Scholia in Euclidis elementa

{SCHOLIA IN ELEMENTA}

{In librum 1}

[Τὴν γεωμετρίαν διαιροῦσ]ιν εἴς τε τὴν ἐπίπεδον καὶ

τὴν στερεομετρίαν, καὶ ὑπὸ ταύτας ἀνάγουσι πάσας τὰς

ὕλῃ χρωμένας, οἷον ἀστρονομίαν, γεωδεσίαν καὶ τὰς ἄλλας,

ὅσαι ὑπὸ μηχανικὴν τελοῦσι. ὑπὸ δὲ ἀριθμητικὴν ἄγουσι

μουσικήν, λογιστικήν. ἐπεὶ οὖν περὶ τὸ συνεχὲς ἔχει γεω-

μετρία, δῆλον, ὅτι γνῶσιν αὐτὴν δεῖ λέγειν. γνώσεων δὲ

οὐσῶν αἰσθήσεως, φαντασίας, πείρας, ἐμπειρίας, τέχνης,

ἐπιστήμης, καὶ τῆς μὲν αἰσθήσεως τὰ ἐκτὸς ὁρώσης αἰσθη-

τά, φαντασίας δὲ τὰ ἐντός, αἰσθητὰ μέντοι, λοιπὸν δὲ τῆς

πείρας ἐπὶ τῶν πρακτῶν γινωσκούσης τὸ πρᾶγμα, οἷον

ἐπὶ ἰατρικῆς ὅταν προσαγαγὼν τόδε τὸ φάρμακον γνῷ, ὅτι

ὠφελήσει τόδε τὸ πάθος καὶ πάλιν τόδε τὸ κολλύριον,

ἕκαστον μέντοι κατὰ μίαν χρῆσιν, εἶτα ἐκ πολλῶν πειρῶν

λαμβάνει λόγον τινὰ καθ' ὅλου, ὅτι, ἐπειδὴ καὶ τόδε τὸ

πάθος ὠφέλησεν τόδε τὸ φάρμακον, ἔοικεν καθ' ὅλου

πρὸς τόδε τὸ πάθος ἐπιτήδειον εἶναι, καὶ οὕτως καθ' ὅλου

γινώσκει καὶ ἔχειν λέγεται ἐμπειρίαν, ἀλλ' ὁρᾷς, ὅτι αἰτίαν

οὐκ ἔχει, δι' ἣν προσαγόμενον τῷδε τῷ πάθει ὠφελεῖ. ἐὰν

δὲ ζητήσας εὕρῃ, ὅτι τόδε μὲν τὸ πάθος, εἰ τύχοι, ἐστὶν

ὑγρόν, τόδε δὲ τὸ φάρμακον ξηρόν, τὰ δὲ ἐναντία τῶν ἐναν-

τίων ἰάματα, ἔχει καὶ τὴν αἰτίαν, καί ἐστι τὸ τοιοῦτον

τέχνη καὶ διαφέρει τῆς ἐμπειρίας τῷ λόγον καὶ αἰτίαν λα-

βεῖν. ἐπειδὴ δὲ τῶν γνώσεων τούτων τῶν ἐχουσῶν λόγον

αἱ μὲν οὕτως ἔχουσιν, ὡς καὶ τὴν ὑποκειμένην ὕλην φθαρ-

τὴν ἔχειν, αἱ δὲ ὡς ἀείδιον, τὴν μὲν περὶ ἀείδιον ὕλην

ἔχουσαν ἐπιστήμην ὀνομάζουσιν, τὴν δὲ περὶ φθαρτὴν

τέχνην. τὰ δὴ μαθήματα οὔτε αἴσθησις γιγνώσκει· μερι-

κῶν γὰρ γνωστική· οὔτε φαντασία· καὶ γὰρ αὕτη μερικῶν

ἐστι γνωστική, εἰ καὶ ἐντὸς ὁρᾷ· ἀλλ' οὔτε πεῖρα· λόγον

γὰρ καὶ αἰτίαν οὐκ ἔχει πρὸς τῷ μηδὲ τὸ καθ' ὅλου γινώ-

σκειν· οὔτε ἐμπειρία δὲ οὔτε τέχνη· ὕλη γὰρ τῶν μαθη-

μάτων ἀείδιος καὶ ἑστῶσα. λείπεται ἄρα ἐπιστημονικὴν

εἶναι τὴν γνῶσιν αὐτῶν. ὥστε γεωμετρία ἐστὶ ἡ γνῶσις.

