Arithmeticorum libri sex

{ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Α.}

Τὴν εὕρεσιν τῶν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς προβλημάτων,

τιμιώτατέ μοι Διονύσιε, γινώσκων σε σπουδαίως ἔχοντα

μαθεῖν, [ὀργανῶσαι τὴν μέθοδον] ἐπειράθην, ἀρξά-

μενος ἀφ' ὧν συνέστηκε τὰ πράγματα θεμελίων, ὑπο-

στῆσαι τὴν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς φύσιν τε καὶ δύναμιν.

Ἴσως μὲν οὖν δοκεῖ τὸ πρᾶγμα δυσχερέστερον,

ἐπειδὴ μήπω γνώριμόν ἐστιν, δυσέλπιστοι γὰρ εἰς

κατόρθωσίν εἰσιν αἱ τῶν ἀρχομένων ψυχαί, ὅμως δ'

εὐκατάληπτόν σοι γενήσεται, διά τε τὴν σὴν προθυ-

μίαν καὶ τὴν ἐμὴν ἀπόδειξιν· ταχεῖα γὰρ εἰς μάθησιν

ἐπιθυμία προσλαβοῦσα διδαχήν.

Ἀλλὰ καὶ πρὸς τοῖσδε γινώσκοντί σοι πάντας τοὺς

ἀριθμοὺς συγκειμένους ἐκ μονάδων πλήθους τινός,

φανερὸν καθέστηκεν εἰς ἄπειρον ἔχειν τὴν ὕπαρξιν

τυγχανόντων δὴ οὖν ἐν τούτοις

ὧν μὲν τετραγώνων, οἵ εἰσιν ἐξ ἀριθμοῦ τινος ἐφ'

ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος· οὗτος δὲ ὁ ἀριθμὸς καλεῖ-

ται <πλευρὰ τοῦ τετραγώνου·>

ὧν δὲ κύβων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων ἐπὶ τὰς αὐ-

τῶν πλευρὰς πολυπλασιασθέντων,

ὧν δὲ δυναμοδυνάμεων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων

ἐφ' ἑαυτοὺς πολυπλασιασθέντων,

ὧν δὲ δυναμοκύβων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων ἐπὶ

τοὺς ἀπὸ τῆς αὐτῆς αὐτοῖς πλευρᾶς κύβους πολυπλα-

σιασθέντων,

ὧν δὲ κυβοκύβων, οἵ εἰσιν ἐκ κύβων ἐφ' ἑαυτοὺς

πολυπλασιασθέντων, ἔκ τε τῆς τούτων ἤτοι συνθέσεως

ἢ ὑπεροχῆς ἢ πολυπλασιασμοῦ ἢ λόγου τοῦ πρὸς ἀλλή-

λους ἢ καὶ ἑκάστων πρὸς τὰς ἰδίας πλευρὰς συμβαίνει

πλέκεσθαι πλεῖστα προβλήματα ἀριθμητικά· λύεται δὲ

βαδίζοντός σου τὴν ὑποδειχθησομένην ὁδόν.

Ἐδοκιμάσθη οὖν ἕκαστος τούτων τῶν ἀριθμῶν

συντομωτέραν ἐπωνυμίαν κτησάμενος στοιχεῖον τῆς

ἀριθμητικῆς θεωρίας εἶναι· καλεῖται οὖν ὁ μὲν τετρά-

γωνος <δύναμις> καὶ ἔστιν αὐτῆς σημεῖον τὸ Δ ἐπίση-

μον ἔχον Υ, ΔΥ δύναμις·

ὁ δὲ <κύβος> καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον Κ ἐπίσημον

ἔχον Υ, ΚΥ κύβος·

ὁ δὲ ἐκ τετραγώνου ἐφ' ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος

<δυναμοδύναμις> καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον δέλτα δύο

ἐπίσημον ἔχοντα Υ, ΔΥ Δ δυναμοδύναμις·

ὁ δὲ ἐκ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τῆς αὐτῆς αὐτῷ

πλευρᾶς κύβου πολυπλασιασθέντος <δυναμόκυβος> καὶ

ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον τὰ ΔΚ ἐπίσημον ἔχοντα Υ, ΔΚΥ

δυναμόκυβος·

ὁ δὲ ἐκ κύβου ἑαυτὸν πολυπλασιάσαντος <κυβό-

κυβος> καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον δύο κάππα ἐπίσημον

ἔχοντα Υ, ΚΥΚ κυβόκυβος.

ὁ δὲ μηδὲν τούτων τῶν ἰδιωμάτων κτησάμενος,

ἔχων δὲ ἐν ἑαυτῷ πλῆθος μονάδων ἀόριστον, <ἀριθμὸς>

καλεῖται καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον τὸ 𐅶.

ἔστι δὲ καὶ ἕτερον σημεῖον τὸ ἀμετάθετον τῶν

ὡρισμένων ἡ <μονὰς> καὶ ἔστιν αὐτῆς σημεῖον τὸ Μ

ἐπίσημον ἔχον τὸ Ο, Μ<ο>

Ὥσπερ δὲ τῶν ἀριθμῶν τὰ ὁμώνυμα μόρια παρο-

μοίως καλεῖται τοῖς ἀριθμοῖς, τοῦ μὲν τρία τὸ τρίτον,

τοῦ δὲ τέσσαρα τὸ τέταρτον, οὕτως καὶ τῶν νῦν ἐπ-

ονομασθέντων ἀριθμῶν τὰ ὁμώνυμα μόρια κληθήσεται

παρομοίως τοῖς ἀριθμοῖς·

τοῦ μὲν ἀριθμοῦ, τὸ ἀριθμοστόν,

τῆς δὲ δυνάμεως, τὸ δυναμοστόν,

τοῦ δὲ κύβου, τὸ κυβοστόν,

τῆς δὲ δυναμοδυνάμεως, τὸ δυναμοδυναμοστόν,

τοῦ δὲ δυναμοκύβου, τὸ δυναμοκυβοστόν,

τοῦ δὲ κυβοκύβου, τὸ κυβοκυβοστόν·

ἕξει δὲ ἕκαστον αὐτῶν ἐπὶ τὸ τοῦ ὁμωνύμου ἀριθμοῦ

σημεῖον γραμμὴν א διαστέλλουσαν τὸ εἶδος.

Ἐκθέμενος οὖν σοι τὴν ἑκάστου τῶν ἀριθμῶν

ἐπωνυμίαν, ἐπὶ τοὺς πολυπλασιασμοὺς αὐτῶν μετα-

βήσομαι· ἔσονται δέ σοι καταφανεῖς διὰ τὸ προδεδη-

λῶσθαι σχεδὸν διὰ τῆς ὀνομασίας.

Ἀριθμὸς μὲν ἐπὶ ἀριθμὸν πολυπλασιασθεὶς ποιεῖ

δύναμιν,

ἐπὶ δὲ δύναμιν, κύβον,

ἐπὶ δὲ κύβον, δυναμοδύναμιν,

ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, δυναμόκυβον,

ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, κυβόκυβον.

Δύναμις δὲ ἐπὶ μὲν δύναμιν, δυναμοδύναμιν,

ἐπὶ δὲ κύβον, δυναμόκυβον,

ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, κυβόκυβον.

Κύβος δὲ ἐπὶ κύβον, κυβόκυβον.

Πᾶς δ' ἀριθμὸς ἐπὶ τὸ ὁμώνυμον αὐτοῦ μόριον

πολυπλασιασθεὶς μονάδα ποιεῖ.

Τῆς οὖν μονάδος ἀμεταθέτου οὔσης καὶ ἑστώσης

ἀεί, τὸ πολυπλασιαζόμενον εἶδος ἐπ' αὐτὴν αὐτὸ τὸ

εἶδος ἔσται.

Τὰ δ' ὁμώνυμα μόρια ἐφ' ἑαυτὰ πολυπλασιαζόμενα

ποιήσει ὁμώνυμα μόρια τοῖς ἀριθμοῖς·

οἷον τὸ μὲν ἀριθμοστὸν

ἐπὶ τὸ ἀριθμοστόν, δυναμοστὸν ποιεῖ,

ἐπὶ δὲ δυναμοστόν, κυβοστόν,

[ἐπὶ δὲ κυβοστόν, δυναμοδυναμοστόν,

ἐπὶ δὲ δυναμοδυναμοστόν, δυναμοκυβοστόν,

ἐπὶ δὲ τὸ δυναμοκυβοστόν, κυβοκυβοστόν,]

καὶ τοῦτο ὁμωνύμως συμβήσεται.

Ἀριθμοστὸν δὲ

ἐπὶ μὲν δύναμιν, ἀριθμόν,

ἐπὶ δὲ κύβον, δύναμιν,

ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, κύβον,

ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, δυναμοδύναμιν,

ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, δυναμόκυβον.

Δυναμοστὸν δὲ

ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, ἀριθμοστόν,

ἐπὶ δὲ κύβον, ἀριθμόν,

ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, δύναμιν,

ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, κύβον,

ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, δυναμοδύναμιν.

Κυβοστὸν δὲ

ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, δυναμοστόν,

ἐπὶ δὲ δύναμιν, ἀριθμοστόν,

ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, ἀριθμόν,

ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, δύναμιν,

ἐπὶ δὲ κυβόκυβον. κύβον.

