De diebus et noctibus

τινα περιφέρειαν τῆς ΜΞ διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν ΜΟ· νυκτὸς

ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΜΟ περιφέρειαν διαπορεύεται.

Ἀλλὰ καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΛ διαπορεύεται,

καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ ΚΛ τῆς ΜΟ· καὶ ἡ νὺξ ἄρα, ἧς δύσις μέν ἐστι

τὸ Κ, ἀνατολὴ δὲ τὸ Λ, ἐλάσσων ἐστὶ τῆς νυκτός, ἧς δύσις μέν ἐστι

τὸ Μ, ἀνατολὴ δὲ τὸ Ο.

Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου

πορευομένου τὰ ἐναντία συμβήσεται· καὶ γὰρ τὰ μεταξὺ τμήματα τοῦ

θερινοῦ τροπικοῦ καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ ἴσα ἐστὶν τοῖς ὑπὸ γῆν τμήμασι

τοῖς μεταξὺ τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ χειμερινοῦ, καὶ τοῖς προειρη-

μένοις καὶ ἐπὶ τῆς κάτω ἐπαφῆς τοῦ χειμερινοῦ τὰ αὐτὰ κατασκευα-

σθέντα ἀποδειχθήσεται.

βʹ

Ἐὰν ἔν τινι ἡμέρᾳ ὁ ἥλιος τὴν ἀνατολὴν ποιήσηται καὶ τὴν δύσιν

ἴσον ἀπέχων τῆς τροπικῆς συναφῆς ὁποτερασοῦν, μέσου ἡμέρας ἡ τροπὴ

ἔσται τῷ ἡλίῳ ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ· καὶ ἐὰν ποιήσηται τὴν τροπὴν

πρὸς τῷ θερινῷ τροπικῷ, ἐν ᾗ ἂν ἡμέρᾳ τὴν τροπὴν ποιήσηται, ἐκείνη

ἡ ἡμέρα μακροτάτη ἔσται πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἡμερῶν, αἱ δὲ

προγεγενημέναι ἡμέραι τε καὶ νύκτες τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τρο-

πῶν χειμερινῶν ἐπὶ τροπὰς θερινὰς ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐσομέναις ἡμέραις

τε καὶ νυξὶ τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν θερινῶν ἐπὶ τροπὰς

χειμερινὰς αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς τροπικῆς ἡμέρας.

Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓΔ, θε-

ρινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΒ, ὁ δὲ

τῶν ζῳδίων κύκλος ἔστω ὁ ΓΕΔ,

καὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνα-

τολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Ζ, τὴν

δὲ μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσιν

πεποιήσθω κατὰ τὸ Η, καὶ ἔστω

ἴση ἡ ΖΕ περιφέρεια τῇ ΕΗ πε-

ριφερείᾳ. Λέγω, ὅτι μέσου ἡμέ-

ρας ἡ τροπὴ ἔσται τῷ ἡλίῳ ἐπὶ

τοῦ μεσημβρινοῦ.

Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Ζ

σημείου τῷ ΑΒ κύκλῳ παράλλη-

λος κύκλος· ἥξει δὴ καὶ διὰ τοῦ Η. Ἐρχέσθω ὡς ὁ ΘΚ· ἔσται ἄρα

ὁ ἥλιος ἀνατεταλκὼς μὲν κατὰ τὸ Κ, δεδυκὼς δὲ κατὰ τὸ Θ, ἅτινα

ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐστίν· ὥστε οὐδὲν διοίσει λέγειν τὸν

ἥλιον ποιεῖσθαι τήν τε ἀνατολὴν καὶ τὴν δύσιν ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου

τῶν παραλλήλων. Καὶ ἐπεὶ ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον

τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Η, ἡμέρας ἄρα

χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται· ἐν ἄρα

τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΕΗ περιφε-

ρείας διαπορεύεται. Ἡμίσεια δέ ἐστι ἡ ΖΕ· ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς

ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕ περιφέρειαν διελεύσεται. Καὶ ἀνατέλλει

πρὸς τῷ Ζ ὤν· μέσου ἄρα ἡμέρας ἔσται ὁ ἥλιος κατὰ τὸ Ε σημεῖον.

Κατὰ τὸ Ε δὲ ὢν ὁ ἥλιος τὴν τροπὴν ποιεῖται· μέσου ἄρα ἡμέρας ὁ

ἥλιος τὴν τροπὴν ποιήσεται.

Λέγω δή, ὅτι καὶ ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ.

Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Ε καὶ τῶν τοῦ ΑΒ κύκλου πόλων μέγιστος

κύκλος ὁ ΛΕΝ. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων

ὅ τε ΑΕΒ καὶ ὁ ΓΕΔ, διὰ δὲ τῶν τοῦ ΑΕΒ πόλων καὶ τῆς Ε συνα-

φῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΕΝ, ὁ ΛΕΝ ἄρα καὶ διὰ τῶν τοῦ

ΓΕΔ πόλων ἐλεύσεται. Πάλιν ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΖΕΗ

ΖΜΗ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος

γέγραπται ὁ ΛΕΜ, δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα αὐτῶν· ἴση

ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ περιφέρεια τῇ ΜΗ περιφερείᾳ. Καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν

ὁ ἀπὸ ἀνατολῶν μέχρι μεσουρανήματος χρόνος τῷ ἀπὸ μεσουρανήματος

ἄχρι δυσμῶν, ἀλλ' ἐν τῷ μὲν ἀπὸ ἀνατολῆς μέχρι μεσουρανήματος

χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕ περιφέρειαν διαπορεύεται, τουτέστιν τὸ Ζ τὴν

ΚΖ περιφέρειαν τοῦ παραλλήλου· (ἀνατέλλει μὲν γὰρ ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ

ζῳδιακοῦ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον ὤν, ἐπὶ δὲ τοῦ ὁρίζοντος κατὰ τὸ Κ·

ἐὰν γὰρ νοήσωμεν τὴν τοῦ ζῳδιακοῦ θέσιν ὡς τὴν ΚΞΟ, ὅτε ἀνέτελλεν

ὁ ἥλιος κατὰ τὸ Ζ ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ, ἐφαίνετο ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος κατὰ

τὸ Κ· ὥστε μέσου ἡμέρας τὸ μὲν Ξ ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται ἐν τῇ

περιφορᾷ τῆς σφαίρας, ὁ δὲ ἥλιος ἔσται διελθὼν τὴν ΖΕ περιφέρειαν,

τουτέστιν τὴν ΚΞ· ὅταν ἄρα τὸ Ξ ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, τότε καὶ

αὐτὸς ἐπὶ τὸ Ε παρέσται· ὥστε καὶ τὸ Κ ἐπὶ τὸ Ζ παραγενήσεται ἐν

τῷ ἀπὸ ἀνατολῆς ἄχρι μεσουρανήσεως χρόνῳ), ἐν δὲ τῷ ἀπὸ μέσου

ἡμέρας χρόνῳ ἄχρι δυσμῶν ὁμοίως ὁ μὲν ἥλιος τὴν ΕΗ περιφέρειαν

διαπορεύεται, τὸ δὲ Η τὴν ΗΘ διαπορεύεται ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς

σφαίρας, ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Ζ τὴν ΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται

καὶ τὸ Η τὴν ΗΘ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΖ περιφέρεια τῇ ΗΘ περιφε-

ρείᾳ. Καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΖ περιφέρεια

τῇ ΗΘ περιφερείᾳ. Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΘ λοιπῇ

τῇ ΗΚ ἴση ἐστίν. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΜ τῇ ΜΗ περιφερείᾳ ἴση·

ὅλη ἄρα ἡ ΜΘ ὅλῃ τῇ ΜΚ ἴση ἐστίν. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο

κύκλοι τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ ΑΒΓΔ, ΘΜΚ, διὰ δὲ τῶν τοῦ ΘΜΚ

κύκλου πόλων καὶ τῆς Μ διχοτομίας μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ

ΛΕΝ, ὁ ΛΕΝ ἄρα καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου πόλων ἐλεύσεται

καὶ ὀρθὸς ἔσται πρὸς αὐτόν. Καὶ ἔστιν ὁρίζων ὁ ΑΒΓΔ· μεσημβρινὸς

ἄρα ἐστὶν ὁ ΛΕΝ κύκλος. Καὶ ἐπ' αὐτοῦ ἡ τροπὴ γεγένηται· ὥστε

μέσου ἡμέρας ἡ τροπὴ ἔσται τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν ᾗ ἂν ἡμέρᾳ ἡ τροπὴ γένηται ἐπὶ τοῦ θε-

ρινοῦ τροπικοῦ, ἐκείνη ἡ ἡμέρα μακροτάτη ἐστὶν πασῶν τῶν ἐν τῷ

ἐνιαυτῷ ἡμερῶν, καὶ ἡ πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ

τὴν Η δύσιν νυκτί.

