Commentaria in conica

δοθέντα ἰδιοποιήσασθαι, οὐκ ἀληθεύων κατά γε τὴν

ἐμήν. ὅ τε γὰρ Ἀρχιμήδης ἐν πολλοῖς φαίνεται ὡς

παλαιοτέρας τῆς στοιχειώσεως τῶν κωνικῶν μεμνη-

μένος, καὶ ὁ Ἀπολλώνιος οὐχ ὡς ἰδίας ἐπινοίας γράφει·

οὐ γὰρ ἂν ἔφη <ἐπὶ πλέον καὶ καθόλου μᾶλλον

ἐξειργάσθαι ταῦτα παρὰ τὰ ὑπὸ τῶν ἄλλων

γεγραμμένα>. ἀλλ' ὅπερ φησὶν ὁ Γεμῖνος ἀληθές

ἐστιν, ὅτι οἱ παλαιοὶ κῶνον ὁριζόμενοι τὴν τοῦ ὀρθο-

γωνίου τριγώνου περιφορὰν μενούσης μιᾶς τῶν περὶ

τὴν ὀρθὴν εἰκότως καὶ τοὺς κώνους πάντας ὀρθοὺς

ὑπελάμβανον γίνεσθαι καὶ μίαν τομὴν ἐν ἑκάστῳ, ἐν

μὲν τῷ ὀρθογωνίῳ τὴν νῦν καλουμένην παραβολήν,

ἐν δὲ τῷ ἀμβλυγωνίῳ τὴν ὑπερβολήν, ἐν δὲ τῷ ὀξυ-

γωνίῳ τὴν ἔλλειψιν· καὶ ἔστι παρ' αὐτοῖς εὑρεῖν οὕτως

ὀνομαζομένας τὰς τομάς. ὥσπερ οὖν τῶν ἀρχαίων

ἐπὶ ἑνὸς ἑκάστου εἴδους τριγώνου θεωρησάντων τὰς

δύο ὀρθὰς πρότερον ἐν τῷ ἰσοπλεύρῳ καὶ πάλιν ἐν

τῷ ἰσοσκελεῖ καὶ ὕστερον ἐν τῷ σκαληνῷ οἱ μετα-

γενέστεροι καθολικὸν θεώρημα ἀπέδειξαν τοιοῦτο· παν-

τὸς τριγώνου αἱ ἐντὸς τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι

εἰσίν· οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν τοῦ κώνου τομῶν· τὴν μὲν

γὰρ λεγομένην ὀρθογωνίου κώνου τομὴν ἐν ὀρθο-

γωνίῳ μόνον κώνῳ ἐθεώρουν τεμνομένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ

πρὸς μίαν πλευρὰν τοῦ κώνου, τὴν δὲ τοῦ ἀμβλυ-

γωνίου κώνου τομὴν ἐν ἀμβλυγωνίῳ γινομένην κώνῳ

ἀπεδείκνυσαν, τὴν δὲ τοῦ ὀξυγωνίου ἐν ὀξυγωνίῳ,

ὁμοίως ἐπὶ πάντων τῶν κώνων ἄγοντες τὰ ἐπίπεδα

ὀρθὰ πρὸς μίαν πλευρὰν τοῦ κώνου· δηλοῖ δὲ καὶ

αὐτὰ τὰ ἀρχαῖα ὀνόματα τῶν γραμμῶν. ὕστερον δὲ

Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος καθόλου τι ἐθεώρησεν, ὅτι

ἐν παντὶ κώνῳ καὶ ὀρθῷ καὶ σκαληνῷ πᾶσαι αἱ τομαί

εἰσι κατὰ διάφορον τοῦ ἐπιπέδου πρὸς τὸν κῶνον

προσβολήν· ὃν καὶ θαυμάσαντες οἱ κατ' αὐτὸν γενό-

μενοι διὰ τὸ θαυμάσιον τῶν ὑπ' αὐτοῦ δεδειγμένων

κωνικῶν θεωρημάτων μέγαν γεωμέτρην ἐκάλουν. ταῦτα

μὲν οὖν ὁ Γεμῖνος ἐν τῷ ἕκτῳ φησὶ τῆς τῶν μαθη-

μάτων θεωρίας. ὃ δὲ λέγει, σαφὲς ποιήσομεν ἐπὶ τῶν

ὑποκειμένων καταγραφῶν.

ἔστω τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ κώνου τρίγωνον τὸ

ΑΒΓ, καὶ ἤχθω τῇ ΑΒ ἀπὸ τυχόντος σημείου τοῦ Ε

πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ, καὶ τὸ διὰ τῆς ΔΕ ἐπίπεδον ἐκ-

βληθὲν ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΒ τεμνέτω τὸν κῶνον· ὀρθὴ

ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν

ὑπὸ ΑΕΔ, ΑΕΖ γω-

νιῶν. ὀρθογωνίου μὲν

ὄντος τοῦ κώνου καὶ

ὀρθῆς δηλονότι τῆς

ὑπὸ ΒΑΓ γωνίας ὡς

ἐπὶ τῆς πρώτης κατα-

γραφῆς δύο ὀρθαῖς ἴσαι

ἔσονται αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΕΖ γωνίαι· ὥστε παράλληλος

ἔσται ἡ ΔΕΖ τῇ ΑΓ. καὶ γίνεται ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ

τοῦ κώνου τομὴ ἡ καλουμένη παραβολὴ οὕτω κλη-

θεῖσα ἀπὸ τοῦ παράλληλον εἶναι τὴν ΔΕΖ, ἥτις ἐστὶ

κοινὴ τομὴ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τοῦ διὰ τοῦ

ἄξονος τριγώνου, τῇ ΑΓ πλευρᾷ τοῦ τριγώνου.

ἐὰν δὲ ἀμβλυγώνιος ᾖ ὁ κῶνος ὡς ἐπὶ τῆς δευ-

τέρας καταγραφῆς ἀμβλείας δηλονότι οὔσης τῆς ὑπὸ

ΒΑΓ, ὀρθῆς δὲ τῆς ὑπὸ ΑΕΖ, δύο ὀρθῶν μείζους

ἔσονται αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΕΖ γωνίαι· ὥστε οὐ συμ-

πεσεῖται ἡ ΔΕΖ τῇ ΑΓ πλευρᾷ ἐπὶ τὰ πρὸς τοῖς Ζ, Γ

μέρη, ἀλλὰ ἐπὶ τὰ πρὸς τοῖς Α, Ε προσεκβαλλομένης

δηλονότι τῆς ΓΑ ἐπὶ τὸ Δ. ποιήσει οὖν τὸ τέμνον

ἐπίπεδον ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τομὴν τὴν καλου-

μένην ὑπερβολὴν οὕτω κληθεῖσαν ἀπὸ τοῦ ὑπερβάλ-

λειν τὰς εἰρημένας γωνίας, τουτέστι τὰς ὑπὸ ΑΕΖ,

ΒΑΓ, δύο ὀρθὰς ἢ διὰ τὸ ὑπερβάλλειν τὴν ΔΕΖ

τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου καὶ συμπίπτειν τῇ ΓΑ ἐκτός.

ἐὰν δὲ ὀξυγώνιος ᾖ ὁ κῶνος ὀξείας δηλονότι οὔσης

τῆς ὑπὸ ΒΑΓ, αἱ ΒΑΓ, ΑΕΖ ἔσονται δύο ὀρθῶν

ἐλάσσονες· ὥστε αἱ ΕΖ, ΑΓ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦν-

ται ὁπουδήποτε· προσαυξῆσαι γὰρ δύναμαι τὸν κῶνον.

ἔσται οὖν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τομή, ἥτις καλεῖται ἔλλει-

ψις, οὕτω κληθεῖσα ἤτοι διὰ τὸ ἐλλείπειν δύο ὀρθαῖς

τὰς προειρημένας γωνίας ἢ διὰ τὸ τὴν ἔλλειψιν κύκλον

εἶναι ἐλλιπῆ.

οὕτως μὲν οὖν οἱ παλαιοὶ ὑποθέμενοι τὸ τέμνον

ἐπίπεδον τὸ διὰ τῆς ΔΕΖ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ πλευρᾷ

τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ κώνου τριγώνου καὶ ἔτι δια-

φόρους τοὺς κώνους ἐθεώρησαν καὶ ἐπὶ ἑκάστου ἰδίαν

τομήν· ὁ δὲ Ἀπολλώνιος ὑποθέμενος τὸν κῶνον καὶ

ὀρθὸν καὶ σκαληνὸν τῇ διαφόρῳ τοῦ ἐπιπέδου κλίσει

διαφόρους ἐποίησε τὰς τομάς.

