Geometrica

σφήν, μείουρος, πυραμὶς ἐπὶ τριγώνου, πυραμὶς κό-

λουρος, θέατρον.

Εἰσὶ δὲ καὶ ὅροι τῆς μετρήσεως ἐστηριγμένοι οἵδε·

παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές

εἰσι πάντη μεταπαρηλλαγμέναι, καὶ παντὸς τριγώνου

ὀρθογωνίου τὰ ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο

πλευρῶν τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ὑποτει-

νούσης τετραγώνῳ, καὶ παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος

τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ τῷ ζʹ μείζων, καὶ

ἕνδεκα τετράγωνα ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα

ἐστὶν ἐμβαδοῖς δεκατέτρασι κύκλων.

Τὰ δὲ μέτρα ἐξεύρηται ἀπὸ τῶν ἀνθρωπίνων μελῶν,

δακτύλου, παλαιστῆς, σπιθαμῆς, λιχάδος, ποδός, πήχεως,

βήματος, ὀργυιᾶς.

Καί ἐστιν ἡ ὀργυιὰ δακ-

τύλων Ϟ̅Ϛ̅, τὸ δὲ βῆμα δακ-

τύλων μ̅, ὁ δὲ πῆχυς δακ-

τύλων κ̅δ̅, πόδα δὲ ἔχει

Ῥωμαικὸν α̅ καὶ 𐅵ʹ εʹ ιʹ, ὡς

ἔχειν τοὺς θ̅ πόδας πή-

χεις ε̅.

Ὁ ποὺς ὁ Φιλεταίρειος

ἔχει δακτύλους ι̅Ϛ̅, ὁ δὲ

Ἰταλικὸς δακτύλους ι̅γ̅ γʹ,

ἡ σπιθαμὴ δὲ δακτύλους

ι̅β̅, ἡ λιχὰς δακτύλους η̅.

Παλαιστὴ δακτύλων δ̅.

Καὶ αὐτὸς δὲ ὁ δάκτυ-

λος διαιρεῖται εἰς μέρη·

ἐπιδέχεται γὰρ καὶ ἥμισυ

καὶ τρίτον καὶ τέταρτον

καὶ τὰ λοιπά.

Ἐπειδὴ δὲ ἐν τοῖς κλί-

μασιν ἐκράτησέν τις παρ'

ἑκάστῳ συνήθεια τοῖς ἐγ-

χωρίοις χρῆσθαι μέτροις,

καὶ τινὲς μὲν πήχει ἢ κα-

λάμῳ ἢ ὀργυιᾷ, τινὲς δὲ

ποδὶ ἢ ἰουγέρῳ ἢ πλέθρῳ

ἢ σάτῳ ἢ ἀρτάβῃ ἢ ἄλλοις

τοιούτοις μετροῦσιν, [ἐκ]

τῆς ἀναλογίας τοῦ ποδὸς

πρὸς τὸν πῆχυν σωζομένης

ἐξισοῦται τὰ μέτρα.

Τούτων δὲ οὕτως λαμ-

βανομένων πρὸς πόδα καὶ

ἰούγερον τὴν μέτρησιν τῶν

θεωρημάτων ἐποιησάμεθα.

καὶ τὸ μὲν ἰούγερόν ἐστιν

ἐμβαδῶν ποδῶν β̲͵̅η̅ω̅· ἔχει

γὰρ μῆκος ποδῶν σ̅μ̅, πλά-

τος ποδῶν ρ̅κ̅· διαιρεῖται

δὲ εἰς οὐγκίας ι̅β̅, ὡς εἶναι

ἑκάστην οὐγκίαν ποδῶν

͵̅β̅υ̅. καὶ αὐτὴ δὲ ἡ οὐγκία

διαιρεῖται εἰς σκρίπουλα

ἤτοι γράμματα κ̅δ̅, ὡς εἶναι

ἕκαστον σκρίπουλον πο-

δῶν ρ̅.

Καὶ ἐν τοῖς στερεοῖς

[χωρίοις] ὁ στερεὸς ποὺς

χωρεῖ μοδίους Ἰταλικοὺς γ̅·

μόδιος ἕκαστος ξεστῶν ι̅Ϛ̅.

Καὶ ἔστιν ἡ μέτρησις

τῶν θεωρημάτων κατὰ τὰ

ὑποτεταγμένα Ἥρωνος·

εἴδη δὲ τῆς μετρήσεώς ἐστι

τὰ ὑποτεταγμένα οὕτως·

δάκτυλος, παλαιστής, λι-

χάς, σπιθαμή, πούς, πῆχυς

ψιλός, ὃς καλεῖται πυγών,

πῆχυς, βῆμα, ξύλον, ὀρ-

γυιά, κάλαμος, ἄκαινα, ἄμ-

μα, πλέθρον, ἰούγερον, στά-

διον, μίλιον, δίαυλος, δόλι-

χος, σχοῖνος, παρασάγγης.

Ὁ μὲν οὖν παλαιστὴς

ἔχει δακτύλους δ̅· ἡ λιχὰς

ἔχει παλαιστὰς β̅, δακτύ-

λους η̅· ἡ σπιθαμὴ ἔχει

παλαιστὰς γ̅, δακτύλους ι̅β̅,

καλεῖται δὲ καὶ ξυλοπρι-

στικὸς πῆχυς. ὁ ποὺς ἔχει

βασιλικοὺς καὶ Φιλεται-

ρείους παλαιστὰς δ̅, δακτύ-

λους ι̅Ϛ̅, ὁ δὲ Ἰταλικὸς ποὺς

ἔχει δακτύλους ι̅γ̅ γʹ· ἡ

πυγὼν ἔχει παλαιστὰς ε̅,

δακτύλους κ̅· ὁ πῆχυς ἔχει

παλαιστὰς Ϛ̅, δακτύλους κ̅δ̅,

ὁ δὲ Νειλῷος πῆχυς ἔχει

παλαιστὰς ζ̅, δακτύλους κ̅η̅,

ὁ δὲ Στοικὸς πῆχυς ἔχει

παλαιστὰς η̅, δακτύλους λ̅β̅.

τὸ δὲ βῆμα ἔχει πήχεις α̅#,

παλαιστὰς ι̅, δακτύλους μ,

πόδας β̅𐅵ʹ. τὸ δὲ ξύλον

ἔχει πόδας δ̅𐅵̅ʹ̅, πήχεις γ̅,

παλαιστὰς ι̅η̅, δακτύλους ο̅β̅.

Ἡ ὀργυιὰ ἔχει πήχεις δ̅

παλαιστὰς κ̅δ̅, πόδας Φιλε-

ταιρείους Ϛ̅, Ἰταλικοὺς δὲ

πόδας ζ̅εʹ. ὁ κάλαμος ἔχει

πήχεις ε̅, πόδας Φιλεται-

ρείους μὲν ζ̅𐅵ʹ, Ἰταλικοὺς

δὲ πόδας θ̅.

Ἡ ἄκαινα ἔχει πήχεις

Ϛ̅#, πόδας Φιλεταιρείους

μὲν ι̅, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας

ι̅β̅. τὸ ἄμμα ἔχει πήχεις μ̅,

πόδας Φιλεταιρείους μὲν ξ̅,

Ἰταλικοὺς δὲ πόδας ο̅β̅. τὸ

πλέθρον ἔχει ἀκαίνας ι̅, πή-

χεις ξϚ̅#, πόδας Φιλεται-

ρείους μὲν ρ̅, Ἰταλικοὺς δὲ

ρ̅κ̅. τὸ ἰούγερον ἔχει πλέθρα

β̅, ἀκαίνας κ̅, πήχεις ρ̅λ̅γ̅ γʹ,

πόδας Φιλεταιρείους μὲν σ̅,

Ἰταλικοὺς δὲ πόδας σ̅μ̅.

τὸ στάδιον ἔχει πλέθρα Ϛ̅,

ἀκαίνας ξ̅, καλάμους π̅,

ὀργυιὰς ρ̅, βήματα σ̅μ̅,

πήχεις υ̅, πόδας Φιλεται-

ρείους μὲν χ̅, Ἰταλικοὺς δὲ

πόδας ψ̅κ̅. ὁ δίαυλος ἔχει

στάδια β̅, πλέθρα ι̅β̅, ἀκαί-

νας ρ̅κ̅, καλάμους ρ̅ξ̅, ὀρ-

γυιὰς σ̅, βήματα υ̅π̅, πή-

χεις ω̅, πόδας Φιλεταιρείους

μὲν ͵̅α̅σ̅, Ἰταλικοὺς δὲ ͵̅α̅υ̅μ̅.