Ἔστω γὰρ ἡ πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς δύσις ἡ Υ, καὶ ἔστω παράλ-

ληλος κύκλος, καθ' οὗ φέρεται τὸ Υ σημεῖον, ὁ ΥΦ. Ἐπεὶ ὁ ἥλιος

δύνας κατὰ τὸ Υ τὴν μετὰ τὴν Υ δύσιν ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ

Ζ, νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΥΖ περιφέρειαν διέρ-

χεται· ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΥΖ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς

ἡμισφαίριον. Ἀλλ' ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΥΖ περιφέρειαν

διαπορεύεται καὶ τὴν ΗΦ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΥΖ τῇ ΗΦ· ἐν ἴσῳ δὲ

χρόνῳ ἡ ΥΖ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον καὶ ἡ ΗΦ· ἐν ἴσῳ

ἄρα χρόνῳ ἡ ΗΦ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, καὶ ὁ ἥλιος τὴν

ΗΦ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ δύνει ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Η ὤν·

τὴν μετὰ τὴν Η ἄρα δύσιν ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Φ ὤν· νυκτὸς

ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΗΦ περιφέρειαν διαπορεύεται.

Ἀλλὰ καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΥΖ περιφέρειαν δια-

πορεύεται, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ὁ ἥλιος τήν τε ΥΖ περιφέρειαν διαπο-

ρεύεται καὶ τὴν ΗΦ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς νὺξ

τῇ μετὰ τὴν Η δύσιν νυκτί. Κείσθω δὴ τῇ ΖΕΗ περιφερείᾳ ἴση περι-

φέρεια ἡ ΦΠ. Ἐπεὶ ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον καὶ διελ-

θὼν τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν τὴν μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο

κατὰ τὸ Η σημεῖον, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ

περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΖΕΗ περιφέρεια

ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Ἀλλ' ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος

τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΦΠ· ἴσαι γάρ εἰσιν· ἐν

πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΖΕΗ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαί-

ριον ἤπερ ἡ ΦΠ· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΦΠ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμι-

σφαίριον, ὁ ἥλιος ἐλάσσονα περιφέρειαν τῆς ΦΠ διελεύσεται. Διελη-

λυθέτω τὴν ΦΡ· τοῦ Π ἄρα ἐπὶ δυσμαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ

Ρ ἤδη ἔσται δεδυκώς· πρότερον γὰρ δύνει τὸ Ρ τοῦ Π· ἵνα ἄρα φανῇ

ὁ ἥλιος δύνων, ἔτι ἐλάσσονα περιφέρειαν τῆς ΦΡ διελεύσεται. Διελη-

λυθέτω τὴν ΦΣ· πρὸς τῷ Σ ἄρα ὢν ὁ ἥλιος φανήσεται δεδυκώς.

Ἐπεὶ οὖν ἀνατείλας κατὰ τὸ Φ τὴν μετὰ τὴν Φ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιή-

σατο κατὰ τὸ Σ, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ

περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ ἡμέρας χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ

ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἔστι μείζων ἡ ΖΕΗ περι-

φέρεια τῆς ΦΣ περιφερείας· μείζων ἄρα καὶ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος

τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ

περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐπεὶ καὶ ἡ ΦΠ τῇ ΖΗ ἴση οὖσα τῆς ΦΣ

μείζων ἐστίν. Γεγράφθω δὴ διὰ τοῦ Σ σημείου παράλληλος κύκλος ὁ

ΣΤ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Φ σημεῖον τὴν μετὰ τὴν

Φ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Σ, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν

ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν διαπορεύεται· ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ

ἡ ΦΣ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Ἀλλ' ἐν ἴσῳ

μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΥΤ, ἐν

ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἡ ΦΣ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον καὶ ἡ ΥΤ·

ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἡ

ΥΤ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Καὶ δύνει ὁ ἥλιος πρὸς τῷ

Υ ὤν· τὴν ἄρα πρὸ τῆς Υ δύσεως ἀνατολὴν ὁ ἥλιος ἐποιήσατο κατὰ

τὸ Τ· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέρειαν

διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ ἡμέρας ἐστὶν χρόνος, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ

περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΥΤ περιφέρεια τῇ ΦΣ περι-

φερείᾳ· καὶ ἡ ἡμέρα ἄρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν διαπο-

ρεύεται, ἴση ἐστὶν τῇ ἡμέρᾳ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέρειαν δια-

πορεύεται. Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περι-

φέρειαν διαπορεύεται, τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν

διαπορεύεται, μείζων, ἴση δὲ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέ-

ρειαν διαπορεύεται, τῇ ἡμέρᾳ, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΣΦ περιφέρειαν δια-

πορεύεται, μείζων ἄρα καὶ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέ-

ρειαν διαπορεύεται, τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέρειαν δια-

πορεύεται. Ἀλλ' ἡ μὲν ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέρειαν δια-

πορεύεται, μείζων ἐστὶν πασῶν τῶν πρὸ αὐτῆς ἡμερῶν τῶν ἐν τῷ ΕΓ

ἡμικυκλίῳ τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν ἐπὶ τροπὰς

θερινάς· τοῦτο γὰρ ὁμοίως τοῖς προθεωρηθεῖσιν ἀποδείκνυται· ἡ δὲ

ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΦΣ περιφέρειαν διαπορεύεται, μείζων ἐστὶ

πασῶν τῶν μετ' αὐτὴν ἐν τῷ ΕΣΔ ἡμικυκλίῳ ἡμερῶν τοῦ ἡλίου πορευο-

μένου ἀπὸ τροπῶν θερινῶν ἐπὶ τροπὰς χειμερινάς· ὥστε καὶ ἡ ἡμέρα,

ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, μακροτάτη ἐστὶν

πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἡμερῶν· καὶ αἱ προγεγενημέναι ἡμέραι τε

καὶ νύκτες τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν χειμερινῶν ἐπὶ τροπὰς

θερινὰς ταῖς ἐσομέναις ἡμέραις τε καὶ νυξὶν τοῦ ἡλίου πορευομένου

ἀπὸ τροπῶν θερινῶν ἐπὶ τροπὰς χειμερινὰς ἴσαι ἐδείχθησαν αἱ ἴσον

ἀπέχουσαι ὁποτέρας τροπικῆς συναφῆς.

Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται τοῖς ἐπάνω, ὅτι, ἐὰν ὁ ἥλιος ἐν τινι

ἡμέρᾳ τὴν ἀνατολὴν καὶ τὴν δύσιν ποιήσηται ἴσον ἀπέχων τῆς χειμε-

ρινῆς συναφῆς, ὅτι τὴν τροπὴν ποιήσεται μέσου ἡμέρας ἐπὶ τοῦ μεσημ-

βρινοῦ, καὶ ὅτι, ἐὰν ἔν τινι νυκτὶ τήν τε δύσιν καὶ τὴν ἀνατολὴν ποιή-

σηται ἴσον ἀπέχων τῆς συναφῆς ὁποτερασοῦν, μέσου νυκτὸς τὴν τροπὴν

ποιήσεται ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ, καὶ ἐν ᾗ ἂν ποιήσηται πρὸς τῷ χειμε-

ρινῷ τροπικῷ, ἐκείνη ἡ νὺξ μακροτάτη ἔσται πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ

νυκτῶν, αἱ δὲ προγεγενημέναι νύκτες καὶ ἡμέραι τοῦ ἡλίου πορευο-

μένου ἀπὸ τροπῶν θερινῶν ἐπὶ τροπὰς χειμερινὰς ταῖς γινομέναις νυξί

τε καὶ ἡμέραις τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν χειμερινῶν ἐπὶ

τροπὰς θερινὰς ἴσαι ἔσονται αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς τροπικῆς νυκτός.

Ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον καὶ ἐπὶ τοῦ ἀφανοῦς ἡμισφαι-

ρίου.

{[Πόρισμα.]}

Φανερὸν δέ, ὅτι, ἐὰν μέσου ἡμέρας ὁποτεραοῦν τῶν τροπῶν γένη-

ται, ἡ ἀνατολή τε καὶ ἡ δύσις ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἔσται·

ἴσος γὰρ ὁ χρόνος ὁ πρὸ μέσου ἡμέρας καὶ μετὰ μέσον ἡμέρας ὑπάρ-

χων ποιήσει καὶ τὸν ἥλιον ἴσας περιφερείας διαπορεύεσθαι τὴν πρὸ

μέσου ἡμέρας τῇ μετὰ μέσον πρὸς τῇ συναφῇ· ὁ δὲ κύκλος ὁ διὰ τῶν

δύο σημείων τῶν ἀφοριζόντων τὰς ἴσας περιφερείας πρὸς τῇ συναφῇ

παράλληλος τῷ τροπικῷ γίνεται, καὶ ἔσται ἐπὶ παραλλήλου ἥ τε ἀνα-

τολὴ καὶ ἡ δύσις. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί, ἐὰν μέσου νυκτὸς ὁποτεραοῦν

τῶν τροπῶν γένηται, ἡ ἀνατολὴ καὶ ἡ δύσις ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παρ-

αλλήλων ἔσται κύκλου.

γʹ

Ἐὰν ὁ ἥλιος ἐπί τινος τῶν παραλλήλων ἀνατολὴν ποιήσηται ἐν

ἡμέρᾳ τινὶ πρὸ τροπῶν θερινῶν καὶ μετὰ τροπὰς θερινὰς ἐν ἄλλῃ

ἡμέρᾳ δύσιν ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παρ-

αλλήλων, ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ

ἡμέραι, καὶ αἱ πρὸ τῆς μιᾶς αὐτῶν

γεγενημέναι νύκτες τε καὶ ἡμέραι

τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν

χειμερινῶν ἐπὶ τροπὰς θερινὰς ταῖς

μετὰ τὴν ἑτέραν ἡμέραν γινομέναις

νυξί τε καὶ ἡμέραις τοῦ ἡλίου πο-

ρευομένου ἀπὸ τροπῶν θερινῶν ἐπὶ

τροπὰς χειμερινὰς ἴσαι ἔσονται αἱ

ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτερασοῦν ἡμέρας.

Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓΕ, θε-

ρινὸς δὲ τροπικὸς ἔστω ὁ ΑΔΒ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΓΔΕ, καὶ

τῷ ΑΒ παράλληλος ἔστω ὁ ΘΚ, καὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ πρὸ τρο-

πῶν θερινῶν ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Ζ ὤν, μετὰ δὲ τροπὴν θε-

ρινὴν ἐν ἄλλῃ ἡμέρᾳ δύσιν πεποιήσθω ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ παραλλήλου κατὰ

τὸ Η ὤν. Λέγω, ὅτι ἡ μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσις ἔσται μεταξὺ τῶν

Δ Ζ. Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἐπὶ τοῦ Δ ἔσται ἢ μεταξὺ τῶν Δ Η.

Ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, ἐπὶ τοῦ Δ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνα-

τείλας κατὰ τὸ Ζ τὴν μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ

Δ, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΔΖ περιφέρειαν δια-

πορεύεται· ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΔΖ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμι-

σφαίριον. Ἀλλ' ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΔ περιφέρειαν δια-

πορεύεται καὶ τὴν ΔΗ· ἴσαι γάρ εἰσιν· ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἡ ΖΔ ἐξαλ-

λάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον καὶ ἡ ΔΗ· ἴσον γὰρ ἀπέχουσιν τῶν

συναφῶν· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΗ περιφέρειαν διαπορεύεται

καὶ ἡ ΔΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Καὶ δύνει ὁ ἥλιος

πρὸς τῷ Η ὤν· τὴν ἄρα πρὸ τῆς Η δύσεως ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ

τὸ Δ. Ἀλλὰ καὶ τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ

Δ· ἐν τῷ αὐτῷ ἄρα ἔτει καὶ ἀνέτειλε καὶ ἔδυνε κατὰ τὸ αὐτὸ ση-

μεῖον· ὅπερ ἄτοπον ἔσται· κινεῖται γὰρ ὁ ἥλιος περιφέρειάν τινα

ἑκάστης ἡμέρας. Οὐκ ἄρα τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο

κατὰ τὸ Δ ὤν.

Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ μεταξὺ τῶν Δ Η· πολλῷ γὰρ ἔσται ἀτοπώ-

τερον.

Εἰ γὰρ δυνατόν, πεποιήσθω τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐπὶ

τοῦ Μ, καὶ τῇ ΜΔΖ περιφερείᾳ ἴση κείσθω ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἡ ΗΔΛ.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΖΔΜ περιφέρεια τῇ ΗΔΛ περιφερείᾳ, κοινῆς

ἀφαιρεθείσης τῆς ΛΔΜ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΛ περιφέρεια [λοιπῇ] τῇ ΗΜ

περιφερείᾳ ἴση ἐστίν· ὥστε ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν

ἡμισφαίριον· ἴσον γὰρ πάλιν ἀπέχουσιν τῶν συναφῶν. Κοινὸς προσ-

κείσθω ὁ τῆς ΛΔΜ περιφερείας τῆς ἐξαλλαγῆς χρόνος· ὅλη ἄρα ἡ

ΖΔΜ περιφέρεια τῇ ΛΔΗ περιφερείᾳ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φα-

νερὸν ἡμισφαίριον. Διέρχεται δὲ καὶ ὁ ἥλιος ἑκατέραν αὐτῶν ἐν ἴσῳ

χρόνῳ· ἴσαι γάρ εἰσιν. Καὶ ἔστιν ἡμέρας χρόνος, ἐν ᾧ ὅ τε ἥλιος

τὴν ΖΔΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἡ ΖΔΜ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν

ἡμισφαίριον· καὶ ἐν ᾧ ἄρα ὁ ἥλιος χρόνῳ τὴν ΛΔΗ περιφέρειαν δια-

πορεύεται, καὶ ἡ ΛΔΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡμέρας

ἐστὶν χρόνος. Καὶ δύνει ὁ ἥλιος κατὰ τὸ Η· τὴν ἄρα πρὸ τῆς Η

δύσεως ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Λ. Ὑπόκειται δὲ καὶ κατὰ τὸ Ζ

ἀνατολὴν πεποιημένος· τὴν δὲ μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο

κατὰ τὸ Μ. Καὶ ἔστι τὸ Λ σημεῖον μεταξὺ τῶν Ζ Μ· ἐν ᾗ ἄρα

ἡμέρᾳ τὴν ΖΜ περιφέρειαν διελθὼν [ὁ ἥλιος] τὴν ἀνατολὴν ἐποιήσατο

κατὰ τὸ Ζ, ἐν τῇ αὐτῇ ἡμέρᾳ καὶ κατὰ τὸ Λ ἀνέτειλεν. Κατὰ τὴν

αὐτὴν ἄρα ἡμέραν δύο ἀνατολὰς ἐποιήσατο ὁ ἥλιος· ὅπερ ἐστὶν ἄτο-

πον. Οὐκ ἄρα τὴν μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσιν ποιήσεται μεταξὺ τῶν

Δ Η. Ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐπὶ τοῦ Δ· μεταξὺ ἄρα τῶν Δ, Ζ ποιή-

σεται τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν.

