Sphaerica

ΟΡΟΙ.

α′. Σφαῖρά ἐστι σχῆμα στερε ὸν ὑπὸ μιᾶς ἐπιφανείας περιεχόμενον, πρὸς ἣν, ἀφ’ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων, πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

β′. Κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ τοιοῦτο σημεῖόν ἐστιν.

γ′. Ἄξων δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη, καὶ περατουμένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, περὶ ἣν μένουσαν εὐθεῖαν ἡ σφαῖρα στρέφεται.

δ′. Πόλοι δὲ τῆς σφαίρας εἰσὶ τὰ πέρατα τοῦ ἄξονος (α), δηλα δὴ τῆς διαμέτρου.

ε′. Κύκλου πόλος ἐν σφαίρᾳ ἐστὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἀφ’ οὗ πᾶσαι προσπίπτουσαι εὐθεῖαι πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

Ϛ′. Ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδ ον ὁμοίως κεκλίσθαι λέγεται, καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον, ὅταν τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων αἱ πρὸς ὀρθὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων πρὸς τοῖς αὐτοῖς σημείοις ἴσας γωνίας περιέχωσιν.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ α′. ΘΕΩΡΗΜΑ.

Ἐὰν σφαιρικὴ ἐπιφάνεια ἐπιπέδῳ τινὶ τμηθῇ, ἡ γενομένη ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν.

Σφαιρικὴ γὰρ ἐπιφάνεια ἐπιπέδῳ τινὶ τετμήσθω, ποιείσθω δὲ καὶ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὴν ΑΒΓ γραμμήν· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν.

Εἰ μὲν οὖν τὸ τέμνον ἐπίπεδον διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας· φανερὸν, ὅτι ἡ ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν· αἱ γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί καί ἐστιν ἡ ΑΒΓ γραμμὴ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὥστε αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. καὶ ὑπόκειται τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον διὰ κέντρου τῆς σφαίρας ὄν· ὥτε ἡ ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν, ἧς κέντρον τὸ αὐτὸ, ὃ καὶ τῆς σφαίρας.

Πόρισμα α′. Καὶ ἐκ τούτου φανερὸν, ὅτι τοῦ διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὄντος κύκλου τὸ αὐτὸ κέντρον ἐστὶ καὶ τῆς σφαῖρας (α).

Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω τὸ τέμνον ἐπίπεδον διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, τὸ δὲ κέντρον τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Δ σημεῖον· καὶ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΔΕ, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀπό του Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, ΕΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΒ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΔ ἴσα τὰ ἀπὸ ΑΕ, ΕΔ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΕ, ΕΔ, ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν πρὸς τῷ Ε γωνιῶν· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΔ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΕ, ΕΔ κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ.

Ὁμοίως δὴ b δείξομεν, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἡ ἄρα ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν, ἧς κέντρον τὸ Ε.

Πόρισμα β′. Ἐκ δὴ c τούτου φανερὸν, ὅτι ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθε τος ἀγομένη ἐπὶ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ κύκλου.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ β′. ΠΡΟΒΛΗΜΑ.

Τῆς δοθείσης σφαίρας τὸ κέντρον εὑρεῖν.

Ἔστω δοθεῖσα σφαῖρα, δεῖ δὲ τὸ αὐτῆς κέντρον εὑρεῖν.

Τετμήσθω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα ἐπιπέδῳ τινὶ, ποιήσει δὲ τομὴν κύκλον. Ποιείτω τὸν ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον, καὶ ἔστω τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΔΕ, καὶ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Ε, Ζ, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΖ δίχα κατὰ τὸ Η σημείον· λέγω, ὅτι τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας.

Μὴ γὰρ, ἀλλ’, εἰ δυνατὸν, ἔστω τὸ Θ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Κ σημεῖον· τὸ ἄρα Κ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου· ἀλλὰ καὶ τὸ Δ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλο πλὴν τὸ Η. Τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας.

Πόρισμα. Ἐκ δὴ a τούτου φανερὸν, ὅτι ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τῷ ἐπιπέδῳ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα ἀνασταθῇ, ἐπὶ τῆς ἀνασταθείσης τὸ κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ γ′. ΘΕΩΡ.

Σφαῖρα ἐπιπέδου μὴ τέμνοντος οὐχ b ἅπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα, ἢ ἕν.

Εἰ γὰρ δυνατὸν, σφαῖρα ἐπιπέδου μὴ τέμνοντος ἁπτέσθω κατὰ πλείονα σημεῖα τὰ Α, Β. καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΑΓ, ΒΓ ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κύκλου περιφέρειαν, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. Ποιείτω οὖν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΔΑΒ κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν τὴν ΕΑΒΖ.