Δυναμοδυναμοστὸν δὲ

ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, κυβοστόν,

ἐπὶ δὲ δύναμιν, δυναμοστόν,

ἐπὶ δὲ κύβον, ἀριθμοστόν,

ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, ἀριθμόν,

ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, δύναμιν.

Δυναμοκυβοστὸν δὲ

ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, δυναμοδυναμοστόν,

ἐπὶ δὲ δύναμιν, κυβοστόν,

ἐπὶ δὲ κύβον, δυναμοστόν,

ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, ἀριθμοστόν,

ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, ἀριθμόν.

Τὸ δὲ κυβοκυβοστὸν

ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, δυναμοκυβοστόν,

ἐπὶ δὲ δύναμιν, δυναμοδυναμοστόν,

ἐπὶ δὲ κύβον, κυβοστόν,

ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, δυναμοστόν,

ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, ἀριθμοστόν.

Λεῖψις ἐπὶ λεῖψιν πολλαπλασιασθεῖσα ποιεῖ ὕπαρξιν,

λεῖψις δὲ ἐπὶ ὕπαρξιν ποιεῖ λεῖψιν, καὶ τῆς λείψεως

σημεῖον Ψ ἐλλιπὲς κάτω νεῦον, ⩚.

Καὶ τῶν πολλαπλασιασμῶν σοι σαφηνισθέντων,

φανεροί εἰσιν οἱ μερισμοὶ τῶν προκειμένων εἰδῶν.

καλῶς οὖν ἔχει ἐναρχόμενον τῆς πραγματείας συνθέσει

καὶ ἀφαιρέσει καὶ πολλαπλασιασμοῖς τοῖς περὶ τὰ εἴδη

γεγυμνάσθαι, καὶ πῶς εἴδη ὑπάρχοντα καὶ λείποντα

μὴ ὁμοπληθῆ προσθῇς ἑτέροις εἴδεσιν, ἤτοι καὶ αὐτοῖς

ὑπάρχουσιν, ἢ καὶ ὁμοίως ὑπάρχουσι καὶ λείπουσι, καὶ

πῶς ἀπὸ ὑπαρχόντων εἰδῶν καὶ ἑτέρων λειπόντων

ὑφέλῃς ἕτερα ἤτοι ὑπάρχοντα, ἢ καὶ ὁμοίως ὑπάρχοντα

καὶ λείποντα.

Μετὰ δὲ ταῦτα ἐὰν ἀπὸ προβλήματός τινος γένηται

εἴδη τινὰ ἴσα εἴδεσι τοῖς αὐτοῖς, μὴ ὁμοπληθῆ δέ, ἀπὸ

ἑκατέρων τῶν μερῶν δεήσει ἀφαιρεῖν τὰ ὅμοια ἀπὸ

τῶν ὁμοίων, ἕως ἂν ἓν εἶδος ἑνὶ εἴδει ἴσον γένηται.

ἐὰν δέ πως ἐν ὁποτέρῳ ἐνυπάρχῃ ἢ ἐν ἀμφοτέροις ἐν

ἐλλείψεσί τινα εἴδη, δεήσει προσθεῖναι τὰ λείποντα

εἴδη ἐν ἀμφοτέροις τοῖς μέρεσιν, ἕως ἂν ἑκατέρων τῶν

μερῶν τὰ εἴδη ἐνυπάρχοντα γένηται, καὶ πάλιν ἀφελεῖν

τὰ ὅμοια ἀπὸ τῶν ὁμοίων, ἕως ἂν ἑκατέρῳ τῶν μερῶν

ἓν εἶδος καταλειφθῇ.

Φιλοτεχνείσθω δὲ τοῦτο ἐν ταῖς ὑποστάσεσι τῶν

προτάσεων, ἐὰν ἐνδέχηται, ἕως ἂν ἓν εἶδος ἑνὶ εἴδει

ἴσον καταλειφθῇ· ὕστερον δέ σοι δείξομεν καὶ πῶς

δύο εἰδῶν ἴσων ἑνὶ καταλειφθέντων τὸ τοιοῦτον λύεται.

Νῦν δ' ἐπὶ τὰς προτάσεις χωρήσωμεν ὁδόν, πλεί-

στην ἔχοντες τὴν ἐπ' αὐτοῖς τοῖς εἴδεσι συνηθροισμένην

ὕλην. πλείστων δ' ὄντων τῷ ἀριθμῷ καὶ μεγίστων

τῷ ὄγκῳ, καὶ διὰ τοῦτο βραδέως βεβαιουμένων ὑπὸ

τῶν παραλαμβανόντων αὐτὰ καὶ ὄντων ἐν αὐτοῖς

δυσμνημονευτῶν, ἐδοκίμασα τὰ ἐν αὐτοῖς ἐπιδεχόμενα

διαιρεῖν, καὶ μάλιστα τὰ ἐν ἀρχῇ ἔχοντα στοιχειώδως

ἀπὸ ἁπλουστέρων ἐπὶ σκολιώτερα διελεῖν ὡς προσῆκεν.

οὕτως γὰρ εὐόδευτα γενήσεται τοῖς ἀρχομένοις, καὶ ἡ

ἀγωγὴ αὐτῶν μνημονευθήσεται, τῆς πραγματείας αὐ-

τῶν ἐν τρισκαίδεκα βιβλίοις γεγενημένης.

α.

Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς

ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ.

Ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς ὁ ρ̅, ἡ δὲ ὑπεροχὴ Μ<ο> μ̅.

εὑρεῖν τοὺς ἀριθμούς.

Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α̅· ὁ ἄρα μείζων ἔσται

𐅶 α̅ Μ<ο> μ̅· συναμφότεροι ἄρα γίνονται 𐅶 α̅ Μ<ο> μ̅· δέδονται

δὲ Μ<ο> ρ̅.

Μ ἄρα ρ̅ ἴσαι εἰσὶν 𐅶 β̅ Μ<ο> μ̅.

καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ρ̅, Μ<ο> μ̅, [καὶ

〈ἀπὸ〉 τῶν β̅ ἀριθμῶν καὶ τῶν μ̅ μονάδων ὁμοίως

μονάδας μ̅·] λοιποὶ 𐅶 β̅ ἴσοι Μ<ο> ξ̅. ἕκαστος ἄρα γίνε-

ται 𐅶, Μ<ο> λ̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ<ο> λ̅, ὁ

δὲ μείζων Μ<ο> ο̅, καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

β.

Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν δεῖ διελεῖν εἰς δύο ἀριθ-

μοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ξ̅ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν

λόγω γ̅πλ.

Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α̅. ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ̅,

καὶ ἔστιν ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος τριπλασίων. δεῖ

λοιπὸν τοὺς δύο ἴσους εἶναι Μ<ο> ξ̅· ἀλλ' οἱ δύο συν-

τεθέντες 𐅶 εἰσι δ̅.

𐅶 ἄρα δ̅ ἴσοι Μ<ο> ξ̅. ὁ 𐅶 ἄρα Μ<ο> ι̅ε̅.

ὁ ἄρα ἐλάσσων ἔσται Μ<ο> ι̅ε̅, ὁ δὲ μείζων Μ<ο> μ̅ε̅.

γ.

Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς

ἐν λόγῳ καὶ ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν π̅ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς

ἵνα ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος γπλ. ᾖ καὶ ἔτι Μ<ο> δ̅ ὑπερέχῃ.

Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α̅, ὁ μείζων ἄρα 𐅶 γ̅ καὶ Μ<ο> δ̅·

καὶ ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος ὢν γπλ. ἔτι καὶ Μ<ο> δ̅ ὑπερ-

έχει. λοιπὸν τοὺς δύο θέλω ἴσους εἶναι Μ<ο> π̅· ἀλλ' οἱ

δύο συντεθέντες 𐅶 εἰσι δ̅ καὶ Μ<ο> δ̅.

𐅶 ἄρα δ̅ καὶ Μ<ο> δ̅ ἴσοι Μ<ο> π̅.

καὶ ἀφαιρῶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· λοιπαὶ ἄρα Μ<ο> ο̅Ϛ̅

ἴσαι 𐅶 δ̅· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> ι̅θ̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ἄρα ὁ ἐλάσσων ἀριθμὸς

Μ<ο> ι̅θ̅, ὁ δὲ μείζων Μ<ο> ξ̅α̅, [προστιθεμένων τῶν δ̅ Μ<ο> ὧν

ἀφεῖλον ἀπὸ τῶν π̅ Μ<ο>. ἀφεῖλον γὰρ ὥστε εὑρεῖν πόσων

Μ<ο> ἔσται ἕκαστος ἀριθμός, ὕστερον δὲ τῷ μείζονι

ἀριθμῷ προστίθημι τὰς δ̅ Μ<ο>, μετὰ τὸ γνῶναι πόσων

ἕκαστος].

δ.

Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ δοθέντι ὅπως καὶ

ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν δοθῇ.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι επλ.,

τὴν δὲ ὑπεροχὴν αὐτῶν ποιεῖν Μ<ο> κ̅.

Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α̅, ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 ε̅.

