De sectione cylindri

{ΠΕΡΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ.}

Πολλοὺς ὁρῶν, ὦ φίλε Κῦρε, τῶν περὶ γεωμετρίαν

ἀναστρεφομένων οἰομένους τὴν τοῦ κυλίνδρου πλαγίαν

τομὴν ἑτέραν εἶναι τῆς τοῦ κώνου τομῆς τῆς καλου-

μένης ἐλλείψεως ἐδικαίωσα μὴ χρῆναι περιορᾶν ἀγνο-

οῦντας αὐτούς τε καὶ τοὺς ὑπ' αὐτῶν οὕτω φρονεῖν

ἀναπεπεισμένους· καίτοι δόξειεν ἂν παντὶ ἄλογον εἶναι

γεωμέτρας γε ὄντας περὶ γεωμετρικοῦ προβλήματος

ἄνευ ἀποδείξεως ἀποφαίνεσθαί τι καὶ πιθανολογεῖν

ἀτεχνῶς ἀλλότριον γεωμετρίας πρᾶγμα ποιοῦντας.

ὅμως δ' οὖν, ἐπείπερ οὕτως ὑπειλήφασιν, ἡμεῖς δὲ οὐ

συμφερόμεθα, φέρε γεωμετρικῶς ἀποδείξωμεν, ὅτι μίαν

καὶ τὴν αὐτὴν κατ' εἶδος ἀνάγκη γίνεσθαι ἐν ἀμφο-

τέροις τοῖς σχήμασι τομήν, τῷ κώνῳ λέγω καὶ τῷ

κυλίνδρῳ, τοιῶσδε μέντοι ἀλλ' οὐχ ἁπλῶς τεμνομένοις.

ὥσπερ δὲ οἱ τὰ κωνικὰ πραγματευσάμενοι τῶν

παλαιῶν οὐκ ἠρκέσθησαν τῇ κοινῇ ἐννοίᾳ τοῦ κώνου,

ὅτι τριγώνου περιενεχθέντος ὀρθογωνίου συνίσταιτο,

περισσότερον δὲ καὶ καθολικώτερον ἐφιλοτεχνήσαντο

μὴ μόνον ὀρθούς, ἀλλὰ καὶ σκαληνοὺς ὑποστησάμενοι

κώνους, οὕτω χρὴ καὶ ἡμᾶς, ἐπειδὴ πρόκειται περὶ

κυλίνδρου τομῆς ἐπισκέψασθαι, μὴ τὸν ὀρθὸν μόνον

ἀφορίσαντας ἐπ' αὐτοῦ ποιεῖσθαι τὴν σκέψιν, ἀλλὰ καὶ

τὸν σκαληνὸν περιλαβόντας ἐπὶ πλέον ἐκτεῖναι τὴν

θεωρίαν. ὅτι μὲν γὰρ οὐκ ἂν προσοῖτό τις ἑτοίμως

μὴ οὐχὶ πάντα κύλινδρον ὀρθὸν εἶναι τῆς ἐννοίας

τοῦτο συνεφελκούσης, οὐκ ἀγνοῶ δήπουθεν· οὐ μὴν ἀλλ'

ἕνεκά γε τῆς θεωρίας ἄμεινον οἶμαι καθολικωτέρῳ

ὁρισμῷ περιλαβεῖν, ἐπεὶ καὶ τὴν τομὴν ὀρθοῦ μένον-

τος αὐτοῦ μόνῃ τῇ τοῦ ὀρθοῦ κώνου ἐλλείψει τὴν

αὐτὴν εἶναι συμβήσεται, καθολικώτερον δὲ ὑποτεθέντος

ὅλῃ τῇ ἐλλείψει καὶ αὐτὴν ἐξισάζειν, ὃ δὴ καὶ δείξειν

ὁ παρὼν λόγος ἐπαγγέλλεται. ἰτέον οὖν ἡμῖν ἐπὶ τὸ

προκείμενον ὁρισαμένοις τάδε·

ἐὰν μενόντων δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλή-

λων αἱ διάμετροι παράλληλοι οὖσαι διὰ παντὸς αὐταί

τε περιενεχθεῖσαι ἐν τοῖς τῶν κύκλων ἐπιπέδοις περὶ

μένον τὸ κέντρον καὶ συμπεριενεγκοῦσαι τὴν τὰ πέρατα

αὐτῶν κατὰ τὸ αὐτὸ μέρος ἐπιζευγνύουσαν εὐθεῖαν

εἰς ταὐτὸ πάλιν ἀποκαταστῶσιν, ἡ γραφεῖσα ὑπὸ τῆς

περιενεχθείσης εὐθείας ἐπιφάνεια κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια

καλείσθω, ἥτις καὶ ἐπ' ἄπειρον αὔξεσθαι δύναται τῆς

γραφούσης αὐτὴν εὐθείας ἐπ' ἄπειρον ἐκβαλλομένης.

κύλινδρος δὲ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῶν

παραλλήλων κύκλων καὶ τῆς μεταξὺ αὐτῶν ἀπειλημ-

μένης κυλινδρικῆς ἐπιφανείας. βάσεις δὲ τοῦ κυλίν-

δρου οἱ κύκλοι. ἄξων δὲ ἡ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν

ἀγομένη εὐθεῖα. πλευρὰ δὲ τοῦ κυλίνδρου γραμμή τις,

ἥτις εὐθεῖα οὖσα καὶ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας οὖσα τοῦ

κυλίνδρου τῶν βάσεων ἀμφοτέρων ἅπτεται, ἣν καί

φαμεν περιενεχθεῖσαν γράφειν τὴν κυλινδρικὴν ἐπι-

φάνειαν.

τῶν δὲ κυλίνδρων ὀρθοὶ μὲν οἱ τὸν ἄξονα πρὸς

ὀρθὰς ἔχοντες ταῖς βάσεσι, σκαληνοὶ δὲ οἱ μὴ πρὸς

ὀρθὰς ἔχοντες ταῖς βάσεσι τὸν ἄξονα.

ὁριστέον δὲ κατὰ Ἀπολλώνιον καὶ τάδε·

πάσης καμπύλης γραμμῆς ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ οὔσης

διάμετρος καλείσθω εὐθεῖά τις, ἥτις ἠγμένη ἀπὸ τῆς

καμπύλης γραμμῆς πάσας τὰς ἀγομένας ἐν τῇ γραμμῇ

εὐθείας εὐθείᾳ τινὶ παραλλήλους δίχα διαιρεῖ, κορυφὴ

δὲ τῆς γραμμῆς τὸ πέρας τῆς εὐθείας τὸ πρὸς τῇ

γραμμῇ, τεταγμένως δὲ ἐπὶ τὴν διάμετρον κατῆχθαι

ἑκάστην τῶν παραλλήλων.

συζυγεῖς δὲ διάμετροι καλείσθωσαν, αἵτινες ἀπὸ

τῆς γραμμῆς τεταγμένως ἀχθεῖσαι ἐπὶ τὰς συζυγεῖς

διαμέτρους ὁμοίως αὐτὰς τέμνουσι.

τοιούτων δὲ γραμμῶν ὑφισταμένων καὶ ἐν ταῖς

πλαγίαις τομαῖς τοῦ κυλίνδρου ἡ διχοτομία τῆς δια-

μέτρου κέντρον τῆς τομῆς καλείσθω, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ

κέντρου ἐπὶ τὴν γραμμὴν προσπίπτουσα ἐκ τοῦ κέντρου

τῆς γραμμῆς.

ἡ δὲ διὰ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς παρὰ τεταγμένως

κατηγμένην ἀχθεῖσα περατουμένη ὑπὸ τῆς γραμμῆς

δευτέρα διάμετρος καλείσθω· δειχθήσεται γὰρ πάσας

τὰς ἀγομένας ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὴν διάμετρον δίχα

τέμνουσα.

ἔτι κἀκεῖνο προδιωρίσθω, ὅτι ὅμοιαι ἐλλείψεις εἰ-

σίν, ὧν ἑκατέρας αἱ συζυγεῖς διάμετροι πρὸς ἀλλήλας

τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον καὶ πρὸς ἴσας γωνίας τέμνου-

σιν ἀλλήλας.

{αʹ.}

Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο

εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων καὶ ἴσας ἑκατέραν ἑκατέρᾳ,

αἱ τὰ πέρατα αὐτῶν ἐπιζευγνύουσαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε

καὶ παράλληλοί εἰσιν.

ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΑΒ,

ΒΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΔΕ,

ΕΖ, καὶ ἴση ἔστω ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ

ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΔΖ. λέγω, ὅτι αἱ

ΑΓ, ΔΖ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.

ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΓΖ, ΑΔ. ἐπεὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ

ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστι, καὶ ἡ ΒΕ ἄρα .... τῇ

ΓΖ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστι. καὶ αἱ ΑΓ, ΔΖ

ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν· ὃ προέκειτο δεῖξαι.

{βʹ.}

Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, ἡ

τομὴ παραλληλόγραμμον ἔσται.

ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ περὶ τὰ Α, Β

κέντρα κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα, καὶ διὰ τῆς

ΑΒ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον τέμνον τὸν κύλινδρον·

ποιήσει δὴ ἐν μὲν τοῖς κύκλοις εὐθείας τὰς ΓΔ, ΕΖ

διαμέτρους οὔσας, ἐν δὲ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου

τὰς ΕΗΓ, ΖΔ γραμμάς. λέγω, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν

ΕΗΓ, ΔΖ γραμμῶν εὐθεῖά ἐστιν.

εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ ἔστωσαν εὐθεῖαι, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ

ΕΘΓ εὐθεῖα. ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΗΓ γραμμὴ καὶ ἡ ΕΘΓ εὐθεῖα

ἐν τῷ ΕΔ ἐπιπέδῳ εἰσὶ συνάπτουσαι κατὰ τὰ Ε, Γ σημεῖα,

καί ἐστιν ἡ ΕΗΓ γραμμὴ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφα-

νείας, ἡ ΕΘΓ ἄρα εὐθεῖα οὐκ ἔστιν ἐπὶ τῆς τοῦ κυ-

λίνδρου ἐπιφανείας. ἐπεὶ οὖν οἱ Α, Β κύκλοι ἴσοι τε

καὶ παράλληλοί εἰσι καὶ τέμνονται ὑπὸ τοῦ ΕΔ ἐπι-

πέδου, αἱ ἄρα κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν.

εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι· διάμετροι γάρ εἰσιν ἴσων κύκλων·

ἐὰν ἄρα μενόντων τῶν Α, Β σημείων τὰς ΑΓ, ΒΕ

διαμέτρους νοήσωμεν περιενεγκούσας τὴν ΕΘΓ εὐ-

θεῖαν περὶ τοὺς Α, Β κύκλους καὶ ἀποκαθισταμένας,

ἡ ΕΘΓ εὐθεῖα γράψει τὴν τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνειαν,

καὶ ἔσται τὸ Θ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας. ἦν δὲ ἐκτός· ὅπερ

ἀδύνατον. εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗΓ. ὁμοίως δὲ καὶ

ἡ ΖΔ. καὶ ἐπιζευγνύουσιν ἴσας τε καὶ παραλλήλους

τὰς ΕΖ, ΓΔ· τὸ ΕΔ ἄρα παραλληλόγραμμόν ἐστιν·

ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

{γʹ.}

Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῷ

διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμῳ, ἡ τομὴ παραλληλό-

γραμμον ἔσται ἴσας γωνίας ἔχον τῷ διὰ τοῦ ἄξονος

παραλληλογράμμῳ.

ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ περὶ τὰ Α, Β

κέντρα κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα, τὸ δὲ διὰ τοῦ

ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ, καὶ τετμήσθω ὁ

κύλινδρος ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τῷ διὰ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ

παραλλήλῳ ὄντι τῷ ΓΔ παραλληλογράμμῳ καὶ ποιοῦντι

τομὰς ἐν μὲν ταῖς βάσεσι τὰς ΕΖ, ΗΘ εὐθείας, ἐν

δὲ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὰς ΕΗ, ΖΘ γραμ-

μάς. λέγω, ὅτι τὸ ΕΗΖΘ σχῆμα παραλληλόγραμμόν

ἐστιν ἰσογώνιον τῷ ΓΔ.

ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β κέντρου ἐπὶ τὴν ΕΖ εὐθεῖαν

κάθετος ἡ ΒΚ, καὶ διὰ τῶν ΚΒ, ΒΑ διεκβεβλήσθω

ἐπίπεδον, καὶ ἔστωσαν κοιναὶ τομαὶ αἱ ΑΛ, ΚΛ, καὶ

ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΑΘ. ἐπεὶ οὖν παράλληλος ὁ

μὲν Α κύκλος τῷ Β, τὸ δὲ ΕΘ ἐπίπεδον τῷ ΓΔ ἐπι-

πέδῳ, καὶ τέμνεται ὑπὸ τοῦ ΑΒΚΛ ἐπιπέδου, παράλ-

ληλος ἄρα ἡ μὲν ΑΛ τῇ ΒΚ, ἡ δὲ ΚΛ τῇ ΒΑ·

παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΑ· ἴση ἄρα ἡ μὲν

ΚΛ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΒΚ τῇ ΑΛ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΒΚ

τῇ ΑΛ παράλληλός ἐστιν, ἡ δὲ ΚΖ τῇ ΛΘ, καὶ ἡ

ὑπὸ ΒΚΖ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΛΘ ἴση ἐστί. καί

ἐστιν ἡ ΒΚ κάθετος ἐπὶ τὴν ΚΖ· καὶ ἡ ΑΛ ἄρα

κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΛΘ. καί εἰσιν ἴσαι· ἴσαι ἄρα

καὶ αἱ ΕΖ, ΗΘ· ἀλλὰ καὶ παράλληλοι. καὶ ἐπεὶ ἡ

ΒΖ τῇ ΑΘ παράλληλός ἐστι, τὸ ἄρα διὰ τῆς ΒΖ καὶ

τοῦ ἄξονος ἀγόμενον ἐπίπεδον ἥξει καὶ διὰ τῆς ΑΘ

καὶ τομὴν ποιήσει παραλληλόγραμμον, καὶ πλευρὰ αὐ-

τοῦ ἔσται ἡ τὰ Ζ, Θ ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἐπὶ τῆς

ἐπιφανείας οὖσα τοῦ κυλίνδρου. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΘ

πλευρὰ τοῦ ΕΖΗΘ σχήματος ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου

ἐπιφανείας· κοινὴ ἄρα πλευρά ἐστι τοῦ τε διὰ τοῦ

ἄξονος παραλληλογράμμου καὶ τοῦ ΕΗΖΘ σχήματος.

εὐθεῖα δὲ ἐδείχθη ἡ πλευρὰ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλ-

ληλογράμμου· ἡ ΘΖ ἄρα ἐστὶν εὐθεῖα. ὁμοίως δὲ καὶ

ἡ ΕΗ. καὶ ἐπιζευγνύουσιν ἴσας καὶ παραλλήλους τὰς

ΕΖ, ΗΘ· τὸ ΕΘ ἄρα παραλληλόγραμμόν ἐστι.

λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον τῷ ΓΔ.

ἐπεὶ γὰρ δύο αἱ ΔΒ, ΒΖ δυσὶ ταῖς ΜΑ, ΑΘ

παράλληλοί εἰσι, καί εἰσιν αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἴσαι,

καὶ αἱ ΖΔ, ΜΘ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι διὰ

τὸ πρῶτον θεώρημα. καὶ αἱ ΖΘ, ΔΜ ἄρα καὶ αὐταὶ

ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΘ τῇ

ΑΜ παράλληλος. ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΘΖ γωνία τοῦ ΕΘ

παραλληλογράμμου τῇ ὑπὸ ΓΜΔ γωνίᾳ τοῦ ΓΔ παραλλη-

λογράμμου ἴση ἐστίν· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΕΘ τῷ ΓΔ.

{δʹ.}

Ἐὰν καμπύλην γραμμὴν ὑποτείνῃ εὐθεῖα, αἱ δὲ

ἀπὸ τῆς γραμμῆς ἐπὶ τὴν ὑποτείνουσαν κάθετοι ἴσον

δύνωνται τῷ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς ὑποτεινούσης, ἡ

γραμμὴ κύκλου περιφέρεια ἔσται.

ἔστω καμπύλη γραμμὴ ἡ ΑΒΔ, ὑποτείνουσα δὲ

αὐτὴν ἡ ΑΔ εὐθεῖα, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴν

ΑΔ αἱ ΒΕ, ΓΖ, καὶ ὑποκείσθω τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΕ

ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΔ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον

τῷ ὑπὸ ΑΖΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΔ κύκλου περιφέ-

ρειά ἐστι.

τετμήσθω δίχα ἡ ΑΔ κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω-

σαν αἱ ΗΒ, ΗΓ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΗΔ ἴσον

ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ΗΕ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΔ, ὅ

ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ, ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον

ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΗΕ, ΕΒ, ἴση ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΗΔ.

ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΓΗ τῇ ΗΔ ἴση δείκνυται καὶ αἱ

ἄλλαι· ἡμικύκλιον ἄρα τὸ ΑΒΔ.

