De sectione coni

γωνιῶν ἐπὶ μιὰν τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἀχθῇ εὐθεῖα,

ἡ ἀχθεῖσα πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ' αὐτῆς πρὸς

τῇ καθέτῳ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἐξ ἀρχῆς ὑπο-

τείνουσα τὴν ὀρθὴν πρὸς τὴν τμηθεῖσαν πλευρὰν ὑπὸ

τῆς ἀχθείσης.

τριγώνου γὰρ ὀρθογωνίου τοῦ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον-

τος τὴν Α γωνίαν ἀπὸ μιᾶς τῶν γωνιῶν τῆς Γ ἐπὶ

τὴν ΑΒ ἤχθω τις εὐθεῖα ἡ ΓΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ

πρὸς ΔΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ.

ἤχθω παρὰ τὴν ΓΒ ἡ ΔΕ. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ

ὑπὸ ΔΑΓ, ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΓ· μείζων ἄρα ἡ ΔΓ

τῆς ΔΕ. ἡ ἄρα ΓΔ πρὸς ΔΑ μείζονα λόγον ἔχει

ἤπερ ἡ ΕΔ πρὸς ΔΑ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ.

{γʹ.}

Ἐὰν κῶνος ὀρθὸς διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τμηθῇ,

τῶν γινομένων ἐν ταῖς τομαῖς τριγώνων τὰ ἴσας ἔχοντα

βάσεις ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.

ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις

δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, τοῦ δὲ κώνου διὰ

τῆς κορυφῆς τμηθέντος ἐπιπέδοις γεγενήσθω τὰ ὑπὸ

τῆς τομῆς γενόμενα τρίγωνα· ὅτι γὰρ τρίγωνα ποιοῦσιν

αἱ τοιαῦται τομαί, ἐν ἄλλοις δείκνυται. γεγενήσθω δὴ

τὰ ΑΓΔ, ΑΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΓΔ, ΕΖ βάσεις.

λέγω, ὅτι τὰ ΑΓΔ, ΑΕΖ τρίγωνα ἴσα ἐστίν.

ἐπεὶ γὰρ αἵ τε βάσεις ἴσαι ἀλλήλαις, ἴσαι δὲ καὶ

αἱ ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΑΖ, καὶ τὸ τρίγωνον ἄρα τῷ τρι-

γώνῳ ἴσον.

{δʹ.}

Ἐν τοῖς ὀρθοῖς κώνοις τὰ ὅμοια τρίγωνα ἴσα ἀλλή-

λοις ἐστίν.

ἔστω γὰρ ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς τὸ ΑΓΔ

τρίγωνον τῷ ΑΕΖ ὅμοιον. λέγω, ὅτι καὶ ἴσον ἐστίν.

ἐπεὶ γάρ, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς

ΕΖ, καὶ ἐναλλὰξ ἄρα. καί εἰσιν ἴσαι αἱ ΓΑ, ΕΑ·

ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ΓΔ, ΕΖ. τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων

τρίγωνα ἐν τοῖς ὀρθοῖς κώνοις ἴσα ἐστίν· ἴσα ἄρα τὰ

ΑΓΔ, ΑΕΖ τρίγωνα.

{εʹ.}

Ἐὰν κῶνος ὀρθὸς ἐπιπέδοις τμηθῇ διὰ τῆς κορυφῆς

τῷ μὲν διὰ τοῦ ἄξονος, τοῖς δὲ ἐκτὸς τοῦ ἄξονος, ὁ

δὲ ἄξων τοῦ κώνου μὴ ἐλάττων ᾖ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου

τῆς βάσεως, τῶν γινομένων ἐν τῷ κώνῳ τριγώνων

μέγιστον ἔσται τὸ διὰ τοῦ ἄξονος.

ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, βάσις δὲ ὁ περὶ

τὸ Β κέντρον κύκλος, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ. τμηθέντος δὲ

τοῦ κώνου διὰ τῆς κορυφῆς γεγενήσθω τρίγωνα διὰ

μὲν τοῦ ἄξονος τὸ ΑΓΔ, ἐκτὸς δὲ τοῦ ἄξονος τὸ ΑΕΖ,

καὶ κείσθω παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ, ὁ δὲ ἄξων,

τουτέστιν ἡ ΑΒ εὐθεῖα, μὴ ἐλάττων ἔστω τῆς ΒΓ.

λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ΑΕΖ

τριγώνου.

ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἤχθω

ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΒΗ· δίχα ἄρα τέτμηται ἡ ΕΖ κατὰ

τὸ Η. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ· ἡ ΑΗ ἄρα κάθετός ἐστιν

ἐπὶ τὴν ΕΖ· ἰσοσκελὲς γὰρ τὸ ΕΑΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ

οὔκ ἐστιν ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ΒΕ, ἐλάτ-

των δὲ ἡ ΕΗ τῆς ΒΕ, ἡ ἄρα ΑΒ μείζων ἐστὶ τῆς

ΕΗ. ἀφῃρήσθω τοίνυν τῇ ΕΗ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπε-

ζεύχθω ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ μὲν ΕΗ τῇ ΒΘ, κοινὴ

δὲ ἡ ΒΗ, δύο ἄρα δυσὶν ἴσαι. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΗΒ

τῇ ὑπὸ ΗΒΘ ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· καὶ βάσις ἄρα

ἡ ΕΒ τῇ ΘΗ ἴση ἐστί, καὶ ὅμοια τὰ τρίγωνα· ὡς ἄρα

ἡ ΒΕ πρὸς ΕΗ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ. ἡ δὲ ΗΘ

πρὸς ΘΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ,

ὡς προεδείχθη· ὀρθογώνιον γὰρ τὸ ΑΒΗ. καὶ ἡ ΒΕ

ἄρα πρὸς ΕΗ, τουτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΕΗ, μείζονα

λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΗ πρὸς ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν

ΓΔ, ΒΑ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΗΑ διὰ τὸ

πρῶτον λημμάτιον. ἀλλὰ τοῦ μὲν ὑπὸ ΓΔ, ΒΑ ἥμισύ

ἐστι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, τοῦ δὲ ὑπὸ ΕΖ, ΗΑ ἥμισυ

τὸ ΑΕΖ τρίγωνον· καὶ τὸ ΑΓΔ ἄρα τρίγωνον τοῦ

ΑΕΖ μεῖζόν ἐστι. καὶ πάντων ἄρα τῶν ἴσας βάσεις

ἐχόντων τῇ ΕΖ καὶ διὰ τοῦτο ἴσων ὄντων μεῖζόν ἐστι

τὸ ΑΓΔ. ὁμοίως δὲ δείξομεν καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων το-

μῶν τῶν ἐκτὸς τοῦ ἄξονος· μέγιστον ἄρα τὸ διὰ τοῦ

ἄξονος τρίγωνον.

{Ϛʹ.}

Ἔστι τὸ αὐτὸ καὶ ἄλλως καθολικώτερον δεῖξαι,

ὅτι καὶ ἁπλῶς τῶν τριγώνων τὸ μείζονα βάσιν ἔχον

μεῖζόν ἐστι.

τμηθέντος γὰρ τοῦ κώνου γενέσθω τὰ ΑΓΔ, ΑΖΔ

τρίγωνα, ὥστε τὰς ΓΔ, ΖΔ βάσεις συμβάλλειν ἀλλή-

λαις κατὰ τὸ Δ πέρας, καὶ ἔστω μείζων τῆς ΖΔ ἡ ΓΔ

εἴτε διὰ τοῦ κέντρου οὖσα εἴτε μή. λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔ

τοῦ ΑΖΔ μεῖζόν ἐστιν.

ἤχθωσαν ἐπὶ τὰς ΖΔ, ΓΔ κάθετοι αἱ ΑΒ, ΑΗ,

ἐπὶ δὲ τὴν ΑΔ ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΔ τῆς ΖΔ μείζων

ἐστί, καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα ἡ ΒΔ τῆς ΔΗ μείζων· τὸ

ἀπὸ ΒΔ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΔΗ μεῖζόν ἐστι. λοιπὸν ἄρα

τὸ ἀπὸ ΒΑ λοιποῦ τοῦ ἀπὸ ΑΗ ἔλαττόν ἐστι· τὸ ἄρα

ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ

τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ. ἀλλ' ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ

πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς ΘΔ· καὶ ἡ ΑΘ

ἄρα πρὸς ΘΔ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΗ

πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ. γενέσθω, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ

ἀπὸ ΗΔ, οὕτως ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ

ΗΚ· κάθετος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΚ ἐπὶ τὴν ΑΔ, ὡς

δειχθήσεται.

καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ οὐκ ἐλάττων,

ἤτοι μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ ἢ ἴση. ἔστω πρό-

τερον μείζων· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΘΔ. τετμήσθω

ἡ ΑΔ δίχα κατὰ τὸ Λ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ὑπὸ ΑΘ, ΘΔ

τοῦ ἀπὸ ΑΛ ἔλαττόν ἐστι τῷ ἀπὸ ΛΘ, τὸ δὲ ὑπὸ

ΑΚ, ΚΔ τοῦ ἀπὸ ΑΛ ἔλαττόν ἐστι τῷ ἀπὸ ΛΚ, καί

ἐστι μεῖζον τὸ ἀπὸ ΛΚ τοῦ ἀπὸ ΛΘ, μεῖζον ἄρα τὸ

ὑπὸ ΑΘ, ΘΔ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΘ, τοῦ ὑπὸ ΑΚ, ΚΔ,

τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΗΚ· ἡ ΘΒ ἄρα μείζων τῆς ΗΚ.

καί εἰσιν αἱ ΒΘ, ΗΚ ὕψη τῶν ΑΒΔ, ΑΗΔ τριγώνων·

μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΔ τοῦ ΑΗΔ· ὥστε καὶ τὰ διπλάσια·

τὸ ἄρα ΑΓΔ τοῦ ΑΖΔ μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ τῷ ΑΖΔ

ἴσον ἕκαστον, οὗ ἡ βάσις ἴση ἐστὶ τῇ ΖΔ· τὸ ἄρα

ΑΓΔ παντὸς τριγώνου μεῖζόν ἐστιν, οὗ ἡ βάσις ἴση

ἐστὶ τῇ ΖΔ.

εἰ δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ ἴση, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῇ ΘΔ·

ὁμοίως ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΘ, ΘΔ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΘ,

μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΚ, ΚΔ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΗΚ.

ἡ ἄρα ΒΘ μείζων ἐστὶ τῆς ΚΗ, καὶ τὸ ΑΒΔ τρί-

γωνον τοῦ ΑΗΔ τριγώνου μεῖζον. ὁμοίως δὲ δειχθή-

σεται, κἂν ἄλλας βάσεις διαγάγωμεν· ὥστε τὸ οὕτως

ἔχον μείζονα βάσιν τρίγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἔχοντος

ἐλάσσονα.

{ζʹ.}

Ὅτι δὲ ἡ ΗΚ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΔ, δείκνυται

οὕτως.

τριγώνου γὰρ ὀρθογωνίου τοῦ ΑΗΔ διῃρήσθω ἡ

βάσις ὑπὸ τῆς ΗΚ, ὥστε εἶναι, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς

τὸ ἀπὸ ΗΔ, οὕτως τὴν ΑΚ πρὸς ΚΔ. λέγω, ὅτι

κάθετός ἐστιν ἡ ΗΚ ἐπὶ τὴν ΑΔ.

εἰ γὰρ μή, ἔστω ἡ ΗΛ κάθετος· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ

ΗΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, οὕτως ἡ ΑΛ πρὸς τὴν ΛΔ.

ἦν δέ, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, οὕτως ἡ ΑΚ

πρὸς ΚΔ· ἔσται ἄρα, ὡς ἡ ΑΛ πρὸς ΛΔ, οὕτως ἡ

ΑΚ πρὸς ΚΔ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα κάθετός ἐστιν

ἡ ΗΛ. ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι οὐδὲ ἄλλη πλὴν τῆς

ΗΚ· ἡ ἄρα ΗΚ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΔ.

{ηʹ.}

Ἐὰν ἐν κώνῳ ὀρθῷ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον

μέγιστον ᾖ πάντων τῶν ἐκτὸς τοῦ ἄξονος συνισταμένων

τριγώνων, ὁ ἄξων τοῦ κώνου οὐκ ἐλάσσων ἔσται τῆς

ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως.

ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, ἄξων δὲ ἡ ΑΒ

εὐθεῖα, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, τὸ δὲ

διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΓΔ μέγιστον ὂν πάντων

τῶν ἐν τῷ κώνῳ συνισταμένων τριγώνων ἐκτὸς τοῦ

ἄξονος. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ οὔκ ἐστιν ἐλάττων τῆς ἐκ

τοῦ κέντρου.

εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάττων, καὶ ἤχθω ἐν τῷ

κύκλῳ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ

ΑΒΕ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα τὰ Α, Ε σημεῖα ἐπι-

ζευγνύουσα εὐθεῖα μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς

ΒΕ. ἐὰν ἄρα ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἀπὸ τοῦ Α ὑπὸ τῇ

ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ ἐναρμοσθῇ, μεταξὺ πεσεῖται τῶν Β καὶ

Ε σημείων. ἐνηρμόσθω ἡ ΑΖ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου,

καὶ διὰ τοῦ Ζ παρὰ τὴν ΓΔ ἤχθω ἡ ΗΘ, καὶ ἐπε-

ζεύχθω ἡ ΒΗ· γενήσεται δή, ὡς ἐν τῷ εʹ θεωρήματι

ἐδείχθη, τὰ ΑΒΖ, ΗΒΖ τρίγωνα ὅμοια, καὶ ἴσαι αἱ

ὁμόλογοι, καὶ ὡς ἡ ΖΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς

ΗΖ, τουτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΗΖ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ

ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΖ, ΖΗ, τουτέστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος

τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΗΘ τριγώνῳ· ὅπερ ἀδύνατον·

ὑπόκειται γὰρ τὸ ΑΓΔ μέγιστον εἶναι. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ

ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου.

{θʹ.}

Κῶνον ὀρθόν, οὗ ὁ ἄξων οὔκ ἐστιν ἐλάττων τῆς

ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τεμεῖν διὰ τῆς κορυφῆς

ἐπιπέδῳ ποιοῦντι τρίγωνον λόγον ἔχον δεδομένον πρὸς

τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον. δεῖ δὴ τὸν διδόμενον

λόγον ἐλάττονος εἶναι πρὸς μεῖζον.

ἔστω κορυφὴ μὲν τοῦ κώνου τὸ Α, βάσις δὲ ὁ περὶ

τὸ Β κέντρον κύκλος, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον

τὸ ΑΓΔ, ἐν ᾧ κάθετος ἡ ΑΒ ἐστι. δεῖ δὴ τὸν κῶνον

τεμεῖν τριγώνῳ, ὃ λόγον ἕξει πρὸς τὸ ΑΓΔ τὸν ἐπι-

ταχθέντα· ἐπιτετάχθω δὲ ὁ τῆς Κ ἐλάττονος πρὸς

μείζονα τὴν Λ λόγος.

ἐπεὶ τὸ ΑΒΔ ὀρθογώνιόν ἐστι, γεγράφθω περὶ

αὐτὸ ἡμικύκλιον, καὶ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἤχθω ἡ ΒΕ,

καὶ ὡς ἡ Κ πρὸς Λ, οὕτως ἔστω ἡ ΖΕ πρὸς ΕΒ, καὶ

διὰ τοῦ Ζ παράλληλος ἤχθω τῇ ΕΔ ἡ ΖΗ, διὰ δὲ

τοῦ Η τῇ ΖΕ παράλληλος ἡ ΗΘ· ἴση ἄρα ἡ ΖΕ

τῇ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ Κ πρὸς Λ, οὕτως ἡ ΖΕ

πρὸς ΕΒ, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΒΕ, ὡς δὲ ἡ ΘΗ

πρὸς ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΗΘ, ΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕ,

ΑΔ, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΗΘ, ΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕ, ΑΔ,

οὕτως τὰ ἡμίση τὸ ΑΗΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΔ,

ὡς ἄρα ἡ Κ πρὸς Λ, οὕτως τὸ ΑΔΗ πρὸς τὸ ΑΒΔ·

τὸ ΑΗΔ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΔ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ

ἐστίν. ἐὰν οὖν ἐν τῇ βάσει τοῦ κώνου ἐναρμόσωμεν

διπλῆν τῆς ΗΔ καὶ διὰ τῆς ἐναρμοσθείσης καὶ τῆς

κορυφῆς τοῦ κώνου τὸ ἐπίπεδον ἐκβάλωμεν, ποιήσει

τρίγωνον ἐν τῷ κώνῳ διπλάσιον τοῦ ΑΗΔ. σχήσει

ἄρα τὸ συνιστάμενον τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ λόγον,

ὃν τὸ ΑΗΔ ἔχει πρὸς ΑΒΔ, τουτέστιν ὃν ἡ Κ πρὸς Λ.

{ιʹ.}

Ἐὰν κῶνος ὀρθὸς διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τμηθῇ

τῷ μὲν διὰ τοῦ ἄξονος, τοῖς δὲ ἐκτὸς τοῦ ἄξονος, τῶν

δὲ γενομένων τριγώνων ἐκτὸς τοῦ ἄξονος ἓν ὁτιοῦν

ἴσον ᾖ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνῳ, ὁ τοῦ κώνου ἄξων

ἐλάττων ἔσται τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως.

τμηθέντος γὰρ τοῦ κώνου γενέσθω τρίγωνα διὰ

μὲν τοῦ ἄξονος τὸ ΑΓΔ, ἐκτὸς δὲ τὸ ΑΕΖ ἴσον ὂν

τῷ ΑΓΔ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ καὶ κάθ-

ετοι αἱ ΑΒ, ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΒΗ.