Ποιείσθω οὖν κατὰ τὸ Λ, καὶ κείσθω τῇ ΛΖ περιφερείᾳ ἴση

περιφέρεια ἡ ΜΗ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ τὴν μετὰ

τὸ Ζ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Λ, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν,

ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΛ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν δὲ τούτῳ τῷ

χρόνῳ ἡ ΖΛ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὅ

τε ἥλιος τὴν ΖΛ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΖΛ ἐξαλλάσσει τὸ

φανερὸν ἡμισφαίριον. Ἀλλ' ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΖΛ περι-

φέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΜΗ· ἴσαι γάρ εἰσιν· ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἡ

ΖΛ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον καὶ ἡ ΜΗ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ

ὁ ἥλιος τὴν ΜΗ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΜΗ ἐξαλλάσσει τὸ

φανερὸν ἡμισφαίριον. Καὶ δύνει ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Η ὤν· τὴν ἄρα πρὸ

τῆς Η δύσεως ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Μ· ἡμέρας ἄρα χρόνος

ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΜΗ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ μὴν καὶ

ἡμέρας χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΖ περιφέρειαν διαπορεύεται,

καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΛΖ τῇ ΜΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν

ἡμέρα τῇ πρὸ τῆς Η δύσεως ἡμέρᾳ. Ὁμοίως καὶ ἡ πρὸ τῆς Ζ ἀνα-

τολῆς νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ τὴν Η δύσιν νυκτί· ὥστε καὶ αἱ προγενό-

μεναι νύκτες τε καὶ ἡμέραι τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν χειμε-

ρινῶν ἐπὶ τροπὰς θερινὰς ταῖς ἐσομέναις νυξί τε καὶ ἡμέραις τοῦ ἡλίου

πορευομένου ἀπὸ τροπῶν θερινῶν ἐπὶ τροπὰς χειμερινὰς ἴσαι ἔσονται

αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἑκατερασοῦν ἡμέρας, τουτέστι τῶν ΖΛ ΜΗ.

{[Λῆμμα τοῦ δʹ}

Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΕΔ, ὁ δὲ τοῦ

ἡλίου κύκλος ὁ ΒΕΓ, καὶ ἔστω ἐλάσ-

σων ἡ ΖΕ περιφέρεια τῆς ΕΗ περιφε-

ρείας, καὶ τῇ ΖΕΗ ἴση κείσθω ἡ ΘΚ.

Λέγω, ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΖΕΗ

ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον

ἤπερ ἡ ΘΚ.

Κείσθω γὰρ τῇ μὲν ΖΕ ἴση ἡ

ΕΛ, τῇ δὲ ΖΕΛ ἴση ἡ ΘΜ· λοιπὴ

ἄρα ἡ ΛΗ λοιπῇ τῇ ΜΚ ἐστὶν ἴση.

Ἐπεὶ οὖν ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΖΕΛ

ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον

ἤπερ ἡ ΘΜ (τοῦτο γὰρ δείκνυται δίχα τμηθείσης τῆς ΘΜ), ἀλλὰ καὶ

ἡ ΛΗ τῆς ΜΚ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον

(ἔγγιον γάρ ἐστι μᾶλλον τοῦ Ε τὸ Η ἤπερ τὸ Κ), καὶ ὅλη ἄρα ἡ

ΖΕΗ ὅλης τῆς ΘΚ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαί-

ριον.]

δʹ

Ἐὰν ἔν τινι ἡμέρᾳ ὁ ἥλιος τὴν ἀνατολὴν καὶ τὴν δύσιν ποιήσηται

μὴ ἴσον ἀπέχων τῆς τροπικῆς συναφῆς ὁποτερασοῦν, οὐκ ἔσται μέσου

ἡμέρας ἡ τροπὴ τῷ ἡλίῳ, ἐν ᾗ δὲ ἂν ποιήσηται ἡμέρᾳ πρὸς τῷ θε-

ρινῷ τροπικῷ τὴν τροπήν, μακροτάτη πασῶν ἐστι τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ

ἡμερῶν, καὶ αἱ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ ἡμέραι, ἐν ᾧ ἔγγιον ὢν τῆς θερινῆς

συναφῆς τὴν ἀνατολὴν ἢ τὴν δύσιν ἐποιήσατο, μακρότεραι ἔσονται τῶν

γινομένων ἡμερῶν τοῦ ἡλίου διαπορευομένου τὸ ἕτερον ἡμικύκλιον,

νύκτες δὲ τοὐναντίον βραχύτεραι, ἐὰν

δὲ πρὸς τῷ χειμερινῷ τροπικῷ, τὰ

ἐναντία συμβήσεται.

Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓΔ, θερινὸς

δὲ τροπικὸς κύκλος ἔστω ὁ ΑΒ, ὁ δὲ

τοῦ ἡλίου κύκλος ἔστω ὁ ΓΕΔ· καὶ

ὁ ἥλιος πρὸ τροπῶν θερινῶν ἔν τινι

ἡμέρᾳ ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ

Ζ, μετὰ δὲ τὴν θερινὴν τροπὴν τὴν

μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσιν πεποιήσθω

κατὰ τὸ Η, καὶ ἔστω ἔγγιον τὸ Ζ ση-

μεῖον τῆς Ε συναφῆς ἤπερ τὸ Η. Λέγω, ὅτι πάντα τὰ διὰ τῆς προ-

τάσεως ἔσται.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ τὴν μετὰ τὸ Ζ ἀνατολὴν

δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Η, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος

τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται· ὥστε ἐν τῷ τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ

ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται· ἐν τῷ ἡμίσει ἄρα τῆς ἡμέρας

χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΕΗ περιφερείας διαπορεύεται. Ἡ

δὲ τῆς ΖΕΗ ἡμίσεια μείζων ἐστὶ τῆς ΖΕ· ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς

ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος μείζονα περιφέρειαν τῆς ΖΕ διελεύσεται. Καὶ

ἀνατέλλει πρὸς τῷ Ζ ὤν· πρὸ μέσου ἄρα ἡμέρας ἔσται ὁ ἥλιος πρὸς

τῷ Ε. Πρὸς δὲ τῷ Ε ὢν τὰς τροπὰς ποιεῖται· πρὸ μέσου ἄρα ἡμέρας

ἔσται ἡ τροπὴ τῷ ἡλίῳ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν τῷ ΓΖΕ ἡμικυκλίῳ ἡμέραι αἱ προγεγενη-

μέναι τοῦ ἡλίου πορευομένου ἀπὸ τροπῶν χειμερινῶν μακρότεραι ἔσονται

τῶν ἐν τῷ ΕΗΔ ἡμικυκλίῳ ἡμερῶν, νύκτες δὲ τοὐναντίον βραχύτεραι.