{εʹ.}

Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ταῖς

βάσεσιν, ἡ τομὴ κύκλος ἔσται τὸ κέντρον ἔχων ἐπὶ τοῦ

ἄξονος.

ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ Α, Β κύκλοι,

ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα, καὶ τετμήσθω ὁ κύλινδρος

ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ ταῖς βάσεσι ποιοῦντι ἐν τῇ ἐπι-

φανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὴν ΓΞΔ γραμμήν. λέγω, ὅτι

ἡ ΓΞΔ γραμμὴ κύκλου ἐστὶ περιφέρεια.

ἤχθωσαν ἐν τῷ Α κύκλῳ διάμετροι αἱ ΕΖ, ΗΘ,

καὶ δι' ἑκατέρας τῶν ΕΖ, ΗΘ καὶ τοῦ ἄξονος ἐκ-

βεβλήσθω ἐπίπεδα τέμνοντα τὸν κύλινδρον· ποιήσει δὴ

παραλληλόγραμμα τὰς τομάς. ἔστω τοῦ μὲν ΕΚ παρ-

αλληλογράμμου καὶ τοῦ ΓΞΔ ἐπιπέδου κοινὴ τομὴ ἡ

ΓΔ, τοῦ δὲ ΗΛ παραλληλογράμμου καὶ τοῦ ΓΔΞ

ἐπιπέδου κοινὴ τομὴ ἡ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΞΔ ἐπί-

πεδον παράλληλόν ἐστι τῷ Α κύκλῳ καὶ τέμνεται ὑπὸ

τοῦ ΕΚ ἐπιπέδου, ἡ ΓΔ ἄρα εὐθεῖα τῇ ΕΖ παράλλη-

λός ἐστι. διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ ΝΞ τῇ ΗΘ παράλλη-

λός ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΑ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΕ, ΔΖ

παράλληλός ἐστι, καὶ ἴση ἡ ΑΕ τῇ ΑΖ, ἴση ἄρα καὶ

ἡ ΓΜ τῇ ΜΔ. ὁμοίως ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΑ τῇ ΑΘ,

ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΝ τῇ ΜΞ. ἐπεὶ δὲ αἱ ΑΕ, ΑΗ ἴσαι

εἰσί, καὶ αἱ ΜΓ, ΜΝ ἄρα ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις· πᾶσαι

ἄρα αἱ ΜΓ, ΜΔ, ΜΝ, ΜΞ ἴσαι εἰσίν. ὁμοίως δὲ

κἂν ἄλλαι διαχθῶσι, πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὴν

ΓΞΔ γραμμὴν προσπίπτουσαι ἴσαι εὑρεθήσονται.

κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΞΔ τομή.

ὅτι δὲ καὶ τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας ἔχει,

δῆλον· τὸ γὰρ Μ ἐν τοῖς τρισὶν ἐπιπέδοις ὂν ἐπὶ τῆς

ΑΒ κοινῆς τομῆς τῶν παραλληλογράμμων ἐστί, τουτ-

έστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος.

{Ϛʹ.}

Ἐὰν κύλινδρος σκαληνὸς ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος

τμηθῇ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπι-

πέδῳ ὀρθῷ τε πρὸς τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμ-

μον καὶ ποιοῦντι τὴν κοινὴν τομὴν ἐν τῷ παραλληλο-

γράμμῳ εὐθεῖαν ἴσας μὲν ποιοῦσαν γωνίας ταῖς τοῦ

παραλληλογράμμου, μὴ παράλληλον δὲ οὖσαν ταῖς βά-

σεσι τοῦ παραλληλογράμμου, ἡ τομὴ κύκλος ἔσται,

καλείσθω δὲ ἡ τοιαύτη ἀγωγὴ τοῦ ἐπιπέδου <ὑπεν-

αντία.>

ἔστω σκαληνὸς κύλινδρος, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος

παραλληλόγραμμον ἔστω τὸ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῇ

βάσει, τετμήσθω δὲ ὁ κύλινδρος καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τῷ

ΕΖΗ ὀρθῷ καὶ αὐτῷ πρὸς τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον

καὶ ποιοῦντι ἐν αὐτῷ κοινὴν τομὴν τὴν ΕΗ εὐθεῖαν

μὴ παράλληλον μὲν ταῖς ΑΒ, ΓΔ, ἴσας δὲ γωνίας

ποιοῦσαν τὴν μὲν ὑπὸ ΗΕΑ τῇ ὑπὸ ΕΑΒ, τὴν δὲ

ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΗ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖΗ τομὴ

κύκλος ἐστίν.

εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΕΗ εὐθείας τὸ Θ, καὶ

πρὸς ὀρθὰς τῇ ΕΗ ἤχθω ἡ ΘΖ ἐν τῷ ΕΖΗ ἐπιπέδῳ

οὖσα· ἡ ΖΘ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ ΑΔ ἐπίπεδον.

ἤχθω διὰ τοῦ Θ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΚΘΛ, καὶ

κείσθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΜΝ, καὶ διὰ τῶν ΖΘ,

ΚΛ ἤχθω ἐπίπεδον ποιοῦν τὴν ΚΖΛ τομήν. ἐπεὶ

οὖν ἡ ΜΝ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΒ κοινὴν τομὴν

τῶν ἐπιπέδων ἐν τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ οὖσα, κάθετος

ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ ἐπὶ τὸ ΑΔ ἐπίπεδον· παράλληλοι

ἄρα εἰσὶν αἱ ΖΘ, ΜΝ. παράλληλοι δὲ καὶ αἱ ΚΛ,

ΑΒ· καὶ τὰ δι' αὐτῶν ἄρα ἐπίπεδα. ἡ ΚΖΛ ἄρα τομὴ

παράλληλός ἐστι τῇ βάσει· κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΖΛ

τομή. διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἡ ΚΛ καὶ τῇ ΚΛ

πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΘ· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ

τῷ ἀπὸ τῆς ΘΖ. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ τὸ ὑπὸ

τῶν ΕΘ, ΘΗ ἴσον ἐστίν· ἴση γὰρ ἡ μὲν ΕΘ τῇ ΘΚ,

ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΘΛ διὰ τὸ τὰς πρὸς ταῖς ΕΚ, ΛΗ

βάσεσι γωνίας ἴσας εἶναι· καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΗ

ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ ἴσον ἐστί. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ΖΘ

ἐπὶ τὴν ΕΗ. ὁμοίως δὲ κἂν ἄλλην ἀγάγῃς παράλληλον

τῇ ΖΘ ἐπὶ τὴν ΕΗ, ἴσον δυνήσεται τῷ ὑπὸ τῶν γενο-

μένων τμημάτων τῆς ΕΗ· κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖΗ

τομή, οὗ διάμετρος ἡ ΕΘΗ εὐθεῖα.

{ζʹ.}

Δοθέντος κυλίνδρου σημείου τινὸς

ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἀγαγεῖν διὰ τοῦ

σημείου πλευρὰν τοῦ κυλίνδρου.

ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ

Α, Β κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα,

τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπι-

φανείας τὸ Γ, καὶ δέον ἔστω διὰ τοῦ

Γ ἀγαγεῖν τοῦ κυλίνδρου πλευράν.

ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου κάθετος

ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΓΔ, καὶ διὰ τῶν ΑΒ,

ΓΔ εὐθειῶν ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον τέμνον τὸν κύλιν-

δρον· ἥξει ἄρα ἡ τομὴ διὰ τοῦ Γ καὶ ποιήσει εὐθεῖαν

ὡς τὴν ΓΕ, ἥτις ἐστὶ πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου.

{ηʹ.}

Ἐὰν ἐπὶ κυλίνδρου ἐπιφανείας δύο σημεῖα ληφθῇ

μὴ ἐπὶ μιᾶς ὄντα πλευρᾶς τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ

διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ κυλίνδρου, ἡ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα

ἐντὸς πεσεῖται τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας.

ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις εἰσὶν οἱ Α, Β κύκλοι,

καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας αὐτοῦ δύο σημεῖα τὰ

Γ, Δ μὴ ὄντα ἐπὶ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ παραλληλογράμμου

τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ κυλίνδρου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ

ΓΔ εὐθεῖα. λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐντὸς πίπτει τῆς ἐπι-

φανείας.

