν

περιεχόμενον τρεῖς ἔχον γωνίας.

[Τίνα τῶν τριγώνων εἴδη καὶ πόσα;]

Τῶν δὲ τριγώνων ἢ τριπλεύρων σχημάτων τὰ

γενικώτατα εἴδη εἰσὶν ἕξ· ἀπὸ μὲν γὰρ τῶν πλευ-

ρῶν ἃ μὲν καλοῦνται ἰσόπλευρα, ἃ δὲ ἰσοσκελῆ, ἃ δὲ

σκαληνά· ἀπὸ δὲ τῶν γωνιῶν ἃ μέν εἰσιν ὀρθογώνια,

ἃ δὲ ὀξυγώνια, ἃ δὲ ἀμβλυγώνια. ἐπὶ μὲν οὖν τῶν

ὀρθογωνίων δύο γένη, τό τε ἰσοσκελὲς καὶ τὸ σκαλη-

νὸν ἐπ' ἄπειρον προϊόν· οὐδὲν γὰρ ὀρθογώνιον ἰσό-

πλευρον· τὰ δὲ ἄλλα τρίγωνα τὰ μὴ ὀρθογώνια πλὴν

τοῦ ἰσοπλεύρου οὐ δύο μόνον ἔχει φύσεις, ἀλλὰ καὶ

ἐπ' ἄπειρον χωρεῖ.

[Τί τὸ ἰσόπλευρον;]

Ἰσόπλευρον μὲν οὖν ἐστιν, ὅταν τρεῖς ἴσας ἔχῃ

πλευρὰς ἢ γωνίας.

[Τί τὸ ἰσοσκελές;]

Ἰσοσκελὲς δέ, ὅταν τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχῃ πλευράς.

[Τί τὸ σκαληνόν;]

Σκαληνὰ δέ, ὅσα τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχει πλευράς.

[Τί τὸ ὀρθογώνιον;]

Ὀρθογώνιον δέ ἐστι τὸ μίαν ἔχον ὀρθὴν γωνίαν.

[Τί τὸ ὀξυγώνιον;]

Ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.

[Τί τὸ ἀμβλυγώνιον;]

Ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ μίαν ἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν.

[Τριγώνων ἰδιότητες.]

Τὰ μὲν οὖν ἰσόπλευρα πάντα ὀξυγώνιά ἐστι, τῶν

δὲ ἰσοσκελῶν καὶ σκαληνῶν ἃ μέν εἰσιν ὀρθογώνια,

ἃ δὲ ὀξυγώνια, ἃ δὲ ἀμβλυγώνια.

[Περὶ τετραπλεύρων σχημάτων.

Τί ἐστιν τετράπλευρον ἐπίπεδον;]

Τετράπλευρον ἐπίπεδόν ἐστι σχῆμα τὸ ὑπὸ τεσσά-

ρων εὐθειῶν περιεχόμενον τέσσαρας ἔχον γωνίας.

[Τίνες αἱ τῶν τετραπλεύρων διαφοραί;]

Τῶν τετραπλεύρων σχημάτων ἃ μέν εἰσιν ἰσό-

πλευρα, ἃ δὲ οὔ· τῶν δὲ ἰσοπλεύρων ἃ μὲν ὀρθογώνια,

ἃ δὲ οὔ.

[Τίνα τετράγωνα;]

Τὰ μὲν οὖν ὀρθογώνια ἰσόπλευρα τετράγωνα κα-

λεῖται.

[Τίνα τὰ ἑτερομήκη;]

Τὰ δὲ ὀρθογώνια μέν, μὴ ἰσόπλευρα δέ, ἑτερομήκη

καλεῖται.

[Τί ῥόμβοι;]

Τὰ δὲ ἰσόπλευρα μέν, μὴ ὀρθογώνια δέ, ῥόμβοι.

[Τί ῥομβοειδῆ;]

Τὰ δὲ μήτε ἰσόπλευρα μήτε ὀρθογώνια, τὰς δὲ ἀπεν-

αντίας πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχοντα,

ῥομβοειδῆ καλεῖται.

[Τίνα παραλληλόγραμμα;]

Ἔτι δὲ τῶν τετραπλεύρων ἃ μὲν καλεῖται παραλ-

ληλόγραμμα, ἃ δὲ οὐ παραλληλόγραμμα· παραλληλό-

γραμμα μὲν οὖν τὰ τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς παραλλή-

λους ἔχοντα, οὐ παραλληλόγραμμα δὲ τὰ μὴ οὕτως

ἔχοντα.

[Περὶ παραλληλογράμμων ὀρθογωνίων.]

Τῶν δὲ παραλληλογράμμων ὅσα μὲν ὀρθογώνιά

ἐστιν, περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν

περιεχουσῶν εὐθειῶν· ἔστι γὰρ μέγιστον τῶν ὑπὸ ἴσων

πλευρῶν περιεχομένων παραλληλογράμμων τὸ ἐν ὀρθῇ

γωνίᾳ. ἐπ' ἄπειρον γὰρ ἐπινοεῖται παραλληλόγραμμα

[δὲ ὅσα] ὑπ' ἴσων περιεχόμενα πλευρῶν διάφορα κατὰ

τὸ ἐμβαδὸν τυγχάνοντα· ὧν τὰ μὲν ὀξείας γωνίας

ἔχοντα ἐλάττονα γίνεται, τὸ δὲ ἔχον τὴν ὀρθὴν μέ-

γιστον. ἐπεὶ οὖν ἐλάττους ἀεὶ αἱ ὀξεῖαι εὑρίσκονται,

οἱ βουλόμενοι ἀναμετρεῖν τὰ τοιαῦτα σχήματα ὅρον

καὶ ὑπόστασιν ἔθεντο τὸν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν λόγον.

[Τίς ὁ ἐν παραλληλογράμμῳ γνώμων;]

Παντὸς δὲ παραλληλογράμμου τῶν περὶ τὴν διά-

μετρον αὐτῷ παραλληλογράμμων ἓν ὁποιονοῦν σὺν

τοῖς δυσὶ παραπληρώμασι γνώμων καλεῖται.