τὸ μίλιον ἔχει στάδια ζ̅𐅵ʹ,

πλέθρα μ̅ε̅, ἀκαίνας υ̅ν̅,

καλάμους χ̅, ὀργυιὰς ψ̅ν̅,

βήματα ͵̅α̅ω̅, πήχεις ͵̅γ̅,

πόδας Φιλεταιρείους μὲν

͵̅δ̅φ̅, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας

͵̅ε̅υ̅. ὁ δόλιχος ἔχει στάδια

ι̅β̅, πλέθρα ο̅β̅, ἀκαίνας ψ̅κ̅,

καλάμους Ϡ̅ξ̅, βήματα ͵̅β̅ω̅π̅,

πήχεις ͵̅δ̅ω̅, πόδας Φιλε-

ταιρείους μὲν ͵̅ζ̅σ̅, Ἰταλι-

κοὺς δὲ πόδας ͵̅η̅χ̅μ̅. ἡ

σχοῖνος ἔχει μίλια δ̅, στά-

δια λ̅, πλέθρα ρ̅π̅, ἀκαίνας

͵̅α̅ω̅, καλάμους ͵̅β̅υ̅, ὀργυιὰς

͵̅γ̅, βήματα ͵̅ζ̅σ̅, πήχεις α̲͵̅β̅,

πόδας Φιλεταιρείους μὲν

α̲͵̅η̅, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας

β̲͵̅α̅χ̅. ὁ παρασάγγης ἔχει

ὁμοίως ὡς ἡ σχοῖνος. ἡ

βαρβαρικὴ σχοῖνος ἔχει

στάδια μ̅ε̅, ἡ δὲ Περσικὴ

σχοῖνος ἔχει στάδια ξ̅. τὸ

δὲ κεμέλει τὸ καλούμενον

ἔχει στάδια ....

Πάντων δὲ ἐλαχιστότε-

ρόν ἐστι δάκτυλος, ὅστις

καὶ μονὰς καλεῖται· διαιρεῖ-

ται δὲ ἔσθ' ὅτε· ὑπομένει

γὰρ καὶ ἥμισυ καὶ τρίτον

καὶ λοιπὰ μόρια.

Μετὰ δὲ τὸν δάκτυλον,

ὅς ἐστι μέρος ἐλάχιστον

πάντων, ὁ παλαιστής, ὃν

καὶ τέταρτόν τινες καλοῦσι

διὰ τὸ τέσσαρας ἔχειν

δακτύλους ἢ διὰ τὸ εἶναι

τέταρτον τοῦ ποδός, τινὲς

δὲ καὶ τρίτον διὰ τὸ εἶναι

τρίτον τῆς σπιθαμῆς· ἡ

γὰρ σπιθαμὴ τρία τέταρτα

ἔχει, ὁ δὲ ποὺς τέσσαρα.

Ἡ λιχὰς ἔχει παλαιστὰς

δύο ἤγουν δακτύλους ὀκτὼ

καὶ καλεῖται δίμοιρον σπι-

θαμῆς. λιχὰς δὲ λέγεται

τὸ τῶν δύο δακτύλων

ἄνοιγμα, τοῦ ἀντίχειρος

λέγω καὶ τοῦ λιχανοῦ·

τοῦτο καὶ κυνόστομον κα-

λοῦσί τινες.

Ἡ σπιθαμὴ ἔχει παλαι-

στὰς τρεῖς ἤγουν δακτύ-

λους δώδεκα.

Ὁ ποὺς ἔχει σπιθαμὴν

α̅ γʹ ἤγουν παλαιστὰς δ̅,

δακτύλους ι̅Ϛ̅.

Ὁ πῆχυς ἔχει πόδας δύο

ἤγουν σπιθαμὰς β̅ 𐅷ʹ, πα-

λαιστὰς ὀκτώ, δακτύλους

λ̅β̅.

Τὸ βῆμα τὸ ἁπλοῦν ἔχει

σπιθαμὰς γ̅ γʹ ἤγουν πό-

δας β̅ 𐅵ʹ ἢ παλαιστὰς ι̅ ἢ

δακτύλους μ̅.

Τὸ βῆμα τὸ διπλοῦν ἔχει

πόδας πέντε ἢ σπιθαμὰς

Ϛ̅ 𐅷ʹ ἢ παλαιστὰς κ̅ ἢ δακ-

τύλους π̅.

Ὁ πῆχυς ὁ λιθικὸς ἔχει

σπιθαμὰς β̅ ἢ ποῦν ἕνα

πρὸς τῷ ἡμίσει ἢ παλαιστὰς

Ϛ̅ ἢ δακτύλους κ̅δ̅· ὡσαύ-

τως καὶ ὁ τοῦ πριστικοῦ

ξύλου.

Ἡ ὀργυιά, μεθ' ἧς

μετρεῖται ἡ σπόριμος γῆ,

ἔχει σπιθαμὰς βασιλικὰς

θ̅ δʹ ἢ πόδας ἓξ καὶ σπι-

θαμὴν α̅ δʹ ἢ παλαιστὰς

ἤγουν γρόνθους εἰκοσιεπτὰ

καὶ ἀντίχειρον, τουτέστι

τοὺς μὲν εἰκοσιὲξ ἐσφιγμέ-

νης οὔσης τῆς χειρός, τὸν

δὲ τελευταῖον ἢ πρῶτον

ἡπλωμένου καὶ αὐτοῦ τοῦ

μεγάλου δακτύλου τῆς χει-

ρός, ὃς δὴ καὶ λέγεται τέ-

ταρτον σπιθαμῆς, ἔχει δὲ

δακτύλους γ̅. μεθ' ὃ [δὲ]

ποιήσεις ὀργυιὰν ἐν κα-

λάμῳ ἢ ἔν τινι ξύλῳ. μετὰ

τοῦτο ὀφείλεις ποιῆσαι

σχοινίον ἤγουν σωκάριον

δεκαόργυιον καὶ οὕτως με-

τρεῖν, ὃν μέλλεις μετρῆσαι

τόπον· τὸ γὰρ σωκάριον

τῆς σπορίμου γῆς δέκα

ὀργυιὰς ὀφείλει ἔχειν, τοῦ

δὲ λιβαδίου καὶ τῶν περι-

ορισμῶν ι̅β̅.

Καὶ μετὰ μὲν τοῦ δεκα-

οργυίου σχοινίου ἔχει ὁ

τόπος τοῦ μοδίου ὀργυιὰς

διακοσίας καὶ μόνας, μετὰ

δὲ τοῦ δωδεκαοργυίου ἔχει

ὀργυιὰς σ̅π̅η̅. πλὴν οἱ

βραχύτατοι καὶ πεδινοὶ τό-

ποι μετὰ τοῦ δεκαοργυίου

σχοινίου ὀφείλουσι με-

τρεῖσθαι, οἱ δὲ περιορισμοὶ

τῶν προαστείων καὶ τῶν

χωρίων τῶν ὁλογύρως με-

τρουμένων μετὰ τοῦ δω-

δεκαοργυίου σχοινίου ὀφεί-

λουσι μετρεῖσθαι διὰ τὸ

εὑρίσκεσθαι ἔσωθεν τῶν

περιορισμῶν αὐτῶν πολ-

λάκις ξηροχειμάρρους καὶ

ῥύακας καὶ λόχμας καὶ

ἀχρήστους τόπους. εἰ δὲ

καὶ μετὰ τοῦ δεκαοργυίου

σχοινίου μετρηθῶσιν, ὀφεί-

λουσιν ὑπεξαιρεῖσθαι εἴτε

ἀπὸ τοῦ ἀναβιβασμοῦ τῶν

σωκαρίων κατὰ δέκα σω-

κάρια σωκάριον ἓν εἴτε

ἀπὸ τοῦ μοδισμοῦ κατὰ

δέκα μόδια μόδιον ἓν διὰ

τὰς εἰρημένας αἰτίας.

Χρὴ δὲ γινώσκειν καὶ τοῦτο, ὅτι ὁ σπόριμος μό-

διος ἔχει λίτρας τεσσαράκοντα· μία δὲ ἑκάστη λίτρα

σπείρει γῆν ὀργυιῶν πέντε.

Πλάτος γὰρ καὶ μῆκος ὀργυιῶν πέντε ποιοῦσι λί-

τραν μίαν.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ι̅ ποιοῦσι λίτρας δύο.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ι̅ε̅ ποιοῦσι λίτρας γ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν κ̅ ποιοῦσι λίτρας δ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν κ̅ε̅ ποιοῦσι λίτρας ε̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν λ̅ ποιοῦσι λίτρας Ϛ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν λ̅ε̅ ποιοῦσι λίτρας ζ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν μ̅ ποιοῦσι λίτρας η̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν μ̅ε̅ ποιοῦσι λίτρας θ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ν̅ ποιοῦσι λίτρας ι̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ν̅ε̅ ποιοῦσι λίτρας ι̅α̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ξ̅ ποιοῦσι λίτρας ι̅β̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ξ̅ε̅ ποιοῦσι λίτρας ι̅γ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ο̅ ποιοῦσι λίτρας ι̅δ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ο̅ε̅ ποιοῦσι λίτρας ι̅ε̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν π̅ ποιοῦσι λίτρας ι̅Ϛ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν π̅ε̅ ποιοῦσι λίτρας ι̅ζ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϟ̅ ποιοῦσι λίτρας ι̅η̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϟ̅ε̅ ποιοῦσι λίτρας ι̅θ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ρ̅ ποιοῦσι λίτρας κ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν σ̅ ποιοῦσι λίτρας μ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν τ̅ ποιοῦσι λίτρας ξ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν υ̅ ποιοῦσι λίτρας π̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν φ̅ ποιοῦσι λίτρας ρ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν χ̅ ποιοῦσι λίτρας ρ̅κ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ψ̅ ποιοῦσι λίτρας ρ̅μ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ω̅ ποιοῦσι λίτρας ρ̅ξ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϡ̅ ποιοῦσι λίτρας ρ̅π̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵̅α̅ ποιοῦσι λίτρας σ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵̅β̅ ποιοῦσι λίτρας υ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵̅γ̅ ποιοῦσι λίτρας χ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵̅δ̅ ποιοῦσι λίτρας ω̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵̅ε̅ ποιοῦσι λίτρας ͵̅α̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵̅Ϛ̅ ποιοῦσι λίτρας ͵̅α̅σ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵̅ζ̅ ποιοῦσι λίτρας ͵̅α̅υ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵̅η̅ ποιοῦσι λίτρας ͵̅α̅χ̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ͵̅θ̅ ποιοῦσι λίτρας ͵̅α̅ω̅.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν α ποιοῦσι λίτρας ͵̅β̅.