εἰ γὰρ δυνατόν, πιπτέτω ἢ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἢ

ἐκτὸς αὐτῆς. καὶ ἐπεὶ τὰ Γ, Δ σημεῖα οὔκ ἐστιν ἐπὶ

τῆς αὐτῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου, ἤχθω διὰ μὲν τοῦ

Γ ἡ ΕΓΖ πλευρά, διὰ δὲ τοῦ Δ ἡ ΗΔΘ, καὶ ἐπ-

εζεύχθωσαν αἱ ΕΗ, ΖΘ εὐθεῖαι· ἐντὸς ἄρα πίπτουσι

τῶν κύκλων αἱ ΕΗ, ΖΘ. εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς

ΓΔ τὸ Κ· τὸ δὴ Κ ἤτοι ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐστὶ τοῦ

κυλίνδρου ἢ ἐκτός. ἔστω πρότερον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας,

καὶ διὰ τοῦ Κ ἤχθω πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου ἡ ΛΚΜ

εὐθεῖα πίπτουσα ἐπὶ τὰς ΕΗ, ΖΘ περιφερείας ἐκβαλ-

λομένη. οὐδετέραν ἄρα τεμεῖ τῶν ΕΗ, ΖΘ εὐθειῶν·

οὐκ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΜ ἐν τῷ ΖΕΗΘ ἐπιπέδῳ. καὶ

ἐπ' αὐτῆς τὸ Κ· οὐδὲ τὸ Κ ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΖΕΗΘ

ἐπιπέδῳ. ἐπεὶ δὲ ἡ ΓΔ ἐστιν ἐν τῷ ΖΕΗΘ ἐπιπέδῳ

καὶ ἐπ' αὐτῆς τὸ Κ, τὸ Κ ἄρα ἐν τῷ ΖΕΗΘ ἐστιν

ἐπιπέδῳ. καὶ ἔστιν ἄρα καὶ οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ

τὸ Κ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας

ἐστὶν ἡ ΓΔ.

ἀλλὰ δὴ ἔστω ἐκτός, καὶ ληφθέντος σημείου τινὸς

ἐπὶ τῆς ΕΗ περιφερείας τοῦ Λ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ. ἐκ-

βληθεῖσα δὴ ἐφ' ἑκάτερα ἡ ΚΛ οὐδετέραν τεμεῖ τῶν

ΕΗ, ΖΘ εὐθειῶν· ὥστε οὐκ ἔσται ἡ ΚΛ ἐν τῷ ΖΕΗΘ

ἐπιπέδῳ· καὶ τὰ λοιπὰ δῆλα.

{θʹ.}

Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ μήτε παρὰ τὰς βά-

σεις μήτε ὑπεναντίως μήτε διὰ τοῦ ἄξονος μήτε παραλ-

λήλῳ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ, ἡ τομὴ οὐκ ἔσται

κύκλος οὐδὲ εὐθύγραμμον.

ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις οἱ Α, Β κύκλοι, καὶ

τετμήσθω ἐπιπέδῳ μήτε παρὰ τὰς βάσεις μήτε ὑπεναν-

τίως μήτε διὰ τοῦ ἄξονος μήτε παραλλήλως τῷ ἄξονι.

τὸ δὴ τέμνον ἐπίπεδον ἤτοι καὶ τὰς βάσεις τέμνει ἀμ-

φοτέρας ἢ τὴν ἑτέραν ἢ οὐδετέραν. πρῶτον δὴ μηδ-

ετέραν τεμνέτω καὶ ποιείτω γραμμὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ

τοῦ κυλίνδρου τὴν ΓΕΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΕΔ τομὴ

οὔτε κύκλος ἐστὶν οὔτε εὐθύγραμμον.

ὅτι μὲν οὔκ ἐστιν εὐθύγραμμον, δῆλον. εἰ γὰρ

δυνατόν, ἔστω εὐθύγραμμον, καὶ εἰλήφθω πλευρά τις

αὐτοῦ ἡ ΓΕ. ἐπεὶ οὖν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίν-

δρου δύο σημεῖα εἴληπται τὰ Γ, Ε μὴ ὄντα ἐπὶ τῆς

αὐτῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου· ἡ γὰρ πλευρὰ κατὰ δύο

σημεῖα οὐ τέμνει τὴν τοιαύτην γραμμήν· ἡ ἄρα τὰ

Γ, Ε σημεῖα ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας

ἐστὶ τοῦ κυλίνδρου· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα

εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΓΕ γραμμή· τὸ ἄρα ΓΕΔ σχῆμα οὔκ

ἐστιν εὐθύγραμμον.

δεικτέον δή, ὅτι οὐδὲ κύκλος.

ἐπεὶ γὰρ τὸ τῆς ΓΕΔ τομῆς ἐπίπεδον τῷ τοῦ Α

κύκλου ἐπιπέδῳ οὔκ ἐστι παράλληλον, ἐκβαλλόμενα τὰ

ἐπίπεδα τεμεῖ ἄλληλα. τεμνέτω, καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ

αὐτῶν ἡ ΖΗ, καὶ διὰ τοῦ Α κέντρου ἤχθω κάθετος

ἐπὶ τὴν ΖΗ ἡ ΘΑΗ, καὶ διὰ τῆς ΘΑ καὶ τοῦ ἄξονος

ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον ποιοῦν ἐν μὲν τῷ κυλίνδρῳ το-

μὴν τὸ ΘΚ παραλληλόγραμμον, ἐν δὲ τῇ ΓΕΔ τομῇ

τὴν ΓΔ εὐθεῖαν, καὶ τῆς ΓΔ δίχα τμηθείσης κατὰ τὸ

Λ ἤχθωσαν τῇ ΖΗ παράλληλοι διὰ μὲν τοῦ Λ ἡ ΕΛΜ,

διὰ δὲ τοῦ Α ἡ ΝΑΞ· αἱ ἄρα ΜΕ, ΝΞ παράλληλοί

εἰσιν ἀλλήλαις. ἤχθω τοίνυν διὰ τῆς ΕΜ ἐπίπεδον

παράλληλον τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου ποιοῦν ἐν τῷ

κυλίνδρῳ τομὴν τὴν ΟΕΠΜ· ἡ ΟΕΠ ἄρα τομὴ κύκλος

ἐστίν, οὗ διάμετρός ἐστιν ἡ ΟΠ δίχα τετμημένη κατὰ

τὸ Λ· ἐπεὶ γὰρ τῶν ΛΟΓ, ΛΠΔ τριγώνων ὁμοίων

ὄντων ἴση ἐστὶν ἡ ΓΛ τῇ ΛΔ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΟΛ

τῇ ΛΠ. διάμετρος ἄρα καὶ ἡ ΕΛΜ τοῦ ΟΕΠ

κύκλου. ἐπεὶ οὖν παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΟΛ τῇ ΘΑ,

ἡ ΛΜ δὲ τῇ ΑΞ, ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν ΟΛ, ΛΜ γωνία τῇ

ὑπὸ ΘΑ, ΑΞ ἴση ἐστίν· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν

ΟΛ, ΛΜ. ἡ ΕΛ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΟΠ

διάμετρον τοῦ κύκλου· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ ἴσον ἐστὶ

τῷ ὑπὸ ΟΛ, ΛΠ. ἐπεὶ δὲ οὔκ ἐστιν ἡ τομὴ ὑπεναν-

τία, ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΟΓ γωνία οὔκ ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ

ΟΓΛ· οὐδὲ ἡ ΟΛ ἄρα εὐθεῖα τῇ ΓΛ ἴση ἐστίν· οὐδὲ

τὸ ἀπὸ τῆς ΟΛ ἄρα, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΟΛ, ΛΠ,

τῷ ἀπὸ τῆς ΛΓ, τουτέστι τῷ ὑπὸ τῶν ΓΛ, ΛΔ, ἴσον

ἐστίν. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ τῶν ΟΛ, ΛΠ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΛ

ἴσον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ οὔκ ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΓΛ,

ΛΔ ἴσον. οὐκ ἄρα κύκλος ἐστὶν ἡ ΓΕΔ τομή· ἐδείχθη

δέ, ὅτι οὐδὲ εὐθύγραμμον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

καὶ συναπεδείχθη, ὅτι ἡ τὴν ΓΔ ἐν τῇ τομῇ παρὰ

τὴν ΖΗ διχοτομοῦσα εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς

βάσεως.