Ἔστω γὰρ ἡ πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς δύσις κατὰ τὸ Θ, καὶ κείσθω

τῇ ΘΖ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΗΚ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος δὺς κατὰ

τὸ Θ τὴν μετὰ τὴν Θ δύσιν ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Ζ, νυκτὸς

ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΖ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν

δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΘΖ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαί-

ριον. Ἀλλ' ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΖ περιφέρειαν διαπορεύεται

καὶ τὴν ΗΚ· ἴσαι γάρ εἰσιν· ἐν ἐλάσσονι δὲ χρόνῳ ἡ ΘΖ ἐξαλλάσσει

τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΚ· ἔγγιον γάρ ἐστιν ἡ ΗΚ τοῦ χειμε-

ρινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΘΖ· ἐν ἐλάσσονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΗΚ

περιφέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ ἡ ΗΚ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαί-

ριον. Ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΗΚ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ὁ

ἥλιος μείζονα περιφέρειαν τῆς ΗΚ διελεύσεται. Διεληλυθέτω τὴν ΗΛ·

τοῦ Κ ἄρα ἐπ' ἀνατολαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Λ οὐδέπω ἔσται

ἀνατεταλκώς· πρότερον γὰρ τὸ Κ τοῦ Λ ἀνατέλλει· ἵνα ἄρα φανῇ ὁ

ἥλιος ἀνατέλλων, ἔτι μείζονα περιφέρειαν τῆς ΗΛ διελεύσεται. Διελη-

λυθέτω τὴν ΗΜ· πρὸς τῷ Μ ἄρα ὢν ὁ ἥλιος φανήσεται ἀνατέλλων.

Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος δύνας κατὰ τὸ Η τὴν μετὰ τὴν Η δύσιν ἀνατολὴν

ἐποιήσατο κατὰ τὸ Μ, νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν

ΗΜ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ

ὁ ἥλιος τὴν ΘΖ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ ΘΖ

περιφέρεια τῆς ΗΜ περιφερείας· [καὶ ἔστιν πρὸς τῷ χειμερινῷ τροπικῷ

ἡ ΗΜ περιφέρεια ἤπερ ἡ ΘΖ·] ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ πρὸ τῆς Ζ ἀνα-

τολῆς νὺξ τῆς μετὰ τὴν Η δύσιν νυκτός.

Λέγω δή, ὅτι καὶ ἡ πρὸ τῆς Θ δύσεως ἡμέρα μείζων ἐστὶν τῆς

μετὰ τὴν Μ ἀνατολὴν ἡμέρας.

Ἔστω γὰρ ἡ πρὸ τῆς Θ δύσεως ἀνατολὴ κατὰ τὸ Ν, καὶ κείσθω

τῇ ΘΝ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΜΞ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας

κατὰ τὸ Ν τὴν μετὰ τὴν Ν ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Θ,

ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περιφέρειαν διαπο-

ρεύεται. Ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ ἡ ΝΘ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ

φανερὸν ἡμισφαίριον. Ἀλλ' ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περι-

φέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΜΞ, ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΝΘ περιφέ-

ρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΜΞ· ἐν πλείονι ἄρα

χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΜΞ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ ἡ ΜΞ ἐξαλ-

λάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΜΞ ἐξαλλάσσει

τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ὁ ἥλιος ἐλάσσονα τῆς ΜΞ περιφέρειαν διελεύ-

σεται. Διεληλυθέτω τὴν ΜΟ· τοῦ Ξ ἄρα ἐπὶ δυσμαῖς ὄντος ὁ ἥλιος

ὢν πρὸς τῷ Ο ἤδη ἔσται δεδυκώς· πρότερον γὰρ δύνει τὸ Ο τοῦ Ξ·

ἵνα ἄρα φανῇ ὁ ἥλιος δύνων, ἔτι ἐλάσσονα περιφέρειαν τῆς ΜΟ διελεύ-

σεται. Διεληλυθέτω τὴν ΜΠ· πρὸς τῷ Π ἄρα ὢν ὁ ἥλιος φανήσεται

δεδυκώς. Ἐπεὶ οὖν ἀνατείλας κατὰ τὸ Μ τὴν μετὰ τὴν Μ ἀνατολὴν

δύσιν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Π, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος

τὴν ΜΠ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ ἡμέρας χρόνος ἐστίν,

ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἔστιν μείζων ἡ

ΘΝ περιφέρεια τῆς ΜΠ περιφερείας· μείζων ἄρα καὶ ἡ πρὸ τῆς Θ

δύσεως ἡμέρα τῆς μετὰ τὴν Μ ἀνατολὴν ἡμέρας.

Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ ἐν τῷ ΓΖΕ ἡμικυκλίῳ

ἡμέραι αἱ πρὸ τῆς Ν ἀνατολῆς μείζονές εἰσιν τῶν ἐν τῷ ΕΗΔ ἡμι-

κυκλίῳ ἡμερῶν τῶν μετὰ τὴν Π δύσιν, νύκτες δὲ τοὐναντίον βραχύτεραι·

καὶ φανερόν, ὅτι ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπο-

ρεύεται, μακροτάτη ἐστὶν πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἡμερῶν, οὗ ἀρχὴ

αἱ χειμεριναὶ τροπαί.

Λέγω δή, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΖΕΗ περιφέρεια τῆς ΝΘ περιφερείας.

Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἢ ἐλάττων. Ἔστω πρότερον ἐλάττων

ἡ ΖΕΗ τῆς ΝΘ, καὶ κείσθω τῇ ΝΘ ἴση ἡ ΖΕΚ. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος

ἐν ἡμέρᾳ τὴν ΝΘ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν ᾧ ἄρα ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ

περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΝΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον.

Καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ διαπορεύεται καὶ τὴν ΖΕΚ· ἴσαι

γάρ εἰσιν. Ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΖΕΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμι-

σφαίριον ἤπερ ἡ ΝΘ [διὰ τὸ λῆμμα]· ἐν ἐλάσσονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος

τὴν ΖΕΚ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἤπερ ἡ ΖΕΚ ἐξαλλάσσει τὸ φα-

νερὸν ἡμισφαίριον. Ἐν ᾧ ἄρα ἡ ΖΕΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαί-

ριον, ὁ ἥλιος μείζονά τινα τῆς ΖΕΚ διελεύσεται. Διαπορευέσθω τὴν

ΖΕΛ· ὅταν ἄρα δύνῃ τὸ Κ σημεῖον, ὁ ἥλιος ὢν ἐπὶ τοῦ Λ οὔπω δέ-

δυκεν· πρότερον γὰρ δύνει τὸ Κ τοῦ Λ· ἵνα ἄρα φανῇ δύνων, ἔτι μεί-

ζονα τῆς ΖΕΛ περιφέρειαν ὁ ἥλιος διαπορεύσεται. Διεληλυθέτω τὴν

ΖΕΜ· ἀνατείλας ἄρα ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ Ζ δύσεται ἐπὶ τοῦ Μ. Ἀλλὰ

καὶ ἐπὶ τοῦ Η ἔδυνεν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν

ἡ ΖΕΗ περιφέρεια τῆς ΝΘ περιφερείας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι

οὐδὲ ἴση· μείζων ἄρα ἡ ΖΕΗ περιφέρεια τῆς ΝΘ περιφερείας· ὥστε

καὶ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, μείζων

ἐστὶν τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἡ

δὲ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περιφέρειαν διαπορεύεται, μείζων

ἐδείχθη τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΜΠ περιφέρειαν διαπορεύεται·

καὶ ἡ ἡμέρα ἄρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται,

μείζων ἐστὶν τῆς ἡμέρας, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΜΠ περιφέρειαν διαπο-

ρεύεται. Ἀλλ' ἡ μὲν ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ περιφέρειαν δια-

πορεύεται, μακροτάτη ἐστὶν πασῶν τῶν προγεγενημένων ἡμερῶν ἀπὸ

χειμερινῶν τροπῶν, ἡ δὲ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΜΠ περιφέρειαν

διαπορεύεται, μακροτάτη ἔσται πασῶν τῶν ὑστέρων ἕως χειμερινῶν

τροπῶν· καὶ ἡ ἡμέρα ἄρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπο-

ρεύεται, μακροτάτη ἔσται πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἡμερῶν· ὥστε ἡ

ἡμέρα, ἐν ᾗ ἡ τροπὴ γέγονεν, μακροτάτη ἐστὶν πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνι-

αυτῷ ἡμερῶν, οὗ ἀρχὴ αἱ χειμεριναὶ τροπαί.