[Τί ἐστι γνώμων κοινῶς;]

Καθόλου δὲ γνώμων ἐστὶν πᾶν, ὃ προσλαβὸν ὁτιοῦν,

ἀριθμὸς ἢ σχῆμα, ποιεῖ τὸ ὅλον ὅμοιον, ᾧ προσείληφεν.

[Τί ἐστι τραπέζιον;]

Τῶν παρὰ τὰ εἰρημένα τετραπλεύρων ἃ μὲν τρα-

πέζια λέγεται, ἃ δὲ τραπεζοειδῆ.

[Τίνα τὰ τραπέζια;]

Τραπέζια μὲν οὖν εἰσιν, ὅσα μόνον δύο παραλλή-

λους ἔχει πλευράς.

[Τίνα τὰ τραπεζοειδῆ;]

Τραπεζοειδῆ δέ, ὅσα μὴ ἔχει παραλλήλους πλευράς.

[Τί τραπέζιον ἰσοσκελές;]

Τῶν δὲ τραπεζίων ἃ μέν εἰσιν ἰσοσκελῆ, ἃ δὲ σκα-

ληνά· ἰσοσκελῆ μὲν οὖν ἐστιν, ὅσα ἴσας ἔχει τὰς μὴ

παραλλήλους.

[Τί τραπέζιον σκαληνόν;]

Σκαληνὰ δέ, ὅσα μὴ ἴσας ἔχει τὰς μὴ παραλλήλους.

[Τίνα ἄρα τὰ πολύπλευρα ἐπίπεδα;]

Πολύπλευρα ἐπίπεδα σχήματά εἰσι τὰ ὑπὸ πλεῖον

τῶν τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα, οἷον πενταγώνια,

ἑξαγώνια καὶ τὰ ἑξῆς πολύγωνα ἐπ' ἄπειρον προϊόντα.

[Περὶ τῶν τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις εὐθυγράμμων

καθ' ἕκαστα λεγομένων, οἱονεὶ τί ἐστι βάσις;]

Βάσις λέγεται ἐπιπέδου χωρίου γραμμὴ ἡ ὡσανεὶ

κάτω νοουμένη.

[Τί ἐστι πλευρά;]

Πλευρὰ δὲ μία τῶν τὸ σχῆμα περικλειουσῶν.

[Τί ἐστι διαγώνιος;]

Διαγώνιος δὲ ἡ ἀπὸ γωνίας εἰς γωνίαν ἀγομένη

εὐθεῖα.

[Τί ἐστι κάθετος;]

Κάθετος δέ ἐστιν ἡ ἀπὸ σημείου εὐθεῖα ἐπὶ εὐθεῖαν

ἠγμένη.

[Τί ἐστι κάθετος πρὸς ὀρθάς;]

Κάθετος δὲ πρὸς ὀρθὰς λέγεται ἡ ὀρθὰς ποιοῦσα

τὰς ἐφεξῆς γωνίας, τῇ δὲ εὐθείᾳ ἐφεστηκυῖα.

[Τίνες εἰσὶ παράλληλοι γραμμαί;]

Παράλληλοι δὲ καλοῦνται γραμμαὶ ἀσύμπτωτοι, ὅσαι

ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι ἐφ' ἑκά-

τερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις, αἱ

μήτε συννεύουσαι μήτε ἀπονεύουσαι ἐν ἐπιπέδῳ, ἴσας

δὲ ἔχουσαι τὰς καθέτους πάσας τὰς ἀγομένας ἀπὸ τῶν

ἐπὶ τῆς ἑτέρας σημείων ἐπὶ τὴν λοιπήν.

[Τίνες οὐ παράλληλοι εὐθεῖαι;]

Οὐ παράλληλοι δὲ εὐθεῖαί εἰσιν, ὅσαι συννεύουσαι

μείους ἀεὶ τὰς καθέτους ποιοῦσιν.

[Τί ἐστι τριγώνου ὕψος;]

Τριγώνου δὲ ὕψος καλεῖται ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς

ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀγομένη.

[Τίνα τῶν ἐπιπέδων σχημάτων συμπληροῖ τὸν

τοῦ ἐπιπέδου τόπον;]

Μόνα δὲ τῶν ἐπιπέδων ἰσογωνίων καὶ ἰσοπλεύρων

σχημάτων συμπληροῖ τὸν τοῦ ἐπιπέδου τόπον τό τε

τρίγωνον καὶ τὸ τετράγωνον καὶ τὸ ἑξάγωνον. τρίγω-

νον γοῦν ἀπὸ τῆς ἑαυτοῦ κορυφῆς προσλαβὸν ἄλλα

πέντε συμπληροῖ τὸν τοῦ ἐπιπέδου τόπον χώραν ἐν

μέσῳ μηδεμίαν καταλεῖπον, καὶ τετράγωνον ὁμοίως

προσλαβὸν τρία, καὶ ἑξάγωνον προσλαβὸν δύο.

[Ὃ λέγει, τοιοῦτόν ἐστι· τῶν τεσσάρων γωνιῶν τὸν

ὅλον συμπαραλαμβάνει τόπον, καθ' ὃ τέμνουσιν ἀλλή-

λας αἱ εὐθεῖαι ὡσαύτως· αἱ γὰρ τέσσαρες γωνίαι τέσ-

σαρσι καθέτοις ἴσαι εἰσί. καὶ τετράγωνον ὁμοίως καὶ

ἑξάγωνον.]

{Ἑρμηνεία τῶν στερεομετρουμένων.}

[Τίνες τῶν ἐν τοῖς στερεοῖς σχήμασι τῶν ἐπι-

φανειῶν διαφοραί;]

Τῶν ἐν τοῖς στερεοῖς σχήμασι τῶν ἐπιφανειῶν αἱ

μὲν ἀσύνθετοι λέγονται, αἱ δὲ σύνθετοι. ἀσύνθετοι

μὲν οὖν εἰσιν, ὅσαι ἐκβαλλόμεναι αὐταὶ καθ' ἑαυτῶν

πίπτουσιν, οἷον ἡ τῆς σφαίρας, σύνθετοι δέ, ὅσαι ἐκ-

βαλλόμεναι τέμνουσιν ἀλλήλας. τῶν δὲ συνθέτων αἱ

μὲν ἐξ ἀνομοιογενῶν εἰσι σύνθετοι, αἱ δὲ ἐξ ὁμοιογε-

νῶν, ἐξ ἀνομοιογενῶν μὲν αἱ τῶν κώνων καὶ κυλίνδρων

καὶ ἡμισφαιρίων καὶ τῶν τούτοις ὁμοίων, ἐξ ὁμοιο-

γενῶν δὲ αἱ τῶν στερεῶν εὐθυγράμμων. καὶ καθ'

ἑτέραν δὲ διαίρεσιν τῶν ἐν τοῖς στερεοῖς σχήμασιν

τῶν ἐπιφανειῶν αἱ μέν εἰσιν ἁπλαῖ, αἱ δὲ μικταί.