Αἱ σ̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίου ἑνός.

Αἱ τ̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίου ἑνὸς ἡμίσεος.

Αἱ υ̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων δύο.

Αἱ φ̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων δύο ἡμίσεος.

Αἱ χ̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τριῶν.

Αἱ ψ̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τριῶν ἡμίσεος.

Αἱ ω̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τεσσάρων.

Αἱ Ϡ̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τεσσάρων ἡμίσεος.

Αἱ χίλιαι ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων πέντε.

Αἱ ͵̅β̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων δέκα.

Αἱ ͵̅γ̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων ι̅ε̅.

Αἱ ͵̅δ̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων εἴκοσι.

Αἱ ͵̅ε̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων κ̅ε̅.

Αἱ ͵̅Ϛ̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τριάκοντα.

Αἱ ͵̅ζ̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων λ̅ε̅.

Αἱ ͵̅η̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τεσσαράκοντα.

Αἱ ͵̅θ̅ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων μ̅ε̅.

Αἱ μύριαι ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων πεντήκοντα.

Καὶ ἔστιν ἡ μέτρησις

τῶν θεωρημάτων κατὰ τὰ

ὑποτεταγμένα οὕτως·

Ἔστω τετράγωνον ἰσό-

πλευρόν τε καὶ ὀρθογώ-

νιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ

ἀνὰ ποδῶν ι̅β̅· εὑρεῖν

αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ

οὕτως· τὰ ι̅β̅ ἐφ' ἑαυτά·

γίγνονται ρ̅μ̅δ̅ πόδες. τοσ-

ούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

Ἔστω τετράγωνον ἰσό-

πλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον

καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευ-

ρὰν ποδῶν ν̅· εὑρεῖν αὐτοῦ

τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν δια-

γώνιον. ποιῶ οὕτως· τὰ

ν̅ ἐφ' ἑαυτά· γίγνονται ͵̅β̅φ̅.

ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοσού-

των. τὴν δὲ διαγώνιον

εὑρεῖν. δὶς τὸ ἐμβαδὸν ͵̅ε̅·

ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ

γίγνεται ποδῶν ο̅ 𐅵ʹ δʹ. τοσ-

ούτου ἐστὶν ἡ διαγώνιος.

καὶ ἄλλως· τὴν μίαν πλευ-

ράν, τουτέστι τὰ ν̅, ἐπὶ τὰ

ο̅ 𐅵ʹ δʹ· γίγνονται πόδες

͵̅γ̅φ̅λ̅ζ̅ 𐅵ʹ· ὧν νʹ γίνεται

ο̅ 𐅵 δʹ.

Τούτων δὲ οὕτως ἐχόν-

των τὴν μέτρησιν τῶν

θεωρημάτων ποιησώμεθα.

Περὶ τετραγώνων ἰσο-

πλεύρων καὶ ὀρθογωνίων.

Τετράγωνον ἰσόπλευρον

καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη

πλευρὰ ἀνὰ ὀργυιῶν ι̅·

εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.

ποίει οὕτως· τὰς ι̅ ἐπὶ τὰς

ι̅· γίνονται ρ̅· τοσούτων

ὀργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδόν.

τούτων τὸ εʹ· γίνονται κ̅·

καὶ ἔστιν λιτρῶν κ̅ ἤτοι

μοδίου 𐅵ʹ.

Ἕτερον τετράγωνον ἰσό-

πλευρον καὶ ὀρθογώνιον,

οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ὀρ-

γυιῶν ι̅η̅· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ

ἐμβαδόν. πολυπλασίασον

τὴν μίαν τῶν βάσεων ἐπὶ

τὴν μίαν τῶν καθέτων,

ἤγουν τὰς ι̅η̅ ἐπὶ τὰς ι̅η̅·

γίνονται τ̅κ̅δ̅· καὶ ἔστι τὸ

ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ τετρα-

γώνου ὀργυιῶν τ̅κ̅δ̅. ὧν

μέρος διακοσιοστὸν γίνεται

α̅ 𐅵ʹ ιʹ νʹ· καὶ ἔστι γῆς

μοδίων α̅ 𐅵ʹ καὶ λιτρῶν

δ̅ 𐅵ʹ εʹ ιʹ· τοῦ γὰρ μέτρου

τοῦ μοδίου ὀργυιῶν σ̅

παραλαμβανομένου, λι-

τρῶν δὲ μ̅, ἐπιβάλλουσι

μιᾷ ἑκάστῃ λίτρᾳ ὀργυιαὶ ε̅,

ἑκάστῃ δὲ ὀργυιᾷ τὸ εʹ

τῆς λίτρας.

Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ

αἱ δ̅ πλευραὶ ἀνὰ ὀργυιῶν λ̅Ϛ̅. αὗται ἐφ' ἑαυτὰς πολυ-

πλασιαζόμεναι γίνονται ͵̅α̅σ̅Ϟ̅Ϛ̅· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστι

τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου. ὧν μέρος διακοσιοστὸν

γίνεται Ϛ̅ δʹ ηʹ ιʹ ςʹ· καὶ ἔστιν γῆς μοδίων ἓξ καὶ λιτρῶν

ι̅θ̅ εʹ· αἱ γὰρ ͵̅α̅σ̅ ὀργυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τῶν σ̅

ποσοῦνται εἰς γῆν μοδίων ἕξ, αἱ δὲ λοιπαὶ Ϟ̅Ϛ̅ ὑπεξαι-

ρούμεναι ἐπὶ τῶν ε̅ ποσοῦνται εἰς γῆν λιτρῶν ι̅θ̅ καὶ

ὀργυιᾶς μιᾶς.

Καὶ οὕτω μὲν ἐπὶ τοῦ μέτρου τῶν ὀργυιῶν· ἐπὶ

δὲ τοῦ μέτρου τῶν σχοινίων ποίει οὕτως· τὴν μίαν

τῶν πλευρῶν ἐφ' ἑαυτήν, ὧν τὸ 𐅵ʹ, καὶ ἔστιν ὁ μο-

δισμός. οἷον ἔστω τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθο-

γώνιον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων Ϛ̅· εὑρεῖν

τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ Ϛ̅ ἐπὶ τὰ Ϛ̅· γίνονται λ̅Ϛ̅·

καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων λ̅Ϛ̅. ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται

ι̅η̅· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ι̅η̅.

Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ

ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ι̅Ϛ̅. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά·

γίνονται σ̅ν̅Ϛ̅· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ σχοινίων

τοσούτων. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται ρ̅κ̅η̅· καὶ ἔστι γῆς

μοδίων ἑκατὸν εἰκοσιοκτώ.

Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ

αἱ δ̅ πλευραὶ ἀνὰ σχοινίων κ̅ε̅. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γί-

νονται χ̅κ̅ε̅· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων.

ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται τ̅ι̅β̅ 𐅵ʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων

τ̅ι̅β̅ 𐅵ʹ.

Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ

ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ι̅β̅ καὶ ὀργυιῶν Ϛ̅· εὑ-

ρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἀνάλυσον καὶ τὰ σχοι-

νία εἰς ὀργυιάς· γίνονται διά τε σχοινίων καὶ ὀργυιῶν

ὀργυιαὶ ρ̅κ̅Ϛ̅, αἵτινες ἐφ' ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι

συμποσοῦνται εἰς α ͵̅ε̅ω̅ο̅Ϛ̅· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν ὀρ-

γυιῶν τοσούτων. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται

ο̅θ̅ δʹ ηʹ ςʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ο̅θ̅ καὶ λιτρῶν ι̅ε̅ εʹ·

αἱ γὰρ α ͵̅ε̅ω̅ ὀργυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τῶν σ̅ ποιοῦσι

γῆν μοδίων ο̅θ̅, αἱ δὲ λοιπαὶ ο̅Ϛ̅ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ

τῶν πέντε ποιοῦσι γῆν λιτρῶν ι̅ε̅ καὶ ὀργυιᾶς α̅.