ἔστω γὰρ πάλιν ὡς ἐπὶ τῶν αὐτῶν καταγραφῶν

τὸ τέμνον ἐπίπεδον τὸ ΚΕΛ, κοινὴ δὲ αὐτοῦ τομὴ

καὶ τῆς βάσεως τοῦ κώνου ἡ ΚΖΛ, κοινὴ δὲ πάλιν

αὐτοῦ τοῦ ΚΕΛ ἐπιπέδου καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου

ἡ ΕΖ, ἥτις καὶ διάμετρος καλεῖται τῆς τομῆς. ἐπὶ

πασῶν οὖν τῶν τομῶν ὑποτίθεται τὴν ΚΛ πρὸς ὀρθὰς

τῇ ΒΓ βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, λοιπὸν δέ, εἰ μὲν

ἡ ΕΖ παράλληλος εἴη τῇ ΑΓ, παραβολὴν γίνεσθαι

τὴν ΚΕΛ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τομήν, εἰ δὲ

συμπίπτει τῇ ΑΓ πλευρᾷ ἡ ΕΖ ἐκτὸς τῆς κορυφῆς

τοῦ κώνου ὡς κατὰ τὸ Δ, γίνεσθαι τὴν ΚΕΛ τομὴν

ὑπερβολήν, εἰ δὲ ἐντὸς συμπίπτει τῇ ΑΓ ἡ ΕΖ, γί-

νεσθαι τὴν τομὴν ἔλλειψιν, ἣν καὶ θυρεὸν καλοῦσιν.

καθόλου οὖν τῆς μὲν παραβολῆς ἡ διάμετρος παρ-

άλληλός ἐστι τῇ μιᾷ πλευρᾷ τοῦ τριγώνου, τῆς δὲ

ὑπερβολῆς ἡ διάμετρος συμπίπτει τῇ πλευρᾷ τοῦ τρι-

γώνου ὡς ἐπὶ τὰ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ κώνου μέρη,

τῆς δὲ ἐλλείψεως ἡ διάμετρος συμπίπτει τῇ πλευρᾷ

τοῦ τριγώνου ὡς ἐπὶ τὰ πρὸς τῇ βάσει μέρη. κἀκεῖνο

δὲ χρὴ εἰδέναι, ὅτι ἡ μὲν παραβολὴ καὶ ἡ ὑπερβολὴ

τῶν εἰς ἄπειρόν εἰσιν αὐξανομένων, ἡ δὲ ἔλλειψις

οὐκέτι· πᾶσα γὰρ εἰς αὑτὴν συννεύει ὁμοίως τῷ

κύκλῳ.

πλειόνων δὲ οὐσῶν ἐκδόσεων, ὡς καὶ αὐτός φησιν

ἐν τῇ ἐπιστολῇ, ἄμεινον ἡγησάμην συναγαγεῖν αὐτὰς

ἐκ τῶν ἐμπιπτόντων τὰ σαφέστερα παρατιθέμενος ἐν

τῷ ῥητῷ διὰ τὴν τῶν εἰσαγομένων εὐμάρειαν, ἔξωθεν

δὲ ἐν τοῖς συντεταγμένοις σχολίοις ἐπισημαίνεσθαι

τοὺς διαφόρους ὡς εἰκὸς τρόπους τῶν ἀποδείξεων.

φησὶ τοίνυν ἐν τῇ ἐπιστολῇ τὰ πρῶτα τέσσαρα

βιβλία περιέχειν ἀγωγὴν στοιχειώδη· ὧν τὸ μὲν πρῶ-

τον περιέχειν τὰς γενέσεις τῶν τριῶν τοῦ κώνου τομῶν

καὶ τῶν καλουμένων ἀντικειμένων καὶ <τὰ ἐν αὐταῖς

ἀρχικὰ συμπτώματα>. ταῦτα δέ ἐστιν, ὅσα συμ-

βαίνει παρὰ τὴν πρώτην αὐτῶν γένεσιν· ἔχουσι γὰρ

καὶ ἕτερά τινα παρακολουθήματα. <τὸ δὲ δεύτερον

τὰ παρὰ τὰς διαμέτρους καὶ τοὺς ἄξονας τῶν

τομῶν συμβαίνοντα καὶ τὰς ἀσυμπτώτους καὶ

ἄλλα γενικὴν καὶ ἀναγκαίαν χρείαν παρεχό-

μενα πρὸς τοὺς διορισμούς>. ὁ δὲ διορισμὸς ὅτι

διπλοῦς ἐστι, παντί που δῆλον, ὁ μὲν μετὰ τὴν ἔκ-

θεσιν ἐφιστάνων, τί ἔστι τὸ ζητούμενον, ὁ δὲ τὴν

πρότασιν οὐ συγχωρῶν καθολικὴν εἶναι, λέγων δέ,

πότε καὶ πῶς καὶ ποσαχῶς δυνατὸν συστῆναι τὸ προ-

τιθέμενον, οἷός ἐστιν ὁ ἐν τῷ εἰκοστῷ δευτέρῳ θεωρή-

ματι τοῦ πρώτου βιβλίου τῆς Εὐκλείδου στοιχειώσεως·

ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις,

τρίγωνον συστήσασθαι· δεῖ δὴ τὰς δύο τῆς λοιπῆς

μείζονας εἶναι πάντῃ μεταλαμβανομένας, ἐπειδὴ δέ-

δεικται, ὅτι παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς

λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι. τὸ δὲ

τρίτον τῶν κωνικῶν περιέχειν φησὶ <πολλὰ καὶ παρά-

δοξα θεωρήματα χρήσιμα πρὸς τὰς συνθέσεις

τῶν στερεῶν τόπων>. ἐπιπέδους τόπους ἔθος τοῖς

παλαιοῖς γεωμέτραις λέγειν, ὅταν ἐπὶ τῶν προβλημά-

των οὐκ ἀφ' ἑνὸς σημείου μόνον, ἀλλ' ἀπὸ πλειόνων

γίνεται τὸ πρόβλημα, οἷον εἰ ἐπιτάξει τις εὐθείας δο-

θείσης πεπερασμένης εὑρεῖν τι σημεῖον, ἀφ' οὗ ἡ

ἀχθεῖσα κάθετος ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν μέση ἀνάλογον

γίνεται τῶν τμημάτων, τόπον καλοῦσι τὸ τοιοῦτον·

οὐ μόνον γὰρ ἓν σημεῖόν ἐστι τὸ ποιοῦν τὸ πρόβλημα,

ἀλλὰ τόπος ὅλος, ὃν ἔχει ἡ περιφέρεια τοῦ περὶ διά-

μετρον τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν κύκλου. ἐὰν γὰρ ἐπὶ

τῆς δοθείσης εὐθείας ἡμικύκλιον γραφῇ, ὅπερ ἂν ἐπὶ

τῆς περιφερείας λάβῃς σημεῖον καὶ ἀπ' αὐτοῦ κάθετον

ἀγάγῃς ἐπὶ τὴν διάμετρον, ποιήσει τὸ προβληθέν.

ὁμοίως δὲ δοθείσης εὐθείας ἐάν τις ἐπιτάξῃ εὑρεῖν

ἐκτὸς αὐτῆς σημεῖον, ἀφ' οὗ αἱ ἐπιζευγνύμεναι ἐπὶ τὰ

πέρατα τῆς εὐθείας ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις, καὶ ἐπὶ

τούτου οὐ μόνον ἓν σημεῖόν ἐστι τὸ ποιοῦν τὸ πρό-

βλημα, ἀλλὰ τόπος, ὃν ἐπέχει ἡ ἀπὸ τῆς διχοτομίας

πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη· ἐὰν γὰρ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν

δίχα τεμὼν καὶ ἀπὸ τῆς διχοτομίας πρὸς ὀρθὰς ἀγά-

γῃς, ὃ ἂν ἐπ' αὐτῆς λάβῃς σημεῖον, ποιήσει τὸ ἐπι-

ταχθέν.

ὅμοιον γράφει καὶ αὐτὸς Ἀπολλώνιος ἐν τῷ Ἀνα-

λυομένῳ τόπῳ ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου.

δύο δοθέντων [εὐθειῶν] ἐν ἐπιπέδῳ [καὶ] σημείων

καὶ λόγου δοθέντος ἀνίσων εὐθειῶν δυνατόν ἐστιν

ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γράψαι κύκλον ὥστε τὰς ἀπὸ τῶν

δοθέντων σημείων ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου

κλωμένας εὐθείας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι.

ἔστω τὰ μὲν δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β, λόγος δὲ

ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Δ μείζονος οὔσης τῆς Γ· δεῖ δὴ

ποιῆσαι τὸ ἐπιταχθέν. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ ἐκβε-

βλήσθω ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Β μέρη, καὶ γεγονέτω, ὡς ἡ

Δ πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς ἄλλην τινὰ μείζονα δηλον-

ότι τῆς Δ, καὶ ἔστω, εἰ τύχοι, πρὸς τὴν ΕΔ, καὶ

πάλιν γεγονέτω, ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν ΑΒ, ἡ Δ πρὸς

τὴν ΒΖ καὶ ἡ Γ πρὸς τὴν Η. φανερὸν δή, ὅτι ἥ

τε Γ μέση ἀνάλογόν ἐστι τῆς ΕΔ καὶ τῆς Δ καὶ ἡ

Η τῶν ΑΖ, ΖΒ. καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ζ διαστήματι

δὲ τῇ Η κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΘ. φανερὸν δή, ὅτι

τέμνει ἡ ΚΘ περιφέρεια τὴν ΑΒ εὐθεῖαν· ἡ γὰρ Η

εὐθεῖα μέση ἀνάλογόν ἐστι τῶν ΑΖ, ΖΒ. εἰλήφθω

δὴ ἐπὶ τῆς περιφερείας τυχὸν σημεῖον τὸ Θ, καὶ ἐπε-

ζεύχθωσαν αἱ ΘΑ, ΘΒ, ΘΖ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΖ

τῇ Η, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΘ,

ἡ ΖΘ πρὸς ΖΒ. καὶ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν

ὑπὸ ΘΖΒ ἀνάλογόν εἰσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΖΘ

τῷ ΘΒΖ τριγώνῳ, καὶ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΘΒ γωνία τῇ