ἁπλαῖ μὲν οὖν εἰσιν ἐν τοῖς στερεοῖς ἥ τε ἐπίπεδος

καὶ ἡ σφαιρική, μικταὶ δὲ ἥ τε κωνικὴ καὶ κυλινδρικὴ

καὶ αἱ ταύταις ὅμοιαι. αὗται μὲν οὖν μικταὶ ἐξ ἐπι-

πέδου καὶ περιφεροῦς, αἱ δὲ σπειρικαὶ μικταί εἰσιν ἐκ

δύο περιφερειῶν, καὶ ἄλλαι δὲ πλείους εἰσὶν ὥσπερ

σύνθετοι οὕτω καὶ μικταὶ ἄπειροι.

[Τίνες ἐν τοῖς στερεοῖς σχήμασι γραμμῶν

διαφοραί;]

Τῶν ἐν τοῖς στερεοῖς σχήμασι τῶν γραμμῶν αἱ

μέν εἰσιν ἁπλαῖ, αἱ δὲ μικταί. ἁπλαῖ μὲν οὖν αἵ τε

εὐθεῖαι καὶ περιφερεῖς, μικταὶ δὲ αἵ τε κωνικαὶ καὶ

σπειρικαί. καὶ αὗται μὲν τεταγμέναι εἰσίν, τῶν δὲ

ἀτάκτων πλῆθος ἄπειρόν ἐστιν ὡς καὶ τῶν συνθέτων.

[Περὶ σφαίρας, ἀσυνθέτου στερεοῦ σώματος, καὶ

σφαιρικῆς ἐπιφανείας.]

Σφαῖρά ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ μιᾶς ἐπιφανείας

περιεχόμενον, πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς καὶ

κατὰ μέσον τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσ-

πίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἢ σχῆμα στε-

ρεὸν ἄκρως στρογγύλον, ὥστε ἐκ τοῦ μέσου πάντη

ἴσας ἔχειν τὰς ἀποστάσεις· ὅταν γὰρ ἡμικυκλίου με-

νούσης τῆς διαμέτρου περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς

ταὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ἡ μὲν γινομένη ἐπιφάνεια

ὑπὸ τῆς τοῦ ἡμικυκλίου περιφερείας σφαιρικὴ ἐπι-

φάνεια καλεῖται, τὸ δὲ περιληφθὲν στερεὸν σχῆμα

σφαῖρα.

[Τί κέντρον σφαίρας;]

Τὸ δὲ μέσον τῆς σφαίρας κέντρον αὐτῆς καλεῖται·

ἔστι δὲ ταὐτὸ τοῦτο καὶ τοῦ ἡμικυκλίου κέντρον.

[Τί ἄξων σφαίρας;]

Ἡ δὲ διάμετρος τῆς σφαίρας ἄξων καλεῖται, καὶ

ἔστιν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περα-

τουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς

σφαίρας, ἀμετακίνητος, περὶ ἣν ἡ σφαῖρα κινεῖται καὶ

στρέφεται.

[Τί ἐστι πόλος;]

Τὰ πέρατα τοῦ ἄξονος πόλοι καλοῦνται.

[Τί κύκλος ἐν σφαίρᾳ;]

Ἐὰν δὲ σφαῖρα τμηθῇ, ἡ τομὴ κύκλος γίνεται.

[Τί κύκλου πόλος ἐπὶ σφαίρᾳ;]

Κύκλου δὲ πόλος ἐν σφαίρᾳ λέγεται σημεῖον ἐπὶ

τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἀφ' οὗ πᾶσαι αἱ προσ-

πίπτουσαι εὐθεῖαι πρὸς τὴν περιφέρειαν ἴσαι ἀλλή-

λαις εἰσίν.

[Ὅτι τῶν στερεῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων

μείζων ἡ σφαῖρα.]

Ὥσπερ δὲ τῶν ἐπιπέδων ἰσοπεριμέτρων σχημάτων

μείζων ἐστὶ κύκλος, οὕτως τὸ τῆς σφαίρας σχῆμα πάν-

των τῶν στερεῶν ἰσοπεριμέτρων αὐτῇ σχημάτων, τουτ-

έστι τῶν τῇ ἴσῃ ἐπιφανείᾳ κεχρημένων, μέγιστόν ἐστι·

διὸ καὶ περιεκτικὸν τῶν ἄλλων ἁπάντων ἐλαττόνων.

[Περὶ τῶν ἐξ ἀνομογενῶν συνθέτων

στερεῶν σχημάτων οὕτως.]

[Τί κῶνος;]

Κῶνός ἐστι σχῆμα στερεὸν βάσιν μὲν ἔχον κύκλον,

συναγόμενον δὲ ὑφ' ἓν σημεῖον· ἐὰν γὰρ ἀπὸ μετεώρου

σημείου ἐπὶ κύκλου περιφέρειαν εὐθεῖά τις προβληθῇ

καὶ περιενεχθεῖσα εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, τὸ

ἀπογενηθὲν σχῆμα κῶνος γίνεται. καὶ ἄλλως· ἐὰν

ὀρθογωνίου τριγώνου μενούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ

τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον [σχῆμα]

εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι

[περιληφθὲν σχῆμα], ἡ μὲν γινομένη ἀπὸ τῆς ὑπο-

τεινούσης τοῦ τριγώνου πλευρᾶς περιοχὴ ἐπιφάνεια

κωνικὴ καλεῖται, τὸ δὲ περιληφθὲν σχῆμα στερεὸν κῶνος.