λοιπὸν θέλω 𐅶 ε̅ ὑπερέχειν 𐅶 α̅, Μ<ο> κ̅· ἀλλ' ἡ ὑπεροχὴ

αὐτῶν ἐστιν 𐅶 δ̅· οὗτοι ἴσοι Μ<ο> κ̅.

ἔσται ὁ ἐλάσσων ἀριθμὸς Μ<ο> ε̅, ὁ δὲ μείζων Μ<ο> κ̅ε̅.

καὶ μένει ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος ὢν επλ., ἡ δὲ ὑπερ-

οχὴ γίνεται Μ<ο> κ̅.

ε.

Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθ-

μοὺς ὅπως ἑκατέρου τῶν διῃρημένων τὰ δοθέντα μὴ

τὰ αὐτὰ μέρη συντεθέντα ποιῇ τὸν δοθέντα ἀριθμόν.

Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον ἀριθμὸν δίδοσθαι ὥστε

εἶναι ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν γινομένων δύο ἀριθμῶν

ἐὰν τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἐπιταχθέντος ληφθῇ τὰ δοθέντα μὴ

τὰ αὐτὰ μέρη.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ̅ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς

ὅπως τὸ τοῦ αου ἀριθμοῦ γον καὶ τὸ τοῦ βου εον ἐπὶ

τὸ αὐτὸ συντεθέντα ποιῇ Μ<ο> λ̅.

Ἔταξα τὸ τοῦ βου εον, 𐅶 α̅· αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 ε̅·

τὸ ἄρα τοῦ αου γον ἔσται Μ<ο> λ̅ ⩚ 𐅶 α̅· αὐτὸς ἄρα ἔσται

Μ<ο> Ϙ̅ ⩚ 𐅶 γ̅. λοιπὸν θέλω τοὺς δύο συντεθέντας ποιεῖν

Μ<ο> ρ̅· ἀλλ' οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 β̅ καὶ Μ<ο> Ϙ̅·

ταῦτα ἴσα Μ<ο> ρ̅.

καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιπαὶ ἄρα Μ<ο> ι̅ ἴσαι 𐅶 β̅.

[ὁ 𐅶 ἄρα ἔσται Μ<ο> ε̅.]

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸ τοῦ βου εον 𐅶 α̅, ἔσται

Μ<ο> ε̅, αὐτὸς ἄρα Μ<ο> κ̅ε̅· τὸ δὲ τοῦ αου γον, Μ<ο> λ̅ ⩚ 𐅶 α̅,

ἔσται Μ<ο> κ̅ε̅, αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ<ο> ο̅ε̅. καὶ μένει τὸ τοῦ

αου γον καὶ τὸ τοῦ βου εον Μ<ο> λ̅, [ἅπερ κοινῇ συντεθέντα

ποιοῦσι τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμόν].

Ϛ.

Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς

ὅπως τὸ τοῦ πρώτου μέρος δοθὲν τοῦ τοῦ ἑτέρου μέ-

ρους δοθέντος ὑπερέχῃ δοθέντι ἀριθμῷ.

Δεῖ δὴ τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ἐλάσσονα εἶναι τοῦ

γινομένου ἀριθμοῦ ἐὰν τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἐπιταχθέντος

ληφθῇ τὸ δοθὲν μέρος ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ὑπεροχή.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ̅ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς

ὅπως τὸ τοῦ αου δον τοῦ τοῦ βου Ϛου ὑπερέχῃ Μ<ο> κ̅.

Ἔταξα τὸ τοῦ βου Ϛον, 𐅶 α̅. αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 Ϛ̅· τὸ

ἄρα τοῦ αου δον ἔσται 𐅶 α̅ καὶ Μ<ο> κ̅, αὐτὸς ἄρα ἔσται

𐅶 δ̅ καὶ Μ<ο> π̅. λοιπὸν θέλω τοὺς δύο συντεθέντας

ποιεῖν Μ<ο> ρ̅· ἀλλ' οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 ι̅ καὶ

Μ<ο> π̅· ταῦτα ἴσα Μ<ο> ρ̅.

ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιπὸν 𐅶 ι̅ ἴσοι Μ<ο> κ̅, καὶ γί-

νεται ὁ 𐅶 Μ<ο> β̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸ τοῦ βου Ϛον, 𐅶 α̅·

ἔσται Μ<ο> β̅, αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ<ο> ι̅β̅· τὸ δὲ τοῦ αου δον,

𐅶 α̅ καὶ Μ<ο> κ̅· ἔσται Μ<ο> κ̅β̅, αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ<ο> π̅η̅. καὶ

μένει τὸ τοῦ αου δον τοῦ τοῦ βου Ϛου ὑπέρεχον Μ<ο> κ̅,

[οἵτινες κοινῇ συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἐπιταχθέντα

ἀριθμόν].

ζ.

Ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν δύο δοθέντας

ἀριθμοὺς καὶ ποιεῖν τοὺς λοιποὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον

ἔχειν δεδομένον.

Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν

τὸν ρ̅ καὶ τὸν κ̅, καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσό-

νων γπλ.

Τετάχθω ὁ ζητούμενος 𐅶 α̅· κᾂν μὲν ἀπὸ τούτου

ἀφέλω τὸν ρ̅, λοιπὸς 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> ρ̅· ἐὰν δὲ τὸν κ̅, λοιπὸς

𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> κ̅. καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι

γπλ.· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι, τρὶς

δὲ τὰ ἐλάσσονα γίνεται 𐅶 γ̅ ⩚ Μ<ο> τ̅. ταῦτα ἴσα 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> κ̅.

κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις· γίνεται 𐅶 γ̅ ἴσοι 𐅶 α̅

καὶ Μ<ο> σ̅π̅. καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιπὸν

𐅶 β̅ ἴσοι Μ<ο> σ̅π̅, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> ρ̅μ̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν ζητούμενον ἀριθμὸν

𐅶 α̅, ἔσται ἄρα Μ<ο> ρ̅μ̅. κᾂν μὲν ἀπὸ τούτου ἀφέλω

τὸν ρ̅, λοιπαὶ Μ<ο> μ̅· ἐὰν δὲ τὸν κ̅, λοιπαὶ Μ<ο> ρ̅κ̅. καὶ

μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων τριπλάσια.

η.

Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσθεῖναι τὸν αὐτὸν

ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τοὺς γενομένους πρὸς ἀλλήλους

λόγον ἔχειν δεδομένον.

Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον λόγον ἐλάσσονα εἶναι τοῦ

λόγου οὗ ἔχει ὁ μείζων τῶν δοθέντων πρὸς τὸν ἐλάσ-

σονα.

Ἐπιτετάχθω δὴ τῷ ρ̅ καὶ τῷ κ̅ προσθεῖναι τὸν

αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων γπλ..

Τετάχθω ὁ προστιθέμενος ἑκατέρῳ ἀριθμῷ 𐅶 α̅. κᾂν

μὲν τῷ ρ̅ προστεθῇ, ἔσται 𐅶 α̅ Μ<ο> ρ̅ ἐὰν δὲ τῷ κ̅, γίνεται

𐅶 α̅ Μ<ο> κ̅. καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι

γπλ.· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἔσται τοῖς μείζοσι. τρὶς

δὲ τὰ ἐλάσσονα γίνεται 𐅶 γ̅ Μ<ο> ξ̅· ταῦτα ἴσα 𐅶 α̅ Μ<ο> ρ̅.

ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιποὶ 𐅶 β̅ ἴσοι Μ<ο> μ̅, καὶ γί-

νεται ὁ 𐅶 Μ<ο> κ̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν προστιθέμενον ἑκα-

τέρῳ ἀριθμῷ 𐅶 α̅, ἔσται Μ<ο> κ̅. κἂν μὲν τῷ ρ̅ προσ-

τεθῇ, γίνονται Μ<ο> ρ̅κ̅· ἐὰν δὲ τῷ κ̅, γίνονται Μ<ο> μ̅. καὶ

μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων τριπλάσια.

θ.

Ἀπὸ δοθέντων δύο ἀριθμῶν ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν

ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τοὺς λοιποὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον

ἔχειν δεδομένον.

Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον λόγον μείζονα εἶναι τοῦ

λόγου οὗ ἔχει ὁ μείζων τῶν δοθέντων πρὸς τὸν ἐλάσ-

σονα.

Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ κ̅ καὶ τοῦ ρ̅ ἀφελεῖν τὸν

αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων Ϛπλ.

Τετάχθω ὁ ἀφαιρούμενος ἀφ' ἑκατέρου ἀριθμοῦ,

𐅶 α̅. κᾂν μὲν ἀπὸ τοῦ ρ̅ ἀφαιρεθῇ, λοιπαὶ Μ<ο> ρ̅ ⩚ 𐅶 α̅·

ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ κ̅, λοιπαὶ Μ<ο> κ̅ ⩚ 𐅶 α̅. καὶ δεήσει τὰ

μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι Ϛπλ.· Ϛκις ἄρα τὰ ἐλάσσονα

ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσιν, Ϛκις δὲ τὰ ἐλάσσονα ποιεῖ

Μ<ο> ρ̅κ̅ ⩚ 𐅶 Ϛ̅· ταῦτα ἴσα Μ<ο> ρ̅ ⩚ 𐅶 α̅.

κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ

ὁμοίων ὅμοια. λοιποὶ 𐅶 ε̅ ἴσοι Μ<ο> κ̅, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> δ̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν ἀφαιρούμενον ἀφ'

ἑκατέρου ἀριθμοῦ 𐅶 α̅, ἔσται Μ<ο> δ̅. κᾂν μὲν ἀπὸ τοῦ ρ̅

ἀφαιρεθῇ, λοιπαὶ Μ<ο> Ϙ̅Ϛ̅· ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ κ̅, λοιπαὶ Μ<ο> ι̅Ϛ̅.

καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων ὄντα ἑξαπλάσια.

ι.

Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς, τῷ μὲν ἐλάσσονι αὐτῶν

προσθεῖναι, ἀπὸ δὲ τοῦ μείζονος ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν

ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὸν γενόμενον πρὸς τὸν λοιπὸν

λόγον ἔχειν δεδομένον.

Ἐπιτετάχθω τῷ μὲν κ̅ προσθεῖναι, ἀπὸ δὲ τοῦ ρ̅

ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν

ἐλασσόνων δπλ.

Τετάχθω ὁ προστιθέμενος καὶ ἀφαιρούμενος ἑκα-

τέρῳ ἀριθμῷ 𐅶 α̅. κᾂν μὲν τῷ κ̅ προστεθῇ, γίνεται

𐅶 α̅ Μ<ο> κ̅· ἐὰν δὲ τοῦ ρ̅ ἀφαιρεθῇ, γίνεται Μ<ο> ρ̅ ⩚ 𐅶 α̅.

καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι δπλ.· δκις

ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι, δκις δὲ τὰ ἐλάσ-

σονα γίνεται Μ<ο> υ̅ ⩚ 𐅶 δ̅· ταῦτα ἴσα 𐅶 α̅ Μ<ο> κ̅.

κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ

ὁμοίων ὅμοια. λοιποὶ 𐅶 ε̅ ἴσοι Μ<ο> τ̅π̅, καὶ γίνεται ὁ

𐅶 Μ<ο> ο̅Ϛ̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν προστιθέμενον καὶ

ἀφαιρούμενον ἀφ' ἑκατέρου ἀριθμοῦ 𐅶 α̅, ἔσται Μ<ο> ο̅Ϛ̅.

κᾂν μὲν τῷ κ̅ Μ<ο> ο̅Ϛ̅ προστεθῶσι, γίνονται Μ<ο> Ϙ̅Ϛ̅· ἐὰν

δὲ τοῦ ρ̅ ἀφαιρεθῶσι, λοιπαὶ Μ<ο> κ̅δ̅. καὶ μένει τὰ μεί-

ζονα τῶν ἐλασσόνων ὄντα τετραπλάσια.

ια.

Δύο δοθέντας ἀριθμοὺς ὃν μὲν προσθεῖναι, τὸν

δὲ ἕτερον ἀφελεῖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ, καὶ ποιεῖν

τοὺς γενομένους πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν δεδομένον.

Ἐπιτετάχθω τὸν μὲν κ̅ προσθεῖναι, τὸν δὲ ρ̅ ἀφ-

ελεῖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα

τῶν ἐλασσόνων γπλ..

Ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α̅. κᾂν μὲν τούτῳ προσθῶ-

μεν Μ<ο> κ̅, γίνεται 𐅶 α̅ Μ<ο> κ̅· ἐὰν δὲ ἀπὸ τούτου ἀφαιρε-

θῶσι Μ<ο> ρ̅, λοιπὸς 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> ρ̅. καὶ δεήσει τὰ μείζονα

τῶν ἐλασσόνων εἶναι γπλ.· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα

ἐστὶ τοῖς μείζοσι. ἀλλὰ τρὶς τὰ ἐλάσσονα γίνεται

𐅶 γ̅ ⩚ Μ<ο> τ̅.

𐅶 ἄρα γ̅ ⩚ Μ<ο> τ̅ ἴσα ἐστὶ 𐅶 α̅ Μ<ο> κ̅.

κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων

ὅμοια.

Μ<ο> τ̅κ̅ ἄρα ἴσα εἰσὶν 𐅶 β̅, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> ρ̅ξ̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ἄρα ὁ μὲν μείζων Μ<ο> ρ̅π̅,

ὁ δὲ ἐλάσσων Μ<ο> ξ̅. καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασ-

σόνων τριπλάσια.

ιβ.

Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς

δίς, ὅπως ὁ εἷς τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως πρὸς

ἕνα τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδο-

μένον, ὁ δὲ λοιπὸς τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως

πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως λόγον

ἔχῃ δεδομένον.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ̅ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς

δίς, ὅπως ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως τοῦ

ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως ᾖ βπλ., ὁ δὲ

μείζων τῶν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν

ἐκ τῆς αης διαιρέσεως ᾖ γπλ..

Τετάχθω ὁ ἐλάσσων ὁ ἐκ τῆς βας διαιρέσεως 𐅶 α̅,

ὁ ἄρα μείζων τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως ἔσται 𐅶 β̅· ὁ

ἐλάσσων ἄρα τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως ἔσται

Μ<ο> ρ̅ ⩚ 𐅶 β̅· καὶ ἐπεί ἐστιν αὐτοῦ τριπλασίων ὁ μείζων

τῶν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως, ἔσται Μ<ο> τ̅ ⩚ 𐅶 Ϛ̅. λοιπόν

ἐστι καὶ τοὺς τῆς βας διαιρέσεως συντεθέντας ποιεῖν

Μ<ο> ρ̅· ἀλλὰ συντεθέντες ποιοῦσι Μ<ο> τ̅ ⩚ 𐅶 ε̅· ταῦτα ἴσα

Μ<ο> ρ̅, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> μ̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν μείζονα τῶν ἐκ τῆς

αης διαιρέσεως 𐅶 β̅, ἔσται Μ<ο> π̅· τὸν δὲ ἐλάσσονα 〈τῶν

ἐκ〉 τῆς αὐτῆς διαιρέσεως Μ<ο> ρ̅ ⩚ 𐅶 β̅, ἔσται Μ<ο> κ̅· τὸν

δὲ μείζονα τὸν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως Μ<ο> τ̅ ⩚ 𐅶 Ϛ̅, ἔσται

Μ<ο> ξ̅· τὸν δὲ ἐλάσσονα τὸν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως 𐅶 α̅,

ἔσται Μ<ο> μ̅. καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις.

ιγ.

Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς

τρίς, ὅπως ὁ εἷς τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως πρὸς

ἕνα τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδο-

μένον, ὁ δὲ λοιπὸς τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως

πρὸς ἕνα τῶν ἐκ τῆς τρίτης διαιρέσεως λόγον ἔχῃ

δεδομένον, καὶ ἔτι ὁ λοιπὸς τῶν ἐκ τῆς τρίτης διαιρέ-

σεως πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως

λόγον ἔχῃ δεδομένον.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ̅ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς

τρίς, ὅπως ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως τοῦ

ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς βας ᾖ γπλ., ὁ δὲ μείζων τῶν ἐκ

τῆς βας διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς γης ᾖ βπλ.,

καὶ ἔτι ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς γης διαιρέσεως τοῦ ἐλάσ-

σονος τῶν ἐκ τῆς αης ᾖ δπλ..

Τετάχθω ὁ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς γης διαιρέσεως 𐅶 β̅· καὶ

ὁ ἄρα μείζων τῶν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως ἔσται 𐅶 β̅. καὶ

ἐπεὶ ὅλη ἡ διαίρεσίς ἐστι Μ<ο> ρ̅, ὁ ἄρα ἐλάσσων τῶν

ἐκ τῆς βας διαιρέσεως ἔσται Μ<ο> ρ̅ ⩚ 𐅶 β̅. καὶ ἐπεί ἐστιν

αὐτοῦ γπλ. ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως, ἔσται

Μ<ο> τ̅ ⩚ 𐅶 Ϛ̅· ὁ ἄρα ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως

ἔσται 𐅶 Ϛ̅ ⩚ Μ<ο> σ̅. καὶ ἐπεί ἐστιν αὐτοῦ δπλ. ὁ μείζων

τῶν ἐκ τῆς γης διαιρέσεως, ἔσται 𐅶 κ̅δ̅ ⩚ Μ<ο> ω̅. λοιπόν

ἐστι καὶ τὴν γην διαίρεσιν συντεθεῖσαν ποιεῖν Μ<ο> ρ̅·

ἀλλὰ συντεθεῖσα ποιεῖ 𐅶 κ̅ε̅ ⩚ Μ<ο> ω̅. ταῦτα ἴσα Μ<ο> ρ̅,

καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> λ̅Ϛ̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων τῶν ἐκ

τῆς γης διαιρέσεως Μ<ο> λ̅Ϛ̅, ὁ δὲ μείζων ξ̅δ̅.

ὁ δὲ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς αης διαιρέσεως Μ<ο> ι̅Ϛ̅, ὁ

δὲ μείζων π̅δ̅.

ὁ δὲ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς βας διαιρέσεως 〈Μ<ο>〉 κ̅η̅,

ὁ δὲ μείζων ο̅β̅. καὶ δῆλον ὡς ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

ιδ.

Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἐκ τοῦ πολλαπλα-

σιασμοῦ πρὸς τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως λόγον ἔχῃ δεδο-

μένον.

Δεῖ δὴ τὸ ὑποτιθέμενον πλῆθος τῶν μονάδων ἑνὸς

τῶν ἀριθμῶν μεῖζον εἶναι τοῦ ὁμωνύμου τοῦ διδο-

μένου λόγου.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ πρὸς

τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως λόγον ἔχειν γπλ.·

Τετάχθω ὁ μὲν εἷς αὐτῶν 𐅶 α̅, ὁ δὲ ἕτερος, κατὰ

τὸν προσδιορισμόν, πλείων Μ<ο> γ̅· ἔστω Μ<ο> ι̅β̅. καὶ ἔστι

τὸ μὲν ὑπ' αὐτῶν 𐅶 ι̅β̅, ἡ δὲ σύνθεσις αὐτῶν 𐅶 α̅ Μ<ο> ι̅β̅.

λοιπόν ἐστιν 𐅶 ι̅β̅ γπλ. εἶναι 𐅶 α̅ Μ<ο> ι̅β̅· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσ-

σονα ἴσα [ἐστὶ] τοῖς μείζοσι· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> δ̅.

ἔσται ὁ μὲν αὐτῶν Μ<ο> δ̅, ὁ δὲ Μ<ο> ι̅β̅. καὶ ποιοῦσι

τὸ πρόβλημα.

ιε.

Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἑκάτερος παρὰ θατέρου

λαβὼν τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμόν, λόγον ἔχῃ πρὸς τὸν

ὑπολειφθέντα τὸν ἐπιταχθέντα.

Ἐπιτετάχθω δῂ τὸν μὲν αον παρὰ τοῦ βου λαβόντα

Μ<ο> λ̅, γίνεσθαι αὐτοῦ βπλ., τὸν δὲ βον παρὰ τοῦ αου

λαβόντα Μ<ο> ν̅, γίνεσθαι αὐτοῦ γπλ..

Τετάχθω ὁ βος 𐅶 α̅ καὶ ὧν δίδωσι Μ<ο> λ̅· ὁ ἄρα αος

ἔσται 𐅶 β̅ ⩚ Μ<ο> λ̅, ἵνα λαβὼν παρὰ τοῦ βου τὰς Μ<ο> λ̅,

γίνηται βπλ. αὐτοῦ. λοιπόν ἐστιν καὶ τὸν βον παρὰ τοῦ

αου λαβόντα Μ<ο> ν̅, γίνεσθαι αὐτοῦ γπλ.· ἀλλὰ δοὺς μὲν

ὁ αος Μ<ο> ν̅, λοιπὸν ἔχει 𐅶 β̅ ⩚ Μ<ο> π̅· λαβὼν δὲ αὖ ὁ βος

τὰς Μ<ο> ν̅, γίνεται 𐅶 α̅ Μ<ο> π̅. λοιπόν ἐστιν 𐅶 α̅ Μ<ο> π̅ γπλ.

εἶναι 𐅶 β̅ ⩚ Μ<ο> π̅· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς

μείζοσι, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> ξ̅δ̅.

καὶ ἔσται ὁ μὲν αος Μ<ο> Ϙ̅η̅, ὁ δὲ βος Μ<ο> Ϙ̅δ̅. καὶ

ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

ιϚ.

Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι

ποιῶσι τοὺς ἐπιταχθέντας ἀριθμούς.

Δεῖ δὴ τῶν ἐπιταττομένων τριῶν τὸ ἥμισυ μεῖζον

εἶναι ἑκάστου αὐτῶν.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν αον μετὰ τοῦ βου συν-

τεθέντας ποιεῖν Μ<ο> κ̅, τὸν δὲ βον μετὰ τοῦ γου ποιεῖν

Μ<ο> λ̅, τὸν δὲ γον μετὰ τοῦ αου ποιεῖν Μ<ο> μ̅.

Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς 𐅶 α̅. καὶ ἐπεὶ ὁ αος καὶ ὁ βος

ποιοῦσι Μ<ο> κ̅, ἐὰν ἄρα ἀπὸ 𐅶 α̅ ἀφέλω Μ<ο> κ̅, ἕξω τὸν

γον 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> κ̅· διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὁ μὲν αος ἔσται

𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> λ̅, ὁ δὲ βος 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> μ̅· λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς

συντεθέντας ἀριθμοὺς γίνεσθαι ἴσους 𐅶 α̅· ἀλλ' οἱ τρεῖς

συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 γ̅ ⩚ Μ<ο> Ϙ̅· ταῦτα ἴσα 𐅶 α̅· καὶ

γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> μ̅ε̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μ<ο> ι̅ε̅, ὁ δὲ

βος Μ<ο> ε̅, ὁ δὲ γος Μ<ο> κ̅ε̅. καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις.

ιζ.

Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως σὺν τρεῖς συν-

τιθέμενοι ποιῶσι τοὺς ἐπιταχθέντας ἀριθμούς.

Δεῖ δὴ τῶν τεσσάρων τὸ τρίτον μεῖζον εἶναι ἑκά-

στου αὐτῶν.

Ἐπιτετάχθω δὴ τοὺς μὲν ἀπὸ τοῦ αου τρεῖς κατὰ

τὸ ἑξῆς συντεθέντας ποιεῖν Μ<ο> κ̅, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ βου

τρεῖς ποιεῖν Μ<ο> κ̅β̅, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ γου τρεῖς ποιεῖν

Μ<ο> κ̅δ̅, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ δου τρεῖς ποιεῖν Μ<ο> κ̅ζ̅.

Τετάχθωσαν οἱ τέσσαρες 𐅶 α̅. καὶ ἐὰν ἄρα ἀπὸ 𐅶 α̅

ἀφέλω τοὺς αους τρεῖς. τουτέστι Μ<ο> κ̅, λοιπὸν ἕξω τὸν

δον 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> κ̅· διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὁ μὲν αος [ἔσται]

𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> κ̅β̅, ὁ δὲ βος 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> κ̅δ̅, ὁ δὲ γος 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> κ̅ζ̅.

λοιπόν ἐστι τοὺς δ̅ συντεθέντας ἀριθμοὺς ἴσους γί-

νεσθαι 𐅶 α̅. ἀλλ' οἱ δ̅ συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 δ̅ ⩚ Μ<ο> Ϙ̅γ̅·

ταῦτα ἴσα 𐅶 α̅. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> λ̅α̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μ<ο> θ̅, ὁ δὲ

βος Μ<ο> ζ̅, ὁ δὲ γος Μ<ο> δ̅, ὁ δὲ δος Μ<ο> ι̅α̅. καὶ ποιοῦσι τὸ

πρόβλημα.

ιη.

Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι

τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσι τῷ ἐπιταχθέντι ἀριθμῷ.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν αον καὶ τὸν βον τοῦ γου

ὑπερέχειν Μ<ο> κ̅, τὸν δὲ βον καὶ τὸν γον τοῦ αου ὑπερ-

έχειν Μ<ο> λ̅, τὸν δὲ γον καὶ τὸν αον τοῦ βου ὑπερέχειν Μ<ο> μ̅.

Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς 𐅶 β̅. καὶ ἐπεὶ ὁ αος καὶ ὁ βος

τοῦ γου ὑπερέχουσιν Μ<ο> κ̅, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ γου,

οἱ τρεῖς, δίς ἐστιν ὁ γος καὶ ἡ ὑπεροχὴ Μ<ο> κ̅. ἐὰν ἄρα

ἀπὸ τῶν τριῶν, τουτέστιν 𐅶 β̅, ἀφέλω Μ<ο> κ̅, ἕξω δὶς

τὸν γον 𐅶 β̅ ⩚ Μ<ο> κ̅· ἅπαξ ἄρα ὁ γος ἔσται 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> ι̅.

διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν αος ἔσται 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> ι̅ε̅, ὁ

δὲ βος 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> κ̅. λοιπόν ἐστιν τοὺς τρεῖς ἴσους εἶναι

𐅶 β̅· ἀλλ' οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 γ̅ ⩚ Μ<ο> μ̅ε̅·

ταῦτα ἴσα 𐅶 β̅. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> μ̅ε̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μ<ο> λ̅, ὁ δὲ

βος Μ<ο> κ̅ε̅, ὁ δὲ γος λ̅ε̅. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

[Ἄλλως.]

Ἐπεὶ ὁ αος καὶ ὁ βος τοῦ γου ὑπερέχουσι Μ<ο> κ̅, ἔστω

ὁ γος 𐅶 α̅· συναμφότερος ἄρα ὅ τε αος καὶ ὁ βος ἔσται

𐅶 α̅ Μ<ο> κ̅. πάλιν ἐπεὶ ὁ βος καὶ ὁ γος τοῦ αου ὑπερ-

έχουσι Μ<ο> λ̅, τάσσω τὸν βον τοσούτων Μ<ο> ὅσων ἐστὶν ὁ

ἥμισυς τοῦ τε κ̅ καὶ λ̅, τουτέστι Μ<ο> κ̅ε̅· καὶ ἐπεὶ ὁ αος

καὶ ὁ βος ἐστιν 𐅶 α̅ Μ<ο> κ̅, ὧν ὁ βος ἐστιν Μ<ο> κ̅ε̅, λοιπὸς

ἄρα ὁ αος ἔσται 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> ε̅. λοιπὸν δεῖ καὶ τὸν γον μετὰ

τοῦ αου, τοῦ βου ὑπερέχειν Μ<ο> μ̅· ἀλλὰ ὁ αος μετὰ τοῦ

γου ἐστὶν 𐅶 β̅ ⩚ Μ<ο> ε̅· ἴσοι ἄρα εἰσὶ Μ<ο> ξ̅ε̅.

κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις. 𐅶 ἄρα β̅ ἴσοι Μ<ο> ο̅. καὶ

γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> λ̅ε̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν αον, 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> ε̅·

ἔσται Μ<ο> λ̅· τὸν δὲ βον Μ<ο> κ̅ε̅· τὸν δὲ γον 𐅶 α̅· ἔσται Μ<ο> λ̅ε̅.

ιθ.

Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως οἱ τρεῖς λαμβανό-

μενοι τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσιν ἐπιταχθέντι ἀριθμῷ.

Δεῖ δὴ τῶν ἐκ τῆς ὑπεροχῆς τεσσάρων τὸ ἥμισυ

μεῖζον εἶναι ἑκάστου αὐτῶν.

Ἐπιτετάχθω δὴ τοὺς μὲν ἀπὸ τοῦ αου τρεῖς κατὰ

τὸ ἑξῆς συντεθέντας τοῦ δου ὑπερέχειν Μ<ο> κ̅, τοὺς δὲ

ἀπὸ τοῦ βου τρεῖς τοῦ αου ὑπερέχειν Μ<ο> λ̅, τοὺς δὲ ἀπὸ

τοῦ γου τρεῖς ὁμοίως τοῦ βου ὑπερέχειν Μ<ο> μ̅, καὶ ἔτι

τοὺς ἀπὸ τοῦ δου τρεῖς κατὰ τὸ ἑξῆς συντεθέντας τοῦ

γου ὑπερέχειν Μ<ο> ν̅.

Τετάχθωσαν οἱ τέσσαρες 𐅶 β̅. καὶ ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ

αου τρεῖς τοῦ δου ὑπερέχουσι Μ<ο> κ̅, ᾧ δὲ ὑπερέχουσιν

οἱ αου τρεῖς τοῦ δου, τούτῳ ὑπερέχουσι καὶ οἱ τέσσαρες,

δὶς τοῦ δου, καί εἰσιν οἱ τέσσαρες, 𐅶 β̅, 𐅶 ἄρα β̅, δὶς

τοῦ δου ὑπερέχουσι Μ<ο> κ̅· ὁ ἄρα βπλ. τοῦ δου ἔσται

𐅶 β̅ ⩚ Μ<ο> κ̅, αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> ι̅.

διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν αος ἔσται 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> ι̅ε̅, ὁ

δὲ βος 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> κ̅, καὶ ἔτι ὁ γος 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> κ̅ε̅. λοιπόν

ἐστι τοὺς τέσσαρας ἴσους εἶναι 𐅶 β̅· ἀλλ' οἱ τέσσαρές

εἰσιν 𐅶 δ̅ ⩚ Μ<ο> ο̅· ταῦτα ἴσα 𐅶 β̅· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> λ̅ε̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μ<ο> κ̅, ὁ δὲ

βος Μ<ο> ι̅ε̅, ὁ δὲ γος Μ<ο> ι̅, ὁ δὲ δος Μ<ο> κ̅ε̅. καὶ ποιοῦσι τὸ

πρόβλημα.

[Ἄλλως.]

Ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ αου τρεῖς τοῦ δου ὑπερέχουσι Μ<ο> κ̅,

τετάχθω ὁ δος 𐅶 α̅· οἱ τρεῖς ἄρα ἔσονται 𐅶 α̅ Μ<ο> κ̅.

πάλιν ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ βου τρεῖς τοῦ αου ὑπερέχουσι

Μ<ο> λ̅, τετάχθω συναμφότερος ὅ τε βος καὶ ὁ γος Μ<ο> το-

σούτων ὅσων ἐστὶν ὁ ἥμισυς τῶν δύο ὑπεροχῶν,

(λέγω δὴ τοῦ κ̅ καὶ τοῦ λ̅) τουτέστι Μ<ο> κ̅ε̅. καὶ ἐπεὶ

οἱ ἀπὸ τοῦ αου τρεῖς εἰσιν 𐅶 α̅ Μ<ο> κ̅, ὧν ὁ βος καὶ ὁ γος

Μ<ο> κ̅ε̅, λοιπὸς ἄρα ὁ αος ἔσται 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> ε̅.

καὶ ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ βου τρεῖς ὑπερέχουσι τοῦ αου

Μ<ο> λ̅, οἱ δὲ ἀπὸ τοῦ γου τρεῖς ὑπερέχουσι τοῦ βου Μ<ο> μ̅,

συναμφότερος ἄρα ὁ γος καὶ ὁ δος ἔσται Μ<ο> λ̅ε̅· λοιπὸς

ἄρα ὁ γος ἔσται Μ<ο> λ̅ε̅ ⩚ 𐅶 α̅.

ἔστι δὲ καὶ ὁ βος καὶ ὁ γος Μ<ο> κ̅ε̅, ὧν ὁ γος Μ<ο> λ̅ε̅ ⩚ 𐅶 α̅·

λοιπὸς ἄρα ὁ βος ἔσται 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> ι̅.

λοιπόν ἐστι τοὺς ἀπὸ τοῦ δου τρεῖς τοῦ γου ὑπερ-

έχειν Μ<ο> ν̅· ἀλλ' οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 γ̅ ⩚ Μ<ο> ι̅ε̅,

ὁ δὲ γος ἐστὶ Μ<ο> λ̅ε̅ ⩚ 𐅶 α̅. δεῖ δὴ καὶ 𐅶 γ̅ ⩚ Μ<ο> ι̅ε̅ ὑπερ-

έχειν Μ<ο> λ̅ε̅ ⩚ 𐅶 α̅, Μ<ο> ν̅, ὥστε Μ π̅ε̅ ⩚ 𐅶 α̅ ἴσαι εἰσὶν

𐅶 γ̅ ⩚ Μ<ο> ι̅ε̅, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> κ̅ε̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν αον 𐅶 α̅ ⩚ Μ<ο> ε̅· ἔσται

Μ<ο> κ̅· ὁ δὲ βος ὁμοίως Μ<ο> ι̅ε̅, ὁ δὲ γος Μ<ο> ι̅, ὁδὲ δος

Μ<ο> κ̅ε̅.

κ.

Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθ-

μοὺς ὅπως ἑκάτερος τῶν ἄκρων προσλαβὼν τὸν μέσον

πρὸς τὸν λοιπὸν τῶν ἄκρων λόγον ἔχῃ δεδομένον.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ̅ διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς

ὅπως ὁ αος καὶ ὁ βος τοῦ γου ᾖ γπλ., ὁ δὲ βος καὶ ὁ γος

τοῦ αου ᾖ δπλ..

Τετάχθω ὁ γος 𐅶 α̅· καὶ ἐπεὶ ὁ αος καὶ ὁ βος τοῦ

γου ἐστὶ γπλ., τετάχθωσαν οἱ δύο 𐅶 γ̅. οἱ τρεῖς ἄρα

εἰσὶν 𐅶 δ̅· οὗτοι ἴσοι Μ<ο> ρ̅· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> κ̅ε̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν γον 𐅶 α̅· ἔσται Μ<ο> κ̅ε̅·

τὸν δὲ αον καὶ τὸν βον 𐅶 γ̅· ἔσονται Μ<ο> ο̅ε̅.

πάλιν ἐπεὶ ὁ βος καὶ ὁ γος τοῦ αου εἰσὶ δπλ., τε-

τάχθω ὁ αος 𐅶 α̅. ἔσται ἄρα ὁ βος καὶ ὁ γος 𐅶 δ̅· οἱ

τρεῖς ἄρα εἰσὶν 𐅶 ε̅, ἀλλὰ καὶ Μ<ο> ρ̅· καὶ γίνεται ὁ 𐅶, Μ<ο> κ̅.

ἔσται ἄρα ὁ αος Μ<ο> κ̅· ὁ δὲ βος καὶ ὁ γος Μ<ο> π̅, ὧν

ὁ γος Μ<ο> κ̅ε̅, λοιπὸς ἄρα ὁ βος ἔσται Μ<ο> ν̅ε̅. καὶ ποιοῦσι

τὰ τῆς προτάσεως.

κα.

Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ μέγιστος τοῦ μέσου

ὑπερέχῃ τῷ τοῦ ἐλαχίστου δοθέντι μέρει, ὁ δὲ μέσος

τοῦ ἐλαχίστου ὑπερέχῃ τῷ τοῦ μεγίστου δοθέντι μέρει,

ὁ δὲ ἐλάχιστος δοθέντι ἀριθμῷ τοῦ τοῦ μέσου δο-

θέντος μέρους.

