Elementa

κέντρον τοῦ κύκλου, τὸ Δ, μεγίστημὲν ἔσται ἡ ΔΗ, μείζων δὲ ἡ μὲνΔΓ τῆς ΔΒ, ἡ δὲ ΔΒ τῆς ΔΑ. ἀλλὰκαὶ ἴση· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκἄρα τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓκύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτιοὐδ' ἄλλο τι πλὴν τοῦ Δ· τὸ Δ ἄρα σημεῖον κέντρονἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ad γʹ, prop. ιʹ ΑΛΛΩΣ Κύκλος γὰρ πάλιν ὁ ΑΒΓ κύκλον τὸν ΔΕΖ τεμνέτωκατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο τὰ Β, Η, Θ, Ζ καὶ εἰλήφθω τὸκέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Κ, καὶἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΒ, ΚΗ, ΚΖ. Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΔΕΖ εἴλη-πταί τι σημεῖον ἐντὸς τὸ Κ, καὶ ἀπὸτοῦ Κ πρὸς τὸν ΔΕΖ κύκλον προσ-πεπτώκασι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαιαἱ ΚΒ, ΚΖ, ΚΗ, τὸ Κ ἄρα σημεῖονκέντρον ἐστὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου. ἔστιδὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Κ·δύο ἄρα κύκλων τεμνόντων ἀλλήλους τὸ αὐτὸ κέντρονἐστὶ τὸ Κ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα κύκλος κύκλοντέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ad γʹ, prop. ιαʹ Ἀλλὰ δὴ πιπτέτω ὡς ἡ ΗΖΓ, [καὶ] ἐκβεβλήσθω ἐπ'εὐθείας ἡ ΓΖΗ ἐπὶ τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱΑΗ, ΑΖ. Ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΖ μείζους εἰσὶ τῆς ΑΖ, ἀλλὰ ἡΖΑ ἴση [ἐστὶ] τῇ ΖΓ, τουτέστι τῇ ΖΘ, κοινὴ ἀφῃρήσθωἡ ΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ λοιπῆςτῆς ΗΘ μείζων ἐστίν, τουτέστινἡ ΗΔ τῆς ΗΘ, ἡ ἐλάττων τῆς μεί-ζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ὁμοίως,κἂν ἐκτὸς ᾖ τοῦ μικροῦ τὸ κέντροντοῦ μείζονος κύκλου, δείξομεν [τὸ]ἄτοπον. Ad γʹ, prop. λαʹ ΑΛΛΩΣἡ ἀπόδειξις τοῦ ὀρθὴν εἶναι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ. Ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ· ἴση γὰρδυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον· ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒδιπλῆ τῆς ὑπὸ ΕΑΓ. αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΕΒ, ΑΕΓ διπλασίο-νές εἰσι τῆς ὑπὸ ΒΑΓ. ἀλλ' αἱ ὑπὸ ΑΕΒ, ΑΕΓ δυσὶνὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν· ὅπερἔδει δεῖξαι. εʹ, ιθʹ Γεγόνασι δὲ οἱ λόγοι καὶ ἐπὶ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίωνκαὶ ἐπὶ τῶν ἀναλογιῶν, ἐπειδήπερ ἐὰν πρῶτον δευτέρουἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ἔσται καὶὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, οὕτως τὸ τρίτον πρὸς τὸτέταρτον. οὐκέτι δὲ καὶ ἀντιστρέφει· ἐὰν ᾖ ὡς πρῶτονπρὸς δεύτερον, οὕτως τρίτον πρὸς τέταρτον, οὐ πάντωςἔσται καὶ τὸ μὲν πρῶτον τοῦ δευτέρου ἰσάκις πολλαπλά-σιον τὸ δὲ τρίτον τοῦ τετάρτου, καθάπερ ἐπὶ τῶν ἡμιολίωνἢ ἐπιτρίτων λόγων ἢ τῶν τοιούτων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ϛʹ, κʹ ΑΛΛΩΣ Δείξομεν δὴ καὶ ἑτέρως προχειρότερον ὁμόλογα τὰτρίγωνα. Ἐκκείσθωσαν γὰρ πάλιν τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛπολύγωνα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΓ, ΗΛ, ΛΘ.λέγω, ὅτι ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ, οὕτωςτὸ ΕΒΓ πρὸς τὸ ΛΗΘ καὶ τὸ ΓΔΕ πρὸς τὸ ΘΚΛ. ἐπεὶγὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ,τὸ ΑΒΕ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ διπλασίονα λόγονἔχει ἤπερ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΗΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον διπλασίονα λόγονἔχει ἤπερ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΗΛ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΕτρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΒΕΓ πρὸς τὸΗΛΘ. πάλιν ἐπεὶ ὅμοιόν [ἐστι] τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷΛΗΘ τριγώνῳ, τὸ ΕΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ΛΗΘ διπλασίοναλόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΘΛ. διὰ τὰ αὐτὰδὴ καὶ τὸ ΕΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΘΚ τρίγωνον διπλα-σίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΘΛ. ἔστιν ἄρα ὡςτὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΗΘ, οὕτως τὸ ΓΕΔ πρὸςτὸ ΛΘΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ ΕΒΓ πρὸς τὸ ΛΗΘ,οὕτως τὸ ΑΒΕ πρὸς τὸ ΖΗΛ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΕ πρὸςτὸ ΖΗΛ, οὕτως τὸ ΒΕΓ πρὸς τὸ ΗΛΘ καὶ τὸ ΕΓΔπρὸς τὸ ΛΘΚ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ϛʹ, κζʹ ΑΛΛΩΣ Ἔστω γὰρ πάλιν ἡ ΑΒ τμηθεῖσα δίχα κατὰ τὸ Γκαὶ παραβληθὲν τὸ ΑΛ ἐλλεῖπον εἴδει τῷ ΛΒ, καὶπαραβεβλήσθω πάλιν παρὰ τὴν ΑΒ τὸ ΑΕ παραλλη-λόγραμμον ἐλλεῖπον τῷ ΕΒ ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳτῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῷ ΛΒ. λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβληθὲν τὸ ΑΛ τοῦ ΑΕ. Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΒ τῷΛΒ, περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον.ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΕΒ καὶκαταγεγράφθω τὸ σχῆμα. καὶ ἐπεὶἴσον ἐστὶ τὸ ΛΖ τῷ ΛΘ, ἐπεὶ καὶἡ ΖΗ τῇ ΗΘ, μεῖζον ἄρα τὸ ΛΖτοῦ ΚΕ. ἴσον δὲ τὸ ΛΖ τῷ ΔΛ.μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΕΚ. κοινὸν [προσκείσθω] τὸΚΔ. ὅλον ἄρα τὸ ΑΛ ὅλου τοῦ ΑΕ μεῖζόν ἐστιν· ὅπερἔδει δεῖξαι. Ϛʹ, λʹ ΑΛΛΩΣ Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ. δεῖ δὴ τὴν ΑΒ ἄκρονκαὶ μέσον λόγον τεμεῖν. Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ,ΒΓ ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ. ἐπεὶ οὖν τὸὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ, ἔστιν ἄρα ὡςἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ. ἡ ΑΒἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ· ὅπερἔδει ποιῆσαι. Ϛʹ, λαʹ ΑΛΛΩΣ Ἐπεὶ τὰ ὅμοια σχήματα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶνὁμολόγων πλευρῶν, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἄρα εἶδος πρὸς τὸἀπὸ τῆς ΒΑ εἶδος διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒπρὸς τὴν ΒΑ. ἔχει δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνονπρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἤπερἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ εἶδος πρὸςτὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ εἶδος, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνονπρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡςτὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ εἶδος, οὕτωςτὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετρά-γωνον. ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὰ ἀπὸτῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδη, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνονπρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετράγωνα. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸτῆς ΒΓ τετράγωνον τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓεἴδεσι τοῖς ὁμοίοις [τε] καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις [ὅπερἔδει δεῖξαι]. Ϛʹ, λγʹ Λέγω, ὅτι καὶ ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖπεριφέρειαν, οὕτως ὁ ΗΒΓ τομεὺς πρὸς τὸν ΘΕΖτομέα. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΓ, ΓΚ. καὶ ληφθέντων ἐπὶτῶν ΒΓ, ΓΚ περιφερειῶν τῶν Ξ, Ο σημείων ἐπεζεύ-χθωσαν καὶ αἱ ΒΞ, ΞΓ, ΓΟ, ΟΚ. Καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΗ, ΗΓ δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΚ ἴσαι εἰσὶκαὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, καὶ βάσις ἡ ΒΓ τῇ ΓΚἐστιν ἴση, ἴσον ἄρα [ἐστὶ] καὶ τὸ ΗΒΓ τρίγωνον τῷΗΓΚ τριγώνῳ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ περιφέρεια τῇΓΚ περιφερείᾳ, καὶ ἡ λοιπὴ εἰς τὸν ὅλον κύκλον περι-φέρεια ἴση ἐστὶ τῇ λοιπῇ εἰς τὸν ὅλον κύκλον περιφερείᾳ·ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΞΓ τῇ ὑπὸ ΓΟΚ ἐστιν ἴση·ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΞΓ τμῆμα τῷ ΓΟΚ τμήματι. καίεἰσιν ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν τῶν ΒΓ, ΓΚ. τὰ δὲ ἐπὶ ἴσωνεὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις εἰσίν· ἴσονἄρα ἐστὶ τὸ ΒΞΓ τμῆμα τῷ ΓΟΚ τμήματι. ἔστι δὲ καὶτὸ ΗΒΓ τρίγωνον τῷ ΗΓΚ τριγώνῳ ἴσον· καὶ ὅλος ἄραὁ ΒΗΓ τομεὺς ὅλῳ τῷ ΗΓΚ τομεῖ ἴσος ἐστίν. διὰ τὰαὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΗΚΛ τομεὺς ἑκατέρῳ τῶν ΗΒΓ, ΗΓΚἴσος ἐστίν. οἱ τρεῖς ἄρα τομεῖς οἱ ΗΒΓ, ΗΓΚ, ΗΛΚἴσοι ἀλλήλοις εἰσίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΘΕΖ, ΘΖΜ,