{[Τί βάσις κώνου;]}

Βάσις δὲ κώνου ὁ κύκλος καλεῖται.

{[Τί κορυφὴ κώνου;]}

Κορυφὴ δὲ κώνου τὸ σημεῖον.

{[Τί ἄξων κώνου;]}

Ἄξων δὲ κώνου ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὸ κέν-

τρον τοῦ κύκλου ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα, τουτέστιν ἡ

μένουσα.

{[Τίς ἰσοσκελὴς κῶνος;]}

Ἰσοσκελὴς δὲ κῶνος λέγεται ὁ τοῦ τριγώνου ἴσας

ἔχων τὰς πλευράς.

{[Τί κῶνος σκαληνός;]}

Σκαληνὸς δὲ κῶνος ὁ ἀνίσους λέγεται.

{[Τί ὀρθογώνιος κῶνος;]}

Ὀρθογώνιος δὲ κῶνός ἐστιν, ἐὰν ἡ μένουσα πλευρὰ

ἴση ᾖ τῇ περιφερομένῃ, ἢ οὗ τμηθέντος διὰ τοῦ ἄξο-

νος τὸ γενόμενον ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ σχῆμα τρίγωνον

ὀρθογώνιον γίνεται.

{[Τί ὀξυγώνιος κῶνος;]}

Ὀξυγώνιος δὲ κῶνός ἐστιν, οὗ ἡ μένουσα μείζων

ἐστὶ τῆς περιφερομένης, ἢ οὗ τμηθέντος τὸ γενόμενον

τμῆμα τρίγωνον ὀξυγώνιον γίνεται.

{[Τί ἀμβλυγώνιος κῶνος;]}

Ἀμβλυγώνιος δὲ κῶνός ἐστιν, οὗ ἡ μένουσα πλευρὰ

ἐλάττων ἐστὶ τῆς περιφερομένης, ἢ οὗ τμηθέντος τὸ

γενόμενον ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον

γίνεται.

{[Τί κόλουρος κῶνος;]}

Κόλουρος δὲ κῶνος καλεῖται ὁ τὴν κορυφὴν κολο-

βωθεῖσαν ἐσχηκώς.

{[Τί ἐπιφάνεια κώνου;]}

Ἡ δὲ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου ἄλλως μὲν κυρτὴ κα-

λεῖται, ἄλλως δὲ κοίλη.

{[Τί τομὴ κώνου;]}

Τεμνόμενος δὲ κῶνος διὰ τῆς κορυφῆς τρίγωνον

ποιεῖ τὴν τομήν, παραλλήλως δὲ τῇ βάσει τμηθεὶς

κύκλον, μὴ παραλλήλως δὲ τμηθεὶς ἄλλο τι μέρος

γραμμῆς, ὃ καλεῖται κώνου τομή. τῶν δὲ τοῦ κώνου

τομῶν ἡ μὲν καλεῖται ὀρθογώνιος, ἡ δὲ ἀμβλυγώνιος,

ἡ δὲ ὀξυγώνιος. ὀξυγώνιος μὲν οὖν ἡ αὑτῇ συν-

άπτουσα καὶ ποιοῦσα σχῆμα θυρεοειδές, καλεῖται δὲ

ὑπό τινων καὶ ἔλλειψις· ἡ δὲ τοῦ ὀρθογωνίου καλεῖται

παραβολή, ἡ δὲ τοῦ ἀμβλυγωνίου ὑπερβολή.

{[Περὶ κυλίνδρου ἄξονος καὶ βάσεως αὐτοῦ καὶ

τομῆς κυλίνδρου.]}

Κύλινδρός ἐστι σχῆμα στερεόν, ὅπερ νοεῖται ἀπο-

τελούμενον παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου περὶ μίαν

τῶν πλευρῶν μένουσαν στραφέντος καὶ ἀποκαταστα-

θέντος, ὅθεν καὶ ἤρξατο φέρεσθαι. ἡ δὲ μένουσα

εὐθεῖα, περὶ ἣν ἡ στροφή, ἄξων λέγεται, αἱ δὲ βάσεις

κύκλοι οἱ γενόμενοι ὑπὸ τῶν ἴσων πλευρῶν τοῦ παρ-

αλληλογράμμου, τομαὶ δὲ κυλίνδρου αἱ μὲν παραλ-

ληλόγραμμοι, αἱ δὲ ὀξυγωνίων κώνων.

{[Περὶ τομῆς κοινῶς.]}

Τέμνεται δὲ στερεὸν μὲν ὑπὸ ἐπιφανείας, ἐπιφάνεια

δὲ ὑπὸ γραμμῆς, γραμμὴ δὲ ὑπὸ στιγμῆς· ἐνίοτε δὲ

καὶ ὑπὸ γραμμῆς λέγεται τέμνεσθαι κατὰ ἀναφορὰν

τὴν ἐπὶ τὴν στιγμήν, καὶ ἐπιφάνεια δὲ ὑπὸ ἐπιφανείας

κατὰ ἀναφορὰν τὴν ἐπὶ τὴν γραμμήν.

{Περὶ τῶν ἐκ β̅ περιφερειῶν στερεῶν σχημάτων,

σπείρας ἤτοι κρίκου.]}

Σπεῖρα γίνεται, ὅταν κύκλος ἐπὶ κύκλου τὸ κέν-

τρον ἔχων ὀρθὸς ὢν πρὸς τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον

περιενεχθεὶς εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ· τὸ δὲ

αὐτὸ τοῦτο καὶ κρίκος καλεῖται. διεχὴς μὲν οὖν ἐστι

σπεῖρα ἡ ἔχουσα διάλειμμα, συνεχὴς δὲ ἡ καθ' ἓν ση-

μεῖον συμπίπτουσα, ἐπαλλάττουσα δέ, καθ' ἣν ὁ περι-

φερόμενος κύκλος αὐτὸς αὑτὸν τέμνει. γίνονται δὲ

καὶ τούτων τομαὶ γραμμαί τινες ἰδιάζουσαι. οἱ δὲ τε-

τράγωνοι κρίκοι ἐκπρίσματά εἰσι κυλίνδρων· γίνονται

δὲ καὶ ἄλλα τινὰ ποικίλα πρίσματα ἔκ τε σφαιρῶν καὶ

ἐκ μικτῶν ἐπιφανειῶν.