Δεῖ δὴ τὸν μέσον τοῦ ἐλαχίστου τοσούτῳ μέρει

τοῦ μεγίστου ὑπερέχειν, ὥστε τὸν ὁμώνυμον τοῦ τοι-

ούτου μέρους ἐπὶ τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου πρὸς τὸν

ἐλάχιστον πολλαπλασιαζόμενον ποιεῖν ἐν αὐτῷ πλῆθος

ἀριθμῶν πλεῖον ἢ ἐν τῷ μέσῳ.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μέγιστον τοῦ μέσου ὑπερέχειν

τῷ τοῦ ἐλαχίστου γῳ μέρει, τὸν δὲ μέσον τοῦ ἐλαχί-

στου τῷ τοῦ μεγίστου γῳ μέρει, τὸν δὲ ἐλάχιστον

ὑπερέχειν Μ<ο> ι̅ τοῦ τοῦ μέσου γον μέρους.

Τετάχθω δὴ ὁ ἐλάσσων 𐅶 α̅ καὶ ὧν ὑπερέχει τοῦ

τοῦ μέσου γον, Μ<ο> ι̅· ὁ ἄρα μέσος ἔσται 𐅶 γ̅, ἵνα ἔχῃ

ὁ ἐλάχιστος τὸ γον τοῦ μέσου καὶ Μ<ο> ι̅.

ἢ καὶ οὕτως· τετάχθω ὁ μέσος 𐅶 γ̅· καὶ ἐπεὶ θέλω

τὸν ἐλάχιστον ὑπερέχειν τοῦ γου μέρους αὐτοῦ τοῦ

μέσου, Μ<ο> ι̅, ἔσται 𐅶 α̅ καὶ Μ<ο> ι̅.

λοιπόν ἐστι καὶ τὸν μέσον τοῦ ἐλαχίστου ὑπερ-

έχειν τῷ τοῦ αου γῳ μέρει· ἀλλ' ὁ μέσος τοῦ ἐλαχίστου

ὑπερέχει 𐅶 β̅ ⩚ Μ<ο> ι̅· ταῦτα ἄρα γον μέρος ἐστὶ τοῦ με-

γίστου· αὐτὸς ἄρα ὁ μέγιστος ἔσται 𐅶 Ϛ̅ ⩚ Μ<ο> λ̅. δεήσει

ἄρα καὶ τὸν μέγιστον τοῦ μέσου ὑπερέχειν τῷ τοῦ

ἐλαχίστου γῳ μέρει· ἀλλὰ ὁ μέγιστος τοῦ μέσου ὑπερ-

έχει 𐅶 γ̅ ⩚ Μ<ο> λ̅. ταῦτα ἄρα γον ἐστὶ μέρος τοῦ ἐλαχί-

στου· ὁ ἄρα ἐλάχιστος ἔσται 𐅶 θ̅ ⩚ Μ<ο> Ϙ̅· ἀλλὰ καὶ 𐅶 α̅

Μ<ο> ι̅ ηὑρέθη· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> ι̅β̅ 𐅵ʹ.

ἔσται ἄρα ὁ μὲν γος Μ<ο> κ̅β̅ 𐅵ʹ, ὁ δὲ μέσος Μ<ο> λ̅ζ̅ 𐅵ʹ,

ὁ δὲ μέγιστος Μ<ο> μ̅ε̅, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

[Ἄλλως.]

Εὑρεῖν κ. τ. ἑ.

Δεῖ δὴ τὸ διδόμενον τοῦ μεγίστου μέρος τηλικοῦτον

δίδοσθαι, ὥστε προστιθέμενον τῷ ἐλαχίστῳ, ποιεῖν

τοὺς ἐν αὐτῷ ἀριθμοὺς ἐλάσσονας τῶν ἐξ ἀρχῆς λαμ-

βανομένων τοῦ μέσου.

Τετάχθω πάλιν ὁ ἐλάσσων 𐅶 α̅ καὶ ὧν ὑπερέχει

τοῦ τοῦ μέσου γου μέρους, Μ<ο> ι̅· ἔσται ἄρα ὁ μέσος 𐅶 γ̅,

ἵνα ὑπερέχῃ ὁ ἐλάχιστος Μ<ο> ι̅ τοῦ τοῦ μέσου γου μέρους.

πάλιν ἐπεὶ θέλω τὸν μέγιστον τοῦ μέσου ὑπερέχειν

τῷ τοῦ ἐλαχίστου γῳ μέρει, ἐὰν προσθῶ τῷ μέσῳ τὸ

τοῦ ἐλαχίστου γου μέρος, ἕξω τὸν μέγιστον 𐅶 γ̅ γא Μ<ο> γ̅ γא.

λοιπὸν δεῖ [καὶ] τὸν μέσον ἴσον εἶναι τῷ ἐλαχίστῳ καὶ

τῷ τοῦ μεγίστου γῳ μέρει· ἀλλ' ὁ ἐλάχιστος μετὰ τοῦ

γου μέρους τοῦ μεγίστου, 𐅶 εἰσιν β̅ θא καὶ Μ<ο> ι̅α̅ θא.

ταῦτα ἴσα τοῖς τοῦ μέσου 𐅶 γ̅.

ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. 𐅶 ἄρα α̅ ⩚ θא ἴσος ἐστὶ Μ<ο> ι̅α̅ θא.

πάντα θκις. 𐅶 ἄρα η̅ ἴσοι Μ<ο> ρ̅. καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ<ο> ι̅β̅ 𐅵ʹ.

καὶ ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις τῇ ἐπάνω.

κβ.

Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος τῷ ἑξῆς ἑαυ-

τοῦ διδῷ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, ἵνα δόντες καὶ λαβόντες

γένωνται ἴσοι.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν αον τῷ βῳ διδόναι ἑαυτοῦ

τὸ γον, τὸν δὲ βον τῷ γῳ τὸ δον, καὶ ἔτι τὸν γον τῷ αῳ

τὸ εον, καὶ γίνεσθαι ἴσους μετὰ τὴν ἀντίδοσιν.

Τετάχθω ὁ αος, 𐅶 τινων γον ἐχόντων μέρος, ἐπεὶ

γον δίδωσιν· ἔστω δὴ καὶ 𐅶 γ̅. ὁ δὲ βος, Μ<ο> τινῶν δον

μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ δον δίδωσιν· ἔστω δὴ Μ<ο> δ̅, καὶ

μὴν δὴ ὁ βος δοὺς καὶ λαβὼν γίνεται 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅.

λοιπόν ἐστι καὶ τὸν αον δόντα καὶ λαβόντα γί-

νεσθαι 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅· ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ γον, 𐅶 α̅,

λαβὼν δὲ Μ<ο> γ̅ ⩚ 𐅶 α̅, γίνεται 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅. Μ<ο> ἄρα γ̅ ⩚ 𐅶 α̅,

εον μέρος εἰσὶ τοῦ γου· αὐτὸς ἄρα ἐστὶ Μ<ο> ιε ⩚ 𐅶 ε̅.

δεήσει ἄρα καὶ τὸν γον, δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ εον,

λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ βου τὸ δον, Μ<ο> α̅, γίνεσθαι 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅·

ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ εον, Μ<ο> γ̅ ⩚ 𐅶 α̅, λοιπός ἐστι

Μ<ο> ι̅β̅ ⩚ 𐅶 δ̅· λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ βου τὸ δον, Μ<ο> α̅, γί-

νεται Μ<ο> ι̅γ̅ ⩚ 𐅶 δ̅. ταῦτα ἴσα 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅· καὶ γίνεται

ὁ 𐅶 Μ<ο> β̅.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος Μ<ο> Ϛ̅, ὁ δὲ

βος Μ<ο> δ̅, ὁ δὲ γος Μ<ο> ε̅. καὶ φανερὰ τὰ τῆς προτάσεως.

κγ.

Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος τῷ ἑξῆς

ἑαυτοῦ δῷ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, ἵνα δόντες καὶ λα-

βόντες γένωνται ἴσοι.

Ἐπιτετάχθω τὸν μὲν αον τῷ βῳ διδόναι τὸ γον, τὸν

δὲ βον τῷ γῳ τὸ δον, τὸν δὲ γον τῷ δῳ τὸ εον, καὶ ἔτι

τὸν δον τῷ αῳ τὸ Ϛον, καὶ γίνεσθαι ἴσους μετὰ τὴν

ἀντίδοσιν.

Τετάχθω ὁ μὲν αος, 𐅶 τινων γον μέρος ἐχόντων,

ἐπεὶ γον δίδωσιν· ἔστω 𐅶 γ̅· ὁ δὲ βος, Μ<ο> τινῶν δον

μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ δον δίδωσιν· ἔστω Μ<ο> δ̅. ὁ ἄρα

βος, δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ δον, Μ<ο> α̅, λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ

αου τὸ γον, 𐅶 α̅, γίνεται 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅.

δεήσει ἄρα καὶ τὸν αον, δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ γον,

𐅶 α̅, λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ δου τὸ Ϛον, γίνεσθαι 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅·

ἀλλὰ δοὺς μὲν 𐅶 α̅, λοιποὺς ἔχει 𐅶 β̅. δεήσει ἄρα λα-

βόντα αὐτὸν τοῦ δου τὸ Ϛον, γίνεσθαι 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅· Μ<ο> ἄρα

γ̅ ⩚ 𐅶 α̅, Ϛον μέρος εἰσὶ τοῦ δου· αὐτὸς ἄρα ὁ δος ἔσται

Μ<ο> ι̅η̅ ⩚ 𐅶 Ϛ̅.