ὑπὸ ΘΑΒ. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Β τῇ ΑΘ παράλληλος

ἡ ΒΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΘΖ

πρὸς ΖΒ, καὶ ὡς ἄρα πρώτη ἡ ΑΖ πρὸς τρίτην τὴν

ΖΒ, τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ. ἀλλ' ὡς ἡ ΑΖ

πρὸς ΖΒ, ἡ ΑΘ πρὸς ΒΛ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ

πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ, ἡ ΑΘ πρὸς ΒΛ. πάλιν ἐπεὶ ἴση

ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΘΖ τῇ ὑπὸ ΘΑΒ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ

ΑΘΒ τῇ ὑπὸ ΘΒΛ ἴση· ἐναλλὰξ γάρ· καὶ ἡ λοιπὴ

ἄρα τῇ λοιπῇ ἴση ἐστίν, καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΘΒ

τῷ ΒΘΛ, καὶ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς

ἴσας γωνίας, ὡς ἡ ΑΘ πρὸς ΘΒ, ἡ ΘΒ πρὸς ΒΛ,

καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ, ἡ ΑΘ πρὸς

ΒΛ. ἦν δὲ καί, ὡς ἡ ΑΘ πρὸς ΒΛ, τὸ ἀπὸ ΑΖ

πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ

ΖΘ, τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ, καὶ διὰ τοῦτο, ὡς

ἡ ΑΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΒ. ἀλλ' ὡς ἡ ΑΖ

πρὸς ΖΘ, ἡ ΕΔ πρὸς Γ καὶ ἡ Γ πρὸς Δ· καὶ ὡς

ἄρα ἡ Γ πρὸς Δ, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΒ. ὁμοίως δὴ δειχ-

θήσονται πᾶσαι αἱ ἀπὸ τῶν Α, Β σημείων ἐπὶ τὴν

περιφέρειαν τοῦ κύκλου κλώμεναι τὸν αὐτὸν ἔχουσαι

λόγον ταῖς Γ, Δ.

λέγω δή, ὅτι πρὸς ἄλλῳ σημείῳ μὴ ὄντι ἐπὶ τῆς

περιφερείας οὐ γίνεται λόγος τῶν ἀπὸ τῶν Α, Β ση-

μείων ἐπ' αὐτὸ ἐπιζευγνυμένων εὐθειῶν ὁ αὐτὸς τῷ

τῆς Γ πρὸς Δ.

εἰ γὰρ δυνατόν, γεγονέτω πρὸς τῷ Μ ἐκτὸς τῆς

περιφερείας· καὶ γὰρ εἰ ἐντὸς ληφθείη, τὸ αὐτὸ ἄτο-

πον συμβήσεται καθ' ἑτέραν τῶν ὑποθέσεων· καὶ

ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΑ, ΜΒ, ΜΖ, καὶ ὑποκείσθω, ὡς

ἡ Γ πρὸς Δ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ. ἔστιν ἄρα, ὡς

ἡ ΕΔ πρὸς Δ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ

καὶ τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ. ἀλλ' ὡς ἡ ΕΔ

πρὸς Δ, οὕτως ὑπόκειται ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ· καὶ ὡς

ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ.

καὶ διὰ τὰ προδειχθέντα, ἐὰν ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΜ

παράλληλον ἀγάγωμεν, δειχθήσεται, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς

ΖΒ, τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΜ. ἐδείχθη δὲ καί,

ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ.

ἴση ἄρα ἡ ΖΘ τῇ ΖΜ· ὅπερ ἀδύνατον.

τόποι οὖν ἐπίπεδοι λέγονται τὰ τοιαῦτα· οἱ δὲ

λεγόμενοι στερεοὶ τόποι τὴν προσωνυμίαν ἐσχήκασιν

ἀπὸ τοῦ τὰς γραμμάς, δι' ὧν γράφονται τὰ κατ'

αὐτοὺς προβλήματα, ἐκ τῆς τομῆς τῶν στερεῶν τὴν

γένεσιν ἔχειν, οἷαί εἰσιν αἱ τοῦ κώνου τομαὶ καὶ

ἕτεραι πλείους. εἰσὶ δὲ καὶ ἄλλοι τόποι πρὸς ἐπιφά-

νειαν λεγόμενοι, οἳ τὴν ἐπωνυμίαν ἔχουσιν ἀπὸ τῆς

περὶ αὐτοὺς ἰδιότητος.

μέμφεται δὲ ἑξῆς τῷ Εὐκλείδῃ οὐχ, ὡς οἴεται

Πάππος καὶ ἕτεροί τινες, διὰ τὸ μὴ εὑρηκέναι δύο

μέσας ἀνάλογον· ὅ τε γὰρ Εὐκλείδης ὑγιῶς εὗρε τὴν

μίαν μέσην ἀνάλογον, ἀλλ' οὐχ ὡς αὐτός φησιν οὐκ

εὐτυχῶς, καὶ περὶ τῶν δύο μέσων οὐδὲ ὅλως ἐπεχεί-

ρησε ζητῆσαι ἐν τῇ στοιχειώσει, αὐτὸς ὅ τε Ἀπολλώ-

νιος οὐδὲν περὶ τῶν δύο μέσων ἀνάλογον φαίνεται

ζητῆσαι ἐν τῷ τρίτῳ βιβλίῳ· ἀλλ', ὡς ἔοικεν, ἑτέρῳ

βιβλίῳ περὶ τόπων γεγραμμένῳ τῷ Εὐκλείδῃ ἐπισκήπ-

τει, ὅπερ εἰς ἡμᾶς οὐ φέρεται.

τὰ δὲ ἐφεξῆς περὶ τοῦ τετάρτου βιβλίου λεγόμενα σαφῆ

ἐστιν. τὸ δὲ πέμπτον φησὶ περιέχειν τὰ περὶ τῶν ἐλαχίστων

καὶ μεγίστων. ὥσπερ γὰρ ἐπὶ τοῦ κύκλου ἐμάθομεν ἐν

τῇ στοιχειώσει, ὅτι ἔστι τι σημεῖον ἐκτός, ἀφ' οὗ τῶν

μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν με-

γίστη ἐστὶν ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρ-

τὴν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆς

διαμέτρου, οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν τοῦ κώνου τομῶν ζητεῖ

ἐν τῷ πέμπτῳ βιβλίῳ. τοῦ δὲ ἕκτου καὶ ἑβδόμου καὶ

ὀγδόου σαφῶς ἡ πρόθεσις ὑπ' αὐτοῦ εἴρηται. καὶ

ταῦτα μὲν περὶ τῆς ἐπιστολῆς.

Ἀρχόμενος δὲ τῶν ὅρων γένεσιν ὑπογράφει κωνι-

κῆς ἐπιφανείας, ἀλλ' οὐ τὸν τί ἔστι διορισμὸν παρα-

δέδωκεν· ἔξεστι δὲ τοῖς βουλομένοις ἐκ τῆς γενέσεως

αὐτῆς τὸν ὅρον λαμβάνειν. τὸ δὲ λεγόμενον ὑπ' αὐ-

τοῦ διὰ καταγραφῆς σαφὲς ποιήσομεν·

<ἐὰν ἀπό τινος σημείου πρὸς κύκλου περι-

φέρειαν καὶ τὰ ἑξῆς>. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒ, οὗ κέν-

τρον τὸ Γ, καὶ σημεῖόν τι μετέωρον τὸ Δ, καὶ ἐπι-

ζευχθεῖσα ἡ ΔΒ ἐκβεβλήσθω εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα

μέρη ὡς ἐπὶ τὰ Ε, Ζ. ἐὰν δὴ μένοντος τοῦ Δ ἡ ΔΒ

φέρηται, ἕως ἂν τὸ Β ἐνεχθὲν κατὰ τῆς τοῦ ΑΒ

κύκλου περιφερείας ἐπὶ τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ,

ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, γεννήσει ἐπιφάνειάν τινα,

ἥτις σύγκειται ἐκ δύο ἐπιφανειῶν ἁπτομένων ἀλλή-

λων κατὰ τὸ Δ, ἣν καὶ καλεῖ κωνικὴν ἐπιφάνειαν.

φησὶ δέ, ὅτι καὶ εἰς ἄπειρον αὔξεται διὰ τὸ καὶ τὴν

γράφουσαν αὐτὴν εὐθεῖαν οἷον τὴν ΔΒ εἰς ἄπειρον

ἐκβάλλεσθαι. κορυφὴν δὲ τῆς ἐπιφανείας λέγει τὸ Δ,

ἄξονα δὲ τὴν ΔΓ.

κῶνον δὲ λέγει τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τοῦ

ΑΒ κύκλου καὶ τῆς ἐπιφανείας, ἣν μόνη γράφει ἡ

ΔΒ εὐθεῖα, κορυφὴν δὲ τοῦ κώνου τὸ Δ, ἄξονα δὲ

τὴν ΔΓ, βάσιν δὲ τὸν ΑΒ κύκλον.