{[Τίνες αἱ τῶν εὐθυγράμμων στερεῶν σχημάτων

διαφοραί;]}

Τῶν δὲ εὐθυγράμμων στερεῶν σχημάτων ἃ μὲν

καλοῦνται πυραμίδες, ἃ δὲ κύβοι, ἃ δὲ πολύεδρα, ἃ δὲ

πρίσματα, ἃ δὲ δοκίδες, ἃ δὲ πλινθίδες, ἃ δὲ σφη-

νίσκοι, καὶ τὰ παραπλήσια.

{[Τί ἐστι πυραμίς;]}

Πυραμὶς μὲν οὖν ἐστι σχῆμα στερεὸν ἐπιπέδοις

περιεχόμενον ἀφ' ἑνὸς ἐπιπέδου πρὸς ἑνὶ σημείῳ συν-

εστηκός. καὶ ἄλλως δὲ λέγεται πυραμὶς τὸ ἀπὸ βά-

σεως τριπλεύρου ἢ τετραπλεύρου ἢ πολυγώνου, τουτ-

έστιν ἁπλῶς εὐθυγράμμου, κατὰ σύνθεσιν τριγώνων

εἰς ἓν σημεῖον συναγόμενον σχῆμα. ἰδίως δὲ ἰσό-

πλευρος λέγεται πυραμὶς ἡ ὑπὸ τεσσάρων τριγώνων

ἰσοπλεύρων περιεχομένη καὶ ἰσογωνίων· καλεῖται δὲ τὸ

σχῆμα τοῦτο καὶ τετράεδρον.

{[Τί ἐστι κύβος;]}

Κύβος ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ὑπὸ Ϛ̅ τετραγώνων ἰσο-

πλεύρων καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον· καλεῖται δὲ τὸ

σχῆμα τοῦτο καὶ ἑξάεδρον.

{[Περὶ ὀκταέδρου.]}

Ὀκτάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων

ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.

{[Τί ἐστι δωδεκάεδρον;]}

Δωδεκάεδρον δέ ἐστι σχῆμα ὑπὸ ι̅β̅ πενταγωνίων

ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον. τὸ δὲ

πεντάγωνον, ἐξ οὗ γίνεται τὸ δωδεκάεδρον, ἴσον ἐστὶ

τριγώνοις τρισὶ παρὰ δύο πλευρῶν.

{[Τί ἐστιν εἰκοσάεδρον;]}

Εἰκοσάεδρόν ἐστιν σχῆμα στερεὸν ὑπὸ εἴκοσι τρι-

γώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.

Εἰσὶ πέντε ταῦτα μόνον ὑπὸ ἴσων καὶ ὁμοίων περι-

εχόμενα, ἃ δὴ ὑπὸ τῶν Ἑλλήνων ὕστερον ἐπωνομάσθη

Πλάτωνος σχήματα.

{[Ὅτι πλὴν τοῦ δωδεκαέδρου τὰ δ̅ λόγον ἔχουσι

πρὸς τὴν σφαῖραν.]}

Τῶν δὲ τεσσάρων τούτων αἱ πλευραὶ λόγον ἔχουσι

πρὸς τὴν σφαῖραν.

Εὐκλείδης μὲν οὖν ἐν τῷ ιγʹ τῶν Στοιχείων ἀπέ-

δειξε, πῶς τῇ σφαίρᾳ τὰ πέντε ταῦτα σχήματα περι-

λαμβάνει· μόνα γὰρ τὰ Πλάτωνος οἴεται. Ἀρχιμήδης

δὲ τριακαίδεκα ὅλα φησὶν εὑρίσκεσθαι σχήματα δυνά-

μενα ἐγγραφῆναι τῇ σφαίρᾳ προστιθεὶς ὀκτὼ μετὰ τὰ

εἰρημένα πέντε· ὧν εἰδέναι καὶ Πλάτωνα τὸ τεσσα-

ρεσκαιδεκάεδρον, εἶναί τε τοῦτο διπλοῦν, τὸ μὲν ἐξ

ὀκτὼ τριγώνων καὶ τετραγώνων ἓξ σύνθετον, ἐκ γῆς

καὶ ἀέρος, ὅπερ καὶ τῶν ἀρχαίων τινὲς ᾔδεσαν, τὸ δὲ

ἕτερον πάλιν ἐκ τετραγώνων μὲν ὀκτώ, τριγώνων δὲ Ϛ̅,

ὃ καὶ χαλεπώτερον εἶναι δοκεῖ.

Καθόλου δὲ τῶν εὐθυγράμμων στερεῶν σχημάτων

ἃ μέν ἐστι πυραμίδες, ἃ δὲ πρίσματα, ἃ δὲ οὔτε πυρα-

μίδες οὔτε πρίσματα. τί μὲν οὖν ἐστι πυραμίς, προ-

είρηται.

{[Τί δὲ πρίσματα;]}

Πρίσματα δέ εἰσι τὰ ἀπὸ βάσεως εὐθυγράμμου κατ'

εὐθυγράμμων σύνθεσιν πρὸς χωρίον εὐθύγραμμον

συνάπτοντα.

{[Τίνα τῶν σχημάτων οὔτε πυραμίδες οὔτε

πρίσματα;]}

Οὔτε δὲ πυραμίδες οὔτε πρίσματά εἰσι τὰ ἀπὸ

βάσεως εὐθυγράμμου κατ' εὐθυγράμμων σύνθεσιν πρὸς

εὐθεῖαν συνάπτοντα.

{[Τίνα ἐστὶ παραλληλόγραμμα πρίσματα;]}

Τῶν δὲ πρισμάτων παραλληλόπλευρα καλεῖται, ὅσα

ἑξάεδρα ὄντα τὰ ἀπέναντι ἐπίπεδα παράλληλα ἔχει.