λέγω δή, ὅτι ἡ ΑΒ ὁ ἄξων ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΒΔ ἐκ

τοῦ κέντρου.

ἐπεὶ τὸ ΑΕΖ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΓΔ, καὶ

τὰ διπλάσια ἄρα, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΗΑ ἴσον

ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΔ, ΒΑ· ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, τουτ-

έστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΕΗ, τουτέστιν ἡ ΒΕ πρὸς ΕΗ,

οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ

ΒΕΗ, ΗΑΒ μίαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ μιᾷ γωνίᾳ

τῇ ὑπὸ ΑΒΗ ἴσην ἔχει· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· περὶ δὲ

ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ἑκατέρα δὲ τῶν

λοιπῶν τῶν ὑπὸ ΕΒΗ, ΑΗΒ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς,

ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ τρίγωνα. ὡς ἄρα ἡ ΕΗ πρὸς ΗΒ,

οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΗΒ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΕΗ. ἐλάτ-

των δὲ ἡ ΕΗ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ΒΕ· καὶ ἡ ΑΒ

ἄρα ἄξων οὖσα τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ

κέντρου· ὃ προέκειτο δεῖξαι.

ἐπεὶ τοίνυν ἐδείχθη ἐπὶ παραλλήλων τῶν ΓΔ, ΕΖ,

φανερόν, ὡς, κἂν μὴ παράλληλοι ὦσιν, οὐδὲν διοίσει·

ἐδείχθη γάρ, ὡς τὰ ἴσας ἔχοντα βάσεις τρίγωνα ἴσα

ἐστί.

{ιαʹ.}

Τῶν αὐτῶν ὄντων δεικτέον, ὅτι, ἐὰν διαχθῇ πάλιν

ἐπίπεδον τέμνον τὸν κῶνον διὰ τῆς κορυφῆς καὶ ποι-

οῦν ἐν τῇ βάσει εὐθεῖαν τῷ μεγέθει μεταξὺ τῶν βά-

σεων τῶν ἴσων τριγώνων, ἐκεῖνο τὸ τρίγωνον μεῖζον

ἔσται ἑκατέρου τῶν ἴσων τριγώνων.

ἔστω γὰρ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς τὸ διὰ τοῦ

ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΓΔ ἴσον τῷ βάσιν ἔχοντι τὴν ΕΖ,

καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ΚΜ μεγέθει μεταξὺ τῶν ΓΔ, ΕΖ

καὶ ἑκατέρᾳ αὐτῶν κείσθω παράλληλος, καὶ διήχθω τὸ

ἐπίπεδον. λέγω δή, ὅτι τὸ ΑΚΜ τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν

ἑκατέρου τῶν ΑΓΔ, ΑΕΖ.

τετμήσθω γὰρ πάλιν δίχα ἡ ΚΜ τῷ Λ, καὶ ἐπε-

ζεύχθωσαν αἱ ΑΛ, ΒΚ, ΒΛ. ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΓΔ

τρίγωνον τῷ ΑΕΖ τριγώνῳ, ἡ ἄρα ΑΒ τῇ ΕΗ τῇ

ἡμισείᾳ τῆς ΕΖ ἴση ἐστίν, ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου συν-

απεδείχθη. μείζων δὲ ἡ ΚΛ τῆς ΕΗ· καὶ τῆς ΑΒ

ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΚΛ. κείσθω οὖν τῇ ΚΛ ἴση ἡ

ΒΝ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΝ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς προ-

ειρημένοις ἔσται τὸ ΒΚΛ τρίγωνον τῷ ΛΝΒ τριγώνῳ

ἴσον τε καὶ ὅμοιον· ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς ΚΛ, τουτέστιν

ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΚΛ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΚΜ,

οὕτως ἡ ΛΝ πρὸς ΝΒ. ἡ δὲ ΛΝ πρὸς ΝΒ ἐλάτ-

τονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΛΑ πρὸς ΑΒ· καὶ ἡ ΓΔ ἄρα

πρὸς ΚΜ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΛΑ πρὸς ΑΒ.

τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΒΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ

ΚΜ, ΛΑ, τουτέστι τὸ ΑΓΔ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΚΜ·

μεῖζον ἄρα τὸ ΑΚΜ τοῦ ΑΓΔ.

τὸ αὐτὸ δὴ δείκνυται καὶ ἐπὶ πάντων, ὧν ἡ βάσις

μεγέθει μεταξύ ἐστι τῶν ΓΔ καὶ ΕΖ· οὐδὲν δὲ διοίσει,

κἂν μὴ παράλληλοι ὦσιν αἱ βάσεις, ὡς καὶ πρότερον

ἐδείχθη.

{ιβʹ.}

Τὸν δοθέντα κῶνον ὀρθόν, οὗ ὁ ἄξων ἐλάττων

ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τεμεῖν διὰ τῆς

κορυφῆς, ὥστε τὸ γινόμενον τρίγωνον ἴσον εἶναι τῷ

διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνῳ.

ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος, οὗ ἄξων μὲν ὁ ΑΒ, τὸ δὲ

διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, καὶ δέον ἔστω

τεμεῖν τὸν κῶνον ἐπιπέδῳ ποιοῦντι τρίγωνον ἐν τῷ

κώνῳ ἴσον τῷ ΑΓΔ.

ἤχθω τῇ ΓΔ ἐν τῷ κύκλῳ πρὸς ὀρθὰς διὰ τοῦ

κέντρου ἡ ΕΒΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἐλάττων ἐστὶ τῆς

ἐκ τοῦ κέντρου, ἐνηρμόσθω ἡ ΑΗ ὑποτείνουσα μὲν

τὴν ὑπὸ ΑΒΖ γωνίαν, ἴση δὲ οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου·

τοῦτο δὲ ῥᾴδιον ποιῆσαι· καὶ διὰ τοῦ Η παράλληλος

τῇ ΓΔ ἤχθω ἡ ΘΗΚ· ἡ ΘΗΚ ἄρα κατὰ τὸ Η δίχα

τέτμηται καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΕΒΖ. διεκβεβλήσθω τὸ

διὰ τῶν ΘΚ, ΗΑ ἐπίπεδον ποιοῦν τὸ ΑΘΚ τρίγωνον.

λέγω, ὅτι τὸ ΑΘΚ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΓΔ.

ἐπεζεύχθω ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΑΗ τῇ ΒΘ,

ὡς ἄρα ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ, οὕτως ἡ ΘΒ πρὸς ΗΒ. ἐπεὶ

οὖν δύο τρίγωνα τὰ ΒΘΗ, ΗΑΒ μίαν γωνίαν μιᾷ

γωνίᾳ ἴσην ἔχει· ὀρθαὶ γὰρ αἱ ὑπὸ ΘΗΒ, ΑΒΗ·

περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, καὶ τὰ

λοιπά, ὅμοια ἄρα τὰ ΒΘΗ, ΗΑΒ τρίγωνα· ὡς ἄρα ἡ

ΒΘ πρὸς ΘΗ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΘΚ, οὕτως

ἡ ΗΑ πρὸς ΑΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΔ, ΒΑ ἴσον τῷ ὑπὸ

ΘΚ, ΗΑ· καὶ τὰ ἡμίσεα. τὸ ΑΓΔ τρίγωνον ἄρα ἴσον

ἐστὶ τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

{ιγʹ.}

Ἐὰν κῶνος ὀρθὸς διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τμηθῇ,

τῶν δὲ γενομένων ἐν τῷ κώνῳ τριγώνων τινὸς ἡ ἀπὸ

τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἴση ᾖ τῇ ἡμισείᾳ

τῆς βάσεως, τοῦτο μεῖζον ἔσται πάντων τῶν ἀνομοίων

ἐν τῷ κώνῳ τριγώνων.

ἐν γὰρ κώνῳ ὀρθῷ τρίγωνον ἔστω τὸ ΑΓΔ ἔχον

τὴν ΑΒ κάθετον ἴσην τῇ ΒΔ ἡμισείᾳ οὔσῃ τῆς ΓΔ

βάσεως. λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔ τρίγωνον μεῖζόν ἐστι

πάντων τῶν ἀνομοίων ἐν τῷ κώνῳ συνισταμένων τρι-

γώνων.

εἰλήφθω γὰρ ἄλλο τυχὸν τρίγωνον ἀνόμοιον αὐτῷ

τὸ ΑΕΖ, ἐν ᾧ κάθετος ἡ ΑΗ, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ Β

ἐπὶ τὴν ΑΔ κάθετος ἤχθω ἡ ΒΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ Η ἐπὶ

τὴν ΑΖ κάθετος ἤχθω ἡ ΗΚ. ἐπεὶ ἀνόμοιόν ἐστι

τὸ ΑΓΔ τῷ ΑΕΖ, ἀνόμοιον ἄρα καὶ τὸ ΑΒΔ τῷ

ΑΗΖ. καί ἐστιν ὀρθογώνια, καὶ ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΔ·

τὸ ΑΗΖ ἄρα ἀνισοσκελές. καὶ τὸ μὲν ἄρα ἀπὸ τῆς

ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΗ

τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἄνισον. ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΑΒ

πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς ΘΔ, ὡς δὲ τὸ

ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΖ, οὕτως ἡ ΑΚ πρὸς ΚΖ·

ἡ μὲν ἄρα ΑΔ εἰς ἴσα τέτμηται, ἡ δὲ ΑΖ εἰς ἄνισα.