Τετραγώνου ἰσοπλεύρου ὀρθογωνίου τὴν διαγώνιον

εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ ι̅β̅ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν ἐφ'

ἑαυτά· γίνονται ρ̅μ̅δ̅· ταῦτα δὶς σ̅π̅η̅· τούτων τετραγω-

νικὴ πλευρὰ ι̅ζ̅· καὶ ἔστιν ἡ διαγώνιος ι̅ζ̅.

Παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου τὴν διαγώνιον εὑ-

ρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ ι̅β̅ τῆς πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γί-

νονται ρ̅μ̅δ̅· τὰ ε̅ τῆς ὀρθῆς ἐφ' ἑαυτὰ κ̅ε̅· ὁμοῦ ρ̅ξ̅θ̅·

ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ι̅γ̅· καὶ ἔστι τοσούτων

ἡ διαγώνιος.

{Περὶ τετραγώνων παραλληλογράμμων ὀρθογωνίων.}

Ἔστω τετράγωνον ἑτερό-

μηκες ἤτοι παραλληλό-

γραμμον, οὗ τὸ μῆκος πο-

δῶν ν̅, τὸ δὲ πλάτος πο-

δῶν λ̅· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ

ἐμβαδὸν καὶ τὴν διαγώ-

νιον. ποιῶ οὕτως. τὸ μῆ-

κος ἐπὶ τὸ πλάτος· γίνον-

ται πόδες ͵̅α̅φ̅. ἔστω τὸ

ἐμβαδὸν ͵̅α̅φ̅ ποδῶν. τὴν

δὲ διαγώνιον εὑρεῖν. τὸ

μῆκος ἐφ' ἑαυτό· γίνονται

πόδες ͵̅β̅φ̅· καὶ τὸ πλάτος

ἐφ' ἑαυτό· γίνονται πόδες

Ϡ̅· ὁμοῦ γίνονται πόδες

͵̅γ̅υ̅· ὧν πλευρὰ τετραγω-

νικὴ ποδῶν ν̅η̅ γʹ. τοσούτου

ἐστὶν ἡ διαγώνιος [ποδῶν

ν̅η̅ γʹ], τὸ δὲ ἐμβαδόν ἐστι

ποδῶν ͵̅α̅φ̅.

Ἔστω τετράγωνον παρ-

αλληλόγραμμον μὴ ὂν ὀρ-

θογώνιον, οὗ τὸ μεῖζον

μῆκος ποδῶν λ̅β̅ καὶ ἡ

ἄλλη ποδῶν λ̅· ὁμοῦ γί-

νονται πόδες ξ̅β̅· ὧν τὸ

𐅵ʹ· γίνονται λ̅α̅. καὶ τὸ πλά-

τος ποδῶν ι̅η̅ καὶ τὸ ἄλλο

ποδῶν ι̅Ϛ̅· ὁμοῦ γίνονται

λ̅δ̅· ὧν τὸ 𐅵ʹ ι̅ζ̅. ταῦτα

πολυπλασιάζω ἐπὶ τὰ λ̅α̅·

γίνονται πόδες φ̅κ̅ζ̅. τοσ-

ούτων ποδῶν ἐστι τὸ ἐμ-

βαδόν [ποδῶν φ̅κ̅ζ̅].

Τετράγωνον παραλλη-

λόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ

δὴ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται,

μετρεῖται οὕτως· ἔστω παρ-

αλληλόγραμμον ὀρθογώ-

νιον, οὗ τὸ πλάτος σχοι-

νίων γ̅, τὸ δὲ μῆκος σχοι-

νίων η̅· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ

ἐμβαδόν. πολυπλασίασον

τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος

ἤγουν ἐπὶ τὰ η̅· γίνονται

κ̅δ̅· τοσούτων ἐστὶ τὸ ἐμ-

βαδὸν τοῦ αὐτοῦ παραλ-

ληλογράμμου. ὧν τὸ 𐅵ʹ·

γίνονται ι̅β̅· καὶ ἔστι μο-

δίων τοσούτων.

Τετράγωνον παραλληλό-

γραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ

καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται,

οὗ τὰ μὲν μήκη ἀνὰ ὀρ-

γυιῶν κ̅, τὰ δὲ πλάτη ἀνὰ

ὀργυιῶν ι̅ε̅· εὑρεῖν αὐτοῦ

τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕ-

τως· τὰ κ̅ ἐπὶ τὰ ι̅ε̅· γί-

νονται τ̅· τοσούτων ὀρ-

γυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδόν.

ὧν τὸ εʹ· γίνονται ξ̅· καὶ

ἔστι λιτρῶν ξ̅ ἤτοι μο-

δίου α̅𐅵ʹ.

Τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ τὰ

μὲν μήκη ἀνὰ ὀργυιῶν π̅, τὰ δὲ πλάτη ἀνὰ ὀργυιῶν ξ̅·

εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον τὰς π̅ τοῦ μήκους

ἐπὶ τὰς ξ̅ τοῦ πλάτους· γίνεται οὖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ

παραλληλογράμμου ὀργυιῶν ͵̅δ̅ω̅. ὧν μέρος διακοσιο-

στὸν γίνεται κ̅δ̅· καὶ ἔστι γῆς μοδίων εἰκοσιτεσσάρων.

Τετράγωνον ὀρθογώνιον καὶ ἰσόπλευρον, οὗ τὸ ἐμ-

βαδὸν ὀργυιῶν ρ̅· εὑρεῖν αὐτοῦ, πόσων ὀργυιῶν ἑκάστη

πλευρά. ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν ρ̅ πλευρὰν τετράγωνον·

γίνεται ι̅· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστιν ἑκάστη πλευρά.

Τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ

καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, οὗ τὰ μὲν μήκη ἀνὰ σχοινίων

ὀκτώ, τὸ δὲ ἐμβαδὸν σχοινίων μ̅· εὑρεῖν τὸ πλάτος.

ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν μ̅ τὸ ὄγδοον· γίνεται ε̅· τοσού-

των σχοινίων ἐστὶ τὸ πλάτος. τὸν δὲ μοδισμὸν εὑρεῖν.

πολυπλασίασον τὰ ε̅ τοῦ πλάτους ἐπὶ τὰ η̅ τοῦ μή-

κους· γίνονται μ̅· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται κ̅· καὶ ἔστι γῆς

μοδίων κ̅.

{Περὶ τριγώνων ὀρθογωνίων.}

Τρίγωνον ὀρθογώνιον,

οὗ ἡ μὲν κάθετος ποδῶν

λ̅, ἡ δὲ βάσις ποδῶν μ̅, ἡ

δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν ν̅·

εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.

ποιῶ οὕτως· τὴν βάσιν

ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται

πόδες ͵̅α̅σ̅· ὧν 𐅵ʹ· γίνον-

ται πόδες χ̅. ἔστω τὸ ἐμ-

βαδὸν ποδῶν χ̅. εὑρεῖν

αὐτοῦ καὶ τὴν ὑποτείνου-

σαν. τὰ λ̅ τῆς καθέτου

ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ̅· καὶ

τὰ μ̅ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά·

γίνονται ͵̅α̅χ̅· ὁμοῦ πόδες

͵̅β̅φ̅· ὧν πλευρὰ τετραγω-

νικὴ γίνεται ν̅. ἄλλως

εὑρεῖν τὴν ὑποτείνουσαν.

σύνθες τὰς β̅ πλευρὰς τὰ

λ̅ καὶ τὰ μ̅· γίνονται ο̅·

ταῦτα ἐπὶ ε̅ τ̅ν̅· τούτων τὸ

ζʹ ν̅.

Ἔστω τρίγωνον ἕτερον

ὀρθογώνιον καὶ ἐχέτω τὴν

μὲν βάσιν ποδῶν μ̅, τὴν

δὲ ὑποτείνουσαν ποδῶν

μ̅α̅, τὴν δὲ κάθετον πο-

δῶν θ̅· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ

ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον.

ποιῶ οὕτως· τὰ μ̅α̅ ἐφ'

ἑαυτά· γίνεται ͵̅α̅χ̅π̅α̅· καὶ

τὰ μ̅ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται

͵̅α̅χ̅. ταῦτα ὑφαιρῶ ἀπὸ

τῶν ͵̅α̅χ̅π̅α̅ ποδῶν· λοιπὸν

μένουσιν πόδες π̅α̅· ὧν

πλευρὰ τετραγωνικὴ γί-

νονται πόδες θ̅. νῦν ποιῶ

τὴν κάθετον ἐπὶ τὴν βάσιν·

γίνονται τ̅ξ̅· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γί-

νονται πόδες ρ̅π̅. ἔστω τὸ

ἐμβαδὸν ποδῶν ρ̅π̅.