{[Τίνα τὰ παραλληλεπίπεδα;]}

Παράλληλα δὲ ἐπίπεδά εἰσιν, ὅσα ἐκβαλλόμενα οὐ

συμπίπτει ἀλλήλοις, ἢ ἐν οἷς ἴσων τριγώνων τινῶν

γραφέντων ἑκάστη πλευρὰ παράλληλός ἐστιν.

{[Τίς ἡ ἐν στερεῷ κάθετος;]}

Κάθετος δὲ ἐν στερεῷ λέγεται ἡ ἀπὸ μετεώρου ση-

μείου πρὸς ἐπίπεδον ἠγμένη, ἥτις πάσαις ταῖς ἁπτο-

μέναις αὐτῆς ἐν τῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.

{[Τίνα τὰ παραλληλόπλευρα ὀρθογώνια πρίσματα,

τίνα δὲ οὐκ ὀρθογώνια;]}

Τῶν δὲ παραλληλοπλεύρων πρισμάτων ἃ μέν εἰσιν

ὀρθογώνια, ἃ δὲ οὐκ ὀρθογώνια. ὀρθογώνια μὲν οὖν

εἰσιν, ὅσα ἑκάστην τῶν γωνιῶν ὑπὸ τριῶν ὀρθῶν

γωνιῶν περιεχομένην ἔχει εὐθυγράμμων, οὐκ ὀρθο-

γώνια δὲ τὰ μὴ οὕτως ἔχοντα.

{[Τί ἐστι κύβος;]}

Κύβος δέ ἐστι τῶν παραλληλοπλεύρων ὀρθογωνίων,

ὃ προείρηται σχῆμα.

{[Τί ἐστι δοκός;]}

Δοκὸς δέ ἐστιν, ὃ τὸ μῆκος μεῖζον ἔχει τοῦ τε

πλάτους καὶ τοῦ πάχους, ἔστι δὲ ὅτε τὸ πλάτος καὶ τὸ

πάχος ἴσα. πάχος δὲ καὶ βάθος καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ

λεγέσθω.

{[Τί ἐστι πλινθίς;]}

Πλινθὶς δέ ἐστι τὸ ἔχον τὸ μῆκος ἔλαττον τοῦ τε

πλάτους καὶ βάθους, ἔστι δ' ὅτε ταῦτα ἀλλήλοις ἴσα.

{[Τί ἐστι σφηνίσκος;]}

Σφηνίσκος δέ ἐστι τὸ ἔχον ἄνισα ἀλλήλοις τό τε

μῆκος καὶ τὸ πλάτος καὶ τὸ βάθος. τινὲς δὲ καὶ βω-

μίσκον καλοῦσι τὸ τοιοῦτον σχῆμα.

{[Τίνων καὶ πόσαι ἐν τοῖς σχήμασιν ἐπαφαί;]}

Ἐφάπτεται δὲ γραμμὴ μὲν γραμμῆς καὶ ἐπιφανείας

καὶ στερεοῦ κατὰ στιγμὴν καὶ κατὰ γραμμήν. στιγμὴ

δὲ στιγμῆς ἁψαμένη μία γίνεται. γραμμὴ δὲ γραμμῆς

ἁψαμένη ὅλη ὅλης ὁμοίως μία γίνεται. εὐθεῖα δὲ κύ-

κλου ἐφάπτεσθαι λέγεται, ἥτις ἁπτομένη τοῦ κύκλου

καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη τέμνει τὸν κύ-

κλον. κύκλοι δὲ ἐφάπτεσθαι ἀλλήλων λέγονται, οἵτινες

ἁπτόμενοι ἀλλήλων οὐ τέμνουσιν ἀλλήλους.

Εὐθεῖα δὲ πρὸς ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, ὅταν πρὸς

πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς

ποιῇ τὰς γωνίας.

Ἐπίπεδον δὲ πρὸς ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν, ὅταν αἱ

τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ πρὸς ὀρθὰς ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέ-

δων ἀγόμεναι εὐθεῖαι καὶ τῷ λοιπῷ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν.

Ἐπίπεδα δὲ παράλληλά εἰσι τὰ ἀσύμπτωτα.

{[Περὶ ἴσων καὶ ὁμοίων σχημάτων.]}

Διαφέρει μὲν καὶ ἐν στερεοῖς καὶ ἐν ἐπιπέδοις, ἤδη

δὲ καὶ ἐν γραμμαῖς, ὁμοιότης καὶ ἰσότης. οὕτω γοῦν

καὶ ἐν τῷ Ϛʹ τῶν Εὐκλείδου δύο δοθέντων εὐθυγράμ-

μων ᾧ μὲν ὅμοιον, ᾧ δὲ ἴσον συστήσασθαι πρόκειται.

κἀκεῖ μέσην ἀνάλογον εὑρόντες διὰ ταύτης κατα-

σκευάζομεν τὸ προβληθέν, ἐπὶ δὲ τῶν στερεῶν διὰ

δύο μεσοτήτων.

{[Περὶ ἴσων γραμμῶν.]}

Νυνὶ δὲ καθόλου λέγομεν περὶ μὲν ἴσων, ὅτι ἴσαι

γραμμαί εἰσι καὶ ἐπιφάνειαι καὶ στερεά, ὅσα ἁρμόττει

ὅλα ὅλοις ἢ κατὰ μέρος ἢ κατὰ σχηματισμόν. λέγεται

δὲ ἴσον καὶ τὸ ἰσοπερίμετρον τῇ περιοχῇ καὶ τὸ ἴσον

ταῖς γραμμαῖς ὥστε καὶ τῷ ἐμβαδῷ καὶ τὸ μόνον ἐμ-

βαδῷ. ἴσαι δὲ γωνίαι εἰσὶν αἱ ἐφαρμόζουσαι ὅλαι

ὅλαις ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἢ ἐν τοῖς στερεοῖς κατὰ τὴν

αὐτὴν συναγωγὴν ἢ κατὰ μέρος ἢ κατὰ σχηματισμόν.