{ιʹ.}

Ἀλλὰ δὴ τὸ τέμνον ἐπίπεδον τεμνέτω καὶ τὰς βάσεις,

τὴν μὲν Α βάσιν τῇ ΓΕ εὐθείᾳ, τὴν δὲ Β τῇ ΖΗ,

καὶ διὰ τοῦ Α ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΕ ἡ ΘΑΛ,

καὶ διὰ τῆς ΘΑ διαμέτρου καὶ τοῦ ἄξονος ἐκβεβλήσθω

ἐπίπεδον, ὃ ποιεῖ τομὴν τὸ ΘΚ παραλληλόγραμμον, τῆς

δὲ ΖΕ τομῆς καὶ τοῦ ΘΚ παραλληλογράμμου κοινὴ

τομὴ ἡ ΛΜ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΖΕ ἐπίπεδον οὔτε διὰ τοῦ

ἄξονος ἦκται οὔτε παραλλήλως τῷ ἄξονι, ἡ ΛΜ ἄρα

ἐπ' ἄπειρον ἐκβαλλομένη τεμεῖ τὸν ἄξονα· τεμεῖ ἄρα

καὶ τὴν ΘΝ παράλληλον οὖσαν τῷ ἄξονι· ἀμφοτέρα

γὰρ ἐν τῷ ΘΚ εἰσιν ἐπιπέδῳ. τεμνέτω δὴ κατὰ τὸ Ν,

καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ' ἑκάτερα ἡ ΘΝ. ἐὰν δὴ μένοντος

τοῦ ἄξονος καὶ τῶν κύκλων ἡ ΘΝ περιενεχθεῖσα σὺν

ταῖς διαμέτροις ἀποκατασταθῇ, αὐξήσει τὴν τοῦ ἐξ

ἀρχῆς κυλίνδρου ἐπιφάνειαν κατὰ τὸ ὕψος, καὶ προσ-

εκβληθέντος τοῦ ΖΕ ἐπιπέδου αὐξηθήσεται καὶ ἡ τομὴ

μέχρι τοῦ Ν· τὸ δ' αὐτὸ ἔσται καὶ ἐπὶ τὰ Γ, Λ μέρη·

ἡ ΝΗΕΡ ἄρα τομή ἐστι κυλίνδρου, οἵα καὶ ἐν τῷ πρὸ

τούτου θεωρήματι. ἡ ΝΗΕΡ ἄρα τομὴ οὔτε κύκλος

οὔτε εὐθύγραμμόν ἐστι· καὶ ἡ ΓΕΗΖ ἄρα τομὴ οὔτε

εὐθύγραμμον οὔτε κύκλος οὔτε τμῆμα κύκλου, ἀλλ'

ἐστὶν ἡ τοιαύτη τομὴ κυλίνδρου τομή.

{ιαʹ.}

Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος,

ληφθῇ δέ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας,

ὃ μή ἐστιν ἐπὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παρ-

αλληλογράμμου, καὶ ἀπ' αὐτοῦ ἀχθῇ τις εὐθεῖα παράλ-

ληλος εὐθείᾳ τινί, ἥτις ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσα τῇ

βάσει τοῦ κυλίνδρου πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ βάσει τοῦ

διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου, ἐντὸς πεσεῖται τοῦ

παραλληλογράμμου καὶ προσεκβαλλομένη ἕως τοῦ ἑτέρου

μέρους τῆς ἐπιφανείας δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ παρ-

αλληλογράμμου.

ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ Α, Β κύκλοι, τὸ

δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ, καὶ

εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου

τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε παράλληλος ἤχθω εὐθείᾳ τινὶ

καθέτῳ ἐπὶ τὴν ΓΑ βάσιν τοῦ παραλληλογράμμου, καὶ

ἔστω ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἐντὸς πεσεῖται τοῦ ΓΔ

παραλληλογράμμου καὶ προσεκβαλλομένη μέχρι τοῦ

ἑτέρου μέρους τῆς ἐπιφανείας δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ

παραλληλογράμμου.

ἤχθω διὰ τοῦ Ε σημείου παρὰ τὸν ἄξονα ἡ ΘΕΗ

εὐθεῖα τέμνουσα τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως κατὰ τὸ

Θ, καὶ διὰ τοῦ Θ ἤχθω ἡ ΘΚ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὴν

ΓΑ καθέτῳ, ᾕτινι παράλληλος ὑπόκειται ἡ ΕΖ· τεμεῖ

ἄρα ἡ ΘΚ τὴν ΓΑ καὶ αὐτή. ἤχθω οὖν διὰ τῶν ΗΘ,

ΘΚ ἐπίπεδον τέμνον τὸν κύλινδρον καὶ ποιείτω τὸ

ΗΝ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ κοινὴ

τομὴ τῶν ΓΔ, ΝΗ παραλληλογράμμων. ἐπεὶ τοίνυν

αἱ ΕΖ, ΚΘ τῇ αὐτῇ εἰσι παράλληλοι, καὶ ἀλλήλαις

ἄρα εἰσὶ παράλληλοι· καί ἐστιν ἡ ΘΚ ἐν τῷ ΚΗ ἐπι-

πέδῳ· καὶ ἡ ΕΖ ἄρα ἐν τῷ ΚΗ ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἐκ-

βαλλομένη ἄρα ἡ ΕΖ πίπτει ἐπὶ τὴν ΛΚ, ἥτις ἐστὶν

ἐν τῷ ΓΔ ἐπιπέδῳ. ἡ ΕΖ ἄρα ἐντὸς πίπτει τοῦ ΓΔ

παραλληλογράμμου.

φανερὸν δέ, ὅτι, κἂν εἰς τὸ ἕτερον μέρος ἐκβληθῇ

μέχρι τοῦ Μ, ὅπερ ἐστὶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυ-

λίνδρου, δίχα ἔσται τετμημένη κατὰ τὸ Ζ. ἐπεὶ γὰρ

ἡ ΓΑ διάμετρος πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ ΘΚ, ἴση ἄρα ἡ

ΘΚ τῇ ΚΝ. καὶ παράλληλοι αἱ ΜΝ, ΛΚ, ΗΘ· ἴση

ἄρα ἡ ΜΖ τῇ ΖΕ.

{ιβʹ.}

Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ τέμνοντι μὲν τὸ τῆς

βάσεως ἐπίπεδον ἐκτὸς τοῦ κύκλου, ἡ δὲ κοινὴ τομὴ

τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ

ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ' εὐθείας αὐτῇ, αἱ

ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἀπὸ τῆς τομῆς τῆς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ

τοῦ κυλίνδρου γενομένης ὑπὸ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου

παράλληλοι τῇ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξο-

νος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ' εὐθείας αὐτῇ ἐπὶ τὴν

κοινὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων πεσοῦνται καὶ προσεκβαλ-

λόμεναι ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς τομῆς δίχα τμηθή-

σονται ὑπὸ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων, καὶ ἡ πρὸς

ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου

ἢ τῇ ἐπ' εὐθείας αὐτῇ ὀρθοῦ μὲν ὄντος τοῦ κυλίνδρου

πρὸς ὀρθὰς ἔσται καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τε διὰ τοῦ

ἄξονος παραλληλογράμμου καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου,

σκαληνοῦ δὲ ὄντος οὐκέτι, πλὴν ὅταν τὸ διὰ τοῦ ἄξονος

ἐπίπεδον πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου.

ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ Α, Β κύκλοι, τὸ

δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ, καὶ

τετμήσθω ὁ κύλινδρος, ὡς εἴρηται, ἐπιπέδῳ ποιοῦντι

τὴν ΕΖΗΘ τομήν, ὥστε συμπιπτόντων τοῦ· τε τῆς

ΕΖΗΘ τομῆς καὶ τοῦ τῆς ΑΓ βάσεως ἐπιπέδου τὴν

κοινὴν τομὴν τὴν ΚΛ πρὸς ὀρθὰς εἶναι τῇ ΓΑΛ εὐ-

θείᾳ, καὶ ἀπὸ τῆς ΕΖΗ τομῆς ἤχθω τις εὐθεῖα παρ-

άλληλος τῇ ΚΛ ἡ ΖΜ καὶ προσεκβληθεῖσα περατούσθω

κατὰ τὸ ἕτερον μέρος τῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ Θ. λέγω,

ὅτι ἡ ΖΜ πίπτει ἐπὶ τὴν ΕΗ, καὶ ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ

ΖΜ τῇ ΜΘ.

ἐπεὶ γὰρ ἐν τῇ ΕΖΗ τομῇ παράλληλος ἦκται τῇ

ΚΛ ἡ ΖΜ, ἐντὸς ἄρα πίπτει τοῦ ΓΔ παραλληλο-

γράμμου. ἐπεὶ δέ ἐστιν ἡ μὲν ΖΜ εὐθεῖα ἐν τῷ

ΕΖΗΘ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ ΕΗ κοινὴ τομή ἐστιν αὐτοῦ

καὶ τοῦ ΓΔ παραλληλογράμμου, ἡ ΖΜ ἄρα ἐπὶ τὴν

ΕΗ πίπτει.