καὶ ἐὰν μὲν ἡ ΔΓ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ΑΒ κύκλῳ,

ὀρθὸν καλεῖ τὸν κῶνον, ἐὰν δὲ μὴ πρὸς ὀρθάς, σκα-

ληνόν· γενήσεται δὲ κῶνος σκαληνός, ὅταν λαβόντες

κύκλον ἀπὸ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ἀναστήσωμεν εὐθεῖαν

μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ

μετεώρου σημείου τῆς ἀναταθείσης εὐθείας ἐπὶ τὸν

κύκλον ἐπιζεύξωμεν εὐθεῖαν καὶ περιαγάγωμεν τὴν

ἐπιζευχθεῖσαν εὐθεῖαν περὶ τὸν κύκλον τοῦ πρὸς τῷ

μετεώρῳ σημείῳ τῆς ἀναταθείσης μένοντος· τὸ γὰρ

προσληφθὲν σχῆμα κῶνος ἔσται σκαληνός.

δῆλον δέ, ὅτι ἡ περιαγομένη εὐθεῖα ἐν τῇ περι-

αγωγῇ μείζων καὶ ἐλάττων γίνεται, κατὰ δέ τινας θέσεις

καὶ ἴση πρὸς ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον τοῦ κύκλου.

ἀποδείκνυται δὲ τοῦτο οὕτως· ἐὰν κώνου σκαληνοῦ

ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθῶσιν εὐθεῖαι,

πασῶν τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθει-

σῶν εὐθειῶν μία μέν ἐστιν ἐλαχίστη μία δὲ μεγίστη,

δύο δὲ μόναι ἴσαι παρ' ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης καὶ

τῆς μεγίστης, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώ-

τερόν ἐστιν ἐλάσσων. ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ βάσις

μὲν ὁ ΑΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. καὶ ἐπεὶ

ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ σκαληνοῦ κώνου ἐπὶ τὸ ὑπο-

κείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἀγομένη ἤτοι ἐπὶ τῆς περι-

φερείας τοῦ ΑΒΓΖΗ κύκλου πεσεῖται ἢ ἐκτὸς ἢ ἐν-

τός, ἐμπιπτέτω πρότερον ἐπὶ τῆς περιφερείας ὡς ἐπὶ

τῆς πρώτης καταγραφῆς ἡ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέν-

τρον τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ

τὸ Κ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β, καὶ

ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ, καὶ εἰλήφθωσαν δύο ἴσαι περιφέ-

ρειαι παρ' ἑκάτερα τοῦ Ε αἱ ΕΖ, ΕΗ, καὶ παρ'

ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ,

ΕΗ, ΔΖ, ΔΗ, ΕΑ, ΕΓ, ΑΒ, ΒΓ, ΔΑ, ΔΓ. ἐπεὶ οὖν

ἴση ἐστὶν ἡ ΕΖ εὐθεῖα τῇ ΕΗ εὐθείᾳ· ἴσας γὰρ

περιφερείας ὑποτείνουσιν· κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς

ἡ ΔΕ, βάσις ἄρα ἡ ΔΖ τῇ ΔΗ ἐστιν ἴση. πάλιν

ἐπεὶ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση, καὶ διάμετρος

ἡ ΒΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΖΓ τῇ ΕΗΑ ἐστιν ἴση· ὥστε

καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ. κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ·

βάσις ἄρα ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ καὶ

πᾶσαι δειχθήσονται αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς ΔΕ ἢ τῆς

ΔΒ ἴσαι. πάλιν ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΕΖ ὀρθή ἐστι

γωνία ἡ ὑπὸ ΔΕΖ, μείζων ἐστὶν ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ.

καὶ πάλιν ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΕΑ εὐθεῖα τῆς ΕΖ,

ἐπεὶ καὶ περιφέρεια ἡ ΕΖΑ τῆς ΕΖ περιφερείας,

κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ, ἡ ΔΖ ἄρα τῆς ΔΑ

ἐλάσσων ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΔΑ τῆς ΔΒ

ἐλάσσων ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΕ τῆς ΔΖ ἐλάσσων

ἐδείχθη, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΑ, ἡ δὲ ΔΑ τῆς ΔΒ, ἐλα-

χίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΕ, μεγίστη δὲ ἡ ΔΒ, ἀεὶ δὲ ἡ

ἔγγιον τῆς ΔΕ τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστίν.

ἀλλὰ δὴ ἡ κάθετος πιπτέτω ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓΗΖ κύ-

κλου ὡς ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς ἡ ΔΕ, καὶ

εἰλήφθω πάλιν τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Κ, καὶ ἐπε-

ζεύχθω ἡ ΕΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχ-

θωσαν αἱ ΔΒ, ΔΘ, καὶ εἰλήφθωσαν δύο ἴσαι περι-

φέρειαι παρ' ἑκάτερα τοῦ Θ αἱ ΘΖ, ΘΗ καὶ παρ'

ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ,

ΕΗ, ΖΚ, ΗΚ, ΔΖ, ΔΗ, ΑΒ, ΒΓ, ΚΑ, ΚΓ, ΔΚ,

ΔΑ, ΔΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΘΖ περιφέρεια τῇ

ΘΗ, καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΚΖ τῇ ὑπὸ ΘΚΗ ἐστιν

ἴση. ἐπεὶ οὖν ἡ ΖΚ εὐθεῖα τῇ ΚΗ ἐστιν ἴση· ἐκ

κέντρου γάρ· κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΚΕ

τῇ ὑπὸ ΗΚΕ ἴση, καὶ βάσις ἡ ΖΕ τῇ ΗΕ ἴση. ἐπεὶ

οὖν ἡ ΖΕ εὐθεῖα τῇ ΗΕ ἐστιν ἴση, κοινὴ δὲ καὶ

πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα ἡ ΔΖ τῇ ΔΗ ἐστιν

ἴση. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ περιφέρεια τῇ ΒΓ,

καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ τῇ ὑπὸ ΓΚΒ ἐστιν ἴση·

ὥστε καὶ λοιπὴ εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἡ ὑπὸ ΑΚΕ λοιπῇ

εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῇ ὑπὸ ΓΚΕ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ οὖν

ἡ ΑΚ εὐθεῖα τῇ ΓΚ ἐστιν ἴση· ἐκ κέντρου γάρ· κοινὴ

δὲ ἡ ΚΕ, δύο δυσὶν ἴσαι, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΚΕ

τῇ ὑπὸ ΓΚΕ· καὶ βάσις ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση.

ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΑΕ εὐθεῖα τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ

καὶ πρὸς ὀρθάς, βάσις ἄρα ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ ἴση. ὁμοί-

ως δὲ καὶ πᾶσαι δειχθήσονται αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς

ΔΒ ἢ τῆς ΔΘ ἴσαι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΘ τῆς ΕΖ ἐστιν

ἐλάσσων, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα

ἡ ΔΘ βάσεως τῆς ΔΖ ἐστιν ἐλάσσων. πάλιν ἐπεὶ ἡ

ἀπὸ τοῦ Ε ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου πασῶν τῶν πρὸς

τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν μείζων ἐστίν,

ἐδείχθη δὲ ἐν τῷ γʹ τῆς στοιχειώσεως τὸ ὑπὸ ΑΕ,

ΕΛ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ὅταν ἡ ΕΖ ἐφάπτηται,

ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΕΖ πρὸς ΕΛ. μεί-

ζων δέ ἐστιν ἡ ΕΖ τῆς ΕΛ· ἀεὶ γὰρ ἡ ἔγγιον τῆς

ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων· μείζων ἄρα

καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΖ τῆς ΕΑ ἐστιν

ἐλάσσων, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα

ἡ ΔΖ τῆς ΔΑ ἐστιν ἐλάσσων. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν

ἡ ΑΚ τῇ ΚΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, δύο ἄρα αἱ ΑΚ, ΚΕ

ταῖς ΕΚ, ΚΒ, τουτέστιν ὅλῃ τῇ ΕΚΒ, εἰσιν ἴσαι.

ἀλλ' αἱ ΑΚ, ΚΕ τῆς ΑΕ μείζονές εἰσιν· καὶ ἡ ΒΕ

ἄρα τῆς ΑΕ μείζων ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΑΕ τῆς

ΕΒ ἐστιν ἐλάσσων, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ,

βάσις ἄρα ἡ ΔΑ τῆς ΒΔ ἐστιν ἐλάσσων. ἐπεὶ οὖν

ἡ ΔΘ τῆς ΔΖ ἐστιν ἐλάσσων, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΑ, ἡ

δὲ ΔΑ τῆς ΔΒ, ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΘ, μεγίστη

δὲ ἡ ΔΒ, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον καὶ τὰ ἑξῆς.