ἴσοι δὲ κύκλοι εἰσίν, ὧν αἱ διάμετροι ἴσαι ἀλλήλαις

εἰσίν· ἀπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν διαμέτρων οὐκ ἔστιν ἕτερον

καὶ ἕτερον κύκλον ἐπινοῆσαι, δοθείσης δὲ τῆς διαμέτρου

δέδοται καὶ ὁ κύκλος τῷ μεγέθει. ἴσον δὲ ἀπέχειν τὰς

εὐθείας λέγεται τοῦ κέντρου, ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου

ἐπ' αὐτὰς κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι ὦσιν, μεῖζον δέ, ἐφ'

ἣν ἡ μείζων κάθετος πίπτει. ἴσα δὲ στερεὰ σχήματά

εἰσι τὰ ὑπὸ ἴσων ἐπιπέδων περιεχόμενα καὶ ὁμοίως

κειμένων ἴσων τὸ πλῆθος καὶ τὸ μέγεθος.

{[Περὶ ἴσων καὶ ἀντιπεπονθότων σχημάτων.]}

Ὅμοιά εἰσι σχήματα εὐθύγραμμα τὰ ἔχοντα κατὰ

μίαν τὰς γωνίας ἴσας. καὶ ἄλλως· ὅσα τάς τε γωνίας

ἴσας ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας

πλευρὰς ἀνάλογον. ἀντιπεπονθότα δὲ σχήματά εἰσιν,

ἐν οἷς ἐν ἑκατέρῳ τῶν σχημάτων ἡγούμενοί τε καὶ

ἑπόμενοι λόγοι εἰσίν. ὅμοια τμήματα κύκλων εἰσὶ τὰ

δεχόμενα γωνίας ἴσας, ἢ ἐν οἷς αἱ γωνίαι ἴσαι εἰσί·

παραπλησίως δὲ καὶ τμήματα σφαιρῶν. ὅμοια στερεὰ

σχήματά εἰσι τὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχόμενα καὶ

ὁμοίως κειμένων. πᾶς δὲ κύκλος παντὶ κύκλῳ ὅμοιός

ἐστι τῷ εἴδει· μία γὰρ ἡ γένεσις τοῦ κύκλου καὶ ἓν

τὸ εἶδος. τῶν δὲ τμημάτων οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ ὁμοιότης,

ἀλλ' ὅσα μὲν ἔχει τὴν ὁμοίαν κλίσιν, τουτέστι τὰς ἐν

αὐτοῖς γωνίας ἀλλήλαις ἴσας, ταῦτα καλεῖται ὅμοια,

οὐχ ὅμοια δὲ τὰ μὴ οὕτως ἔχοντα. παραπλησίως δὲ ἔχει

καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἐπιπέδων τε καὶ στερεῶν σχημάτων.

{[Περὶ τοῦ ἐν μεγέθεσιν ἀπείρου.]}

Μέγεθός ἐστι τὸ αὐξανόμενον καὶ τεμνόμενον εἰς

ἄπειρον· εἴδη δὲ αὐτοῦ γ̅, γραμμή, ἐπιφάνεια, στερεόν.

ἄπειρον δέ ἐστι μέγεθος, οὗ μεῖζον οὐθὲν νοεῖται καθ'

ὑπόστασιν ἡλικηνδήποτε, ὥστε μηδὲν εἶναι αὐτοῦ πέρας.

{[Περὶ τοῦ ἐν μεγέθεσι μέρους.]}

Μέρος ἐστὶ μέγεθος μεγέθους τὸ ἔλαττον τοῦ μεί-

ζονος, ὅταν καταμετρῆται τὸ μεῖζον εἰς ἴσα. εἴρηται

δὲ τὸ μέρος νῦν οὔτε ὡς κόσμου μέρος ἡ γῆ οὔτε ὡς

ἀνθρώπου κεφαλή, ἀλλὰ μὴν οὐδὲ ὡς τῆς πρὸς ὀρθὰς

τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου ἀπ' ἄκρας ἀγομένης λέγομεν

μέρος εἶναι τὴν ἐκτὸς τοῦ ἡμικυκλίου λαμβανομένην

γωνίαν τῆς ὑπὸ τῆς πρὸς ὀρθάς· ἀδύνατον γάρ ἐστιν

ὑπὸ ταύτης τῆς γωνίας, ἥτις κερατοειδὴς καλεῖται,

καταμετρηθῆναι τὴν ὀρθήν, πάσης γωνίας εὐθυγράμμου

ἐλάττονος οὔσης τῆς κερατοειδοῦς. μᾶλλον οὖν τὸ ἐν

μεγέθεσι μέρος ἐπὶ τῶν ὁμοιογενῶν ληψόμεθα καὶ

οὕτως ἐροῦμεν τὸ ἐν μεγέθεσι μέρος, ὡς τὴν τοῦ

τρίτου ὀρθῆς γωνίαν λέγομεν τῆς ὀρθῆς μέρος εἶναι.

τὸ γὰρ σοφισμάτιον ἐκεῖνο παραλειπτέον τὸ λεγόμενον,

ὅτι· εἰ τὸ μέρος ἐστὶ τὸ καταμετροῦν, καὶ τὸ κατα-

μετροῦν ἐστι μέρος, καταμετρεῖται δὲ τὸ στερεὸν ὑπὸ

ποδιαίας εὐθείας, μέρος ἄρα ἡ ποδιαία εὐθεῖα τοῦ

στερεοῦ, ὅπερ ἄτοπον. ποδιαία εὐθεῖα τὸ μῆκος κατα-

μετρεῖ τοῦ στερεοῦ καὶ τὸ βάθος καὶ τὸ πλάτος, ἅπερ

εἰσὶν ὁμογενῆ αὐτῇ τῇ εὐθείᾳ, οὐ μὴν τὸ στερεόν.

{[Περὶ πολλαπλασίου.]}

Πολλαπλάσιόν ἐστι τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάττονος, ὅταν

καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος.

{[Περὶ τῆς κατὰ μεγέθη ἀναλογίας.]}

Τί μέρος μὲν οὖν ἐστι καὶ λόγος, καὶ τίνα ὁμο-

γενῆ ἅμα καὶ τί ἀναλογία, εἴρηται μὲν ἀκριβέστερον

ἐν τοῖς πρὸ τῆς ἀριθμητικῆς στοιχειώσεως, νυνὶ δὲ

λέγομεν, ὅτι, ὡς ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοιογενῶν ἡ ἀνα-

λογία ἐφαρμόζει, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν ἐν τοῖς μεγέθεσιν

ὁμοιογενῶν.