ἐπεὶ οὖν αἱ ΔΑ, ΑΖ ἴσαι εἰσί, καὶ ἡ μὲν εἰς ἴσα

διῄρηται, ἡ δὲ εἰς ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἴσων τμημάτων

τοῦ ὑπὸ τῶν ἀνίσων μεῖζόν ἐστι· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΘΔ

μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΚΖ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ ΑΘΔ

ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΒΘ, τῷ δὲ ὑπὸ ΑΚΖ ἴσον τὸ ἀπὸ

ΗΚ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΘ τοῦ ἀπὸ ΗΚ· μείζων

ἄρα καὶ ἡ ΒΘ τῆς ΗΚ. ὡς δὲ ἡ ΒΘ πρὸς ΗΚ,

οὕτως τό τε ὑπὸ ΒΘ, ΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΚ, ΑΖ, καὶ

τὸ ἥμισυ πρὸς τὸ ἥμισυ, τουτέστι τὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ

ΑΗΖ· μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΔ τοῦ ΑΗΖ, καὶ τὰ διπλάσια

τὸ ΑΓΔ τοῦ ΑΕΖ. ὁμοίως δὴ δείκνυται, ὅτι πάν-

των τῶν ἀνομοίων μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΓΔ· ὅπερ ἔδει

δεῖξαι.

{ιδʹ.}

Τὸν δοθέντα κῶνον ὀρθόν, οὗ ὁ ἄξων ἐλάττων

ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τεμεῖν διὰ τῆς

κορυφῆς ἐπιπέδῳ, ὥστε τὸ γινόμενον τρίγωνον μεῖζον

εἶναι πάντων τῶν ἀνομοίων αὐτῷ ἐν τῷ κώνῳ γινο-

μένων τριγώνων.

ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος ὀρθός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α,

βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ

ἐλάττων ὢν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, καὶ δέον

ἔστω τεμεῖν τὸν κῶνον, ὡς προστέτακται.

ἤχθω τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον ποιοῦν τὸ ΑΓΔ

τρίγωνον· ἡ ΑΒ ἄρα κάθετος ἐλάττων ἐστὶ τῆς ΒΔ.

ἤχθω ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ τῇ ΓΒ πρὸς ὀρθὰς

ἡ ΒΕ, καὶ ᾧ μεῖζον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ,

τούτου ἥμισυ ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ, καὶ διὰ τοῦ Η

παράλληλος ἤχθω τῇ ΓΔ ἡ ΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν

αἱ ΑΗ, ΒΘ.

ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΒΔ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΘ, τοῦ ἀπὸ

ΒΑ μεῖζόν ἐστι δυσὶ τοῖς ἀπὸ ΒΗ, τὸ δὲ ἀπὸ ΑΗ

τοῦ ἀπὸ ΑΒ μεῖζόν ἐστιν ἑνὶ τῷ ἀπὸ ΒΗ, τὸ ἄρα

ἀπὸ ΒΘ τοῦ ἀπὸ ΑΗ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ ΒΗ. ἔστι

δὲ καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΘ τῷ ἀπὸ ΗΒ μεῖζον τὸ ἀπὸ ΒΘ·

ἑκατέρου ἄρα τῶν ἀπὸ ΑΗ, ΗΘ τῷ αὐτῷ ὑπερέχει τὸ

ἀπὸ ΒΘ· ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΗ τῷ ἀπὸ ΗΘ καὶ ἡ ΑΗ

τῇ ΗΘ. καί ἐστι καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ ἴση· ἡ ἄρα ΑΗ

ἴση ἐστὶ τῇ ἡμισείᾳ τῆς ΖΘ. ἐὰν ἄρα διὰ τῶν ΖΘ,

ΗΑ διεκβάλωμεν ἐπίπεδον, ἔσται τρίγωνον ἐν τῷ κώνῳ·

γεγονέτω τὸ ΑΖΘ. ἐπεὶ οὖν τρίγωνόν ἐστιν ἐν κώνῳ

τὸ ΑΖΘ, οὗ ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετος ἡ ΑΗ ἴση

ἐστὶ τῇ ἡμισείᾳ τῆς βάσεως, τὸ ΑΖΘ ἄρα μεῖζόν ἐστι

πάντων τῶν ἐν τῷ κώνῳ γινομένων τριγώνων ἀνομοίων

αὐτῷ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

{ιεʹ.}

Τὸν δοθέντα κῶνον διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ τεμεῖν

πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει.

ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον,

βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ,

καὶ δέον ἔστω τὸν κῶνον τεμεῖν διὰ τῆς ΑΒ πρὸς

ὀρθὰς τῇ βάσει.

εἰ μὲν οὖν ὀρθός ἐστιν ὁ κῶνος, δῆλον, ὡς ἥ τε

ΑΒ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ βάσει, καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς

ΑΒ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ βάσει·

ὥστε τὸ ΑΓΔ τρίγωνον διὰ τῆς ΑΒ ὂν πρὸς ὀρθάς

ἐστι τῇ βάσει.

ἀλλὰ δὴ σκαληνὸς ἔστω ὁ κῶνος· ἡ ἄρα ΑΒ οὔκ

ἐστι πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει. πιπτέτω τοίνυν ἡ ἀπὸ τῆς Α

κορυφῆς κάθετος ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον κατὰ

τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διεκβεβλήσθω τὸ τοῦ

ΑΒΕ τριγώνου ἐπίπεδον ποιοῦν ἐν τῷ κώνῳ τὸ ΑΓΔ

τρίγωνον. λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῇ

βάσει τοῦ κώνου.

ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΕ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως

ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΑΕ ἐπίπεδα ἐκ-

βαλλόμενα πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ·

καὶ τὸ ΑΓΔ ἄρα τρίγωνον πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ τῆς

βάσεως ἐπιπέδῳ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

{ιϚʹ.}

Ἐὰν κῶνος σκαληνὸς διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ τμηθῇ

πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, τὸ γενόμενον τρίγωνον ἔσται

σκαληνόν, οὗ ἡ μὲν μείζων πλευρὰ μεγίστη ἔσται πα-

σῶν τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου ἐπὶ τὴν περι-

φέρειαν τῆς βάσεως ἀγομένων εὐθειῶν, ἡ δὲ ἐλάττων

πλευρὰ ἐλαχίστη πασῶν τῶν ὁμοίως ἀγομένων εὐθειῶν,

τῶν δὲ ἄλλων εὐθειῶν ἡ τῇ μεγίστῃ ἔγγιον τῆς ἀπώ-

τερόν ἐστι μείζων.

ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, βάσις

δὲ ὁ ΓΕΔ κύκλος, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ, τοῦ δὲ κώνου

τμηθέντος διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς ὀρθὰς τῷ ΓΕΔ κύκλῳ

τὸ γενόμενον τρίγωνον ἔστω τὸ ΑΓΔ, προσνευέτω δὲ

ὁ ἄξων ἐπὶ τὸ Δ μέρος. ἐπεὶ οὖν σκαληνοῦ ὄντος

τοῦ κώνου οὔκ ἐστιν ἡ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τῷ ΓΔΕ

κύκλῳ, ἔστω πρὸς ὀρθὰς αὐτῷ ἡ ΑΘ· ἡ ΑΘ ἄρα ἐν

τῷ τοῦ ΑΓΔ ἐστιν ἐπιπέδῳ καὶ πεσεῖται ἐπὶ τὴν ΓΒΔ

ἐκβληθεῖσαν. ἐπεὶ οὖν μείζων ἡ ΓΘ τῆς ΘΔ, καὶ τὸ

ἀπὸ ΓΘ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΘΔ μεῖζον. κοινὸν προσκείσθω

τὸ ἀπὸ ΘΑ· τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΘ, ΘΑ τῶν ἀπὸ ΔΘ, ΘΑ

μείζονά ἐστι, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΓΑ μεῖζόν ἐστι τοῦ

ἀπὸ ΑΔ. μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ΑΔ.

λέγω δή, ὅτι ἡ ΑΓ καὶ πασῶν ἁπλῶς μεγίστη ἐστὶ

τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως

ἀγομένων εὐθειῶν, ἡ δὲ ΑΔ ἐλαχίστη.