Καὶ ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον οὐ τέμνει τὴν σφαῖραν, ἔστι δὲ ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ὁ κύκλος, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ ἡ εὐθεῖα, οὐδὲ τὸν ΔΑΒ κύκλον ἄρα τέμνει ἡ ΕΑΒΖ εὐθεῖα. Ἐπεὶ οὖν κυκλου τοῦ ΔΑΒ ἐπὶ τῆς περιφερείας εἴληπται δύο σημεῖα τυχόντα τὰ Α, Β, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου ΔΑΒ, ἀλλὰ καὶ ἐκτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Σφαῖρα ἄρα ἐπιπέδου μὴ τέμνοντος οὐχ ἅψεται κατὰ πλείονα σημεῖα, ἢ ἕν.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ δ′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν σφαῖρα ἐπιπέδου ἅπτηται μὴ τέμνοντος, ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον.

Σφαῖρα γὰρ ἐπιπέδου τινὸς ἁπτέσθω μὴ τέμνοντος κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Β σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΑ λέγω, ὅτι ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ἐπίπεδον.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον, τομὴν δὲ ποιήσει ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. Ποιείτω οὖν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΑΓΔ κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ τὴν ΕΑΖ εὐθεῖαν. Πάλιν δὲ διὰ τῆς ΑΒ ἕτερον ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω, καὶ ποιείτω τὴν τομὴν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΑΘ κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ τὴν ΚΑΛ εὐθεῖαν.

Καὶ ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον ἐφάπτεται τῆς σφαίρας, καὶ ἡ ΕΑΖ ἄρα εὐθεῖα ἐφάπτεται τοῦ ΑΓΔ κύκλου. Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΓΔ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΑΖ κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἀπὸ δὲ τοῦ Α ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπέζευκται ἡ ΑΒ, ἡ ΑΒ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΕΑΖ, καὶ φανερὸν, ὅτι τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΓΔ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐκβέβληται διὰ τῆς ΒΑ, οὔσης ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ἐπίπεδον τὸ τοῦ ΑΓΔ κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐπὶ τὴν ΚΑΛ κάθετός ἐστιν ἡ ΒΑ. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΒΑ δύο εὐθείαις ταῖς ΕΖ, ΚΛ τεμνούσαις ἀλλήλας ἐπὶ τῆς τομῆς ὀρθὴ ἐφέστηκε, καὶ τῷ δι’ αὐτῶν .ἄρα ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΒΑ. Τὸ δὲ διὰ τῶν ΕΖ, ΚΛ ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ἐφαπτόμενον· ἡ ΑΒ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ἐφαπτόμενον ἐπίπεδον τῆς σφαίρας.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ε′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν σφαῖρα ἐπιπέδου ἅπτηται μὴ τέμνοντος, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῇ εὐθεῖα, ἐπὶ τῆς ἀνασταθείσης ἔσται τὸ κέντρον τῆς σφαίρας.

Σφαῖρα γὰρ ἐπιπέδου ἁπτέσθω μὴ τέμνοντος κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΒ· λέγω, ὅτι ἐπὶ τῆς ΑΒ ἐστι τὸ κέντρον τῆς σφαίρας.

Μὴ γὰρ, ἀλλ’, εἰ δυνατὸν, ἔστω τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΑ.

Ἐπεὶ οὖν σφαῖρα ἐπιπέδου ἅπτεται μὴ τέμνοντος κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὴν ἁφὴ ἐπέζευκται ἡ ΓΑ, ἡ ΓΑ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ἐπίπεδον· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΑ ὀρθὴ πρὸς τὸ αὐτὸ ἐπίπεδον· ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρα σημείου τοῦ Α τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὑποκειμένῳ δύο πρὸς ὀρθὰς ἀνιστάμεναί εἰσιν αἱ ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα τὸ Γ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλο, πλὴν τὸ ἐπὶ τῆς ΒΑ. Ἐπὶ τῆς ΒΑ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ϛ′. Α. ΘΕΩΡ.

Τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας μέγιστοί εἰσι· τῶν δ’ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ἑκατέρωθεν τοῦ κέντρου ἴσοι εἰσὶν, οἱ δὲ μεῖζον ἐλάσσονες.

Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, καὶ ὁ μὲν ΓΔ ἔστω διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, οἱ δὲ ΑΒ, ΕΖ πρότερον ἴσον ἀπεχέτωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου· λέγω, ὅτι μέγιστος μέν ἐστιν ὁ ΓΔ, ἴσοι δέ εἰσιν οἱ ΑΒ, ΕΖ.

Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Η σημεῖον, τὸ αὐτὸ ἄρα ἐστὶ καὶ τοῦ ΓΔ κύκλου· καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η σημείου ἐπὶ τῶν ΑΒ, ΕΖ κύκλων ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΘ, ΗΚ, καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς τῶν κύκλων ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Θ , Κ σημεῖα· τὰ Θ, Κ ἄρα σημεῖα κέντρα ἐστὶ τῶν ΑΒ, ΕΖ κύκλων. Ἐκβεβλήθωσαν ἀπὸ τῶν Θ, Η, Κ ἐπὶ τοὺς κύκλους εὐθεῖαι αἱ ΘΛ, ΗΜ, ΚΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΛ, ΗΝ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΘ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ a ΑΒ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς, καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒ κύκλου ἐπιπέδῳ, ὀρθὰς γωνίας ποιεῖ. Ἄπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΘΛ, οὖσα ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΘΗ γωνία. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΗΚΝ ὀρθή ἐστι. Καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὐπὸ ΗΟΛ, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΛΗΘ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΘΗ τῆς ὑπὸ ΛΗΘ, πλευρὰ ἄρα ἡ ΛΗ πλευρᾶς τῆς ΛΘ ἐστὶ μείζων. Καί ἐστιν ἡ ΛΗ τῇ ΗΜ ἴση, διὰ τὸ, τὸ Η σημεῖον κέντρον εἶναι τῆς σφαίρας, καὶ προσπεπτωμέναι ἀπ’ αὐτοῦ πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰς ΛΗ, ΗΜ· καὶ ἡ ΗΜ ἄρα τῆς ΛΘ μείζων ἐστί. Καὶ ἡ μὲν ΗΜ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΓΔ κύκλου, ἡ δὲ ΛΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου· μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔ κύκλος τοῦ ΑΒ κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντων τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων καὶ μὴ ὄντων διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ οἱ ΑΒ, ΕΖ κύκλοι εἰσὶν ἴσοι. Ἐπεὶ γὰρ οἱ ΑΒ, ΕΖ κύκλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κένπρου τῆς σφαίρας, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ· καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΛ τῇ ΗΝ, ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΛΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΝ· ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΛΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΝ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΝ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ ἄρα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΝ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΛ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΝ ἴσον ἐστὶν, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΛ τῇ ΚΝ. Καί ἐστιν ἡ μὲν ΘΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου, ἡ δὲ ΚΝ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖ κύκλου, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖ κύκλου, ἴσος ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τῷ ΕΖ κύκλῳ.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν μεῖζον ἀπεχέτω ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἤπερ ὁ ΕΖ· λέγω, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΖ κύκλου.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεὶ μεῖζον ἀπέχει ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ΑΒ κύκλος, ἤπερ ὁ ΕΖ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΗ τῆς ΗΚ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΛ τῇ ΗΝ, τὸ γὰρ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας, καὶ τὰ Λ, Ν πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ· ἴσον ἄρα ἐστὶ a τὸ ἀπὸ τῆς ΗΛ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΝ, τοῦτ’ ἔστι, τὰ ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ τοῖς ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΝ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΗ μεῖζόν ἐστι· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ λοιποῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΚ ἔλασσόν ἐστιν, ἐλάττων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΘ τῆς ΝΚ. Καί ἐστιν ἡ μὲν ΘΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου, ἡ δὲ ΝΚ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖ κύκλου· Καὶ ὁ ΑΒ ἄρα κύκλος ἐλάττων ἐστὶ τοῦ ΕΖ κύκλου.

Τῶν ἄρα ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας μέγιστοί εἰσι, τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴσοι εἰσὶν, οἱ δὲ μεῖζον ἐλάσσονες.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ϛ′. Β. ΘΕΩΡ. a.

Δείξομεν δ’ ἀντιστρόφως, ὅτι τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν μέγιστοι διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶ τῆς σφαίρας, τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσοι ἴσον ἑκατέρωθεν ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, οἱ δὲ ἐλάσσονες μεῖζον.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἔστω ὁ ΓΔ κύκλος μέγιστος· λέγω, ὅτι ἔσται διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.

Εἰ γὰρ δυνατὸν, ἔστω μὴ διὰ τοῦ κέντρου. Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη, ὅτι ὁ διὰ τοῦ κέντρου μείζων ἐστὶ πάντων τῶν μὴ διὰ τοῦ κέντρου κύκλων, ὁ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου μείζων ἔσται τοῦ ΓΔ· ὁ ἅρα ΓΔ κύκλος οὐκ ἔσται μέγιστος, ὅπερ ἄτοπον, ὑπόκειται γὰρ μέγιστος· ὁ ἄρα ΓΔ κύκλος μέγιστος διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας.

Πάλιν ἔστωσαν οἱ ΑΒ, ΕΖ κύκλοι ἴσοι· λέγω, ὅτι ἴσον ἀπέχουσι τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.

Ἐπεὶ γὰρ ἴσοι εἰσὶν, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΛ τῇ ΚΝ ἴση δὲ καὶ ἡ ΗΛ τῇ ΗΝ, καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΗΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΟΗ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΝ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΝ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΛΘ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΝΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΚ ἴσον ἐστὶν, ἡ ἄρα ΘΗ τῇ ΗΚ ἴση ἐστίν. Ἴσον ἄρα ἀπέχουσι τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας οἱ ἴσοι κύκλοι.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἐλάσσων ἔστω ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΖ κύκλου· λέγω, ὅτι μεῖζον ἀπέχει ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ΑΒ κύκλος ἤπερ ὁ ΕΖ.

Ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΖΕ, ἡ ἄρα ΘΛ τῆς ΚΝ ἐστιν ἐλάσσων· καί ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΑ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ ἴσον ἐστὶ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΝ τοῖς ἀπὸ τῶν ΝΚ, ΚΗ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ τοῖς ἀπὸ τῶν ΝΚ, ΚΗ ἴσα ἐστὶν, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΚ μεῖζον· ἡ ἄρα ΘΗ τῆς ΗΚ μείζων ἐστίν. Οἱ ἄρα ἐλάσσονες κύκλοι μεῖζον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ζ′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα ὀρθή ἐστι πρὸς τόν κύκλον.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ τὸ μὲν κέντρον τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Ε σημεῖον, τὸ δὲ τοῦ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.

Διήχθωσαν γὰρ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου αἱ ΑΖΓ, ΒΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΔ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ. δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΕ δυσὶ ταῖς ΔΖ, ΖΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΕΔ ἐστὶν ἴση, τὸ γὰρ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας, καὶ τὰ Β, Δ πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστν ἴση, Ὅταν δέ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΖΕ, ΔΖΕ, ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΒΔ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τῇ ΑΓ, ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΑΕ, ΓΕ. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΕΖ δυσὶν εὐθείαις ταῖς ΑΓ, ΒΔ, τεμνούσαις ἀλλήλας, ἐπὶ τῆς τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκε, καὶ τῷ διὰ τῶν ΑΓ, ΒΔ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστι. Τὸ δὲ διὰ τῶν ΑΓ, ΒΑ ἐπίπεδόν ἐστιν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος· καὶ ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ η′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἀχθῇ καὶ ἐκβληθῇ ἐπ’ ἀμφότερα a τὰ μέρη· ἐπὶ τοὺς πόλους πεσεῖται τοῦ κύκλου.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΔΕ, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ε σημεῖον· τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΕ ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη, καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Ζ, Η σημεῖα· λέγω, ὅτι τὰ Ζ, Η σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

Διήχθωσαν γὰρ αἱ ΑΕΓ, ΒΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΓ, ΑΗ, ΗΓ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας, καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ, ὀρθὰς ποιήσει γωνίας· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΖΕΑ, ΖΕΓ, ΖΕΒ, ΖΕΘ γωνιῶν. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ· βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΓΖ ἐστιν ἴση. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· τὸ Ζ ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ Η σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου· τὰ Ζ, Η ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ἐὰν ἄρα ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τὰ ἑξῆς.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ θ′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ ἐπ’ αὐτὸν κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ· ἐπὶ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ κύκλου, καὶ προσεκβαλλομένη ἐπὶ τὸν ἕτερον πόλον πεσεῖται τοῦ κύκλου.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἀπὸ δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ τοῦ Δ κάθετος ἤχθω ἐπ’ αὐτὸν ἡ ΔΕ, καὶ συμβαλλέτω τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· λέγω, ὅτι τὸ μὲν Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, τὸ δὲ Ζ ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ κύκλου.

Διήχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε αἱ ΕΑ, ΕΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ, ΑΖ, ΒΖ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας, καὶ οὔσας ἐν τῷ ΑΒΓ κύκλῳ, ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. Ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΕΑ, ΔΕΒ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΛ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΕ, ΕΔ· κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ λοιπῷ, ἴση ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὁτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσί τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ τὸ Ζ σημεῖον ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΒΖ ἴση ἐστίν. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ a γραμμὴν προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσί. Τὸ Ζ ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, τὸ δὲ Δ ὁ ἕτερος πόλος.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ι′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν κύκλον, καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, πόλοι δὲ αὐτοῦ ἔστωσαν τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ διὰ τῶν πόλων ἀγομένη, καὶ ἔστω ἡ ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον, καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται.

Συμβαλλέτω γὰρ τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον ἡ ΕΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η σημείου διήχθωσαν αἱ ΑΗΓ, ΒΗΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΔ, ΒΖ, ΖΔ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΖΔ ἐστὶν ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστί. Πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΗ, δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΗ δυσὶ ταῖς ΕΗ, ΕΔ ἴσαι εἰσὶ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΕΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΗ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΒΗ βάσει τῇ ΗΔ ἐστὶν ἴση, καὶ τὸ ΕΒΗ τρίγωνον τῷ ΕΔΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστὶ, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἔσονται ἴσαι, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΗΕ γωνίᾳ. Ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΗΕ, ΔΗΕ γωνιῶν, ἡ ΕΗ ἄρα τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθάς ἑστιν. Ὁμοίως δὴ b δειχθήσεται, ὅτι ἡ Ε τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ἡ ΕΗ καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ, ΑΓ ἄρα ἐπιπέδῳ, τοῦτ’ ἔστι τῷ ΑΒΓΔ κύκλῳ, πρὸς ὀρθάς ἐστιν, ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ καὶ τῆς σφαίρας ἥξει.

Ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ, ἀπὸ δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΕΗ, καὶ συμβάλλει τῷ ἐπι πέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον, τὸ Η ἄρα κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. Λέγω δὴ, ὅτε καὶ διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας. Ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τοῦ Η τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὴ ἀνέσταται a ἡ ΕΗΖ, ἐπὶ τῆς ΕΗΖ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας, ἡ ΕΖ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας. Ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ b κύκλον, καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ καὶ τῆς σφαίρας ἔρχεται.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ια′. ΘΕΩΡ.

Ἐν σφαίρᾳ οἱ μέγιστοι κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα· λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους.

Εἰλήφθω γὰρ αὐτῶν τὸ κέντρον, καὶ ἔστω τὸ Η, τὸ δὲ αὐτό ἐστι καὶ τῆς σφαίρας, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἡ ΕΗ, ΗΖ.

Καὶ ἐπεὶ τὰ Ε, Η, Ζ σημεῖα ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ ἐστὶν, ἔστι δὲ καὶ ἐν τῷ ΔΓ· ἐπὶ ἀμφοτέροις ἄρα τοῖς ἐπιπέδοις τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων τὰ Ε, Η, Ζ σημεῖά ἐστι, τὰ Ε, Η, Ζ ἄρα ἐν τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων ἐστί. Πάντως δὲ δύο ἐπιπέδων ἡ κοινὴ τομὴ εὐθεῖά ἐστιν, εὐθεῖά ἐστιν ἄρα ἡ ΕΗΖ. Καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒ κύκλου, ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστιν αὐτοῦ, ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΑΖ, ΕΒΖ ἡμικύκλιόν ἐστι. Πάλιν ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔ κύκλου, ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστιν αὐτοῦ, ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΓΖ, ΕΔΖ ἡμικύκλιόν ἐστιν. Οἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιβ′. ΘΕΩΡ.

Ἐν σφαίρᾳ οἱ δίχα τέμνοντες ἀλλήλους κύκλοι μέγιστοί εἰσιν.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα· λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ κύκλοι μέγιστοί εἰσιν.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΕΖ, ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστι τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων· λέγω δὴ, ὅτι καὶ τῆς σφαίρας. Τετμήσθω ἡ ΕΖ δίχα κατὰ τὸ Η· τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν κύκλων. Ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Η σημείον τῷ μὲν τοῦ ΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΘ, τῷ δὲ τοῦ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΚ.

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΓΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνέσταται ἡ ΗΘ· ἐπὶ τῆς ΗΘ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐπὶ τῆς ΗΚ, ἐπὶ τῆς ἄρα κοινῆς τομῆς τῶν ΗΘ, ΗΚ, τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἐστίν· ἡ δὲ κοινὴ τομὴ αὐτῶν ἐστι τὸ Η σημεῖον· τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας. Ἔστι δὲ καὶ τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων κέντρον τὸ Η σημεῖον, οἱ δὲ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντες τῆς σφαίρας κύκλοι μέγιστοί εἰσι· ἐν σφαίρᾳ ἄρα δίχα τέμνοντες ἀλλήλους κύκλοι μέγιστοί εἰσιν.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιγ′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ a πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, δίχα αὐτ ὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΕΒΖΔ πρὸς ὀρθὰς τεμνέτω· λέγω, ὅτι δίχα αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ ἡ ΒΔ, καὶ εἰλήφθω κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ Η σημεῖον· τὸ δὲ αὐτό ἐστι καὶ τῆς σφαίρας· καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η σημείου ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετος ἡ ΗΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη, καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α, Γ σημεῖα.

Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς ἄλληλα, τό τε τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ΕΒΖΔ, καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΘΑ, ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων οὖσα τῷ ΑΒΓΔ ἡ ΑΓ ἄρα καὶ τῷ ΕΒΖΔ ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ, καὶ συμπίπτει τῷ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Θ σημεῖον· τὸ Θ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου, ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΕΔ, ΒΖΔ ἡμικύκλιόν ἐστιν· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΓΔ κύκλον δίχα τέμνει.

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ διὰ τῶν πόλων.

Ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ, καὶ ἐκβέβληται ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη, καὶ συμπίπτει τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α, Γ ἐὰν δὲ ἡ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἀχθῇ, καὶ ἐκβληθῇ ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη, ἐπὶ τοὺς πόλους πεσεῖται τοῦ κύκλου· τὰ Α, Γ ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΕΒΖΔ, ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει· ἔτεμνε δὲ αὐτὸν καὶ δίχα· ὁ ΑΒΓΔ. ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον δίχα τε καὶ διὰ τῶν πόλων τέμνει.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιδ′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ μέγιστον ὄντα δίχα τέμνῃ, πρὸς ὀρθάς τε αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ μέγιστον ὄντα τὸν ΕΒΖΔ δίχα τεμνέτω· λέγω, ὅτι καὶ πρὸς ὀρθάς τε αὐτὸν τεμεῖ, καὶ διὰ τῶν πόλων.