{[Τίνα λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα τὰ μεγέθη;]}

Λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα τὰ μεγέθη λέγεται, ἃ

δύνανται πολυπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν. πρὸς

δὲ τοὺς ἀντιθέντας τῷ ὅρῳ τούτῳ καὶ λέγοντας, ὅτι

μόνα λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα, ἃ δύνανται πολυπλα-

σιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν, οὐδὲν δὲ οὕτως ὁμο-

γενὲς ὡς σημεῖον σημείῳ, δῆλον ἄρα, ὅτι πολυπλασια-

ζόμενον τὸ σημεῖον ὑπερέξει τοῦ σημείου, πρὸς δὲ

τούτους ῥητέον, ὅτι τὸν κατὰ μεγέθη προσπολυπλα-

σιασμὸν οὐκ ἐπιδέχεται σημεῖον· ὃ γὰρ ἀτευκτεῖ με-

γέθους, τοῦτο ἀτευκτεῖ καὶ τοῦ κατὰ μέγεθος πολυ-

πλασιασθῆναι, μόνως δὲ ἐπιδέξεται πολυπλασιασμὸν

κατ' ἀριθμόν· οὕτως ἐπειδὴ τῇ εὐθείᾳ ἄπειρά εἰσι

σημεῖα, τὰ τοσάδε τοσῶνδέ ἐστι πολυπλάσια. ὅλως τε

ὡς περὶ μεγέθους διαλέγονται τοῦ σημείου ἔχοντός

τινα διάστασιν, τοῦ Στοιχειωτοῦ ἄντικρυς τὸ μὲν ση-

μεῖον ἀμερὲς ὁρισαμένου, λόγον δὲ ἔχειν πρὸς ἄλληλα

τὰ μεγέθη εἰπόντος.

{[Τίνα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη ἐστίν;]}

Ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγονται πρῶτον πρὸς

δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ὅταν τὰ τοῦ πρώ-

του καὶ τοῦ τρίτου ἰσάκις πολυπλάσια τῶν τοῦ δευ-

τέρου καὶ τετάρτου ἄλλων, ὧν ἔτυχεν, ἰσάκις πολυ-

πλασίων ἢ ἅμα ὑπερέχῃ ἢ ἅμα ἴσα ᾖ ἢ ἅμα ἐλλείπῃ

ληφθέντα κατάλληλα.

Τὰ δὲ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντα ἀνάλογον καλείσθω.

Ἀναλογία δὲ ἐν τρισὶν ὅροις ἐλαχίστη ἐστίν, ἐν-

ταῦθα ὅρων λαμβανομένων ἤτοι τῶν μεγεθῶν ἢ τῶν

ἐπικειμένων αὐτοῖς ἀριθμῶν· ὡς γὰρ κύκλου ὅρος ἐστὶν

ἡ περιφέρεια καὶ τριγώνων αἱ πλευραί, οὕτω τοῦ τοῦ

θ̅ πρὸς τὸν Ϛ̅ λόγου ὅροι εἰσὶν οἱ αὐτοὶ ἀριθμοί.

{[Διάφοροι μεγεθῶν ἀναλογίαι.]}

Ὅταν δὲ τρία μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ αʹ πρὸς τὸ

τρίτον διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἢ πρὸς τὸ βʹ.

φησὶ γοῦν Ἐρατοσθένης, ὅτι, ὥσπερ ἐπὶ τῶν διαστη-

μάτων ἴσων καὶ κατ' εὐθεῖαν κειμένων τὰ διαστήματα

διπλασιάζεται, οὕτως ἐπὶ τῶν λόγων ὡσανεὶ κατ' εὐ-

θεῖαν κειμένων τὸ αʹ πρὸς τὸ γʹ διπλάσιον λόγον ἔχει

ἢ πρὸς τὸ δεύτερον. τὰ γὰρ θ̅ τῶν Ϛ̅ ἀφέστηκεν ἡμιό-

λια, καὶ τὰ Ϛ̅ τῶν δ̅ τὰ αὐτὰ ἡμιόλια· τὰ ἄρα θ̅ τῶν

τεσσάρων ἀφέστηκεν δυσὶν ἡμιολίοις. καὶ γὰρ αἱ

ὑπεροχαὶ αἱ δύο τῇ μιᾷ εἰσιν αὑταί, οἷον ὡς ἐπὶ τῶν

θ̅ καὶ τῶν Ϛ̅ καὶ τῶν δ̅· ὑπερέχει γὰρ ὁ θ̅ τῶν Ϛ̅ τοῖς

τρισίν, ὑπερέχει δὲ καὶ ὁ Ϛ̅ τῶν δ̅ τοῖς δυσίν, τὰ δὲ

τρία καὶ τὰ β̅ συντεθέντα ποιεῖ τὸν πέντε, ὅς ἐστι

τοῦ θ̅ καὶ δ̅ ὑπεροχή. ὥσπερ δὲ ἀπὸ τῶν μειζόνων

ἐπὶ τοὺς ἐλάττονας αἱ ὑπεροχαὶ ποιοῦσι διπλασίους

λόγους καὶ τριπλασίους, οὕτως ἀπὸ τῶν ἐλαττόνων αἱ

ἐλλείψεις.

Ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τὸ μὲν τοῦ

πρώτου πολλαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου

πολυπλασίου, τὸ δὲ τοῦ τρίτου πολλαπλάσιον μὴ ὑπερ-

έχῃ τοῦ τοῦ δʹ πολλαπλασίου, τότε τὸ πρώτον πρὸς

τὸ δεύτερον μείζονα λόγον ἔχειν λέγεται ἢ τὸ γʹ πρὸς

τὸ δʹ. ἐν δὲ ταύτῃ τῇ ὑπογραφῇ τοῦ ὅρου βεβού-

ληται ὁ Εὐκλείδης εἰς ὑπόνοιαν ἡμᾶς ἀγαγεῖν καὶ

παραστῆσαι, ἐν τίσιν εὑρίσκεσθαι δεῖ μείζονα λόγον

λόγου· καὶ ἐπεὶ τὰ ἐν…

ἀπ…