ἤχθωσαν γὰρ αἱ ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΘ

μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν περι-

φέρειαν προσπιπτουσῶν, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ ἄρα μέ-

γιστόν ἐστι τῶν ἀπὸ ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ, ΘΔ. κοινὸν

προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΘΑ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου

τῆς ΓΘΑ μεῖζόν ἐστιν ἑκάστου τῶν ἀπὸ συναμφοτέρου

τῆς ΕΘΑ, ΖΘΑ, ΗΘΑ, ΔΘΑ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΓ

ἑκάστου τῶν ἀπὸ ΑΕ, ΑΖ, ΑΗ, ΑΔ. καὶ ἡ ΑΓ ἄρα

μείζων ἐστὶν ἑκάστης τῶν ΑΕ, ΑΖ, ΑΗ, ΑΔ. ὁμοίως

δείκνυται, ὅτι καὶ τῶν ἄλλων· μεγίστη ἄρα ἡ ΑΓ

πασῶν τῶν, ὡς εἴρηται, ἀγομένων εὐθειῶν ἐν τῷ κώνῳ.

διὰ τῶν αὐτῶν δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ ἡ μὲν ΑΔ ἐλαχίστη,

τῶν δὲ ἄλλων ἡ μὲν ΑΕ τῆς ΑΖ μείζων, ἡ δὲ ΑΖ

τῆς ΑΗ, καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ΑΓ τῆς ἀπώτερόν ἐστι

μείζων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

{ιζʹ.}

Ἐὰν τριγώνου ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν

τῆς βάσεως εὐθεῖα ἀχθῇ, τὰ ἀπὸ τῶν πλευρῶν τετρά-

γωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τῆς βάσεως

καὶ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ἠγμένης ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν

βάσιν εὐθείας.

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, οὗ δίχα τετμήσθω ἡ βάσις

κατὰ τὸ Δ, καὶ διήχθω ἡ ΑΔ. λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ

ΑΒ, ΑΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ

καὶ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ΑΔ.

εἰ μὲν οὖν ἰσοσκελές ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, φα-

νερὰ ἡ δεῖξις διὰ τὸ ἑκατέραν τῶν πρὸς τῷ Δ γίνεσθαι

ὀρθήν.

ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ΒΑ τῆς ΑΓ μείζων· μείζων ἄρα

καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΔΓ. ἐκβεβλήσθω

ἡ ΑΔ, καὶ κατήχθωσαν ἐπ' αὐτὴν κάθετοι αἱ ΒΕ, ΓΖ·

ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ ΕΒΔ, ΓΖΔ ὀρθογώνια διὰ τὸ παρ-

αλλήλους εἶναι τὰς ΒΕ, ΖΓ· ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ,

οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ. ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΓΔ· ἴση

ἄρα καὶ ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΔΕ τῷ ὑπὸ

ΑΔ, ΔΖ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΕ τῷ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΖ.

ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ τῶν ἀπὸ ΑΔ, ΔΒ μεῖζόν

ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΕ, τουτέστι τῷ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΖ,

τὸ δὲ ἀπὸ ΑΓ τῶν ἀπὸ ΑΔ, ΔΓ ἔλαττόν ἐστι τῷ

αὐτῷ τῷ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΖ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΑ, ΑΓ

ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΒΔ, ΔΓ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ΑΔ·

ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

{ιηʹ.}

Ἐὰν τεσσάρων εὐθειῶν ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν

μείζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην,

καὶ τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας

μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης πρὸς τὸ

ἀπὸ τῆς τετάρτης. κἂν τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ

ἀπὸ τῆς δευτέρας μείζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς

τρίτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τετάρτης, ἡ πρώτη πρὸς τὴν

δευτέραν μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τρίτη πρὸς τὴν

τετάρτην.

ἔστωσαν εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ, Δ, ἐχέτω δὲ ἡ Α πρὸς

τὴν Β μείζονα λόγον ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ. λέγω,

ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β μείζονα

λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ.

ἐπεὶ γὰρ ὁ τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγος μείζων ἐστὶ

τοῦ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ, καὶ ὁ τοῦ μείζονος ἄρα διπλά-

σιος μείζων ἐστὶ τοῦ τοῦ ἐλάττονος διπλασίου. ἔστι

δὲ τοῦ μὲν τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου μείζονος ὄντος

διπλάσιος ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγος,

τοῦ δὲ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ λόγου ἐλάττονος ὄντος

διπλάσιος ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ· καὶ

ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγος μείζων

ἐστὶ τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ.

πάλιν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β μεί-

ζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ

τῆς Δ. λέγω, ὅτι ἡ Α πρὸς τὴν Β μείζονα λόγον

ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ.

ἐπεὶ ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγος

μείζων ἐστὶ τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ

λόγου, καὶ ὁ τοῦ μείζονος ἄρα ἥμισυς τοῦ τοῦ ἐλάτ-

τονος ἡμίσεος μείζων ἐστίν. ἔστι δὲ τοῦ μὲν ἀπὸ τῆς Α

πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγου μείζονος ὄντος ἥμισυς ὁ

τῆς Α πρὸς τὴν Β, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ

τῆς Δ ἐλάττονος ὄντος ἥμισυς ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ·

καὶ ὁ τῆς Α ἄρα πρὸς τὴν Β λόγος μείζων ἐστὶ τοῦ

τῆς Γ πρὸς τὴν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

{ιθʹ.}

Ἐὰν δύο μεγέθη ἴσα ἀνομοίως διαιρεθῇ, τῶν δὲ

τοῦ ἑτέρου τμημάτων τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον μεί-

ζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τοῦ λοιποῦ τὸ μεῖζον πρὸς τὸ

ἔλαττον ἢ τὸ ἴσον πρὸς τὸ ἴσον, τῶν προειρημένων

τμημάτων τὸ μὲν μεῖζον μέγιστον ἔσται τῶν τεσσάρων

τμημάτων, τὸ δὲ ἔλαττον ἐλάχιστον τῶν τεσσάρων.

ἔστω δύο μεγέθη ἴσα τὰ ΑΒ, ΓΔ, καὶ διῃρήσθω

τὸ μὲν ΑΒ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΔ τῷ Ζ, ἔστω δὲ τὸ μὲν

ΑΕ τοῦ ΕΒ μεῖζον, τὸ δὲ ΓΖ τοῦ ΖΔ μὴ ἔλαττον,

ὥστε τὸ ΑΕ πρὸς ΕΒ μείζονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὸ ΓΖ

πρὸς τὸ ΖΔ. λέγω, ὅτι τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ μεγε-

θῶν μέγιστον μέν ἐστι τὸ ΑΕ, ἐλάχιστον δὲ τὸ ΒΕ.

ἐπεὶ τὸ ΑΕ πρὸς ΕΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ

ΓΖ πρὸς ΖΔ, καὶ συνθέντι ἄρα τὸ ΑΒ πρὸς ΒΕ

μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΔ πρὸς ΔΖ, καὶ ἐναλλὰξ

τὸ ΑΒ πρὸς ΓΔ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΕΒ

πρὸς ΖΔ. καί ἐστιν ἴσον τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ· ἔλαττον

ἄρα τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ. τὸ δὲ ΖΔ τοῦ ΓΖ οὐ μεῖζον·

καὶ τοῦ ΓΖ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ ΕΒ. ἦν δὲ καὶ τοῦ

ΑΕ ἔλαττον· ἐλάχιστον ἄρα τὸ ΕΒ. πάλιν ἐπεὶ τὸ

ΑΒ τῷ ΓΔ ἴσον, ὧν τὸ ΕΒ τοῦ ΔΖ ἔλαττον, λοιπὸν

ἄρα τὸ ΕΑ λοιποῦ τοῦ ΓΖ μεῖζον. τὸ δὲ ΓΖ τοῦ

ΖΔ οὐκ ἔλαττόν ἐστι· καὶ τοῦ ΖΔ ἄρα μεῖζόν ἐστι

τὸ ΑΕ. ἦν δὲ καὶ τοῦ ΕΒ μεῖζον· μέγιστον ἄρα ἐστὶ

τὸ ΑΕ, τὸ δὲ ΕΒ ἐλάχιστον.

{κʹ.}

Ἐὰν δύο τρίγωνα τάς τε βάσεις ἴσας ἔχῃ, ἔχῃ δὲ

καὶ τὰς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βά-

σεως ἠγμένας εὐθείας ἴσας, τοῦ δὲ ἑτέρου ἡ μείζων

πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μείζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ ἡ

τοῦ λοιποῦ μείζων πρὸς τὴν ἐλάττονα ἢ καὶ ἴση πρὸς

τὴν ἴσην, οὗ ἡ μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μεί-

ζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν.

ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς

ΒΓ, ΕΖ βάσεις, ὧν ἑκατέρα τετμήσθω δίχα κατὰ τὰ Η

καὶ Θ σημεῖα, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΑΗ, ΔΘ ἴσαι

ἔστωσαν· ἔστω δὲ ἡ μὲν ΕΔ τῆς ΔΖ μείζων, ἡ δὲ ΒΑ

τῆς ΑΓ μὴ ἐλάττων, ὥστε τὴν ΕΔ πρὸς ΔΖ μείζονα

λόγον ἔχειν ἤπερ τὴν ΒΑ πρὸς ΑΓ. λέγω, ὅτι τὸ

ΔΕΖ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ.