Ἐὰν δὲ πρὸς τῷ χειμερινῷ τροπικῷ ἔν τινι ἡμέρᾳ ὁ ἥλιος μέλλων

τροπὴν ποιεῖσθαι τὴν ἀνατολὴν καὶ τὴν δύσιν ποιήσηται μὴ ἴσον ἀπέ-

χων τῆς τροπικῆς συναφῆς, ὁμοίως οὐκ ἔσται μέσου ἡμέρας ἡ τροπὴ

τῷ ἡλίῳ, καὶ αἱ προγενόμεναι ἡμέραι τε καὶ νύκτες τοῦ ἡλίου πορευο-

μένου ἀπὸ θερινῶν τροπῶν ταῖς μετὰ ταύτας ἕως τῶν θερινῶν τροπῶν

ἄνισοι ἔσονται. Δειχθήσεται δὲ καὶ τοῦτο ὁμοίως τοῖς πρότερον.

{[Πόρισμα.]}

Φανερὸν δέ, ὅτι, ἐὰν μὴ μέσου ἡμέρας ἢ μέσων νυκτῶν ὁποτερα-

ποτοῦν τροπὴ γένηται ἢ ἀνατεταλκότος τοῦ ἡλίου ἢ δεδυκότος, ὅτι οὐκ

ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου τῶν παραλλήλων ἔσται ἥ τε ἀνατολὴ καὶ ἡ

δύσις, κἂν ὁ ἥλιος τὴν δύσιν ἢ τὴν ἀνατολὴν ποιήσηται ἐπὶ τῆς συνα-

φῆς τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ, ἐν ᾗ ἂν ποιήσηται ἡμέρᾳ, μακροτάτη ἔσται

πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἡμερῶν, οὗ ἀρχὴ αἱ χειμεριναὶ τροπαί.

Τῶν δὲ ἄλλων ἡμερῶν μακρότεραι ἔσονται αἱ γιγνόμεναι ἡμέραι

τοῦ ἡλίου ὄντος ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ, ἐν ᾧ μὴ ἐποιήσατο τὴν δύσιν ἢ τὴν

ἀνατολὴν τῆς τροπικῆς ἡμέρας, τῶν γεγενημένων ἡμερῶν τοῦ ἡλίου

ὄντος ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ, ἐν ᾧ ἐποιήσατο τὴν τροπικὴν ἡμέραν,

νύκτες δὲ τοὐναντίον βραχύτεραι. Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ τοῦτο

τοῖς πρότερον.

Ἐὰν ἡ θερινὴ τροπὴ μέσων νυκτῶν γένηται, αἱ προγεγενημέναι

ἡμέραι τε καὶ νύκτες ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν ταῖς μετὰ θερινὰς τρο-

πὰς ἴσαι ἔσονται, καὶ ἐὰν μέσου ἡμέρας ἡ θερινὴ τροπὴ γένηται, αἱ

προγεγενημέναι ἡμέραι τε καὶ νύκτες ἀπὸ τροπῶν χειμερινῶν ταῖς μετὰ

τὰς θερινὰς ἴσαι ἔσονται.

Τῶν δὲ ἴσων ἡμερῶν καὶ παρ' ἑκάτερα οὐσῶν τῶν τροπικῶν ἡμε-

ρῶν καὶ νυκτῶν μακρότεραι ἔσονται αἱ ἡμέραι αἱ γιγνόμεναι ἐν τῷ

ἐνιαυτῷ, ἐν ᾧ ἡ θερινὴ τροπὴ μέσων νυκτῶν ἐγένετο, τῶν ἐν τῷ ἐνι-

αυτῷ, ἐν ᾧ ἡ θερινὴ τροπὴ μέσου ἡμέρας ἐγένετο· ἔγγιον γὰρ ἔσονται

πᾶσαι τῆς τροπικῆς συναφῆς αἱ ἐν τῷ ἐνιαυτῷ, ἐν ᾧ μέσων νυκτῶν ἡ

τροπὴ ἐγένετο, τῶν ἐν τῷ ἑτέρῳ, ἐν ᾧ μέσου ἡμέρας ἡ τροπὴ ἐγένετο.

Τῶν δὲ ἴσων νυκτῶν μακρότεραι ἔσονται αἱ γινόμεναι ἐν τῷ ἐνιαυτῷ,

ἐν ᾧ ἡ θερινὴ τροπὴ μέσου ἡμέρας ἐγένετο.

εʹ

Ἀπὸ θερινῆς τροπῆς τοῦ ἡλίου πορευομένου, ἐὰν ἀνατολὴ γένη-

ται τῷ ἡλίῳ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, ἡ πρὸ τῆς ἀνατολῆς νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ

μετὰ τὴν ἀνατολὴν ἡμέρᾳ.

Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓΔ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ἔστω ὁ ΑΕΒ, ἰσημε-

ρινὸς δὲ ὁ ΓΔ, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος ὁ ΓΕΔ, καὶ ὁ ἥλιος ἀπὸ τρο-

πῶν θερινῶν πορευόμενος ἐπὶ

τοῦ ἰσημερινοῦ ἀνατολὴν πε-

ποιήσθω κατὰ τὸ Δ. Λέγω,

ὅτι ἡ πρὸ τῆς Δ ἀνατολῆς

νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ τὴν Δ

ἀνατολὴν ἡμέρᾳ.

Ἔστω γὰρ ἡ πρὸ τῆς Δ

ἀνατολῆς δύσις κατὰ τὸ Ζ,

καὶ κείσθω τῇ ΔΖ περιφερείᾳ

ἴση ἡ ΔΗ. Ἐπεὶ ὁ ἥλιος

δὺς κατὰ τὸ Ζ τὴν μετὰ τὴν

Ζ δύσιν ἀνατολὴν ἐποιήσατο κατὰ τὸ Δ, νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν

ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΔ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν δὲ τούτῳ τῷ χρόνῳ

ἡ ΖΔ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. Ἀλλ' ἐν ἴσῳ μὲν χρόνῳ ὁ

ἥλιος τὴν ΖΔ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΔΗ, ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ

ἡ ΖΔ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον καὶ ἡ ΔΗ τὸ φανερόν· ἐν

ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΗ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΔΗ

ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. Καὶ συνανατέλλει αὐτῇ ὁ ἥλιος

πρὸς τῷ Δ ὤν· συνδύνει ἄρα αὐτῇ πρὸς τῷ Η ὤν. Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος

ἀνατείλας κατὰ τὸ Δ τὴν μετὰ τὴν Δ ἀνατολὴν δύσιν ἐποιήσατο κατὰ

τὸ Η, ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΔΗ περιφέρειαν

διαπορεύεται. Ἀλλὰ καὶ νυκτὸς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΔ

περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΖΔ περιφέρεια τῇ ΗΔ περι-

φερείᾳ· καὶ ὁ χρόνος ἄρα, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος ἑκατέραν αὐτῶν διαπορεύεται,

ἴσος ἐστίν. Ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ πρὸ τῆς Δ ἀνατολῆς νὺξ τῇ μετὰ

τὴν Δ ἀνατολὴν ἡμέρᾳ.

Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, κἂν δύσις γένηται ἐπὶ τοῦ Δ ὄντος τοῦ

ἡλίου, ὅτι ἡ πρὸ τῆς Δ δύσεως ἡμέρα τῇ μετὰ τὴν Δ δύσιν νυκτὶ ἴση

ἐστίν. Καὶ ἀπὸ τροπῶν δὲ χειμερινῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου, ἐὰν

ἀνατολὴ ἢ δύσις τῷ ἡλίῳ γένηται ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸ Γ, ὁμοίως

δειχθήσεται ἡ ἡμέρα τῇ συνεχεῖ νυκτὶ ἴση οὖσα.

Ϛʹ

Αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου ἡμέραι τε καὶ νύκτες

ἴσαι εἰσίν· ἴσον δὲ ἀπέχειν τοῦ ἰσημερινοῦ λέγονται, ὅταν αἵ τε ἀνα-

τολαὶ καὶ δύσεις ἴσον ἀπέχωσι τοῦ

ἰσημερινοῦ.

Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ,

θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΒ, χειμε-

ρινὸς δὲ ὁ ΓΔ, ζῳδιακὸς δὲ κύκλος

θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΕΓ, ἰσημερινὸς

δὲ κύκλος ὁ ΖΕΗ. Λέγω, ὅτι αἱ

ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμέ-

ραι τε καὶ νύκτες ἴσαι εἰσίν.

Ὁ γὰρ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ

ἀνατολὴν μὲν πεποιήσθω κατὰ τὸ

Θ σημεῖον, δύσιν δὲ κατὰ τὸ Κ· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ

ἥλιος τὴν ΘΚ περιφέρειαν διαπορεύεται. Κείσθω τῇ ΚΕ ἴση ἡ ΕΛ,

ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Λ. Λέγω, ὅτι ἡ ἡμέρα,

ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ διαπορεύεται περιφέρειαν, ἴση ἐστὶν τῇ νυκτί,

ἧς δύσις ἐστὶν τὸ Λ σημεῖον.

Κείσθω τῇ ΘΚ ἴση ἡ ΛΜ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΘΚ

ΛΜ περιφερείας διαπορεύεται. Ἀλλ' ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ

περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΘΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν

ᾧ δὲ ἡ ΘΚ τὸ φανερόν, ἡ ΛΜ τὸ ἀφανές· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος

τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΛΜ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμι-

σφαίριον. Καὶ συνδύνει τῷ Λ· συνανατέλλει ἄρα τῷ Μ· νυκτὸς ἄρα

χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ

ἔστιν ἴση τῇ ΚΘ περιφερείᾳ· ἴση ἄρα ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΘΚ

περιφέρειαν διαπορεύεται, τῇ νυκτί, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν

διαπορεύεται.

Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, κἂν δύο ἀνατολὰς ὑποθώμεθα κατὰ τὰ

Κ, Λ, ἡ πρὸ τῆς Κ ἀνατολῆς νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ μετὰ τὴν Λ ἀνατολὴν

ἡμέρᾳ.

ζʹ

Ἐὰν γένηται τῷ ἡλίῳ δύσις καὶ ἀνατολὴ κατὰ διάμετρον, ἡ δι'

ἡμίσεως ἐνιαυτοῦ νὺξ ἴση ἐστὶν τῇ ἡμέρᾳ.

Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΒ, ὁ δὲ

τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΓΕΔ, καὶ ὁ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ

ἀνατολὴν πεποιήσθω κατὰ τὸ Δ, ἐν

ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ κατὰ διάμετρον τοῦ Δ

δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Γ. Λέγω,

ὅτι ἡ ἡμέρα, ἧς ἀνατολή ἐστιν τὸ Δ

σημεῖον, ἴση ἐστὶν τῇ νυκτί, ἧς δύσις

ἐστὶν τὸ Γ.

Ἔστω γὰρ ἡ μετὰ τὴν Δ ἀνα-

τολὴν δύσις κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· ἡμέ-

ρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος

τὴν ΔΖ περιφέρειαν διαπορεύεται.

Κείσθω τῇ ΔΖ ἴση ἡ ΓΗ· ἐν ἴσῳ

ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΖΔ, ΓΗ περι-

φερείας διαπορεύεται. Ἀλλ' ἐν ᾧ

χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΖ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΔΖ ἐξαλλάσσει τὸ

φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν ᾧ δὲ ἡ ΔΖ τὸ φανερόν, ἡ ΓΗ τὸ ἀφανές· ἐν

ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΓΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΓΗ ἐξαλ-

λάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. Καὶ συνδύνει τῷ Γ· συνανατέλλει ἄρα

τῷ Η. Νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΓΗ περιφέρειαν

διαπορεύεται· καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΔΖ.

ηʹ

Ὅταν ὁ ἥλιος διαπορεύηται τὸ ἀπολαμβανόμενον ἡμικύκλιον ὑπὸ

τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ θερινῷ τροπικῷ, ἡ βραχυτάτη ἡμέρα τῆς μα-

κροτάτης νυκτὸς μείζων ἐστίν.

Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΖΗ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΒ, ὁ δὲ

τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΖΕΗ, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος

ἔστω ὁ ΖΘΗ· τὸ ἄρα ἀπολαμβανόμενον ἡμικύκλιον ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ

πρὸς τῷ θερινῷ τροπικῷ τὸ ΖΕΗ ἐστίν. Λέγω, ὅτι, ὅταν ὁ ἥλιος τὸ

ΖΕΗ ἡμικύκλιον διαπορεύηται, ἡ βραχυτάτη ἡμέρα τῆς μακροτάτης

νυκτὸς μείζων ἐστίν.

Ὁ γὰρ ἥλιος ἔν τινι ἡμέρᾳ ἀνατολὴν μὲν πεποιήσθω κατὰ τὸ Λ

σημεῖον, δύσιν δὲ κατὰ τὸ Μ· ἡμέρας ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος

τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται. Ἐν ἄλλῃ δὲ ἡμέρᾳ δύσιν πεποιήσθω

κατὰ τὸ Ν, καὶ κείσθω τῇ ΛΜ ἴση ἡ ΝΞ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος

τὰς ΛΜ, ΝΞ περιφερείας διαπορεύεται. Ἀλλ' ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος

τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ ΛΜ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμι-

σφαίριον· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΝΞ περιφέρειαν διαπορεύεται,

ἡ ΛΜ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμι-

σφαίριον. Ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ

ΛΜ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαί-

ριον ἤπερ ἡ ΝΞ τὸ ἀφανές· ἐν πλεί-

ονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΝΞ περι-

φέρειαν διαπορεύεται ἤπερ ἡ ΝΞ

ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον.

Ὅτε ἄρα ἡ ΝΞ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς

ἡμισφαίριον, ὁ ἥλιος ἐλάσσονά τινα

περιφέρειαν τῆς ΝΞ διελεύσεται. Διε-

ληλυθέτω τὴν ΝΟ· τοῦ Ξ ἄρα πρὸς

ἀνατολαῖς ὄντος ὁ ἥλιος ὢν πρὸς τῷ Ο ἤδη ἀνέτειλεν. Ἵνα ἄρα φανῇ

ἀνατέλλων, ἔτι ἐλάσσονά τινα τῆς ΝΟ διελεύσεται. Διερχέσθω τὴν

ΝΠ· νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΝΠ περιφέρειαν δια-

πορεύεται. Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΝΞ τῆς ΝΠ, ἴση δὲ ἡ ΝΞ τῇ

ΛΜ, μείζων ἄρα ἡ ΛΜ τῆς ΝΠ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ

ἥλιος τὴν ΛΜ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῆς νυκτός, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν

ΝΠ περιφέρειαν διαπορεύεται.

Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, ἐὰν ὁ ἥλιος διαπορεύηται τὸ ἀπολαμ-

βανόμενον ἡμικύκλιον ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ χειμερινῷ τροπικῷ,

ἡ μακροτάτη ἡμέρα τῆς βραχυτάτης νυκτὸς ἐλάσσων ἐστίν.

θʹ

Ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου διαπορευομένου, ἐὰν γίνωνται

τῷ ἡλίῳ ἀνατολαὶ δύο, ἡ μὲν ἀνώτερον, ἡ δὲ κατώτερον, ἡ μετὰ τὴν

ἀνώτερον ἀνατολὴν δύσις ἀνωτέρω ἔσται

τῆς μετὰ τὴν κατώτερον ἀνατολὴν δύ-

σεως, καὶ ἡ πρὸ τῆς ἀνώτερον ἀνατο-

λῆς δύσις ἀνώτερον ἔσται τῆς πρὸ τῆς

κατώτερον ἀνατολῆς δύσεως.

Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ

καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΑΒ, χει-

μερινὸς δὲ ὁ ΓΔ, καὶ ἔστω τὸ μετὰ

τὸν αἰγόκερω ἡμικύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ

ΔΕΒ, καὶ ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ

ἡλίου πορευομένου γεγενήσθωσαν ἀνα-

τολαὶ δύο κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ ἔστω ἡ Ε ἀνώτερον. Λέγω, ὅτι ἡ

μετὰ τὴν Ε ἀνατολὴν δύσις ἀνώτερόν ἐστι τῆς μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσεως.

Εἰ μὲν οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ε τὴν μετὰ τὴν Ε ἀνα-

τολὴν δύσιν ποιήσεται ἤτοι κατὰ τὸ Ζ ἢ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν Ε, Ζ,

φανερόν, ὅτι ἡ μετὰ τὴν Ε ἀνατολὴν δύσις ἀνώτερόν ἐστι τῆς μετὰ

τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσεως. Ἀλλὰ δὴ ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ε

τὴν μετὰ τὴν Ε ἀνατολὴν δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Η· ἡμέρας ἄρα

χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ

ἐπεὶ ἀπὸ χειμερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου ἡμέρα ἡ πρότερον

τῆς ὕστερόν ἐστι βραχυτέρα, ἐλάσσων ἄρα ἡ ἡμέρα, ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν

ΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, τῆς ἡμέρας, ἧς ἀνατολή ἐστι τὸ Ζ·

ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΕΗ περιφέρεια τῆς περιφερείας, ἣν διέρχεται ὁ

ἥλιος ἐν τῇ ἡμέρᾳ, ἧς ἀνατολή ἐστι τὸ Ζ· πολλῷ ἄρα ἡ ΖΗ ἐλάσσων

ἐστὶ τῆς εἰρημένης ἡμέρας. Ἔστω αὐτῇ ἴση ἡ ΖΘ· ἡμέρας ἄρα

χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΘ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ

συνανατέλλει τῷ Ζ· συνδύνει ἄρα τῷ Θ· ὥστε ἡ μετὰ τὴν Ε ἀνατολὴν

δύσις ἀνώτερόν ἐστι τῆς μετὰ τὴν Ζ ἀνατολὴν δύσεως.

Λέγω δή, ὅτι καὶ ἡ πρὸ τῆς Ε ἀνατολῆς δύσις ἀνώτερόν ἐστι τῆς

πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς δύσεως.

Εἰ μὲν οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ τὴν πρὸ τῆς Ζ ἀνατο-

λῆς δύσιν πεποίηται ἤτοι κατὰ τὸ Ε ἢ μεταξὺ τῶν Ζ, Ε, φανερόν, ὅτι

ἡ πρὸ τῆς Ε ἀνατολῆς δύσις ἀνώτερόν ἐστι τῆς πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς

δύσεως. Ἀλλὰ δὴ ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ τὴν πρὸ τῆς Ζ ἀνα-

τολῆς δύσιν πεποιήσθω κατὰ τὸ Κ· νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ

ἥλιος τὴν ΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ ἐπεὶ ἀπὸ χειμερινῶν

τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου νὺξ ἡ πρότερον τῆς ὕστερόν ἐστι μακρο-

τέρα, μείζων ἄρα καὶ ἡ νύξ, ἧς ἀνατολή ἐστι τὸ Ε, τῆς νυκτός, ἐν ᾗ

ὁ ἥλιος τὴν ΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται· μείζων ἄρα καὶ ἡ περιφέ-

ρεια, ἣν διέρχεται ὁ ἥλιος ἐν τῇ νυκτί, ἧς ἀνατολή ἐστιν τὸ Ε, τῆς

ΚΖ περιφερείας· πολλῷ ἄρα τῆς ΚΕ μείζων ἐστὶν ἡ προειρημένη πε-

ριφέρεια. Ἔστω αὐτῇ ἴση ἡ ΕΛ· νυκτὸς ἄρα χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ὁ

ἥλιος τὴν ΛΕ περιφέρειαν διαπορεύεται. Καὶ συνανατέλλει τῷ Ε·

συνδύνει ἄρα τῷ Λ· ὥστε ἡ πρὸ τῆς Ε ἀνατολῆς δύσις ἀνώτερόν ἐστι

τῆς πρὸ τῆς Ζ ἀνατολῆς δύσεως.

Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, ἐὰν γένωνται τῷ ἡλίῳ δύσεις δύο, ἡ

μὲν ἀνώτερον, ἡ δὲ κατώτερον, ἡ μετὰ τὴν ἀνώτερον δύσιν ἀνατολὴ

ἀνώτερον ἔσται τῆς μετὰ τὴν κατώτερον δύσιν ἀνατολῆς, καὶ ἡ πρὸ

τῆς ἀνώτερον δύσεως ἀνατολὴ ἀνώτερον ἔσται τῆς πρὸ τῆς κατώτερον

δύσεως ἀνατολῆς.

ιʹ

Ἀπὸ θερινῶν τροπῶν τοῦ ἡλίου πορευομένου, ἐὰν γένωνται τῷ

ἡλίῳ δύσεις δύο, ἡ μὲν ἀνώτερον, ἡ δὲ κατώτερον, ἡ μετὰ τὴν ἀνώ-

τερον δύσιν ἀνατολὴ ἀνώτερον ἔσται τῆς μετὰ τὴν κατώτερον δύσιν

ἀνατολῆς, καὶ ἡ πρὸ τῆς ἀνώτερον δύσεως ἀνατολὴ ἀνώτερον ἔσται τῆς

πρὸ τῆς κατώτερον δύσεως ἀνατολῆς.

Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΑΒ,

χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΓΔ, τὸ δὲ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικύκλιον τὸ

ΑΖΓ, καὶ τοῦ ἡλίου ἀπὸ θερινῶν τρο-

πῶν πορευομένου γεγενήσθωσαν δύο

δύσεις κατὰ τὰ Ε, Ζ. Λέγω, ὅτι ἡ

μετὰ τὴν Ε δύσιν ἀνατολὴ ἀνώτερόν

ἐστι τῆς μετὰ τὴν Ζ δύσιν ἀνατολῆς.

Εἰ μὲν οὗν ὁ ἥλιος δύνας κατὰ

τὸ Ε τὴν μετὰ τὴν Ε δύσιν ἀνατολὴν

ποιήσεται ἤτοι κατὰ τὸ Ζ ἢ μεταξὺ

τῶν Ε, Ζ, φανερόν, ὅτι ἡ μετὰ τὴν Ε

δύσιν ἀνατολὴ ἀνώτερόν ἐστιν τῆς μετὰ

τὴν Ζ δύσιν ἀνατολῆς. Ἀλλὰ δὴ ὁ

ἥλιος δύνας κατὰ τὸ Ε τὴν μετὰ τὴν…

κ…