Ἔστω τριγώνου ὀρθο-

γωνίου ἡ βάσις σχοινίων

δ̅ ἤτοι ὀργυιῶν μ̅, ἡ κά-

θετος ἤγουν ἡ πρὸς ὀρ-

θὰς σχοινίων γ̅ ἤτοι ὀρ-

γυιῶν λ̅, ἡ δὲ ὑποτείνουσα

σχοινίων ε̅ ἤτοι ὀργυιῶν

ν̅· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐπὶ

μὲν τῶν σχοινίων ποίει

οὕτως· λάμβανε τὸ 𐅵ʹ τῆς

βάσεως, τουτέστι τὰ β̅, καὶ

πολυπλασίαζε ἐπὶ τὰ γ̅ τῆς

καθέτου· γίνονται Ϛ̅· καὶ

ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρ-

θογωνίου τριγώνου σχοι-

νίων Ϛ̅. τούτων τὸ ἥμισυ·

γίνονται γ̅· καὶ ἔστι γῆς

μοδίων γ̅. ἐπὶ δὲ τῶν ὀρ-

γυιῶν λάμβανε ὁμοίως τὸ

ἥμισυ τῆς βάσεως, τουτέστι

τὰς κ̅ ὀργυιάς, καὶ πολυ-

πλασίαζε ἐπὶ τὰς λ̅ τῆς κα-

θέτου· γίνονται χ̅· καὶ ἔστι

τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογω-

νίου τριγώνου ὀργυιῶν χ̅.

τούτων μέρος διακοσιοστὸν

γίνεται γ̅· καὶ ἔστι καὶ οὕ-

τως γῆς μοδίων τριῶν. ἐν

παντὶ γὰρ μέτρῳ, εἰ μὲν

μετὰ σχοινίου γίνεται, τὰ

τοῦ πολυπλασιασμοῦ ἡμι-

σειαζόμενα ἀποτελοῦσι τὸν

μοδισμόν, εἰ δὲ μετὰ ὀρ-

γυιᾶς, αἱ τοῦ πολυπλα-

σιασμοῦ ὀργυιαὶ ὑπεξαι-

ρούμεναι ἐπὶ τῶν σ̅ ἀπο-

τελοῦσι τὸν μοδισμόν, μ̅

δὲ λιτρῶν οὐσῶν τῷ ἑνὶ

μοδίῳ ὀργυιῶν τε σ̅ ἐπι-

βάλλουσι μιᾷ ἑκάστῃ λίτρᾳ

ὀργυιαὶ πέντε.

Ἕτερον τρίγωνον ὀρ-

θογώνιον, οὗ ἡ μὲν βά-

σις σχοινίων η̅ ἤτοι ὀρ-

γυιῶν π̅, ἡ δὲ κάθετος

ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοι-

νίων Ϛ̅ ἤτοι ὀργυιῶν ξ̅, ἡ

δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων

ι̅ ἤτοι ὀργυιῶν ρ̅· εὑρεῖν

τὸ ἐμβαδόν. ἐπὶ τῶν σχοι-

νίων ποίησον οὕτως· λα-

βὼν τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως

ἤγουν τὰ δ̅ σχοινία πο-

λυπλασίασον ἐπὶ τὰ Ϛ̅ τῆς

καθέτου· γίνονται κ̅δ̅· καὶ

ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρ-

θογωνίου τριγώνου σχοι-

νίων κ̅δ̅. τούτων τὸ ἥμισυ·

γίνονται ι̅β̅· καὶ ἔστι γῆς

μοδίων ι̅β̅. ἐπὶ δὲ τῶν

ὀργυιῶν ποίησον οὕτως·

λαβὼν τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως

ἤγουν τὰς μ̅ ὀργυιὰς πο-

λυπλασίασον ἐπὶ τὰ ξ̅ τῆς

καθέτου οὕτως· μ̅ ξ̅ ͵̅β̅υ̅·

καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ

ὀρθογωνίου τριγώνου ὀρ-

γυιῶν ͵̅β̅υ̅. τούτων μέρος

διακοσιοστὸν γίνεται ι̅β̅·

καὶ ἔστι καὶ οὕτως γῆς

μοδίων ι̅β̅.

Ἰστέον δέ, ὡς παντὸς ὀρθογωνίου τριγώνου οἱ πολυ-

πλασιασμοὶ τῶν β̅ πλευρῶν τῆς ὀρθῆς γωνίας ἴσοι

εἰσὶ τῷ πολυπλασιασμῷ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης.

οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστωσαν τριγώνου ὀρθογωνίου

αἱ β̅ πλευραὶ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἡ μὲν μείζων σχοι-

νίων η̅, ἡ ἐπὶ τῆς βάσεως δηλαδή, ἡ δὲ Ϛ̅, τουτέστιν

ἡ πρὸς ὀρθάς· ἀπὸ τούτων εὑρεῖν τὸν ἀριθμὸν τῆς

ὑποτεινούσης. ποίησον οὕτως· πολυπλασίασον τὰ η̅

τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξ̅δ̅· καὶ τὰ Ϛ̅ τῆς κα-

θέτου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λ̅Ϛ̅. εἶτα σύνθες ἀμφοτέρων

τῶν πλευρῶν τοὺς πολυπλασιασμούς, ἤγουν τὰ ξ̅δ̅ καὶ

τὰ λ̅Ϛ̅· γίνονται ρ̅. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν·

γίνεται ι̅· καὶ ἔστιν ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων ι̅ [καὶ

ἐπὶ ἄλλων ὁμοίως ποίει].

Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων

ι̅Ϛ̅, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ι̅β̅, ἡ δὲ ὑποτείνουσα

σχοινίων κ̅· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ι̅Ϛ̅

τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ι̅β̅ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρ̅Ϟ̅β̅·

τούτων τὸ 𐅵ʹ· γίνονται Ϟ̅Ϛ̅· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ

ἐμβαδόν. τὸν δὲ μοδισμὸν εὑρεῖν· λαβὲ τὸ 𐅵ʹ τῶν Ϟ̅Ϛ̅·

γίνονται μ̅η̅· καὶ ἔστι γῆς μοδίων μ̅η̅. ἐὰν δὲ θέλῃς

[ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο πλευρῶν] τὴν

ὑποτείνουσαν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ ι̅Ϛ̅ τῆς βάσεως

ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σ̅ν̅Ϛ̅· καὶ τὰ ι̅β̅ τῆς πρὸς ὀρθὰς

ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ̅μ̅δ̅· ὁμοῦ υ̅· ὧν πλευρὰ τετρά-

γωνος κ̅· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ ὑποτείνουσα. ἐὰν

δὲ θέλῃς τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ κ̅

τῆς ὑποτεινούσης ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υ̅· ἐξ αὐτῶν

λαβὲ τὰ ι̅Ϛ̅ ποιῶν ἐφ' ἑαυτὰ [γίνονται] σ̅ν̅Ϛ̅· λοιπὰ

ρ̅μ̅δ̅· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ι̅β̅· τοσούτων

σχοινίων ἡ πρὸς ὀρθάς. ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν βάσιν εὑρεῖν,

ὁμοίως λαβὲ ἀπὸ τῶν υ̅ τὰ τῆς πρὸς ὀρθὰς ι̅β̅ γινό-

μενα ἐφ' ἑαυτὰ ρ̅μ̅δ̅· λοιπὰ σ̅ν̅Ϛ̅· ὧν πλευρὰ τετρά-

γωνος γίνεται ι̅Ϛ̅· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ βάσις.

ἐὰν δὲ ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων κ̅ καὶ θέλῃς ἐκ ταύτης

εὑρεῖν τὴν βάσιν καὶ τὴν πρὸς ὀρθάς, ποίει οὕτως· τὰ

κ̅ τῆς ὑποτεινούσης τετράκις· γίνονται π̅· ὧν τὸ εʹ·

γίνονται ι̅Ϛ̅· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ βάσις. ὁμοίως

καὶ τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν. τρισσάκις τὰ κ̅· γίνονται ξ̅·

τούτων τὸ εʹ· γίνονται ι̅β̅· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ

πρὸς ὀρθάς.

Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν χ̅,

ἡ δὲ κάθετος ὀργυιῶν λ̅· τούτου τήν τε βάσιν καὶ τὴν

ὑποτείνουσαν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· δὶς τὸ ἐμβαδόν·

γίνονται ͵̅α̅σ̅. ταῦτα ἀνάλυσον παρὰ τὴν κάθετον· γί-

νονται μ̅· τοσούτων ἐστὶν ὀργυιῶν ἡ βάσις. ὁμοίως

καὶ τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν. πολυπλασίαζε τὴν κάθετον

ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται Ϡ̅· καὶ τὴν βάσιν ἐφ' ἑαυτήν·

γίνονται ͵̅α̅χ̅· ὁμοῦ γίνονται ͵̅β̅φ̅· ὧν πλευρὰ τετράγωνος

γίνεται ν̅· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστιν ἡ ὑποτείνουσα.

{Μέθοδος Πυθαγόρου περὶ τριγώνου ὀρθογωνίου.}

Ἐὰν ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι

κατὰ τὴν Πυθαγόρειον μέθοδον ἀπὸ πλήθους περιττοῦ,

ποιήσεις οὕτως· δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν ε̅·

ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κ̅ε̅· ἀπὸ τούτων ἄφελε μο-

νάδα μίαν· λοιπὰ κ̅δ̅· τούτων τὸ 𐅵ʹ ι̅β̅· ταῦτα ἡ βάσις.