ἀλλὰ δὴ ἡ κάθετος πιπτέτω ἐντὸς τοῦ ΑΒΓΗΖ

κύκλου ὡς ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς ἡ ΔΕ, καὶ εἰ-

λήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθω

ἡ ΕΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ

Β, Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΘ, ΔΒ, καὶ εἰλήφθωσαν

δύο ἴσαι περιφέρειαι παρ' ἑκάτερα τοῦ Θ αἱ ΘΖ,

ΘΗ καὶ παρ' ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχ-

θωσαν αἱ ΕΖ, ΕΗ, ΖΚ, ΗΚ, ΔΖ, ΔΗ, ΚΑ, ΚΓ,

ΕΑ, ΕΓ, ΔΑ, ΔΓ, ΑΒ, ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΘΖ

περιφέρεια τῇ ΘΗ, καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΚΖ γωνίᾳ

τῇ ὑπὸ ΘΚΗ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΖ

τῇ ΗΚ, κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΚΕ

γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΚΕ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΖΕ τῇ

ΗΕ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ οὖν ἡ ΖΕ τῇ ΗΕ ἐστιν ἴση,

κοινὴ δὲ ἡ ΔΕ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΕΔ γωνίᾳ τῇ

ὑπὸ ΗΕΔ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΔΖ τῇ ΔΗ ἐστιν

ἴση. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΒΓ,

καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΚΒ

ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ λοιπὴ εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἡ ὑπὸ

ΑΚΕ λοιπῇ εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῇ ὑπὸ ΓΚΕ ἐστιν

ἴση. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΚ τῇ ΚΓ ἐστιν ἴση, κοινὴ δὲ ἡ

ΕΚ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΚΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΚΕ

ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ

οὖν ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ, καὶ

γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ ἴση, βάσις ἄρα ἡ

ΔΑ τῇ ΔΓ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ καὶ πᾶσαι δειχ-

θήσονται αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἢ τῆς ΔΒ ἢ τῆς ΔΘ

ἴσαι. καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓ ἐπὶ τῆς διαμέτρου

εἴληπται σημεῖον τὸ Ε μὴ ὂν κέντρον τοῦ κύκλου,

μεγίστη μὲν ἡ ΕΒ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΕΘ, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγ-

γιον τῆς ΕΘ τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων· ὥστε ἡ

ΕΘ τῆς ΕΖ ἐστιν ἐλάσσων. καὶ ἐπεὶ ἡ ΘΕ τῆς ΖΕ

ἐλάσσων ἐστίν, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐταῖς ἡ

ΕΔ, βάσις ἄρα ἡ ΔΘ βάσεως τῆς ΔΖ ἐλάσσων ἐστίν.

πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν ΕΖ ἔγγιόν ἐστι τῆς ΕΘ, ἡ δὲ ΑΕ

πορρωτέρω, ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΖ τῆς ΑΕ. ἐπεὶ οὖν

ἐλάσσων ἡ ΕΖ τῆς ΕΑ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθάς

ἐστιν αὐταῖς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα ἡ ΔΖ βάσεως τῆς ΔΑ

ἐστιν ἐλάσσων. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΚΒ, κοινὴ

δὲ ἡ ΚΕ, δύο αἱ ΑΚ, ΚΕ δύο ταῖς ΒΚ, ΚΕ, τουτ-

έστιν ὅλῃ τῇ ΒΚΕ, εἰσιν ἴσαι. ἀλλ' αἱ ΑΚ, ΚΕ

τῆς ΑΕ μείζονές εἰσιν· καὶ ἡ ΕΒ ἄρα τῆς ΕΑ μεί-

ζων ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΕΑ τῆς ΕΒ ἐλάσσων ἐστίν,

κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐταῖς ἡ ΕΔ, βάσις ἄρα ἡ

ΔΑ βάσεως τῆς ΔΒ ἐστιν ἐλάσσων. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΘ

τῆς ΔΖ ἐλάσσων, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΑ, ἡ δὲ ΔΑ τῆς

ΔΒ, ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΘ καὶ τὰ ἑξῆς.

<Πάσης καμπύλης γραμμῆς, ἥτις ἐστὶν ἐν ἑνὶ

ἐπιπέδῳ, διάμετρον καλῶ καὶ τὰ ἑξῆς>. τὸ ἐν

ἑνὶ ἐπιπέδῳ εἶπε διὰ τὴν ἕλικα τοῦ κυλίνδρου καὶ

τῆς σφαίρας· αὗται γὰρ οὐκ εἰσὶν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ. ὃ

δὲ λέγει, τοιοῦτόν ἐστιν· ἔστω καμπύλη γραμμὴ ἡ

ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῇ εὐθεῖαί τινες παράλληλοι αἱ ΑΓ,

ΔΕ, ΖΗ, ΘΚ, καὶ διήχθω ἀπὸ τοῦ Β εὐθεῖα ἡ ΒΛ

δίχα αὐτὰς τέμνουσα. φησὶν οὖν, ὅτι τῆς ΑΒΓ γραμ-

μῆς διάμετρον μὲν καλῶ τὴν ΒΛ, κορυφὴν δὲ τὸ Β,

τεταγμένως δὲ ἐπὶ τὴν ΒΛ κατῆχθαι ἑκάστην τῶν

ΑΓ, ΔΕ, ΖΗ, ΘΚ. εἰ δὲ ἡ ΒΛ δίχα καὶ πρὸς

ὀρθὰς τέμνει τὰς παραλλήλους, ἄξων καλεῖται.

<Ὁμοίως δὲ καὶ δύο καμπύλων γραμμῶν καὶ

τὰ ἑξῆς>. ἐὰν γὰρ νοήσωμεν τὰς Α, Β γραμμὰς καὶ

ἐν αὐταῖς τὰς ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ, ΞΟ παραλ-

λήλους καὶ τὴν ΑΒ διηγμένην ἐφ' ἑκάτερα καὶ τέμ-

νουσαν τὰς παραλλήλους δίχα, τὴν μὲν ΑΒ καλῶ,

φησίν, πλαγίαν διάμετρον, κορυφὰς δὲ τῶν γραμμῶν

τὰ Α, Β σημεῖα, τε-

ταγμένως δὲ ἐπὶ τὴν

ΑΒ τὰς ΓΔ, ΕΖ,

ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ, ΞΟ.

εἰ δὲ δίχα καὶ πρὸς

ὀρθὰς αὐτὰς τέμνει,

ἄξων καλεῖται. ἐὰν

δὲ διαχθεῖσά τις εὐ-

θεῖα ὡς ἡ ΠΡ τὰς ΓΞ, ΕΜ, ΗΚ παραλλήλους

τῇ ΑΒ δίχα τέμνει, ὀρθία μὲν διάμετρος καλεῖται ἡ

ΠΡ, τεταγμένως δὲ κατῆχθαι ἐπὶ τὴν ΠΡ διάμετρον

ἑκάστη τῶν ΓΞ, ΕΜ, ΗΚ. εἰ δὲ δίχα καὶ πρὸς

ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει, ἄξων ὀρθός, ἐὰν δὲ αἱ ΑΒ, ΠΡ

δίχα τέμνουσι τὰς ἀλλήλων παραλλήλους, λέγονται

συζυγεῖς διάμετροι, ἐὰν δὲ δίχα καὶ πρὸς ὀρθάς, συ-

ζυγεῖς ἄξονες ὀνομάζονται.

{Εἰς τὸ αʹ.}

Περὶ τῶν διαφόρων καταγραφῶν ἤτοι πτώσεων

τῶν θεωρημάτων τοσοῦτον ἰστέον, ὅτι πτῶσις μέν

ἐστιν, ὅταν τὰ ἐν τῇ προτάσει δεδομένα τῇ θέσει ᾖ

δοθέντα· ἡ γὰρ διάφορος αὐτῶν μετάληψις τοῦ αὐτοῦ

συμπεράσματος ὄντος ποιεῖ τὴν πτῶσιν. ὁμοίως δὲ

καὶ ἀπὸ τῆς κατασκευῆς μετατιθεμένης γίνεται πτῶσις.

πολλὰς δὲ ἐχόντων τῶν θεωρημάτων πάσαις ἡ αὐτὴ

ἀπόδειξις ἁρμόζει καὶ ἐπὶ τῶν αὐτῶν στοιχείων πλὴν

βραχέων, ὡς ἑξῆς εἰσόμεθα· εὐθὺς γὰρ τὸ πρῶτον

θεώρημα τρεῖς πρώσεις ἔχει διὰ τὸ τὸ λαμβανόμενον

σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας, τουτέστι τὸ Β, ποτὲ μὲν

εἰς τὴν κατωτέρω ἐπιφάνειαν εἶναι καὶ τοῦτο διχῶς

ἢ ἀνωτέρω τοῦ κύκλου ἢ κατωτέρω, ποτὲ δὲ ἐπὶ τῆς

κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἐπικειμένης. τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα

προέθετο ζητῆσαι, ὅτι οὐκ ἐπὶ πάντα δύο σημεῖα ἐπὶ

τῆς ἐπιφανείας λαμβανόμενα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα

ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐστίν, ἀλλ' ἡ νεύουσα μόνον ἐπὶ

τὴν κορυφήν, διὰ τὸ καὶ ὑπὸ εὐθείας τὸ πέρας ἐχού-

σης μένον γεγενῆσθαι τὴν κωνικὴν ἐπιφάνειαν. ὅτι

δὲ τοῦτο ἀληθές, τὸ δεύτερον θεώρημα δηλοῖ.

{Εἰς τὸ βʹ.}

Τὸ δεύτερον θεώρημα τρεῖς ἔχει πτώσεις διὰ τὸ

τὰ λαμβανόμενα σημεῖα τὰ Δ, Ε ἢ ἐπὶ τῆς κατὰ κο-

ρυφὴν εἶναι ἐπιφανείας ἢ ἐπὶ τῆς κάτω διχῶς ἢ

ἐσωτέρω τοῦ κύκλου ἢ ἐξωτέρω. δεῖ δὲ ἐφιστάνειν,

ὅτι τοῦτο τὸ θεώρημα εὑρίσκεται ἔν τισιν ἀντιγρά-

φοις ὅλον διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς δεδειγ-

μένον.