Ἐπεζεύχθω γὰρ αὐτῶν ἡ κοινὴ τομὴ ἡ ΒΔ. Καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον δίχα τέμνει· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΕΔ, ΒΖΔ ἡμικύκλιόν ἐστιν, ἡ ΒΔ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου. Τετμήσθω οὖν ἡ ΒΔ δίχα κατὰ τὸ Θ σημεῖον, τὸ Θ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου· καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ Η σημεῖον, τὸ δὲ αὐτὸ καὶ τῆς σφαίρας ἐστί καὶ ἐπεζευχθεῖσα ἡ ΗΘ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη, καὶ συμπιπτέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α, Γ σημεῖα.

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, διὰ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ ἐπέζευκται εὐθεῖα ἡ ΗΘ, ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΗΘ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ· ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΗΘ ἐπιπέδων ὁ ΑΒΓΔ ἐστὶ κύκλος, καὶ ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον πρὸς ὀρθὰς τέμνει.

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ διὰ τῶν πόλων· ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ, καὶ ἐκβέβληται ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη, καὶ συμπίπτπει τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α, Γ σημεῖα· τὰ Α, Γ ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΕΒΖΔ, ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἄρα τὸν ΕΒΖΔ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει· ἔτεμνε δὲ αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθάς, ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἄρα τὸν ΕΒΖΔ κύκλον πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ διὰ τῶν πόλων.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιε′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ἐν σφαιρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαιρᾳ διὰ τῶν πόλων τέμνῃ, δίχα τε αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΕΒΖΔ τεμνέτω διὰ τῶν πόλων· λέγω, ὅτι δίχα τε αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει.

Ἔστωσαν γὰρ οἱ πόλοι τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου τὰ Α, Γ σημεῖα, φανερὸν δὴ, ὅτι ἐπὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου εἰσὶ, διὰ γὰρ τῶν πόλων τέμνει ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ.

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτοῦ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΑΓ· ἐὰν δὲ ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν κύκλον, καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται· ἡ ΑΓ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ κύκλον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΑΓ ἐπί‐ πεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ. Ἕν δὲ τῶν διὰ τῆς ΑΓ ἐπιπέδων ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ κύκλον· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸ ΕΒΖΔ πρὸς ὀρθὰς τέμνει· τέμνει δὲ αὐτὸν καὶ δίχα a· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνων δίχα τε αὐτὸν τέμνει καὶ πρὸς ὀρθάς.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιϛ’. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος, ἡ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ. λέγω, ὅτι ἡ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν κύκλον ΑΒΓΔ ἐγγραφομένου.

Ἤχθωσαν γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Ε σημείου τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, τὸ Ζ ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ, ΑΖ, ἡ ΒΑ ἄρα τετραγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν κύκλον ΑΒΓΔ ἐγγραφομένου· ἡ δὲ ΖΑ ἐκ τοῦ πόλου ἐστί λέγω, ὅτι ἡ ΖΑ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΖΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας· ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκάστην τῶν ΑΕ, ΒΕ, ΔΕ. Καὶ ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΖ· κοινὴ δὲ ἡ ΕΑ, δύο δὴ a αἱ ΒΕ, ΕΑ δυσὶ ταῖς ΑΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν, ἐκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΕΖ ἴση ἐστί. βάσις ἄρα ἡ ΒΑ βάσει τῇ ΑΖ ἴση ἐστί. Καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΖ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἡ δὲ ΒΑ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· ἡ ἄρα ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιζ′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ δὲ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ᾖ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγρα φομένου· καὶ αὐτὸς μέγιστος ἔσται.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, πόλος δὲ αὐτοῦ τὸ Δ σημεῖον, ἡ δὲ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἡ ΔΓ ἴση ἔστω τῇ τοῦ τετραγώνου b πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· λέγω, ὅτι ὁ ΑΒΓ μέγιστός ἐστιν.

Ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΔΓ καὶ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπίπεδον, τομὴν δή τινα ποιήσει μέγιστον κύκλον ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας· ποιείτω τὸν ΒΔΓΕ, καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ ΒΓ, καὶ ἐπζεύχθω ἡ ΔΒ.

Ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΔΒ, καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΔΓ, ΔΒ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· ἡμικυκλίου ἄρα ἐστὶ περιφέρεια ἡ ΒΔΓ, διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τοῦ ΒΔΓΕ κύκλου. Καὶ ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ὁ ΔΒΕΓ ἄρα κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ὁ ΔΒΕΓ κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει· καὶ αὐτῶν κοινὴ τομή ἐστιν ἡ ΒΓ, ἡ ΒΓ ἄρα c διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου· ἔστι δὲ καὶ τῆς σφαίρας· μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΓ κύκλος.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιη’. ΠΡΟΒΛ.