πρόσθες τῇ βάσει μονάδα μίαν· γίνονται ι̅γ̅· τοσού-

των ἡ ὑποτείνουσα.

Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν τοῦ αὐτοῦ τριγώνου. λαβὲ

τῶν ι̅β̅ τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ· γίνονται Ϛ̅· ταῦτα ἐπὶ

τὰ ε̅ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται λ̅· καὶ ἔσται τὸ ἐμ-

βαδὸν αὐτοῦ μονάδων τριάκοντα.

Ἐὰν δὲ ἐπιταγῇς ἄξαι κάθετον ἀπὸ τῆς ὀρθῆς

γωνίας ἐπὶ τὴν ὑποτείνουσαν, πολυπλασίαζε τὰ ε̅ τῆς

πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὰ ι̅β̅ τῆς βάσεως· γίνονται ἑξήκοντα.

ταῦτα ἀνάλυσον παρὰ τὰ ι̅γ̅ τῆς ὑποτεινούσης· γίνονται

δ̅ 𐅵ʹ ιγʹ κϚʹ ἤτοι μονάδες δ̅ καὶ λεπτὰ ιγʹ ιγʹ ὀκτώ·

τοσούτου ἀριθμοῦ ἡ κάθετος.

Τὴν δὲ ἀποτομὴν αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίησον οὕτως·

τὰ ι̅γ̅ τῆς ὑποτεινούσης ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ̅ξ̅θ̅· καὶ

τὰ ε̅ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κ̅ε̅· ὁμοῦ

ρ̅Ϟ̅δ̅. ἀπὸ τούτων λαβὲ τὰ ι̅β̅ τῆς βάσεως ποιῶν ἐφ'

ἑαυτά· γίνονται ρ̅μ̅δ̅· λοιπὰ ν̅· ὧν ἥμισυ γίνεται κ̅ε̅.

ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ ι̅γ̅ τῆς ὑποτεινούσης· γίνονται

α̅ 𐅵ʹ γʹ ιγʹ οηʹ ἤτοι μονὰς μία καὶ λεπτὰ ιγʹ ιγʹ ι̅β̅·

τοσούτου ἡ ἀποτομὴ τοῦ ἥττονος τμήματος. ταῦτα

ἆρον ἀπὸ τῶν ι̅γ̅· λοιπὰ ι̅α̅ ιγʹ ἤτοι μονάδες ἕνδεκα

καὶ λεπτὸν ιγʹ α̅· τοσούτου ἡ ἀποτομὴ καὶ τοῦ μεί-

ζονος τμήματος.

Τὸ δὲ ἐμβαδὸν αὐτοῦ ἀπὸ τούτων εὑρεῖν. λαβὲ

τῶν ι̅γ̅ τῆς ὑποτεινούσης τὸ ἥμισυ· γίνονται Ϛ̅ 𐅵ʹ· ταῦτα

πολυπλασίασον ἐπὶ τὸν ἀριθμὸν τῆς ἀχθείσης καθέτου,

τουτέστιν ἐπὶ τὰ δ̅ 𐅵ʹ ιγʹ κϚʹ· γίνονται τριάκοντα. ἔσται

οὖν καὶ οὕτως τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ μονάδων τριάκοντα.

{Μέθοδος Πλάτωνος περὶ τριγώνου ὀρθογωνίου.}

Ἐὰν ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι

κατὰ Πλάτωνα ἀπὸ πλήθους ἀρτίου, ποίησον οὕτως·

δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν η̅· τούτων τὸ 𐅵ʹ·

γίνονται δ̅· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ι̅Ϛ̅. ἀφαίρει ἀπὸ

τούτων μονάδα μίαν· λοιπὰ ι̅ε̅· τοσούτου ἡ βάσις.

πρόσθες τῇ βάσει δυάδα· γίνονται ι̅ζ̅· ταῦτα ἀπόδος

τῇ ὑποτεινούσῃ, καὶ συνίσταται.

Τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε

ἀεὶ τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν πρὸς ὀρθὰς ἢ τὸ 𐅵ʹ τῆς

πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν βάσιν· καὶ τὸ ἀπὸ τοῦδε συναγό-

μενον γίνωσκε εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τρι-

γώνου. οἷον ἔστω τριγώνου ὀρθογωνίου ἡ βάσις σχοι-

νίων κ̅, ἡ κάθετος ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ι̅ε̅

καὶ ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων κ̅ε̅· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμ-

βαδόν. ποίησον οὕτως· τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἤγουν

τὰ δέκα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ι̅ε̅ τῆς καθέτου· γί-

νονται ρ̅ν̅· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ

𐅵ʹ· γίνονται ο̅ε̅· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ο̅ε̅.

Δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ἡνωμένα, ὧν αἱ βάσεις

ἀνὰ σχοινίων ε̅, αἱ ὑποτείνουσαι ἀνὰ σχοινίων ι̅γ̅, ἡ

δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ι̅β̅· εὑρεῖν αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν.

ποίει οὕτως· τὰ ι̅ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ι̅β̅ τῆς πρὸς

ὀρθάς· γίνονται ρ̅κ̅· ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ξ̅· τοσούτων

σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται λ̅· καὶ

ἔστι γῆς μοδίων λ̅.

Ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς βάσεως τὴν κάθετον εὑρεῖν,

ποίει οὕτως· τῶν ι̅ τῆς βάσεως τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ε̅· ταῦτα

ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κ̅ε̅· καὶ τὰ ι̅γ̅ τῆς ὑποτεινούσης

ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ̅ξ̅θ̅. ἐξ ὧν λαβὲ τὰ κ̅ε̅· λοιπὰ

ρ̅μ̅δ̅· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ι̅β̅· τοσούτων σχοι-

νίων ἐστὶν ἡ κάθετος.

{Περὶ τριγώνων ἰσοπλεύρων.}

Παντὸς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν.

ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε ἀεὶ τὴν α̅ τῶν πλευρῶν

ἐφ' ἑαυτὴν καὶ τοῦ ἀναβιβαζομένου ἀπὸ τοῦ τοιούτου

πολυπλασιασμοῦ λάμβανε μέρος γʹ καὶ ιʹ· καὶ ἔστι τὸ

ἐμβαδὸν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου. οἷον ὡς ἐν παρα-

δείγματι ἔστω τριγώνου ἰσοπλεύρου ἑκάστη τῶν πλευ-

ρῶν σχοινίων ι̅· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως·

τὰ ι̅ τῆς α̅ πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ̅· ὧν τὸ γʹ·

γίνονται λ̅γ̅ γʹ· καὶ τὸ ιʹ· γίνονται ι̅· σύνθες τὰ λ̅γ̅ γʹ

καὶ τὰ ι̅· γίνονται μ̅γ̅ γʹ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμ-

βαδὸν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.

Τριγώνου δὲ ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον εὑρεῖν. ποίει

οὕτως· ὕφελε ἀεὶ τὸ ιʹ καὶ λʹ τῆς πλευρᾶς καὶ τὸ

λοιπὸν γίνωσκε εἶναι τὸν ἀριθμὸν τῆς καθέτου. εἶτα

πολυπλασίαζε τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον· καὶ

τὸ ἀπὸ τοῦ πολυπλασιασμοῦ συναγόμενόν ἐστι τὸ ἐμ-

βαδόν. οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστω τριγώνου ἰσο-

πλεύρου ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ι̅. μιᾶς

δὲ πλευρᾶς τὸ ιʹ· γίνεται α̅· καὶ τὸ λʹ· γίνεται γʹ·

ταῦτα ἤγουν τὸ α̅ γʹ ὑπέξαιρε ἀπὸ τῶν ι̅· λοιπὰ η̅ 𐅷ʹ·

τοσούτου ἀριθμοῦ ἐστιν ἡ κάθετος.

Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὸ 𐅵ʹ τῆς

βάσεως ἤγουν τὰ πέντε σχοινία πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ

η̅ 𐅷ʹ τῆς καθέτου· γίνονται μ̅γ̅ γʹ· καὶ ἔστιν καὶ οὕτως

τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων μ̅γ̅ γʹ. ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται κ̅α̅ 𐅷ʹ·

καὶ ἔστι γῆς μοδίων κ̅ πρὸς τῷ ἑνὶ καὶ λιτρῶν εἰκοσιὲξ

διμοίρου.

Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευ-

ρῶν σχοινίων ι̅β̅· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον

τὰ ι̅β̅ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ̅μ̅δ̅·

τούτων τὸ γʹ· γίνονται μ̅η̅· καὶ τὸ ιʹ ι̅δ̅ γʹ ιεʹ· ὁμοῦ

ξ̅β̅ γʹ ιεʹ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. τὴν

δὲ κάθετον αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἄφελε

ὁμοίως τὸ ιʹ λʹ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν· καὶ τὸ λοιπόν

ἐστιν ὁ ἀριθμὸς τῆς καθέτου. οἷον ἔστω ἑκάστη τῶν

πλευρῶν ι̅β̅· μιᾶς δὲ πλευρᾶς τὸ ιʹ· γίνεται α̅ εʹ· καὶ

τὸ λʹ· γίνεται γʹ ιεʹ. ταῦτα συνθεὶς εὑρήσεις α̅ 𐅵ʹ ιʹ·

ταῦτα ὑπέξαιρε ἀπὸ τῶν ι̅β̅· λοιπὰ ι̅ γʹ ιεʹ· τοσούτων

σχοινίων ἡ κάθετος. εἶτα πολυπλασίασον τὸ 𐅵ʹ τῆς

βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον, τὰ Ϛ̅ ἐπὶ τὰ ι̅ γʹ ιεʹ· καὶ οὕτως

γίνονται ξ̅β̅ γʹ ιεʹ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσ-

ούτων. ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται λ̅α̅ εʹ· καὶ ἔστιν γῆς μοδίων

λ̅α̅ καὶ λιτρῶν η̅.

Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ

ἀνὰ σχοινίων λ̅· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον

οὕτως· τὰ λ̅ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ̅·

ὧν τὸ γʹ καὶ ιʹ· γίνονται τ̅Ϟ̅· τοσούτων σχοινίων τὸ

ἐμβαδόν.

Ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ ἄλλως εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν, λαβὲ

τῶν λ̅ τὸ γʹ καὶ τὸ ιʹ· γίνονται ι̅γ̅· ταῦτα ἐπὶ τὴν

πλευρὰν ἤγουν τὰ λ̅· γίνονται τ̅Ϟ̅· τοσούτων ἔσται

σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.

Ἐὰν θέλῃς καὶ ἄλλως τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, τὰ λ̅ ἐφ'

ἑαυτά· γίνονται Ϡ̅· ταῦτα ἐπὶ τὰ ι̅γ̅· γίνονται α ͵̅α̅ψ̅·

ὧν τὸ λʹ τ̅Ϟ̅· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.

[Ἔτι δὲ καὶ ἄλλως εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. λαβὲ τὰ

λ̅ τῆς μιᾶς πλευρᾶς καὶ πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ κ̅Ϛ̅ τῆς

καθέτου· γίνονται ψ̅π̅· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται τ̅Ϟ̅· τοσ-

ούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.]

Ἐὰν δὲ θέλῃς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον

εὑρεῖν· ἔστι δὲ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ σχοινίων λ̅· ποίει

οὕτως· τὴν μίαν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται Ϡ̅·

ὧν τὸ δʹ· γίνονται σ̅κ̅ε̅· λοιπὰ χ̅ο̅ε̅· ὧν πλευρὰ τετρά-

γωνος κ̅Ϛ̅ ὡς σύνεγγυς· ἔσται ἡ κάθετος σχοινίων κ̅Ϛ̅.

[Ἄλλως εἰς τοῦτο. λαμβάνω τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ·

γίνονται ι̅ε̅· ταῦτα πολυπλασιάζω ἐφ' ἑαυτά· γίνονται

σ̅κ̅ε̅. καὶ τὰ λ̅ τοῦ σκέλους ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ̅·

ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ σ̅κ̅ε̅· λοιπὰ χ̅ο̅ε̅· ὧν πλευρὰ

τετραγωνικὴ ὡς σύνεγγυς γίνεται κ̅Ϛ̅· ἔσται οὖν ἡ

κάθετος σχοινίων εἰκοσιέξ.] ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ

τὴν βάσιν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ λ̅· γίνονται ψ̅π̅· ὧν τὸ

𐅵ʹ τ̅Ϟ̅· καὶ μένει αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τ̅Ϟ̅. τού-

των πάλιν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται ρ̅Ϟ̅ε̅· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ρ̅Ϟ̅ε̅.

{Περὶ τριγώνων ἰσοσκελῶν.}

Τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ

ἡ κάθετος ποδῶν κ̅, ἡ δὲ

βάσις ποδῶν ι̅β̅· εὑρεῖν

αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ

οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν

κάθετον· γίνονται πόδες

σ̅μ̅· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται

πόδες ρ̅κ̅. ἔστω τὸ ἐμβαδὸν

ποδῶν ρ̅κ̅.

Τριγώνου ἰσοσκελοῦς

ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν

ποδῶν κ̅ε̅, ἡ δὲ βάσις πο-

δῶν ι̅δ̅· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ

ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον.

ποιῶ οὕτως· ἑκάστης πλευ-

ρᾶς ποίησον τετράγωνον·

γίνονται πόδες χ̅κ̅ε̅· λαμ-

βάνω τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως·

γίνονται πόδες ζ̅· ταῦτα

ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες

μ̅θ̅· λοιπὸν μένουσι πόδες

φ̅ο̅Ϛ̅· ὧν πλευρὰ τετρα-

γωνικὴ γίνεται ποδῶν κ̅δ̅.

καὶ τὰ ζ̅ ἐπὶ τὴν κάθετον

πόδες ρ̅ξ̅η̅· τοσούτων ἔστω

τὸ ἐμβαδόν.

Τρίγωνον ἰσοσκελὲς με-

τρεῖται οὕτως· ἔστω τρι-

γώνου ἰσοσκελοῦς ἑκάστη

τῶν ἴσων πλευρῶν σχοι-

νίων ε̅, ἡ δὲ βάσις σχοι-

νίων Ϛ̅· εὑρεῖν τὴν κά-

θετον. ποίησον οὕτως·

πολυπλασίασον τὴν μίαν

τῶν ἴσων πλευρῶν ἐφ'

ἑαυτήν· γίνονται κ̅ε̅· καὶ

τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἤγουν

τὰ γ̅ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται

θ̅. εἶτα ὑπέξελε τὰ θ̅ ἀπὸ

τῶν κ̅ε̅· λοιπὰ ι̅Ϛ̅· ὧν πλευ-

ρὰ τετραγωνικὴ δ̅· τοσού-

των σχοινίων ἡ κάθετος.

τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν.

ποίησον οὕτως· τὸ 𐅵ʹ τῆς

βάσεως πολυπλασίασον ἐπὶ

τὴν κάθετον ἤγουν τὰ γ̅

ἐπὶ τὰ δ̅· γίνονται ι̅β̅· καὶ

ἔστιν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν

σχοινίων ι̅β̅. ὧν τὸ 𐅵ʹ·

γίνονται Ϛ̅· καὶ ἔστι γῆς

μοδίων Ϛ̅·

Ὡσαύτως ἔστω καὶ ἑτέρου τριγώνου ἰσοσκελοῦς

ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ε̅, ἡ δὲ βάσις

σχοινίων η̅· εὑρεῖν τὴν κάθετον. ποίησον οὕτως·

πολυπλασίασον τὴν μίαν τῶν ἴσων πλευρῶν ἐφ' ἑαυ-

τήν· γίνονται κ̅ε̅· καὶ τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως τὰ δ̅ ἐφ' ἑαυτά·

γίνονται ι̅Ϛ̅. ταῦτα ὑπέξελε ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν πλευρὰν

πολυπλασιασμοῦ ἤγουν τῶν κ̅ε̅· λοιπὰ θ̅· ὧν πλευρὰ

τετραγωνικὴ γίνεται γ̅· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος.

τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. πολυπλασίασον τὴν κάθετον

ἐπὶ τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ δ̅· καὶ γίνονται

ι̅β̅· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. ὧν τὸ

𐅵ʹ· γίνονται Ϛ̅· καὶ ἔστι γῆς μοδίων Ϛ̅. τὸ τοιοῦτον

ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ πρὸ αὐτοῦ.

Ἕτερον τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ ἑκάστη τῶν ἴσων

πλευρῶν σχοινίων ι̅, ἡ δὲ βάσις σχοινίων ι̅β̅· εὑρεῖν

αὐτοῦ τὴν κάθετον. πολυπλασίασον τὴν μίαν τῶν ἴσων

πλευρῶν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ρ̅· καὶ τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως

ἤγουν τὰ Ϛ̅ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λ̅Ϛ̅. ταῦτα ὑπέξελε ἀπὸ

τοῦ κατὰ τὴν πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ ἤγουν τῶν ρ̅·

λοιπὰ ξ̅δ̅· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται η̅· τοσούτων

σχοινίων ἐστὶν ἡ κάθετος. εἶτα πολυπλασίασον τὰ

η̅ τῆς καθέτου ἐπὶ τὸ 𐅵ʹ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ Ϛ̅·

γίνονται μ̅η̅· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων μ̅η̅. ὧν τὸ

𐅵ʹ· γίνονται κ̅δ̅· καὶ ἔστι γῆς μοδίων κ̅δ̅.