ἐπεὶ γὰρ αἱ ΒΓ, ΕΖ ἴσαι τέ εἰσι καὶ εἰς ἴσα

διῄρηνται, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΔΘ ἴση, καὶ τὰ ἀπ'

αὐτῶν ἄρα ἴσα ἐστί· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΗ, ΗΓ μετὰ τοῦ

δὶς ἀπὸ ΑΗ τοῖς ἀπὸ ΕΘ, ΘΖ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ

ΘΔ ἴσα ἐστίν. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ ΒΗ, ΗΓ μετὰ τοῦ

δὶς ἀπὸ ΑΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ ΒΑ, ΑΓ· τοῦτο γὰρ

ἐδείχθη· τοῖς δὲ ἀπὸ ΕΘ, ΘΖ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΘΔ

ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ ΕΔ, ΔΖ· καὶ συναμφότερον ἄρα τὸ

ἀπὸ ΒΑ, ΑΓ συναμφοτέρῳ τῷ ἀπὸ ΕΔ, ΔΖ ἴσον ἐστί.

καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ

ΒΑ πρὸς ΑΓ, καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ

τῆς ΔΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ

ἀπὸ ΑΓ. ἐπεὶ οὖν δύο ἴσων μεγεθῶν τοῦ τε ἀπὸ

συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, ΑΓ καὶ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου

τῆς ΕΔ, ΔΖ τὸ μεῖζον τμῆμα πρὸς τὸ ἔλαττον, τουτ-

έστι τὸ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, μείζονα λόγον ἔχει

ἤπερ τὸ τοῦ λοιποῦ τμῆμα πρὸς τὸ λοιπὸν τμῆμα,

τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, τὸ μὲν ἄρα

ἀπὸ ΕΔ μέγιστον ὂν μεῖζόν ἐστιν ἑκατέρου τῶν ἀπὸ

ΒΑ, ΑΓ, τὸ δὲ ἀπὸ ΔΖ ἐλάχιστον ὂν ἔλαττόν ἐστιν

ἑκατέρου τῶν ἀπὸ ΒΑ, ΑΓ διὰ τοῦ πρὸ τούτου θεω-

ρήματος· καὶ ἡ μὲν ΕΔ ἄρα ἑκατέρας τῶν ΒΑ, ΑΓ

μείζων ἐστίν, ἡ δὲ ΔΖ ἑκατέρας τῶν ΒΑ, ΑΓ ἐλάττων.

ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ἴσῳ τῇ ΕΔ

γραφόμενος κύκλος ὑπερπεσεῖται τὴν ΒΑ· γεγράφθω

ὁ ΚΛ· καὶ ὁ κέντρῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ἴσῳ

τῇ ΔΖ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΑΓ· γεγράφθω

ὁ ΜΝ. τέμνουσι δὴ ἀλλήλους οἱ ΚΛ, ΜΝ κύκλοι,

ὡς δειχθήσεται. τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὸ Ξ, καὶ

ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΑ, ΞΒ, ΞΗ, ΞΓ· ἡ μὲν ἄρα ΒΞ

τῇ ΕΔ ἴση, ἡ δὲ ΞΓ τῇ ΔΖ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ

ΕΖ ἴση· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΒΞΓ τρίγωνον τῷ ΕΔΖ

ἴσον ἐστίν. ὥστε ἴση καὶ ἡ ΞΗ τῇ ΔΘ, τουτέστι

τῇ ΑΗ· ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΞΑΗ γωνία. καὶ ἐπεὶ ἡ

ΒΑ τῆς ΑΓ οὔκ ἐστιν ἐλάττων, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ

ἄρα γωνία τῆς ὑπὸ ΑΗΓ οὔκ ἐστιν ἐλάττων· ἡ ἄρα

ὑπὸ ΑΗΓ οὐ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. ἡ δὲ ὑπὸ ΗΑΞ

ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗΑ, ΞΑΗ δύο

ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν· οὐκ ἄρα ἡ ΑΞ τῇ ΗΓ παρ-

άλληλός ἐστιν. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος

ἡ ΑΠ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΞΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΠ·

τὸ ἄρα ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΒΠΓ τριγώνῳ. τὸ ἄρα

ΒΑΓ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΒΞΓ, τουτέστι τοῦ ΕΔΖ· ὅπερ

ἔδει δεῖξαι.

Ὅτι δὲ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ ΚΛ, ΜΝ κύκλοι,

δεικτέον οὕτως.

ἔστω γὰρ τῇ μὲν ΕΔ ἴση ἡ ΒΑΡ, τῇ δὲ ΔΖ ἴση

ἡ ΓΣ ἐπ' εὐθείας οὖσα τῇ ΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ΒΣ ἴση

ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΕΖ, ΖΔ. ἐπεὶ οὖν συναμφό-

τερος ἡ ΕΖ, ΖΔ τῆς ΕΔ μείζων ἐστί, καὶ ἡ ΒΣ ἄρα

τῆς ΒΡ μείζων ἐστίν· ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Β, διαστήματι

δὲ τῷ ΒΡ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΒΣ. ἡ δὲ ΓΣ

ἴση οὖσα τῇ ΔΖ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ΓΑ· ὁ ἄρα κέντρῳ

τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΣ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ

τὴν ΑΓ. τεμνέτω κατὰ τὸ Υ· ἥξει ἄρα διὰ τῆς ΡΤ

περιφερείας. τέμνουσιν ἄρα ἀλλήλους καὶ οἱ ΚΛ, ΜΝ

κύκλοι.

{καʹ.}

Ἐὰν δύο τρίγωνα ἀνισοσκελῆ τάς τε βάσεις ἴσας

ἔχῃ, ἔχῃ δὲ καὶ τὰς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτο-

μίαν τῆς βάσεως ἠγμένας εὐθείας ἴσας, τοῦ ἐλάττονος

ἡ μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μείζονα λόγον ἔχει

ἤπερ ἡ τοῦ μείζονος μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα.

ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΕΖΗ ἴσας ἔχοντα τάς τε

ΑΓ, ΕΗ βάσεις δίχα τετμημένας κατὰ τὰ Δ καὶ Θ

σημεῖα, ἴσαι δὲ ἔστωσαν καὶ αἱ ΒΔ, ΖΘ, καὶ μεῖζον

τὸ ΕΖΗ τρίγωνον, ἔστω δὲ ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ μείζων,

ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΗ. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ μείζονα

λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ.

εἰ γὰρ μή, ἤτοι τὸν αὐτὸν ἢ ἐλάττονα.

ἔστω οὖν πρότερον, εἰ δυνατόν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ,

οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ. ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ

ἀπὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ· καὶ

συνθέντι ἄρα καὶ ἐναλλάξ, ὡς συναμφότερον τὸ ἀπὸ

ΑΒ, ΒΓ πρὸς συναμφότερον τὸ ἀπὸ ΕΖ, ΖΗ, οὕτω

τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ. ἀλλὰ συναμφότερον τὸ

ἀπὸ ΑΒΓ συναμφοτέρῳ τῷ ἀπὸ ΕΖΗ ἴσον· καὶ τὸ

ἀπὸ ΒΓ ἄρα τῷ ἀπὸ ΖΗ ἴσον. ὥστε καὶ λοιπὸν τὸ

ἀπὸ ΑΒ λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΕΖ ἴσον· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ

τῇ ΕΖ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΖΗ. ἀλλὰ καὶ αἱ βάσεις ἴσαι·

πάντα ἄρα πᾶσιν ἴσα. ἴσον ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον

τῷ ΕΖΗ· ὅπερ ἄτοπον· ἦν γὰρ ἔλαττον τὸ ΑΒΓ.

οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ.

ἀλλ', εἰ δυνατόν, ἐχέτω ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ ἐλάττονα

λόγον ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ· ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΗ

μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ. τὸ ἄρα

ΕΖΗ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ διὰ τὰ δειχ-

θέντα· ὅπερ ἄτοπον· ὑπέκειτο γὰρ μεῖζον. οὐκ ἄρα

ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς

ΖΗ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ τὸν αὐτόν· ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς

ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ.

{κβʹ.}

Τὸν δοθέντα κῶνον σκαληνὸν τεμεῖν διὰ τῆς κορυ-

φῆς ἐπιπέδῳ ποιοῦντι ἐν τῷ κώνῳ τρίγωνον ἰσοσκελές.

ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος σκαληνός, οὗ ἄξων μὲν ὁ ΑΒ,

βάσις δὲ ὁ ΓΕΔ κύκλος, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτόν,

ὡς ἐπιτέτακται.