Τοῦ δοθέντος ἐν σφαίρᾳ κύκλου τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι.

Ἔστω ὁ δοθεὶς ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, δεῖ δὲ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι.

Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΔΕΖ, ἴσην ἔχον τὴν ΔΕ τῇ ΑΒ, τὴν δὲ ΕΖ τῇ ΒΓ, τὴν δὲ ΖΔ τῇ ΑΓ, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ Ε σημείου τῇ ΕΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΔΖ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ· ἤχθω δὲ καὶ διάμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἡ ΑΘ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἴση ἐστὶ τῇ ΑΘ.

Ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΓΘ.

Ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ ὀυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστί γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστίν· ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΑΘΓ ἴση ἐστὶν, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΔΗΖ a, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΘΓ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΗΖ ἴση ἐστίν. Ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΓΘ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΗ ἴση· δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΘΓ, ΔΗΖ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΓΘ, ΓΘΑ ταῖς δυσὶ γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΔΖΗ, ΖΗΔ ἴσας ἔχοντα, ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, τὴν ΑΓ τῇ ΔΖ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει, ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, ἡ ΑΘ ἄρα τῇ ΔΗ ἴση ἐστί. Καί ἐστιν ἡ ΑΘ διάμετρος τοῦ κύκλου· ἡ ΔΗ ἄρα ἴση ἐστὶ τοῦ κύκλου διαμέτρῳ.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιθ′. ΠΡΟΒΛ.

Τῆς δοθείσης σφαίρας τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι. Νενοήσθω γὰρ ἡ σφαῖρα, ἧς δεῖ τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι· καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Β, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΓΔ· δυνατὸν ἄρα ἐστὶ τοῦ ΒΓΔ κύκλου τῇ διαμέτρῳ ἴσην ἐκθέσθαι. Ἐκ τριῶν οὖν εὐθειῶν, αἵ εἰσι δύο μὲν ταῖς ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΒΓΔ ἴσαι, μία δὲ τῇ διαμέτρῳ, τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΕΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι ἑκατέραν τῶν ΖΕ, ΕΗ ἑκατέρᾳ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ Α, τὴν δὲ ΖΗ τῇ διαμέτρῳ· καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Ζ, Η ταῖς ΖΕ, ΕΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι γραμμαὶ αἱ ΖΘ, ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΘ ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας.

Νενοήσθω γὰρ ἡ διάμετρος· τῆς σφαίρας ἡ ΑΚ, καὶ διὰ τῆς ΑΚ ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει μέγιστον κύκλον· ποιείτω τὸν ΑΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΑΒ, ΒΔ, ΔΚ.

Καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΔ δυσὶ a ταῖς ΕΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, βάσις δὲ ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΕΗ ἴση ἐστὶ, γωνία ἄρα ἡ b ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΖΗ ἴση ἐστίν. Ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΚΔ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΖΗ τῇ ὑπὸ ΕΘΗ ἴση, ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου δέδεικται· ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΔΚ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΕΗ Θ ἴση· δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΚΔ, ΕΘΗ, τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΔΚ, ΔΚΑ ταῖς δυσὶ γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΕΗΘ, ΗΘΕ ἴσας ἔχοντα, ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, τὴν ΑΔ τῇ ΕΗ· καὶ· τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΚ τῇ ΕΘ. Καί ἐστιν ἡ ΑΚ διάμετρος τῆς σφαίρας· ἡ ΕΘ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κ′. ΠΡΟΒΛ.

Διὰ δύο δοθέντων σημείων, ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, μέγιστον κύκλον γράψαι.

Ἔστω τὰ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Α, Β ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας· δεῖ δὴ διὰ τῶν Α, Β σημείων μέγιστον κύκλον γράψαι.

Εἰ μὲν τὰ Α, Β κατὰ διάμετρόν ἐστι τῆς σφαίρας, φανερὸν, ὅτι μέγιστοι κύκλοι ἄπειροι διὰ τῶν Α, Β σημείων γραφήσονται. Μὴ ἔστω δὴ τὰ Α, Β σημεῖα κατὰ τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας. Καὶ πόλῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον γραφομένου, κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΔΕ, μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔΕ, ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Πάλιν πόλῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, κύκλος γεγράφθω ὁ ΖΕΗ, μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΕΗ κύκλος, ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ γραφομένου εἰς τὸν μέγιστον κύκλον. Καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε σημεῖου ἐπὶ τὰ Α, Β εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΕΒ.