ὅτι δὲ καὶ ἡ ΖΜ τῇ ΜΘ ἴση ἐστί, φανερὸν καὶ

αὐτὸ διὰ τὸ πρὸ τούτου θεώρημα.

λοιπὸν δεῖ δεῖξαι, ὅτι ἡ ΚΛ ὀρθοῦ μὲν ὄντος τοῦ

κυλίνδρου ἢ τοῦ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ὄντος τῇ βάσει τοῦ

κυλίνδρου πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ ΕΗΛ. ἐπεὶ γὰρ τὸ

μὲν ΓΔ ἐπίπεδον πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ τῆς βάσεως

ἐπιπέδῳ, τῇ δὲ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ ΓΑΛ πρὸς ὀρθάς

ἐστιν ἡ ΚΛ ἐν τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ οὖσα, καὶ τῷ

λοιπῷ ἄρα τῷ τοῦ ΓΔ παραλληλογράμμου ἐπιπέδῳ πρὸς

ὀρθάς ἐστιν.

εἰ δὲ τὸ ΓΔ οὔκ ἐστι πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει,

πρὸς ὀρθὰς οὐκ ἔσται ἡ ΚΛ τῇ ΛΕ. εἰ γὰρ δυνατόν,

ἔστω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΛ τῇ ΛΕ. ἔστι δὲ καὶ τῇ ΛΓ

πρὸς ὀρθάς· καὶ τῷ δι' αὐτῶν ἄρα ἐπιπέδῳ, τουτέστι

τῷ ΓΔ, πρὸς ὀρθὰς ἔσται ἡ ΚΛ. καὶ τὸ δι' αὐτῆς

ἄρα ἐπίπεδον τὸ τῆς Α βάσεως πρὸς ὀρθὰς ἔσται τῷ

ΓΔ· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ἡ ΚΛ πρὸς ὀρθάς

ἐστι τῇ ΛΕ.

ἐκ δὴ τῶν δεδειγμένων φανερόν, ὅτι ἡ ΕΗ διά-

μετρός ἐστι τῆς ΕΖΗΘ τομῆς· πάσας γὰρ τὰς παρὰ

τὴν ΚΛ καταγομένας ἐπ' αὐτὴν δίχα τέμνει, ὥσπερ

τὴν ΖΘ.

{ιγʹ.}

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ὁμοίως τμηθῶσιν, ἔσται, ὡς τὸ

ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, οὕτως τὸ

ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν

τμημάτων τῆς δευτέρας.

εὐθεῖαι γὰρ αἱ ΑΒ, ΓΔ ὁμοίως τετμήσθωσαν κατὰ

τὰ Ε, Ζ σημεῖα. λέγω, ὅτι, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς

τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὸ

ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.

ἐπεὶ γάρ, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς

ΖΔ, καὶ συνθέντι ἄρα καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς

ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΖΔ. καὶ ἐπεί, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς

ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ,

ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ διπλασίονα λόγον ἔχει

ἤπερ ἡ ΕΒ πρὸς ΖΔ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς

ΓΔ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ

διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ· ὡς ἄρα

τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ

τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· ὃ προέκειτο

δεῖξαι.

{ιδʹ.}

Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος,

τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὸ τῆς βάσεως

ἐπίπεδον, ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τοῦ τε τῆς βάσεως καὶ τοῦ

τέμνοντος ἐπιπέδου πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῇ βάσει τοῦ διὰ

τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ' εὐθείας αὐτῇ,

ἀπὸ δὲ τῆς τομῆς ἀχθῇ τις ἐπὶ τὴν διάμετρον παράλ-

ληλος τῇ εἰρημένῃ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων, ἡ ἀχθεῖσα

δυνήσεταί τι χωρίον, πρὸς ὃ τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς

διαμέτρου τῆς τομῆς λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς δια-

μέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς

βάσεως.

ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ Α, Β κύκλοι,

τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ, καὶ

τετμήσθω ὁ κύλινδρος ἐπιπέδῳ συμπίπτοντι τῷ τῆς

βάσεως ἐπιπέδῳ κατ' εὐθεῖαν ὀρθὴν πρὸς ΓΑ ἐκβλη-

θεῖσαν, καὶ ἔστω ἡ γενομένη τομὴ ἡ ΕΖΗ, κοινὴ δὲ

τομὴ τοῦ παραλληλογράμμου καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπι-

πέδου ἡ ΕΗ διάμετρος οὖσα τῆς τομῆς, ὡς ἐδείχθη.

ληφθέντος δέ τινος σημείου ἐπὶ τῆς τομῆς τοῦ Ζ

κατήχθω ἀπ' αὐτοῦ ἐπὶ τὴν διάμετρον εὐθεῖα παράλ-

ληλος τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων ἡ ΖΘ· πίπτει ἄρα

ἡ ΖΘ ἐπὶ τὴν ΕΗ, ὡς ἐδείχθη. λέγω δή, ὅτι τὸ ὑπὸ

τῶν ΕΘ, ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ λόγον ἔχει, ὃν τὸ

ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου

τῆς βάσεως.

ἤχθω διὰ τοῦ Θ παράλληλος τῇ ΓΑ ἡ ΚΘΛ, καὶ

διὰ τῶν ΖΘ, ΚΛ εὐθειῶν ἤχθω ἐπίπεδον τομὴν ποιοῦν

τὴν ΚΖΛ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΚΛ τῇ ΓΑ παράλληλος,

ἡ δὲ ΖΘ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων οὔσῃ ἐν τῷ τῆς

βάσεως ἐπιπέδῳ, καὶ τὰ δι' αὐτῶν ἄρα ἐπίπεδα παρ-

άλληλά ἐστιν· ἡ ΚΖΛ ἄρα τομὴ κύκλος ἐστί. πάλιν

ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΚΛ τῇ ΓΑ, ἡ δὲ ΖΘ

τῇ κοινῇ· τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς οὔσῃ πρὸς

τὴν ΓΑ, καὶ ἡ ΖΘ ἄρα πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ ΚΛ. καί

ἐστι κύκλος ὁ ΚΖΛ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΖΘ ἴσον ἐστὶ

τῷ ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ. ἐπεὶ ἡ ΚΕ τῇ ΛΗ παράλλη-

λός ἐστιν, ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ, οὕτως ἡ ΕΘ

πρὸς τὴν ΘΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΗ ὅμοιόν ἐστι

τῷ ὑπὸ ΚΘ, ΘΛ. ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΗ πρὸς

τὸ ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ, οὕ-

τως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ,

τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως.

{ιεʹ.}

Ἡ διὰ τῆς διχοτομίας τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς

τεταγμένως ἀγομένη ἐν τῇ τομῇ δευτέρα διάμετρος ἔσται.

ἔστω γὰρ τῆς ΕΖΗ τομῆς διάμετρος ἡ ΕΗ καὶ

δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Θ, καὶ διήχθω ἡ ΖΘΜ τεταγμέ-

νως. λέγω, ὅτι ἡ ΖΜ δευτέρα διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς.

ἤχθω παρὰ μὲν τὴν ΕΗ ἡ ΝΞ, παρὰ δὲ τὴν ΖΜ

αἱ ΝΠ, ΞΡ· τεταγμέναι ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΝΠ, ΞΡ.

ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΝΠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΠΗ λόγον

ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως τοῦ κυλίν-

δρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς, ἔχει δὲ

καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΡΗ τὸν αὐτὸν

λόγον, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΝΠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΠΗ,

οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΡ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΡΗ. καὶ ἐναλλάξ·

ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ ΝΠ τῷ ἀπὸ ΞΡ· παραλληλόγραμμον

γάρ ἐστι τὸ ΝΠΡΞ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΕΠΗ τῷ

ὑπὸ ΕΡΗ. καὶ ἀπ' ἴσων ἀφῄρηται τῶν ἀπὸ ΕΘ, ΘΗ·

καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΠΘ λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΘΡ ἴσον ἐστίν·

ἴση ἄρα ἡ ΠΘ τῇ ΘΡ, τουτέστιν ἡ ΝΟ τῇ ΟΞ. ὁμοίως

δὲ πᾶσαι αἱ παρὰ τὴν ΕΗ δίχα τέμνονται ὑπὸ τῆς

ΖΜ· δευτέρα διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ.