τετμήσθω πρῶτον διὰ τοῦ ἄξονος τῷ ΑΓΔ ἐπι-

πέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὄντι τῷ ΓΕΔ κύκλῳ, καὶ ἤχθω ἡ

ΑΗ κάθετος, ἥτις πίπτει ἐπὶ τὴν ΓΔ βάσιν τοῦ ΑΓΔ

τριγώνου, καὶ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἐν τῷ τοῦ

κύκλου ἐπιπέδῳ ἡ ΕΖ, καὶ διὰ τῆς ΕΖ καὶ τῆς Α

κορυφῆς ἐκβεβλήσθω τὸ ἐπίπεδον ποιοῦν τὸ ΑΕΖ

τρίγωνον. λέγω, ὅτι τὸ ΑΕΖ τρίγωνον ἰσοσκελές

ἐστιν.

ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ, ΖΗ. ἐπεὶ ἡ ΓΔ τὴν ΕΖ

πρὸς ὀρθὰς τέμνουσα δίχα

αὐτὴν τέμνει, ἴση ἄρα ἡ

ΕΗ τῇ ΖΗ. καὶ κοινὴ ἡ

ΑΗ, καὶ ὀρθὴ ἑκατέρα

τῶν ὑπὸ ΑΗΕ, ΑΗΖ γω-

νιῶν· καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ

ΑΖ ἴση ἐστίν. ἰσοσκελὲς

ἄρα τὸ ΑΕΖ τρίγωνον.

ἐκ δὴ τούτου φανερόν

ἐστιν, ὅτι πάντα τὰ συν-

ιστάμενα τρίγωνα τὰς βά-

σεις ἔχοντα πρὸς ὀρθὰς τῇ

ΓΔ ἰσοσκελῆ ἐστιν.

{κγʹ.}

Ἔτι δεικτέον, ὅτι, ἐὰν τὰ γινόμενα τρίγωνα τὰς

βάσεις μὴ πρὸς ὀρθὰς ἔχῃ τῇ ΓΔ, οὐκ ἔσται ἰσοσκελῆ.

ὑποκείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ ΕΖ

μὴ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ· αἱ ΕΗ, ΖΗ ἄρα ἄνισοί εἰσι.

κοινὴ δὲ ἡ ΗΑ καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐταῖς· καὶ αἱ ἄρα

ΕΑ, ΑΖ ἄνισοί εἰσι. τὸ ΕΑΖ ἄρα τρίγωνον οὔκ ἐστιν

ἰσοσκελές.

{κδʹ.}

Ἐν κώνῳ σκαληνῷ τῶν διὰ τοῦ ἄξονος συνιστα-

μένων τριγώνων μέγιστον μὲν ἔσται τὸ ἰσοσκελές,

ἐλάχιστον δὲ τὸ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ κώνου, τῶν

δὲ λοιπῶν τὸ τοῦ μεγίστου ἔγγιον μεῖζόν ἐστι τοῦ

ἀπώτερον.

ἐν γὰρ κώνῳ σκαληνῷ διὰ τοῦ ΑΒ ἄξονος ἔστω

τρίγωνα, ἰσοσκελὲς μὲν τὸ ΑΓΔ, ὀρθὸν δὲ πρὸς τὸ

τῆς βάσεως ἐπίπεδον τὸ ΑΕΖ. λέγω, ὅτι πάντων τῶν

διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων μέγιστον μέν ἐστι τὸ ΑΓΔ,

ἐλάχιστον δὲ τὸ ΑΕΖ.

ἔστω γὰρ διὰ τοῦ ἄξονος ἠγμένον ἄλλο τρίγωνον

τὸ ΑΗΘ. καὶ ἐπεὶ σκαληνὸς ὁ κῶνος, κεκλίσθω ὁ ΑΒ

ἄξων ἐπὶ τὰ τοῦ Ζ μέρη· μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΑΕ

πλευρὰ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν περιφέρειαν

ἀγομένων εὐθειῶν, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΖ. ἡ μὲν ἄρα ΕΑ

τῆς ΑΗ μείζων ἐστίν, ἡ δὲ ΖΑ τῆς ΑΘ ἐλάττων.

ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ ΑΕΖ, ΑΗΘ ἴσας ἔχει βάσεις

τὰς ΕΖ, ΗΘ καὶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχο-

τομίαν τῆς βάσεως τὴν αὐτὴν τὴν ΑΒ, καὶ μείζονα

λόγον ἔχει ἡ ΑΕ πρὸς ΑΖ ἤπερ ἡ ΗΑ πρὸς ΑΘ,

ἔλαττον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΖ τοῦ ΗΑΘ. ὁμοίως δὲ δείκ-

νυται, ὅτι καὶ πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων·

ἐλάχιστον ἄρα τὸ ΕΑΖ πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος

τριγώνων. πάλιν ἐπεὶ τῶν ΑΗΘ, ΑΓΔ τριγώνων αἵ

τε βάσεις ἴσαι καὶ ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχο-

τομίαν τῆς βάσεως ἡ αὐτή, καὶ ἔχει ἡ ΗΑ πρὸς ΑΘ

μείζονα λόγον ἤπερ ἡ ΓΑ πρὸς ΑΔ· ἴσαι γὰρ αἱ ΓΑ,

ΑΔ· τὸ ΗΑΘ ἄρα τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΓΑΔ

τριγώνου. ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ πάντα τὰ διὰ

τοῦ ἄξονος τρίγωνα τοῦ ΓΑΔ ἐλάττονά ἐστι. μέγιστον

ἄρα πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων τὸ ΑΓΔ,

ἐλάχιστον δὲ τὸ ΑΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ τὸ τοῦ μεγίστου

ἔγγιον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπώτερον.

{κεʹ.}

Ἐν τῷ δοθέντι κώνῳ σκαληνῷ ἀπὸ τῆς κορυφῆς

ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως εὐθεῖαν ἀγαγεῖν, πρὸς

ἣν ἡ μεγίστη λόγον ἕξει δοθέντα· δεῖ δὴ τὸν δοθέντα

λόγον μείζονος μὲν εἶναι πρὸς ἐλάττονα, ἐλάττονα δὲ

εἶναι τοῦ ὃν ἔχει ἡ μεγίστη τῶν ἐν τῷ κώνῳ πρὸς

τὴν ἐλαχίστην.

δεδόσθω κῶνος, οὗ βάσις ὁ ΒΓ κύκλος καὶ διά-

μετρος τοῦ κύκλου ἡ ΒΓ, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον,

πρὸς ὀρθὰς δὲ τῷ ΒΓ κύκλῳ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· με-

γίστη μὲν ἄρα ἡ ΒΑ τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου

εὐθειῶν, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΓ. ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Α

ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ἀγαγεῖν εὐθεῖαν, πρὸς

ἣν ἡ ΒΑ λόγον ἕξει, ὃν ἔχει ἡ Δ εὐθεῖα μείζων οὖσα

πρὸς τὴν Ε ἐλάττονα· ἐχέτω δὲ ἡ Δ πρὸς Ε λόγον

ἐλάττονα τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ.

κατήχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΖ, καὶ ἐκβε-

βλήσθω ἡ ΒΖΗ, καὶ ὡς ἡ Δ πρὸς Ε, οὕτως ἐχέτω

ἡ ΒΑ πρὸς ἄλλην τινά, ἐχέτω δὲ πρὸς τὴν ΑΗ, ἥτις

ἐνηρμόσθω ὑπὸ τὴν ὑπὸ ΑΖΗ γωνίαν. ἡ ΒΑ ἄρα

πρὸς ΑΗ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ·

μείζων ἄρα ἡ ΗΑ τῆς ΑΓ καὶ ἡ ΗΖ τῆς ΖΓ. ἐπεὶ

οὖν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε, οὕτως

τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ, μεῖζον ἄρα τὸ

ἀπὸ ΒΑ τοῦ ἀπὸ ΑΗ, τουτέστι τὰ ἀπὸ ΒΖ, ΖΑ τῶν

ἀπὸ ΑΖ, ΖΗ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΑΖ· λοιπὸν

ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΖ τοῦ ἀπὸ ΖΗ μεῖζον, καὶ ἡ ΒΖ τῆς

ΖΗ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΗ ἐλάττων· ἡ ἄρα ΖΗ

τῆς μὲν ΖΓ μείζων ἐστί, τῆς δὲ ΖΒ ἐλάττων. ἐνηρ-

μόσθω τοίνυν τῷ κύκλῳ τῇ ΖΗ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ ἐπε-

ζεύχθω ἡ ΑΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΖ τῇ ΖΗ ἴση, κοινὴ δὲ

ἡ ΖΑ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἑκατέρᾳ αὐτῶν, καὶ βάσις ἄρα

ἡ ΘΑ τῇ ΑΗ ἴση. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ Δ πρὸς Ε, οὕτως

ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΘ, ἡ δὲ Δ

πρὸς Ε ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ ἐστί, καὶ ἡ ΒΑ ἄρα

πρὸς ΑΘ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ ἐστίν. ἡ ΑΘ ἄρα

διῆκται, πρὸς ἣν ἡ ΒΑ λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα·

ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

{κϚʹ.}

Ἔστω τρίγωνον δοθὲν τὸ ΑΒΓ σκαληνὸν μείζονα

ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΑΓ, ἡ δὲ ΒΓ βάσις τετμήσθω δίχα

κατὰ τὸ Δ, καὶ διήχθω ἡ ΑΔ, καὶ ἡ μὲν ΕΔ πρὸς

ὀρθὰς ἔστω τῇ ΒΓ ἴση οὖσα τῇ ΔΑ, ἡ δὲ ΑΖ κάθετος

ἐπὶ τὴν ΒΓ. μεῖζον τοῦ ΑΒΓ ἄλλο τρίγωνον συστή-

σασθαι τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς

βάσεως ἴσην ἑκατέρᾳ τῷ ΔΕ, ΔΑ καὶ προσέτι λόγον

ἔχον πρὸς τὸ ΑΒΓ, ὃν ἡ Θ πρὸς Η μείζων πρὸς

ἐλάττονα· ἐχέτω δὲ ἡ Θ πρὸς Η λόγον μὴ μείζονα

ἤπερ ἡ ΔΕ πρὸς ΑΖ.