Ἑκατέρα ἄρα τῶν ΕΑ, ΕΒ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἴση ἄρα ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ ἐστιν. Ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΒ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α, διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΕΑ τῇ ΕΒ. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΒΘ, μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΑΘ κύκλος, ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Διὰ δύο ἄρα δοθέντων σημείων τῶν Α, Β, ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΒΘ.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κα′. ΠΡΟΒΛ.

Τοῦ δοθέντος ἐν σφαίρᾳ κύκλου τὸν πόλον εὑρεῖν.

Ἔστω ὁ δοθεὶς ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸν πόλον εὑρεῖν.

Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀπειλήφθωσαν δύο ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΔΑ, ΑΕ, ἡ δὲ λοιπὴ ΔΕ δίχα τεμνέσθω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· ὁ δὴ ΑΒΓ κύκλος ἤτοι μέγιστός ἐστιν, ἢ οὔ.

Ἔστω πρότερον μὴ μέγιστος, καὶ διὰ δύο δοθέντων σημείων τῶν Ζ, Α, ἅ ἐστιν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΖΑΘ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ περιφέρεια τῇ ΑΕ περιφερείᾳ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΖΕ ἴση, ὅλη ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔΖ ὅλῃ τῇ ΑΕΖ ἴσην· ὁ ΖΑΘ ἄρα κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον δίχα τέμνει. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΖΘ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ μέγιστον ὄντα δίχα τέμνει, πρὸς ὀρθάς τε αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων· ὁ ΖΘΑ ἄρα τὸν ΑΒΓ πρὸς ὀρθάς τε καὶ διὰ τῶν πόλων τέμνει. Τετμήσθω ἡ ΖΑ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Η σημεῖον· τὸ Η ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν ὁ ΑΒΓ κύκλος μέγιστος ἔστω. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔΖ περιφέρεια τῇ ΑΕΖ περιφερείᾳ. Τετμήσθω δὴ ἡ ΑΓΖ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΓ, ΓΖ περιφερειῶν τεταρτημόριά ἐστιν· ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΖ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α σημείου, ἐπείπερ τὸ Α τῷ Ζ κατὰ διάμετρόν ἐστιν. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς. ὁ a ΖΑΘ, ὁ ἄρα ΖΑΘ κύκλος μέγιστός ἐστιν, ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ ἐστι, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Καὶ ἐπεὶ τὸ Γ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΖΑΘ κύκλου, ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος τὸν ΖΑΘ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΖΑΘ διὰ πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τέμνει καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΖΑΘ κύκλον, καὶ ὁ ΖΑΘ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΖΑΘ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων· ὁ ΖΑΘ ἄρα κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον δίχα τε καὶ διὰ τῶν πόλων τέμνει. Τετμήσθω ἡ ΖΑ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Η σημεῖον· τὸ Η ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κβ′. ΘΕΩΡ. b

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου οὖσα εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τεμεῖ· καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τεμεῖ.

Ἡ ἀπόδειξις, ὡς ἐν τοῖς κυκλικοῖς. Ἐὰν γὰρ διὰ τῆς διαμέτρου διὰ τοῦ κέντρου οὔσης τῆς σφαίρας, καὶ τῆς μὴ· διὰ τοῦ κέντρου οὔσης ἐπίπεδον ἐκβληθῇ, τομὴν ποιήσουσι γραμμὴν κύκλον· καὶ ἔσται ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου οὖσα εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τέμνουσα, ὥστε καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τεμεῖ· καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τεμεῖ.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κγ′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα· ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τοῦ κύκλου. a

Ἔστω γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τὸ μὲν κέντρον τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Δ σημεῖον, τὸ δὲ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον.

Διήχθω γάρ τις διὰ τοῦ κέντρου Ε b ὡς ἔτυχεν εἰ αὐτὸν εὐθεῖα ἡ ΑΕΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔΑ, ΔΒ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ· δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΔ δυσὶ ταῖς ΒΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστί· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΒ ἴση ἐστίν· ὀρφὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΕΔ, ΒΕΔ γωνῶν, ἡ ΔΕ ἄρα τῇ ΑΒ ἐστι πρὸς ὀρθάς. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάσαις ταῖς διὰ τοῦ Ε ἀγομέναις εὐθείαις ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΔΕ· ἡ ΔΕ ἄρα εὐθεῖα τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.

ΟΡΟΣ.

Ἐν σφαίρᾳ κύκλοι ἐφάπτεσθαι ἀλλήλων λέγονται, ὅταν ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων ἀμφοτέρων τῶν κύκλων ἐφάπτηται.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ α′. ΘΕΩΡ.

Ἐν σφαίρᾳ οἱ παράλληλοι κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν.

Ἔστωσαν γὰρ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ· λέγω, ὅτι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν. Εἰλήφθωσαν γὰρ τοῦ ΑΒΓ κύκλου οἱ πόλοι, καὶ ἔστωσαν οἱ Η, Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ.

Καὶ ἐπεὶ, ἐὰν…

ΠΡΟΤΑΣΙΣ β′. ΘΕΩΡ.

Ο…