{ιϚʹ.}

Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ τέμνοντι τὸ τῆς

βάσεως ἐπίπεδον, ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τοῦ τε τῆς βάσεως

καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῇ βάσει

τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ' εὐ-

θείας αὐτῇ, ἡ μὲν ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν διάμετρον

ἀχθεῖσα παράλληλος τῇ εἰρημένῃ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπι-

πέδων δυνήσεται χωρίον, πρὸς ὃ τὸ ὑπὸ τῶν τμημά-

των τῆς διαμέτρου λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς δια-

μέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου,

ἡ δὲ ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον ἀχθεῖσα

παράλληλος τῇ διαμέτρῳ δυνήσεται χωρίον, πρὸς ὃ τὸ

ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς δευτέρας διαμέτρου λόγον ἔχει,

ὃν τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς

διαμέτρου.

ἔστω κύλινδρος, καὶ κατεσκευάσθω ὡς ἐν τῷ ιδʹ.

ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΗ πρὸς τὸ

ἀπὸ ΖΘ, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δια-

μέτρου τῆς βάσεως τῆς διχοτομούσης τὴν ΕΗ τεταγ-

μένως, ὡς ἐδείχθη πρὸς τῷ θʹ θεωρήματι, ἡ δὲ διχο-

τομοῦσα τὴν διάμετρον τεταγμένως δευτέρα διάμετρός

ἐστιν, ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου, εἴη ἄν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς

ΕΗ διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου,

οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ·

ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

ἀλλὰ δὴ ὑποκείσθω τὸ μὲν Θ διχοτομεῖν τὴν ΕΗ

διάμετρον, τὴν δὲ ΖΘΦ τεταγμένην εἶναι· δευτέρα

ἄρα διάμετρος ἡ ΖΦ. κατήχθω ἐπ' αὐτὴν ἀπὸ τῆς

τομῆς ἡ ΜΝ παράλληλος τῇ ΕΗ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ

τῶν ΦΝ, ΝΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ λόγον ἔχει, ὃν

τὸ ἀπὸ τῆς ΦΖ δευτέρας διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς

ΕΗ διαμέτρου τῆς τομῆς.

ἤχθω διὰ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ΓΔ

παραλληλογράμμῳ τέμνον τὸν κύλινδρον· ποιήσει δὴ

παραλληλόγραμμον τὴν τομήν. ποιείτω τὸ ΡΣ, ἔστω-

σαν δὲ κοιναὶ τομαὶ αὐτοῦ καὶ τῶν παραλλήλων κύκλων

αἱ ΣΤ, ΞΟ, ΠΡ, αὐτοῦ δὲ καὶ τῆς ΕΖΗ τομῆς κοινὴ

τομὴ ἔστω ἡ ΜΝ. ἐπεὶ οὖν παράλληλα ἐπίπεδα τὰ

ΓΔ, ΡΣ τέμνεται ὑπὸ τοῦ ΚΖΛ ἐπιπέδου, αἱ κοιναὶ

αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσι· παράλληλος ἄρα ἡ ΚΘ

τῇ ΝΞ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΘΕ τῇ ΝΜ παράλληλος· ἡ ἄρα

ὑπὸ ΚΘΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΞΝΜ ἴση ἐστί. καὶ ἐπεὶ τὸ

ΡΣ παραλληλόγραμμον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΓΔ παραλ-

ληλογράμμῳ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ γʹ θεωρήματι, ἡ ἄρα

ὑπὸ τῶν ΣΠΡ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ ἴση ἐστί,

τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΣΞΝ τῇ ὑπὸ ΕΚΘ· ὅμοια ἄρα ἀλλή-

λοις τὰ ΕΚΘ, ΜΞΝ τρίγωνα. ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς

ΘΕ, οὕτως ἡ ΞΝ πρὸς ΝΜ· καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ

ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς δευ-

τέρας διαμέτρου τῆς ΦΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ δια-

μέτρου, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΞΝ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΝΜ.

ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΝΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΦΝ, ΝΖ·

κύκλος γάρ ἐστιν ὁ ΚΖΛ, καὶ ὀρθὴ ἡ ΘΖ ἐπὶ τὰς

ΚΘ, ΞΝ. ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΦΖ δευτέρας δια-

μέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου, οὕτως τὸ ὑπὸ

τῶν ΦΝ, ΝΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ· ὃ προέκειτο

δεῖξαι.

{ιζʹ.}

Ἐὰν κυλίνδρου τομῆς συζυγεῖς διάμετροι ὦσι, καὶ

ποιηθῇ, ὡς ἡ διάμετρος τῆς τομῆς πρὸς τὴν δευτέραν

διάμετρον, οὕτως ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς ἄλλην τινά,

ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν διάμετρον ἀχθῇ τεταγ-

μένως, δυνήσεται τὸ παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον πλάτος

ἔχον τὴν ὑπ' αὐτῆς τῆς τεταγμένως ἀχθείσης ἀπολαμ-

βανομένην πρὸς τῇ τομῇ ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ περι-

εχομένῳ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς τρίτης ἀνάλογον.

ἔστω κυλίνδρου τομή, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ,

δευτέρα δὲ διάμετρος ἡ ΓΔ, καὶ γενέσθω, ὡς ἡ ΑΒ

πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΗ, καὶ κείσθω

ἡ ΑΗ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΗ, καὶ

ἐπὶ τὴν ΑΒ ἤχθω τεταγμένως ἡ ΕΖ, καὶ παρὰ μὲν

τὴν ΑΗ ἡ ΖΘ, παρὰ δὲ τὴν ΑΖ ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι

τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΘ παραλληλογράμμῳ.

ἐπεί, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ,

οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ,

ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ,

οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΖ, ΖΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ, ὡς δὲ ἡ ΒΖ

πρὸς ΖΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΖ, ΖΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΖ,

ΖΑ, τουτέστι τὸ ΑΘ παραλληλόγραμμον, τὸ ἄρα ἀπὸ

τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΘ, ὃ παράκειται παρὰ τὴν ΑΗ

τρίτην ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν ΑΖ ἐλλεῖπον εἴδει

τῷ ὑπὸ ΗΚΘ ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΗΑΒ.

καλείσθω δὲ ἡ μὲν ΑΒ <πλαγία> τοῦ εἴδους πλευρά,

ἡ δὲ ΑΗ <ὀρθία> τοῦ εἴδους πλευρά.

Τούτων οὕτως ἐχόντων φανερόν ἐστιν, ὅτι ἡ ΑΒΓ

τοῦ κυλίνδρου τομὴ ἔλλειψίς ἐστιν· ὅσα γὰρ ἐνταῦθα

τῇ τομῇ ἐδείχθη ὑπάρχοντα, πάντα ὁμοίως καὶ ἐπὶ

τοῦ κώνου τῇ ἐλλείψει ὑπῆρχεν, ὡς ἐν τοῖς Κωνικοῖς

δείκνυται θεωρήματι ιεʹ τοῖς δυναμένοις λέγειν τὴν

ἀκρίβειαν τοῦ θεωρήματος, καὶ ἡμεῖς ἐν τοῖς εἰς αὐτὰ

ὑπομνήμασι γεωμετρικῶς ἀπεδείξαμεν.

{ιηʹ.}

Ἐὰν ἐν κυλίνδρου τομῇ συζυγεῖς διάμετροι ὦσι,

καὶ ποιηθῇ, ὡς ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς τὴν διά-

μετρον, οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς ἄλλην τινά, ἥτις ἂν

ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον ἀχθῇ τεταγ-

μένως, δυνήσεται τὸ παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον πλάτος

ἔχον τὴν ὑπ' αὐτῆς τῆς τεταγμένως ἀχθείσης ἀπολαμ-

βανομένην πρὸς τῇ τομῇ ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ περι-

εχομένῳ ὑπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου καὶ τῆς πορισ-

θείσης τρίτης ἀνάλογον.

ἔστω κυλίνδρου τομή, καὶ γενέσθω, ὡς ἡ ΓΔ δευ-

τέρα διάμετρος πρὸς τὴν ΑΒ διάμετρον, οὕτως ἡ ΑΒ

πρὸς τὴν ΓΗ, καὶ κείσθω ἡ ΓΗ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ,

καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ, καὶ ἐπὶ τὴν ΓΔ κατήχθω τεταγ-

μένως ἡ ΕΖ, καὶ παρὰ μὲν τὴν ΓΗ ἡ ΖΘ, παρὰ δὲ

τὴν ΓΔ ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ

τῷ ΓΘ παραλληλογράμμῳ.