κέντρῳ τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΑ γεγράφθω

κύκλος· ἥξει δὴ καὶ διὰ τοῦ Ε· ἔστω δὴ ὁ ΕΑ.

ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς Θ πρὸς Η λόγος οὐ μείζων ἐστὶ

τοῦ τῆς ΔΕ πρὸς ΑΖ, ἤτοι ὁ αὐτός ἐστιν ἢ ἐλάττων.

ἔστω πρότερον ὁ αὐτός, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ,

ΕΓ. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ Θ πρὸς Η, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς

ΑΖ, ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς ΑΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΔ, ΒΓ

πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ, ὡς ἄρα ἡ Θ πρὸς Η, οὕτως

τὸ ὑπὸ ΕΔ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ. ἀλλὰ τοῦ

μὲν ὑπὸ ΕΔ, ΒΓ ἥμισύ ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, τοῦ

δὲ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ ἥμισύ ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· καὶ

τὸ ΒΕΓ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑΓ λόγον ἔχει, ὃν ἡ Θ πρὸς

Η, τουτέστι τὸν ἐπιταχθέντα.

ἀλλὰ δὴ ἐχέτω ἡ Θ πρὸς Η ἐλάττονα λόγον ἤπερ ἡ

ΕΔ πρὸς ΑΖ, γενέσθω δέ, ὡς ἡ Θ πρὸς Η, οὕτως ἡ

ΚΔ πρὸς ΑΖ, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΓΔ παράλληλος

ἤχθω ἡ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΒ, ΛΓ. ἐπεὶ

οὖν, ὡς ἡ Θ πρὸς Η, οὕτως ἡ ΚΔ πρὸς ΑΖ, ὡς δὲ

ἡ ΚΔ πρὸς ΑΖ, οὕτως τὸ ΒΛΓ τρίγωνον πρὸς τὸ

ΒΑΓ τρίγωνον, τὸ ἄρα ΒΛΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ τὸν ἐπι-

ταχθέντα ἔχει λόγον τὸν τῆς Θ πρὸς Η· ἔχει δὲ καὶ

τὴν ΛΔ ἴσην τῇ ΔΑ· ὃ προστέτακται ποιῆσαι.

{κζʹ.}

Τὸν δοθέντα κῶνον σκαληνὸν τεμεῖν διὰ τοῦ ἄξο-

νος ἐπιπέδῳ ποιοῦντι τρίγωνον ἐν τῷ κώνῳ, ὃ τὸν

δοθέντα λόγον ἕξει πρὸς τὸ ἐλάχιστον τῶν διὰ τοῦ

ἄξονος τριγώνων· δεῖ δὴ τὸν δοθέντα λόγον μείζονος

ὄντα πρὸς ἔλαττον μὴ μείζονα εἶναι τοῦ ὃν ἔχει τὸ

μέγιστον τρίγωνον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς τὸ ἐλά-

χιστον.

ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος σκαληνός, οὗ ὁ ἄξων ὁ ΑΒ,

βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, τὸ δὲ ἐλάχιστον

τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων τὸ ΑΓΔ, καὶ δέον

ἔστω διὰ τοῦ ΑΒ ἄξονος ἀγαγεῖν ἐπίπεδον ποιοῦν

τρίγωνον, ὃ λόγον ἕξει πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, ὃν

ἔχει ἡ Ε εὐθεῖα μείζων οὖσα πρὸς τὴν Ζ, μὴ μείζονα

λόγον ἤπερ τὸ μέγιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων

πρὸς τὸ ἐλάχιστον τὸ ΑΓΔ.

εἰ μὲν οὖν ἡ Ε πρὸς Ζ λόγον ἔχει, ὃν τὸ μέγι-

στον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων πρὸς τὸ ἐλάχιστον,

διὰ τοῦ Β πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΔ ἀγαγόντες εὐθεῖαν ἐν

τῷ κύκλῳ καὶ διὰ τῆς ἀχθείσης καὶ τοῦ ἄξονος ἐκ-

βαλόντες ἐπίπεδον ἕξομεν τρίγωνον ἰσοσκελές, ὃ μέγι-

στόν ἐστι τῶν διὰ τοῦ ἄξονος· ταῦτα γὰρ ἐδείχθη·

καὶ ἕξει πρὸς τὸ ΑΓΔ λόγον τὸν τῆς Ε πρὸς Ζ,

τουτέστι τὸν ἐπιταχθέντα.

ἐχέτω δὲ νῦν ἡ Ε πρὸς Ζ ἐλάττονα λόγον ἤπερ

τὸ μέγιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων πρὸς τὸ

ἐλάχιστον, καὶ κείσθω ἐκτὸς εὐθεῖα ἡ ΗΘ ἴση οὖσα

τῇ ΓΔ, καὶ ἐπ' αὐτῆς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον ὅμοιον ὂν

τῷ ΑΓΔ, ὥστε καὶ τὴν ΚΗ τῇ ΑΓ ἴσην εἶναι καὶ

πάντα πᾶσιν, καὶ ἐπὶ τῆς ΗΘ συνεστάτω τρίγωνον

ἴσην ἔχον τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν

τῆς βάσεως τῇ ΚΛ καὶ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ΚΗΘ, ὃν

ἡ Ε πρὸς Ζ. τὸ δὴ συνιστάμενον τρίγωνον τὴν κορυφὴν

ἕξει ἐπὶ τὰ τοῦ Η μέρη, ὡς δειχθήσεται. ἔστω δὴ

τὸ ΜΗΘ, ὥστε τὴν ΜΗ πλευρὰν τῆς ΜΘ μείζονα

εἶναι. ἐπεὶ οὖν ἡ ΜΛ τῇ ΛΚ ἴση, κοινὴ δὲ ἡ ΛΗ,

μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΚΛΗ γωνία τῆς ὑπὸ ΜΛΗ, μείζων

ἄρα ἡ ΚΗ τῆς ΜΗ. ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΓΑ ἴση· καὶ ἡ

ΓΑ ἄρα τῆς ΜΗ μείζων ἐστί. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΚΘ τῆς

ΜΘ ἐλάττων ἐστίν, ἡ δὲ ΜΘ τῆς ΜΗ ἐλάττων, ἡ

ἄρα ΚΘ τῆς ΜΗ ἐλάττων ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΜΗ

τῆς μὲν μεγίστης τῶν ἐν τῷ κώνῳ ἐλάττων ἐστὶ τῆς

ΑΓ, τῆς δὲ ἐλαχίστης μείζων τῆς ΑΔ, δυνατὸν ἄρα

εὐθεῖαν ἴσην τῇ ΜΗ ἀπὸ τῆς Α κορυφῆς ἐπὶ τὴν

περιφέρειαν τῆς βάσεως ἀγαγεῖν, ὡς ἤδη μεμαθήκαμεν.

ἤχθω δὴ καὶ ἔστω ἡ ΑΝ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΝΒΞ καὶ

ἡ ΑΞ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ μὲν ΑΝ τῇ ΜΗ, ἡ δὲ ΝΒ

τῇ ΗΛ, ἡ δὲ ΒΑ τῇ ΛΜ, ὅλον ἄρα τὸ ΑΝΒ τρί-

γωνον τῷ ΜΗΛ ἴσον ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΝ γωνία τῇ

ὑπὸ ΜΛΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΞ ἄρα τῇ ὑπὸ ΜΛΘ.

πάλιν ἐπεὶ ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΛΜ, ἡ δὲ ΒΞ τῇ ΛΘ,

ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΞ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΜΛΘ,

ἴση ἄρα ἡ ΑΞ τῇ ΜΘ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΑΝ τῇ ΜΗ

ἴση καὶ ἡ ΝΞ βάσις τῇ ΗΘ· τὸ ἄρα ΑΝΞ τρίγωνον

ἴσον ἐστὶ τῷ ΗΜΘ. ἀλλὰ τὸ ΗΜΘ πρὸς τὸ ΗΚΘ,

τουτ…