Ὁμοίως ἔστω καὶ ἑτέρου τριγώνου ἰσοσκελοῦς ἑκάστη

τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ι̅, ἡ δὲ βάσις σχοινίων

ι̅Ϛ̅· εὑρεῖν τὴν κάθετον. πολυπλασίασον τὰ ι̅ τῆς μιᾶς

τῶν ἴσων πλευρῶν ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ̅· καὶ τὸ 𐅵ʹ

τῆς βάσεως ἤγουν τὰ η̅ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξ̅δ̅. ταῦτα

ἀφαίρει ἀπὸ τῶν ρ̅· λοιπὰ λ̅Ϛ̅· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ

Ϛ̅· τοσούτων ἐστὶν ἡ κάθετος. εἶτα πολυπλασίασον τὸ

𐅵ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὰ η̅ ἐπὶ τὰ Ϛ̅·

γίνονται μ̅η̅· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων μ̅η̅. ὧν τὸ

𐅵ʹ· γίνονται κ̅δ̅· καὶ ἔστιν γῆς μοδίων κ̅δ̅. καὶ τὸ παρὸν

ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ πρὸ αὐτοῦ τριγώνῳ.

Ἕτερον τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοι-

νίων ι̅δ̅, τὰ δὲ σκέλη ἀνὰ σχοινίων κ̅ε̅· εὑρεῖν αὐτοῦ

τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ·

γίνονται ζ̅· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μ̅θ̅· καὶ τὰ κ̅ε̅

ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χ̅κ̅ε̅· ἐξ ὧν λαβὲ τὰ μ̅θ̅· λοιπὰ

φ̅ο̅Ϛ̅· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται κ̅δ̅· τοσούτων

ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος. ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ τὸ ἐμ-

βαδὸν εὑρεῖν, λαβὲ τῶν ι̅δ̅ τῆς βάσεως τὸ 𐅵ʹ· γίνονται

ζ̅· ταῦτα ἐπὶ τὰ κ̅δ̅ τῆς καθέτου ἤγουν τῆς πρὸς ὀρθάς·

γίνονται ρ̅ξ̅η̅· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου

ἰσοσκελοῦς τριγώνου.

Ἔστω καὶ ἑτέρου ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἡ βάσις

σχοινίων μ̅η̅, τὰ δὲ σκέλη ἀνὰ σχοινίων κ̅ε̅· εὑρεῖν

αὐτοῦ τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς βάσεως τὸ

𐅵ʹ· γίνονται κ̅δ̅· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται φ̅ο̅Ϛ̅· καὶ

τὰ κ̅ε̅ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χ̅κ̅ε̅· ἐξ ὧν λαβὲ τὰ φ̅ο̅Ϛ̅·

λοιπὰ μ̅θ̅· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ζ̅· τοσούτων

ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος. τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. λαβὲ

τῶν μ̅η̅ τῆς βάσεως τὸ 𐅵ʹ· γίνονται κ̅δ̅· ταῦτα ἐπὶ τὰ

ζ̅ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρ̅ξ̅η̅· τοσούτων ἔσται σχοι-

νίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ τριγώνου. ὧν τὸ 𐅵ʹ·

γίνονται π̅δ̅· καὶ ἔστι γῆς μοδίων π̅δ̅. καὶ τὸ παρὸν

ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ πρὸ αὐτοῦ.

{Περὶ τριγώνων σκαληνῶν.}

Ἔστω τρίγωνον σκαληνὸν ὀξυγώνιον, οὗ ἡ μὲν

ἥττων πλευρὰ σχοινίων ι̅γ̅, ἡ δὲ βάσις σχοινίων ι̅δ̅, ἡ

δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ι̅ε̅· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον.

ποίει οὕτως· πολυπλασίασον τὰ ι̅γ̅ τῆς ἥττονος πλευ-

ρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ̅ξ̅θ̅· καὶ τὰ ι̅δ̅ τῆς βάσεως

ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ̅Ϟ̅Ϛ̅· καὶ τὰ ι̅ε̅ τῆς ὑποτεινούσης

ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σ̅κ̅ε̅. εἶτα σύνθες τὸν τῆς βάσεως

πολυπλασιασμὸν καὶ τὸν τῆς ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ

ρ̅Ϟ̅Ϛ̅ καὶ τὰ σ̅κ̅ε̅· γίνονται υ̅κ̅α̅· ἀφ' ὧν ἀφαίρει τὸν

πολυπλασιασμὸν τῆς ἥττονος πλευρᾶς ἤγουν τὰ ρ̅ξ̅θ̅·

λοιπὰ σ̅ν̅β̅· ὧν 𐅵ʹ γίνεται ρ̅κ̅Ϛ̅. ταῦτα μέρισον παρὰ

τὰ ι̅δ̅ τῆς βάσεως· γίνονται θ̅· τοσούτων σχοινίων ἡ

ἀποτομή. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται π̅α̅· τὰ π̅α̅ ἀφαίρει

ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν ὑποτείνουσαν πλευρὰν πολυπλα-

σιασμοῦ, τουτέστι τῶν σ̅κ̅ε̅· λοιπὰ ρ̅μ̅δ̅· ὧν πλευρὰ τε-

τραγωνικὴ ι̅β̅· τοσούτων ἐστὶ σχοινίων ἡ κάθετος.

Ἄλλως. σύνθες τὸν τῆς βάσεως πολυπλασιασμὸν

καὶ τὸν τῆς ἥττονος πλευρᾶς ἤγουν τὰ ρ̅Ϟ̅Ϛ̅ καὶ τὰ ρ̅ξ̅θ̅·

γίνονται τ̅ξ̅ε̅· ἀφ' ὧν ἀφαίρει τὸν τῆς ὑποτεινούσης

πλευρᾶς πολυπλασιασμὸν ἤγουν τὰ σ̅κ̅ε̅· λοιπὰ ρ̅μ̅·

τούτων τὸ 𐅵ʹ ο̅· ὧν τὸ ιδʹ ε̅· τοσούτων σχοινίων ἡ

ἀποτομή. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κ̅ε̅· τὰ κ̅ε̅ ἀφαίρει

ἀπὸ τῶν ρ̅ξ̅θ̅· λοιπὰ ρ̅μ̅δ̅· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γί-

νεται ι̅β̅· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος.

Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· λαβὲ τὸ 𐅵ʹ

τῆς βάσεως· γίνονται ζ̅· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν

κάθετον ἤγουν ἐπὶ τὰ ι̅β̅· γίνονται π̅δ̅· τοσούτων ἔσται

τὸ ἐμβαδὸν τοῦ σκαληνοῦ τριγώνου. ὧν τὸ 𐅵ʹ· γίνονται

μ̅β̅· καὶ ἔστι γῆς μοδίων μ̅β̅.

Ἄλλως γίνεται ἡ ἀναμέτρησις ἐπὶ τοῦ τοιούτου τρι-

γώνου, οὗ ἡ βάσις σχοινίων ι̅γ̅, ἡ μείζων πλευρὰ σχοι-

νίων ι̅ε̅, ἡ ἐλάττων σχοινίων ι̅δ̅· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν

κάθετον. ποίησον οὕτως· σύνθες τὸν τῆς βάσεως

πολυπλασιασμὸν καὶ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν ἤγουν τὰ

ρ̅ξ̅θ̅ καὶ τὰ ρ̅Ϟ̅Ϛ̅· γίνονται τ̅ξ̅ε̅· ἀπὸ τούτων ὑπέξελε τὸν

πολυπλασιασμὸν τῆς ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ σ̅κ̅ε̅· λοιπὰ

ρ̅μ̅· τούτων τὸ 𐅵ʹ ο̅. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ ι̅γ̅ τῆς

βάσεως· γίνονται μονάδες ε̅ καὶ ε̅ ιγʹ ιγʹ· τοσούτων

σχοινίων ἡ ἀποτομή. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μο-

νάδες κ̅θ̅ παρὰ ιγʹ τὸ ιγʹ. πολυπλασιάζεται οὕτως·

ε̅ ε̅ κ̅ε̅· καὶ πεντάκις τὰ ε̅ ιγʹ ιγʹ κ̅ε̅ ιγʹ ιγʹ· καὶ αὖθις

ε̅ ιγʹ ιγʹ τῶν ε̅ μονάδων κ̅ε̅ ιγʹ ιγʹ· καὶ ε̅ ιγʹ ιγʹ τῶν

ε̅ ιγʹ ιγʹ κ̅ε̅ ιγʹ ιγʹ τῶν ιγʹ ιγʹ, γινόμενα καὶ ταῦτα

ιγʹ ιγʹ β̅ παρὰ ιγʹ τὸ ιγʹ· ὁμοῦ μονάδες κ̅ε̅ καὶ λεπτὰ

ιγʹ ιγʹ ν̅β̅ παρὰ ιγʹ τὸ ιγʹ, γινόμενα καὶ ταῦτα μο-

νάδες δ̅ παρὰ ιγʹ τὸ ιγʹ, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες κ̅θ̅ παρὰ

ιγʹ τὸ ιγʹ. ταῦτα ὑπέξελε ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν παρα-

κειμένην πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ, τουτέστιν ἀπὸ τῶν

ρ̅Ϟ̅Ϛ̅· λοιπαὶ μονάδες ρ̅ξ̅ζ̅…

…