ἐπεὶ γάρ, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς

ΑΒ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΗ, τουτέστιν ἡ ΔΖ πρὸς

ΖΘ, ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς

ΑΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΖ, ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς

ΕΖ· ταῦτα γὰρ ἐδείχθη· ὡς δὲ ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ, οὕ-

τως τὸ ὑπὸ ΔΖ, ΖΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΖ, ΖΓ, τουτέστι

τὸ ΓΘ ὀρθογώνιον, ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ΓΘ,

ὃ παραβέβληται παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον τὴν ΓΗ

πλάτος ἔχον τὴν ΖΓ ἐλλεῖπον εἴδει τῷ ὑπὸ ΘΚΗ

ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΔΓΗ· ἅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ταῦτα σαφέστατα παρηκολούθει τῇ ἐλλείψει ἐν τῷ

ιεʹ θεωρήματι τῶν Κωνικῶν· ἔλλειψις ἄρα ἐστὶν ἡ

ΑΒΓ τομὴ τοῦ κυλίνδρου.

{ιθʹ.}

Ἐὰν ἐν κυλίνδρου τομῇ εὐθεῖαι ἀχθῶσιν ἐπὶ τὴν

διάμετρον τεταγμένως, ἔσται τὰ ἀπ' αὐτῶν τετράγωνα

πρὸς μὲν τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ τῶν ἀπολαμβανο-

μένων ὑπ' αὐτῶν πρὸς τοῖς πέρασι τῆς πλαγίας τοῦ

εἴδους πλευρᾶς, ὡς τοῦ εἴδους ἡ ὀρθία πλευρὰ πρὸς

τὴν πλαγίαν, πρὸς ἑαυτὰ δέ, ὡς τὰ περιεχόμενα χωρία

ὑπὸ τῶν, ὡς εἴρηται, λαμβανομένων εὐθειῶν.

ἔστω κυλίνδρου τομὴ ἡ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐ-

τῆς ἡ ΑΔ καὶ πλαγία πλευρὰ τοῦ εἴδους, ὀρθία δὲ

τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ ΑΗ, καὶ ἐπὶ τὴν ΑΔ τεταγμένως

ἤχθωσαν αἱ ΒΕ, ΖΓ. λέγω, ὅτι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΕ

πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΔ ἐστιν, ὡς ἡ ΗΑ πρὸς ΑΔ,

τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἐστιν, ὡς τὸ

ὑπὸ ΑΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖΔ.

ἐπεὶ γάρ, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου πρὸς

τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου, οὕτως τό τε ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς

τὸ ὑπὸ ΑΕΔ καὶ ἡ ΑΗ ὀρθία πλευρὰ πρὸς τὴν ΑΔ

πλαγίαν, ὡς ἄρα ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν, οὕτως

τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ· ὁμοίως δὲ

καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖΔ. καὶ ἐναλλὰξ

ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, οὕτως

τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΔ· ἃ προέκειτο

δεῖξαι.

Καὶ ταῦτα δέδεικται ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἐν τοῖς

Κωνικοῖς θεωρήματι κʹ.

Ἔστι μὲν οὖν καὶ δι' ἑτέρων πλείστων ἐπιδεῖξαι

τὴν ταυτότητα τῶν τομῶν διὰ τῶν κοινῇ συμβαινόν-

των αὐταῖς· οὐ μὴν ἀλλὰ τά γε ἀρχικώτερα τῶν συμ-

πτωμάτων εἴρηται σχεδόν. ἔπειτα μέχρι τοῦδε προ-

αχθείσης τῆς θεωρίας οὐκ ἐμοὶ προσήκει τοὐντεῦθεν

ἔτι τῶν λοιπῶν ἕκαστα διεξιόντι τοῖς ἀλλοτρίοις ἐν-

διατρίβειν· ἀνάγκη γάρ που λεπτολογοῦντα περὶ ἐλλεί-

ψεως ἐπεισκυκλῆσαι καὶ τὰ τῷ Περγαίῳ Ἀπολλωνίῳ

τεθεωρημένα περὶ αὐτῆς. ἀλλ' ὅτῳ σπουδὴ περαιτέρω

σκοπεῖν, ἔξεστι ταῦτα παρατιθέντι τοῖς ἐν τῷ πρώτῳ

τῶν Κωνικῶν εἰρημένοις αὐτῷ δι' αὑτοῦ βεβαιῶσαι τὸ

προκείμενον· ὅσα γὰρ ἐν ἐκείνοις περὶ τὴν τοῦ κώνου

τομὴν συμβαίνοντα τὴν καλουμένην ἔλλειψιν, τοσαῦτα

καὶ περὶ τὴν τοῦ κυλίνδρου τομὴν ἐκ τῶν ἐνταῦθα

προδεδειγμένων εὑρήσει συμβαίνοντα. διόπερ τούτου

μὲν ἀποστάς, ὀλίγα δὲ ἄττα λημμάτια προσθείς, δι' ὧν

καὶ αὐτῶν ἐνδείκνυταί πως ἡ τῶν τομῶν ταυτότης, ἐπ'

ἄλλο τι τρέψομαι.

{κʹ.}

Λέγω τοίνυν, ὅτι δυνατόν ἐστι δεῖξαι κῶνον ὁμοῦ

καὶ κύλινδρον μιᾷ καὶ τῇ αὐτῇ τεμνομένους ἐλλείψει.

ἐκκείσθω τρίγωνον σκαληνὸν τὸ ΑΒΓ ἐπὶ τῆς ΒΓ

βάσεως δίχα τεμνομένης κατὰ τὸ Δ, καὶ μείζων ἔστω ἡ

ΑΒ τῆς ΑΓ, καὶ πρὸς τῇ ΓΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ

συνεστάτω γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΕ ἤτοι μείζων

οὖσα τῆς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἢ ἐλάσσων, καὶ συμπιπτέτω

ἡ ΑΕ τῇ ΒΓΕ κατὰ τὸ Ε, καὶ τῶν ΒΕ, ΕΓ μέση

ἀνάλογον ἔστω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ, καὶ τῇ

ΑΕ παράλληλος ἐν τῷ τριγώνῳ διήχθω ἡ ΘΗ, καὶ

διὰ τῶν Θ, Η σημείων τῇ ΑΖ παράλληλοι ἤχθωσαν

αἱ ΘΚ, ΛΗΜ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΚΜ παραλλη-

λόγραμμον, καὶ διὰ τῆς ΒΕ ἀχθέντος ἐπιπέδου πρὸς

ὀρθὰς τῷ ΒΑΕ ἐπιπέδῳ γεγράφθω ἐν τῷ ἀχθέντι περὶ

μὲν τὴν ΚΛ διάμετρον ὁ ΚΝΛ κύκλος βάσις ἐσόμενος

κυλίνδρου, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμόν ἐστι

τὸ ΚΜ, περὶ δὲ τὴν ΒΓ διάμετρον ὁ ΒΞΓ κύκλος

βάσις ἐσόμενος κώνου, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνόν

ἐστι τὸ ΑΒΓ, καὶ τῆς ΘΗ ἐκβληθείσης ἐπὶ τὸ Ο ἤχθω

πρὸς ὀρθὰς τῇ ΒΕ ἡ ΟΠ ἐν τῷ τῶν κύκλων ἐπιπέδῳ

οὖσα, καὶ ἤχθω διὰ τῶν ΟΠ, ΟΘ εὐθειῶν ἐπίπεδον·

ποιήσει δὴ τομὴν ἐν τῷ κώνῳ τῷ ἐπὶ τῆς ΒΞΓ βά-

σεως. ποιείτω τὴν ΘΡΗ· ἡ ΘΗ ἄρα εὐθεῖα διάμετρός

ἐστι τῆς τομῆς. τῆς οὖν ΘΗ δίχα τμηθείσης κατὰ τὸ

Σ κατήχθωσαν τεταγμένως ἐπ' αὐτὴν δευτέρα μὲν διά-

μετρος ἡ ΡΣΤ, τυχοῦσα δὲ ἡ ΥΦ, καὶ γενέσθω, ὡς

τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ διαμέτρου τῆς ΘΡΗ τομῆς πρὸς τὸ

ἀπὸ τῆς ΡΤ δευτέρας διαμέτρου τῆς αὐτῆς τομῆς,

οὕτως ἡ ΘΗ πλαγία τοῦ εἴδους πλευρὰ πρὸς τὴν ΘΧ

ὀρθίαν.

ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΘΚ τῇ ΑΖ παράλληλός ἐστιν, ἡ

δὲ ΘΟ τῇ ΑΕ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ

τῆς ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΘΟ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΟ.

ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ,

ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ διαμέτρου τῆς τοῦ κώνου

τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΡΤ δευτέρας διαμέτρου τῆς

αὐτῆς τομῆς, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΟ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς

ΟΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ,

τουτέστιν οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ διαμέτρου τῆς τοῦ

κυλίνδρου τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου

τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς, ὡς ἐδείχθη πρότερον· ἡ ἄρα

δευτέρα διάμετρος…

…