λοιπόν ἐστι καὶ τὸν δον, δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ Ϛον,

λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ γου τὸ εον, γίνεσθαι 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅·

ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ Ϛον, Μ<ο> γ̅ ⩚ 𐅶 α̅, λοιπός ἐστι

Μ<ο> ι̅ε̅ ⩚ 𐅶 ε̅. δεήσει ἄρα αὐτὸν καὶ λαβόντα τὸ τοῦ γου

εον γίνεσθαι 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅· ἀλλὰ ἐὰν λάβῃ 𐅶 Ϛ̅ ⩚ Μ<ο> ι̅β̅, γί-

νεται 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅, ὥστε 𐅶 Ϛ̅ ⩚ Μ<ο> ιβ, εον μέρος εἰσὶ τοῦ γου·

αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 λ̅ ⩚ Μ<ο> ξ̅.

δεήσει ἄρα καὶ τὸν γον, δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ εον,

λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ βου τὸ δον, γίνεσθαι 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅·

ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ εον, 𐅶 Ϛ̅ ⩚ Μ<ο> ι̅β̅, λοιποὺς

ἔχει 𐅶 κ̅δ̅ ⩚ Μ<ο> μ̅η̅· λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ βου τὸ δον, γί-

νεται 𐅶 κ̅δ̅ ⩚ Μ<ο> μ̅ζ̅. ταῦτα ἴσα 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅· καὶ γίνεται

ὁ 𐅶 ν̅ κγων.

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν αος ρ̅ν̅, ὁ δὲ

βος Ϙ̅β̅, ὁ δὲ γος ρ̅κ̅, ὁ δὲ δος ρ̅ι̅δ̅· περιῃρήσθω τὸ μό-

ριον· ἔσται δηλαδὴ ὁ μὲν αος Μ<ο> ρ̅ν̅, ὁ δὲ βος Ϙ̅β̅, ὁ

δὲ γος ρ̅κ̅, ὁ δὲ δος ρ̅ι̅δ̅. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

κδ.

Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος παρὰ τῶν

λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λάβῃ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, καὶ γέ-

νωνται ἴσοι.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν αον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο

ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ γον, τὸν δὲ βον παρὰ τῶν λοιπῶν

δύο ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ δον, τὸν δὲ γον παρὰ τῶν

λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ εον, καὶ γίνεσθαι

ἴσους.

Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α̅· οἱ δὲ λοιποὶ δύο, Μ<ο> τινῶν

τοῦ προχείρου ἕνεκεν γον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ γον δι-

δόασιν· ἔστω Μ<ο> γ̅. οἱ ἄρα τρεῖς ἔσονται 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅,

καὶ μένει ὁ αος λαβὼν παρὰ τῶν λοιπῶν δύο τὸ γον,

𐅶 α̅ Μ<ο> α̅.

δεήσει ἄρα καὶ τὸν βον παρὰ τῶν 〈λοιπῶν〉 δύο

ὡς ἑνὸς λαβόντα τὸ δον, γίνεσθαι 𐅶 α̅ Μ<ο> α̅· πάντα δκις·

δκις ἄρα ὁ βος προσλαβὼν τοὺς δύο, τρίς ἐστιν ὁ βος

προσλαβὼν τοὺς τρεῖς· τρὶς ἄρα ὁ βος προσλαβὼν τοὺς

τρεῖς γίνεται 𐅶 δ̅ Μ<ο> δ̅· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τούτων ἀφέλω τοὺς

τρεῖς, λοιποὶ 𐅶 γ̅ Μ<ο> α̅ τρίς ἐστιν ὁ βος· αὐτὸς ἄρα ὁ

βος ἔσται· 𐅶 α̅ Μ<ο> γא.

δεήσει ἄρα καὶ τὸν γον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς

ἑνὸς λαβόντα τὸ εον, γίνεσθαι 𐅶 α̅ Μ<ο> α̅· πάντα ὁμοίως

εκις. καὶ συνάγεται διὰ τῶν ὁμοίων ὁ γος 𐅶 α̅ Μ<ο> 𐅵ʹ.

λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς συντεθέντας ἴσους γενέσθαι

𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ι̅γ̅ ιβων· καὶ ἀφαιρουμένου

τοῦ μορίου, ἔσται ὁ μὲν αος Μ<ο> ι̅γ̅, ὁ δὲ βος Μ<ο> ι̅ζ̅, ὁ δὲ

γος Μ<ο> ι̅θ̅. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

κε.

Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος παρὰ τῶν

λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβάνῃ μέρος τὸ ἐπιταχθέν,

καὶ γένωνται ἴσοι.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν αον παρὰ τῶν λοιπῶν

τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ γον, τὸν δὲ βον παρὰ τῶν

λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς τὸ δον, τὸν δὲ γον ὁμοίως τὸ

εον, τὸν δὲ δον τὸ Ϛον, καὶ γίνεσθαι ἴσους.

Τετάχθω ὁ αος 𐅶 α̅· οἱ δὲ λοιποὶ τρεῖς Μ<ο> τινῶν

γον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ γον διδόασιν· ἔστωσαν Μ<ο> γ̅.

ὁ ἄρα αος παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβάνων

τὸ γον, γίνεται 𐅶 α̅ Μ<ο> α̅.

δεήσει ἄρα καὶ τὸν βον παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν

ὡς ἑνὸς λαβόντα τὸ δον, γίνεσθαι 𐅶 α̅ Μ<ο> α̅. πάντα

πάλιν ὁμοίως δκις· καὶ συνάγεται διὰ τῶν αὐτῶν, ὁ

μὲν βος 𐅶 α̅ Μ<ο> γאʹ, ὁ δὶ γος 𐅶 α̅ Μ<ο> 𐅵ʹ, ὁ δὲ δος 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅ εων.

λοιπόν ἐστι τοὺς τέσσαρας συντεθέντας ἴσους γί-

νεσθαι 𐅶 α̅ Μ<ο> γ̅· καὶ συνάγεται ὁ 𐅶 Μ<ο> μ̅ζ̅, ἐν μορίῳ

μονάδος Ϙῳ.

ἔσται ὁ μὲν αος Μ<ο> μ̅ζ̅, ὁ δὲ βος Μ ο̅ζ̅, ὁ δὲ γος Μ<ο> Ϙ̅β̅,

ὁ δὲ δος Μ<ο> ρ̅α̅. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

κϚ.

Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσευρεῖν τινα ἀριθμόν,

ὃς ἑκάτερον πολλαπλασιάσας ποιῇ ὃν μὲν τετράγωνον,

ὃν δὲ πλευρὰν τοῦ τετραγώνου.

Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ ὅ τε σ̅ καὶ ὁ ε̅·

καὶ ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α̅.

κᾂν μὲν ἐπὶ τὰς σ̅ Μ<ο> πολλαπλασιασθῇ, ποιεῖ 𐅶 σ̅,

κᾂν δὲ ἐπὶ τὰς Μ<ο> ε̅, ποιεῖ 𐅶 ε̅. δεῖ δὴ τούτων τὸν

μὲν εἶναι τετράγωνον, τὸν δὲ πλευρὰν αὐτοῦ. ἐὰν

τοίνυν τοὺς 𐅶 ε̅ τετραγωνίσω, γίνονται ΔΥ κ̅ε̅ ἴσαι 𐅶 σ̅.

πάντα παρὰ 𐅶· 𐅶 ἄρα κ̅ε̅ ἴσοι Μ<ο> σ̅. καὶ γίνεται ὁ 𐅶,

Μ<ο> η̅, καὶ ποιεῖ τὰ τῆς προτάσεως.

κζ.

Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ σύνθεσις αὐτῶν καὶ

ὁ πολλαπλασιασμὸς ποιῇ δοθέντας ἀριθμούς.

Δεῖ δὴ τῶν εὑρισκομένων τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος τοῦ

συναμφοτέρου τετράγωνον τοῦ ὑπ' αὐτῶν ὑπερέχειν

τετραγώνῳ. ἔστι δὲ τοῦτο πλασματικόν.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν σύνθεσιν αὐτῶν ποιεῖν

Μ<ο> κ̅, τὸν δὲ πολλαπλασιασμὸν ποιεῖν Μ<ο> Ϙ̅Ϛ̅.

Τετάχθω ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐅶 β̅. καὶ ἐπεὶ τὸ σύν-

θεμα αὐτῶν ἐστι Μ<ο> κ̅, ἐὰν τοῦτο τέμω δίχα, ἔσται

ἑκάτερος τῶν ἐκ τῆς διαιρέσεως, τοῦ 𐅵ʹ τοῦ συνθέμα-

τος, Μ<ο> ι̅. κᾂν τὸ ἥμισυ τῆς ὑπεροχῆς, τουτέστιν 𐅶 α̅,

ἑνὶ μὲν τῶν ἐκ τῆς διαιρέσεως προσθῶ, τοῦ δὲ λοιποῦ

ἀφέλω…