{Εἰς τὸ γʹ.}

Τὸ γʹ θεώρημα πτῶσιν οὐκ ἔχει. δεῖ δὲ ἐν αὐτῷ

ἐπιστῆσαι, ὅτι ἡ ΑΒ εὐθεῖά ἐστι διὰ τὸ κοινὴ τομὴ

εἶναι τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ

κώνου, ἥτις ὑπὸ εὐθείας ἐγράφη τὸ πέρας ἐχούσης

μένον πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς ἐπιφανείας. οὐ γὰρ πᾶσα

ἐπιφάνεια ὑπὸ ἐπιπέδου τεμνομένη τὴν τομὴν ποιεῖ

εὐθεῖαν, οὐδὲ αὐτὸς ὁ κῶνος, εἰ μὴ διὰ τῆς κορυφῆς

ἔλθῃ τὸ τέμνον ἐπίπεδον.

{Εἰς τὸ δʹ.}

Αἱ πτώσεις τούτου τοῦ θεωρήματος τρεῖς εἰσιν ὥσπερ

καὶ τοῦ πρώτου καὶ δευτέρου.

{Εἰς τὸ εʹ.}

Τὸ πέμπτον θεώρημα πτῶσιν οὐκ ἔχει. ἀρχόμενος

δὲ τῆς ἐκθέσεώς φησιν· <τετμήσθω ὁ κῶνος ἐπι-

πέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ πρὸς τὴν βάσιν>.

ἐπειδὴ δὲ ἐν τῷ σκαληνῷ κώνῳ κατὰ μίαν μόνον

θέσιν τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον ὀρθόν ἐστι πρὸς

τὴν βάσιν, τοῦτο ποιήσομεν οὕτως· λαβόντες τὸ κέν-

τρον τῆς βάσεως ἀναστήσομεν ἀπ' αὐτοῦ τῷ ἐπιπέδῳ

τῆς βάσεως πρὸς ὀρθὰς καὶ δι' αὐτῆς καὶ τοῦ ἄξονος

ἐκβάλλοντες ἐπίπεδον ἕξομεν τὸ ζητούμενον· δέδεικται

γὰρ ἐν τῷ ιαʹ τῆς Εὐκλείδου στοιχειώσεως, ὅτι, ἐὰν

εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ πάντα τὰ δι'

αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.

τὸν δὲ κῶνον σκαληνὸν ὑπέθετο, ἐπειδὴ ἐν τῷ ἰσοσκε-

λεῖ τὸ παράλληλον τῇ βάσει ἐπίπεδον τῷ ὑπεναντίως

ἠγμένῳ τὸ αὐτό ἐστιν.

ἔτι φησίν· <τετμήσθω δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ

πρὸς ὀρθὰς μὲν τῷ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνῳ,

ἀφαιροῦντι δὲ πρὸς τῇ κορυφῇ τρίγωνον ὅμοιον

μὲν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, ὑπεναντίως δὲ κείμενον>.

τοῦτο δὲ γίνεται οὕτως· ἔστω τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρί-

γωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν ση-

μεῖον τὸ Η, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΗ εὐθείᾳ καὶ

τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Η τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ ἴση

ἡ ὑπὸ ΑΗΚ· τὸ ΑΗΚ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΒΓ ὅμοιον

μέν ἐστιν, ὑπεναντίως δὲ κείμενον. εἰλήφθω δὴ ἐπὶ

τῆς ΗΚ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῷ τοῦ

ΑΒΓ τριγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΖΘ,

καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΗΚ, ΘΖ ἐπίπεδον. τοῦτο

δὴ ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον διὰ τὴν ΖΘ

καὶ ποιοῦν τὸ προκείμενον.

ἐν τῷ συμπεράσματί φησιν, ὅτι διὰ τὴν ὁμοιότητα

τῶν ΔΖΗ, ΕΖΚ τριγώνων ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΔΖΕ

τῷ ὑπὸ ΗΖΚ. δυνατὸν δέ ἐστι τοῦτο δεῖξαι καὶ

δίχα τῆς τῶν τριγώνων ὁμοιότητος λέγοντα, ὅτι, ἐπειδὴ

ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΚΗ, ΑΔΕ γωνιῶν ἴση ἐστὶ τῇ

πρὸς τῷ Β, ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τοῦ περιλαμ-

βάνοντος κύκλου τὰ Δ, Η, Ε, Κ σημεῖα. καὶ ἐπειδὴ

ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΗΚ τέμνουσιν ἀλλή-

λας κατὰ τὸ Ζ, τὸ ὑπὸ ΔΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ

ΗΖΚ.

ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τῆς

ΗΘ γραμμῆς ἐπὶ τὴν ΗΚ κάθετοι ἀγόμεναι ἴσον δύ-

νανται τῷ ὑπὸ τῶν τμημάτων. κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ

τομή, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΗΚ. καὶ δυνατὸν μέν

ἐστιν ἐπιλογίσασθαι τοῦτο διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπα-

γωγῆς. εἰ γὰρ ὁ περὶ τὴν ΚΗ γραφόμενος κύκλος

οὐχ ἥξει διὰ τοῦ Θ σημείου, ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ΚΖ,

ΖΗ ἴσον ἤτοι τῷ ἀπὸ μείζονος τῆς ΖΘ ἢ τῷ ἀπὸ

ἐλάσσονος· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. δείξομεν δὲ αὐτὸ καὶ

ἐπ' εὐθείας.

ἔστω τις γραμμὴ ἡ ΗΘ, καὶ ὑποτεινέτω αὐτὴν ἡ

ΗΚ, εἰλήφθω δὲ καὶ ἐπὶ τῆς γραμμῆς τυχόντα σημεῖα

τὰ Θ, Ο, καὶ ἀπ' αὐτῶν ἐπὶ τὴν ΗΚ κάθετοι ἤχθω-

σαν αἱ ΘΖ, ΟΠ, καὶ ἔστω τὸ μὲν ἀπὸ ΖΘ ἴσον τῷ

ὑπὸ ΗΖΚ, τὸ δὲ ἀπὸ ΟΠ τῷ ὑπὸ ΗΠΚ ἴσον. λέγω,

ὅτι κύκλος ἐστὶν ἡ ΗΘΟΚ γραμμή. τετμήσθω γὰρ

ἡ ΗΚ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΘ,

ΝΟ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΗΚ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα

κατὰ τὸ Ν, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ζ, τὸ ὑπὸ ΗΖΚ

μετὰ τοῦ ἀπὸ ΝΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΝΚ. τὸ δὲ

ὑπὸ ΗΖΚ ἴσον ὑπόκειται τῷ ἀπὸ ΘΖ· τὸ ἄρα ἀπὸ

ΘΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΝΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΝΚ. ἴσα

δέ ἐστι τὰ ἀπὸ ΘΖ, ΖΝ τῷ ἀπὸ ΝΘ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν

ἡ πρὸς τῷ Ζ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΝΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΝΚ.

ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ ΝΟ ἴσον ἐστὶ

τῷ ἀπὸ ΝΚ. κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘΚ γραμμή, διά-

μετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΗΚ.

δυνατὸν δέ ἐστι τὰς ΔΕ, ΗΚ διαμέτρους ποτὲ

μὲν ἴσας, ποτὲ δὲ ἀνίσους εἶναι, οὐδέποτε μέντοι δίχα

τέμνουσιν ἀλλήλας. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Κ τῇ ΒΓ

παράλληλος ἡ ΝΚ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς

ΑΓ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΝΑ τῆς ΑΚ. ὁμοίως δὲ καὶ

ἡ ΚΑ τῆς ΑΗ διὰ τὴν ὑπεναντίαν τομήν. ὥστε ἡ

τῇ ΑΚ ἀπὸ τῆς ΑΝ ἴση λαμβανομένη μεταξὺ πίπτει

τῶν Η, Ν σημείων. πιπτέτω ὡς ἡ ΑΞ· ἡ ἄρα διὰ

τοῦ Ξ τῇ ΒΓ παράλληλος ἀγομένη τέμνει τὴν ΗΚ.

τεμνέτω ὡς ἡ ΞΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΞΑ τῇ

ΑΚ, ὡς δὲ ἡ ΞΑ πρὸς ΑΠ, ἡ ΚΑ πρὸς ΑΗ διὰ

τὴν ὁμοιότητα τῶν ΗΚΑ, ΞΑΠ τριγώνων, ἡ ΑΗ

τῇ ΑΠ ἐστιν ἴση καὶ λοιπὴ ἡ ΗΞ τῇ ΠΚ. καὶ ἐπεὶ

αἱ πρὸς τοῖς Ξ, Κ γωνίαι ἴσαι εἰσίν· ἑκατέρα γὰρ

αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ Β· εἰσὶ δὲ καὶ αἱ πρὸς τῷ Ο ἴσαι·

κατὰ κορυφὴν γάρ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΞΗΟ τρίγω-

νον τῷ ΠΟΚ τριγώνῳ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΞ τῇ

ΠΚ· ὥστε καὶ ἡ ΞΟ τῇ ΟΚ καὶ ἡ ΗΟ τῇ ΟΠ καὶ

ὅλη ἡ ΗΚ τῇ ΞΠ. καὶ φανερόν, ὅτι, ἐὰν μεταξὺ

τῶν Ν, Ξ ληφθῇ τι σημεῖον ὡς τὸ Ρ, καὶ διὰ τοῦ Ρ

τῇ ΝΚ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΡΣ, μείζων ἔσται τῆς ΞΠ

καὶ διὰ τοῦτο καὶ τῆς ΗΚ, ἐὰν δὲ μεταξὺ τῶν Η, Ξ

ληφθῇ τι σημεῖον οἷον τὸ Τ, καὶ δι' αὐτοῦ παράλλη-

λος ἀχθῇ ἡ ΤΠ, ἐλάττων ἔσται τῆς ΞΠ καὶ τῆς ΚΗ.

καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΞΠΚ γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ

ΑΞΠ, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΟΠΚ τῇ ὑπὸ ΟΗΞ, μείζων

ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΟΗΞ τῆς ὑπὸ ΗΞΟ. ἡ ΞΟ ἄρα τῆς

ΟΗ μείζων καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΚΟ τῆς ΟΠ. ἐὰν

δέ ποτε ἡ ἑτέρα αὐτῶν δίχα διαιρεθῇ, ἡ λοιπὴ εἰς

ἄνισα τμηθήσεται.

{Εἰς τὸ Ϛʹ.}

Προσέχειν χρή, ὅτι οὐ μάτην πρόσκειται ἐν τῇ

προτάσει τὸ δεῖν τὴν ἀγομένην εὐθεῖαν ἀπὸ τοῦ ἐν

τῇ ἐπιφανείᾳ σημείου παράλληλον μιᾷ τινι τῶν ἐν τῇ

βάσει εὐθειῶν πρὸς ὀρθὰς οὔσῃ πάντως τῇ βάσει τοῦ

διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου ἄγεσθαι παράλληλον· τού-

του γὰρ μὴ ὄντος οὐ δυνατόν ἐστιν αὐτὴν δίχα τέμ-

νεσθαι ὑπὸ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου· ὅπερ ἐστὶ

φανερὸν ἐκ τῆς ἐν τῷ ῥητῷ καταγραφῆς. εἰ γὰρ ἡ

ΜΝ, ᾕτινι παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΖΗ, μὴ πρὸς ὀρθὰς

εἴη τῇ ΒΓ, δῆλον, ὅτι οὐδὲ δίχα τέμνεται οὐδὲ ἡ

ΚΛ. καὶ διὰ τῶν αὐτῶν λόγων συνάγεται, ὅτι ἐστίν,

ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΛ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΗ· καὶ ἡ

ΔΗ ἄρα εἰς ἄνισα τμηθήσεται κατὰ τὸ Ζ.

δυνατὸν δὲ κατωτέρω τοῦ κύκλου καὶ ἐπὶ τῆς

κατὰ κορυφὴν ἐπιφανείας τὰ αὐτὰ δείκνυσθαι.

{Εἰς τὸ ζʹ.}

Τὸ ζʹ θεώρημα πτώσεις ἔχει τέσσαρας· ἢ γὰρ οὐ

συμβάλλει ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ ἢ συμβάλλει τριχῶς ἢ ἐκτὸς

τοῦ κύκλου ἢ ἐντὸς ἢ ἐπὶ τοῦ Γ σημείου.

{Μετὰ τὸ ιʹ.}

Χρὴ ἐπιστῆσαι, ὅτι τὰ ι̅ ταῦτα θεωρήματα ἀλλή-

λων ἔχονται. ἀλλὰ τὸ πρῶτον ἔχει, ὅτι αἱ ἐν τῇ ἐπι-

φανείᾳ εὐθεῖαι νεύουσαι ἐπὶ τὴν κορυφὴν ἐν ταύτῃ

μένουσιν, τὸ δὲ δεύτερον τὸ ἀνάπαλιν, τὸ δὲ τρίτον

ἔχει τὴν διὰ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου τομήν, τὸ δὲ

τέταρτον τὴν παράλληλον τῇ βάσει, τὸ πέμπτον τὴν

ὑπεναντίαν, τὸ ἕκτον ὡσανεὶ προλαμβάνεται τοῦ ἑβ-

δόμου δεικνύον, ὅτι καὶ πρὸς ὀρθὰς ὀφείλει πάντως

εἶναι τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου ἡ κοινὴ τομὴ αὐτοῦ

καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου, καὶ ὅτι τούτου οὕτως

ἔχοντος αἱ παράλληλοι αὐτῇ διχοτομοῦνται ὑπὸ τοῦ

τριγώνου, τὸ δὲ ἕβδομον τὰς ἄλλας τρεῖς τομὰς ἔδειξε

καὶ τὴν διάμετρον καὶ τὰς ἐπ' αὐτὴν καταγομένας

παραλλήλους τῇ ἐν τῇ βάσει εὐθείᾳ. ἐν δὲ τῷ ὀγδόῳ

δείκνυσιν, ὅπερ ἐν τοῖς προλεγομένοις εἴπομεν, ὅτι

ἡ παραβολὴ καὶ ἡ ὑπερβολὴ τῶν εἰς ἄπειρόν εἰσιν

αὐξομένων, ἐν δὲ τῷ ἐνάτῳ, ὅτι ἡ ἔλλειψις συννεύ-

ουσα εἰς ἑαυτὴν ὁμοίως τῷ κύκλῳ διὰ τὸ τὸ τέμνον

ἐπίπεδον συμπίπτειν ἀμφοτέραις ταῖς πλευραῖς τοῦ

τριγώνου οὐκ ἔστι κύκλος· κύκλους γὰρ ἐποίουν ἥ τε

ὑπεναντία τομὴ καὶ ἡ παράλληλος· καὶ δεῖ ἐπιστῆσαι,

ὅτι ἡ διάμετρος τῆς τομῆς ἐπὶ μὲν τῆς παραβολῆς

τὴν μίαν πλευρὰν τοῦ τριγώνου τέμνει καὶ τὴν βάσιν,

ἐπὶ δὲ τῆς ὑπερβολῆς τήν τε πλευρὰν καὶ τὴν ἐπ'

εὐθείας τῇ λοιπῇ πλευρᾷ ἐκβαλλομένην πρὸς τῇ κο-

ρυφῇ, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ ἑκατέραν τῶν πλευ-

ρῶν καὶ τὴν βάσιν. τὸ δὲ δέκατον ἁπλούστερον μέν

τις ἐπιβάλλων ἴσως ἂν οἰηθείη ταὐτὸν εἶναι τῷ δευ-

τέρῳ, τοῦτο μέντοι οὐχ ὣς ἔχει· ἐκεῖ μὲν γὰρ ἐπὶ

πάσης τῆς ἐπιφανείας ἔλεγε λαμβάνεσθαι τὰ δύο

σημεῖα, ἐνταῦθα δὲ ἐπὶ τῆς γενομένης γραμμῆς. ἐν

δὲ τοῖς ἑξῆς τρισὶν ἀκριβέστερον ἑκάστην τῶν τομῶν

τούτων διακρίνει μετὰ τοῦ λέγειν καὶ τὰ ἰδιώματα

αὐτῶν τὰ ἀρχικά.

{Εἰς τὸ ιαʹ.}

<Πεποιήσθω, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ

ΒΑΓ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ·> σαφὲς μέν ἐστι τὸ

λεγόμενον, πλὴν εἴ τις καὶ ὑπομνησθῆναι βούλεται.

ἔστω τῷ ὑπὸ ΒΑΓ ἴσον τὸ ὑπὸ ΟΠΡ, τῷ δὲ ἀπὸ

ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΠΡ παραβληθὲν πλάτος ποιείτω

τὴν ΠΣ, καὶ γεγονέτω, ὡς ἡ ΟΠ πρὸς ΠΣ, ἡ ΑΖ

πρὸς ΖΘ· γέγονεν ἄρα τὸ ζητούμενον. ἐπεὶ γάρ ἐστιν,

ὡς ἡ ΟΠ πρὸς ΠΣ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΘ, ἀνάπαλιν ὡς

ἡ ΣΠ πρὸς ΠΟ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ. ὡς δὲ ἡ ΣΠ

πρὸς ΠΟ, τὸ ΣΡ πρὸς ΡΟ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΓ

πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ. τοῦτο χρησιμεύει καὶ τοῖς ἑξῆς

δύο θεωρήμασιν.

<Τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ λόγον

ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΓ πρὸς

ΓΑ καὶ ἡ ΒΓ πρὸς ΒΑ>· δέδεικται μὲν ἐν τῷ ἕκτῳ

βιβλίῳ τῆς στοιχειώσεως ἐν τῷ εἰκοστῷ τρίτῳ θεωρή-

ματι, ὅτι τὰ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα

λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· ἐπεὶ δὲ

ἐπακτικώτερον μᾶλλον καὶ οὐ κατὰ τὸν ἀναγκαῖον

τρόπον ὑπὸ τῶν ὑπομνηματιστῶν ἐλέγετο, ἐζητήσαμεν

αὐτὸ καὶ γέγραπται ἐν τοῖς ἐκδεδομένοις ἡμῖν εἰς τὸ

τέταρτον θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀρχιμή-

δους περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου καὶ ἐν τοῖς σχολίοις τοῦ

πρώτου βιβλίου τῆς Πτολεμαίου συντάξεως· οὐ χεῖρον

δὲ καὶ ἐνταῦθα τοῦτο γραφῆναι διὰ τὸ μὴ πάντως τοὺς

ἀναγινώσκοντας κἀκείνοις ἐντυγχάνειν, καὶ ὅτι σχεδὸν

τὸ ὅλον σύνταγμα τῶν κωνικῶν κέχρηται αὐτῷ.

λόγος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι λέγεται, ὅταν αἱ τῶν

λόγων πηλικότητες ἐφ' ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι ποι-

ῶσί τινα, πηλικότητος δηλονότι λεγομένης τοῦ ἀριθ-

μοῦ, οὗ παρώνυμός ἐστιν ὁ λόγος. ἐπὶ μὲν οὖν τῶν

πολλαπλασίων δυνατόν ἐστιν ἀριθμὸν ὁλόκληρον εἶναι

τὴν πηλικότητα, ἐπὶ δὲ τῶν λοιπῶν σχέσεων ἀνάγκη

τὴν πηλικότητα ἀριθμὸν εἶναι καὶ μόριον ἢ μόρια, εἰ μὴ

ἄρα τις ἐθέλοι καὶ ἀρρήτους εἶναι σχέσεις, οἷαί εἰσιν

αἱ κατὰ τὰ ἄλογα μεγέθη. ἐπὶ πασῶν δὲ τῶν σχέσεων

δῆλον, ὅτι αὐτὴ ἡ πηλικότης πολλαπλασιαζομένη ἐπὶ

τὸν ἑπόμενον ὅρον τοῦ λόγου ποιεῖ τὸν ἡγούμενον.

ἔστω τοίνυν λόγος ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β, καὶ εἰ-

λήφθω τις αὐτῶν μέσος, ὡς ἔτυχεν, ὁ Γ, καὶ ἔστω

τοῦ Α, Γ λόγου πηλικότης ὁ Δ, τοῦ δὲ Γ, Β ὁ Ε,

καὶ ὁ Δ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω. λέγω,

ὅτι τοῦ λόγου τῶν Α, Β πηλικότης ἐστὶν ὁ Ζ, τουτ-

έστιν ὅτι ὁ Ζ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Α ποιεῖ.

ὁ δὴ Ζ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω. ἐπεὶ

οὖν ὁ Δ τὸν μὲν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ πεποίηκεν,

τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, ἔστιν

ἄρα, ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Γ, ὁ Ζ πρὸς τὸν Α. πάλιν

ἐπεὶ ὁ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν,

τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, ἔστιν

ἄρα, ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὁ Γ πρὸς τὸν Η. ἐναλλάξ,

ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Γ, ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. ἦν δέ, ὡς

ὁ Ε πρὸς τὸν Γ, ὁ Ζ πρὸς τὸν Α· ἴσος ἄρα ὁ Η

τῷ Α. ὥστε ὁ Ζ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Α

πεποίηκεν.

μὴ ταραττέτω δὲ τοὺς ἐντυγχάνοντας τὸ διὰ τῶν

ἀριθμητικῶν δεδεῖχθαι τοῦτο· οἵ τε γὰρ παλαιοὶ κέ-

χρηνται ταῖς τοιαύταις ἀποδείξεσι μαθηματικαῖς μᾶλλον

οὔσαις ἢ ἀριθμητικαῖς διὰ τὰς ἀναλογίας, καὶ ὅτι

τὸ ζητούμενον ἀριθμητικόν ἐστιν. λόγοι γὰρ καὶ

πηλικότητες λόγων καὶ πολλαπλασιασμοὶ τοῖς ἀριθμοῖς

πρώτως ὑπάρχουσι καὶ δι' αὐτῶν τοῖς μεγέθεσι, κατὰ

τὸν εἰπόντα· ταῦτα γὰρ τὰ μαθήματα δοκοῦντι εἶμεν

ἀδελφά.

{Εἰς τὸ ιγʹ.}

Δεῖ σημειώσασθαι, ὅτι τοῦτο τὸ θεώρημα τρεῖς

ἔχει καταγραφάς, ὡς καὶ πολλάκις εἴρηται ἐπὶ τῆς

ἐλλείψεως· ἡ γὰρ ΔΕ ἢ ἀνωτέρω τοῦ Γ συμπίπτει

τῇ ΑΓ ἢ κατ' αὐτοῦ τοῦ Γ ἢ ἐξωτέρω ἐκβαλλομένῃ

τῇ ΑΓ συμπίπτει.

{Εἰς τὸ ιδʹ.}

Δυνατὸν ἦν καὶ οὕτως δεῖξαι, ὅτι, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΣ

πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΣΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ

ΞΤΟ.

ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΞΟ, ἔστιν,

ὡς ἡ ΓΣ πρὸς ΣΑ, ἡ ΞΤ πρὸς ΤΑ, καὶ διὰ τὰ

αὐτά, ὡς ἡ ΑΣ πρὸς ΣΒ, ἡ ΑΤ πρὸς ΤΟ· δι' ἴσου

ἄρα, ὡς ἡ ΓΣ πρὸς ΣΒ, ἡ ΞΤ πρὸς ΤΟ. καὶ ὡς

ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΣΒ, τὸ ἀπὸ ΞΤ πρὸς

τὸ ὑπὸ ΞΤΟ. ἔστι δὲ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τρι-

γώνων, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΓ, τὸ ἀπὸ ΑΤ

πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΤ· δι' ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς

τὸ ὑπὸ ΒΣΓ, τὸ ἀπὸ ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΤΟ.

καί ἐστιν, ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΣΓ,

ἡ ΘΕ πρὸς ΕΠ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ

ΞΤΟ, ἡ ΘΕ πρὸς ΘΡ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΕ πρὸς ΕΠ,

ἡ ΕΘ πρὸς ΘΡ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΠ τῇ ΘΡ.

πτῶσιν μὲν οὖν οὐκ ἔχει, φανερὸς δέ ἐστιν ὁ

σκοπὸς συνεχὴς ὢν τοῖς πρὸ αὐτοῦ τρισίν· ὁμοίως γὰρ

ἐκείνοις τὴν διάμετρον τῶν ἀντικειμένων ζητεῖ τὴν

ἀρχικὴν καὶ τὰς παρ' ἃς δύνανται.

{Εἰς τὸ ιϚʹ.}

<Ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΚΑ τῷ ὑπὸ ΑΛΒ· ἴση

ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΑ τῇ ΒΛ>· ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΒΚΑ

τῷ ὑπὸ ΑΛΒ ἐστιν ἴσον, ἀνάλογον ἔσται, ὡς ἡ ΚΒ

πρὸς ΑΛ, ἡ ΛΒ πρὸς ΑΚ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΚΒ

πρὸς ΒΛ, ἡ ΛΑ πρὸς ΑΚ· καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΚΛ

πρὸς ΛΒ, ἡ ΛΚ πρὸς ΚΑ· ἴση ἄρα ἡ ΚΑ τῇ ΒΛ.

δεῖ ἐπιστῆσαι, ὅτι ἐν τῷ πεντεκαιδεκάτῳ καὶ ἑκ-

καιδεκάτῳ θεωρήματι σκοπὸν ἔσχε ζητῆσαι τὰς καλου-

μένας δευτέρας καὶ συζυγεῖς διαμέτρους τῆς ἐλλείψεως

καὶ τῆς ὑπερβολῆς ἤτοι τῶν ἀντικειμένων· ἡ γὰρ

παραβολὴ οὐκ ἔχει τοιαύτην διάμετρον. παρατηρητέον

δέ, ὅτι αἱ μὲν τῆς ἐλλείψεως διάμετροι ἐντὸς ἀπολαμ-

βάνονται, αἱ δὲ τῆς ὑπερβολῆς καὶ τῶν ἀντικειμένων

ἐκτός. καταγράφοντας δὲ δεῖ τὰς μὲν παρ' ἃς δύναν-

ται ἤτοι τὰς ὀρθίας πλευρὰς πρὸς ὀρθὰς τάττειν καὶ

δηλονότι καὶ τὰς παραλλήλους αὐταῖς, τὰς δὲ τεταγ-

μένως καταγομένας καὶ τὰς δευτέρας διαμέτρους οὐ

πάντως· μάλιστα γὰρ ἐν ὀξείᾳ γωνίᾳ δεῖ κατάγειν

αὐτάς, ἵνα σαφεῖς ὦσιν τοῖς ἐντυγχάνουσιν ἕτεραι

οὖσαι τῶν παραλλήλων τῇ ὀρθίᾳ πλευρᾷ.

Μετὰ τὸ ἑκκαιδέκατον θεώρημα ὅρους ἐκτίθεται

περὶ τῆς καλουμένης δευτέρας διαμέτρου τῆς ὑπερ-

βολῆς καὶ τῆς ἐλλείψεως, οὓς διὰ καταγραφῆς σαφεῖς

ποιήσομεν.

ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΒ, διάμετρος δὲ αὐτῆς ἔστω

ἡ ΓΒΔ, παρ' ἣν δὲ δύνανται αἱ ἐπὶ τὴν ΒΓ κατ-

αγόμεναι ἡ ΒΕ. φανερὸν οὖν, ὅτι ἡ μὲν…

…