καὶ ἐπειδὴ οὔτε ἔξωθέν ἐστι γνωστική, οὔτε μερικῶν πραγ-

μάτων οὔτε ὁλικῶν μέν, ἄνευ δὲ αἰτίας, ἢ ὁλικῶν μὲν καὶ

μετ' αἰτίας, περὶ φθαρτὰ δέ, ποιεῖται τὴν γνῶσιν (περὶ

γὰρ ἀείδια), εἰκότως γνῶσιν αὐτὴν δεῖ λέγειν ἐπιστημονι-

κήν, ἵνα χωρίσωμεν αἰσθήσεως, φαντασίας, πείρας, ἐμ-

πειρίας, τέχνης, περὶ σχήματα ἔχουσαν. ἐπειδὴ δὲ οὐ μό-

νον περὶ σχήματα ἔχει, ἀλλὰ καὶ περὶ διαιρέσεις αὐτῶν καὶ

συνθέσεις, εἰκότως λεκτέον περὶ σχήματα καὶ τὰ τούτων

πάθη, λόγους τε καὶ συνθέσεις καὶ διαιρέσεις. καὶ οὗτος

μὲν ὅρος τῆς γεωμετρίας, τὴν δὲ γενομένην αὐτῆς ἐπίδοσιν

ἰστέον, ὡς ἔφαμεν, ἐν τῇ καθ' ἡμᾶς περιόδῳ γεγενῆσθαι,

μάλιστα δὲ ἐν τοῖς κατὰ Πλάτωνα χρόνοις· ὁ δὲ Εὐκλείδης

γέγονεν μὲν κατὰ τὸν πρῶτον Πτολεμαῖον, τὰ δὲ σποράδην

ὑπὸ τῶν παλαιοτέρων θεωρηθέντα συνήγαγεν αὐτὸς εἰς

στοιχείωσιν, τάξιν αὐτοῖς καὶ ἀποδείξεις ἀκριβεστέρας

ἐπιθεὶς ὡς πρὸς στοιχείωσιν. οὐ γὰρ ὅσον λέγειν δυνατόν,

γράφει ταῦτα, ἀλλ' ὅσα στοιχειοῦν πέφυκεν, καὶ δι' ὧν καὶ

τὰ μὴ γραφόμενα ἔστιν εὑρίσκειν· εὑρήσεις δὲ τοὺς συλ-

λογισμοὺς καὶ ἀπὸ αἰτιῶν καὶ ἀπὸ τεκμηρίων, πάντας δὲ

ἀνελέγκτους καὶ ἐπιστημονικούς· πάσας τε ὁρᾶν ἔξεστι

τὰς τῆς διαλεκτικῆς μεθόδους διαιρετικήν, ὁριστικήν, ἀπο-

δεικτικήν, ἀναλυτικήν. ὁ δὲ σκοπὸς τῆς πραγματείας ἐστὶν

διπλοῦς κατά τε τὴν τῶν πραγμάτων φύσιν καὶ πρὸς τὴν

τῶν ἐντυγχανόντων ὠφέλειαν. πρὸς μὲν γὰρ αὐτὰ τὰ πράγ-

ματα βλέποντές φαμεν περὶ τῶν κοσμικῶν σχημάτων

εἶναι τὴν πρόθεσιν· πέρας γὰρ ἡ τῶν πέντε σχημάτων

διδασκαλία, ἃ καὶ Πλάτων εἰς τὴν τῶν στοιχείων σύστα-

σιν παραλαμβάνει. πρὸς δὲ τὴν τῶν ἐντυγχανόντων ὠφέ-

λειάν φαμεν στοιχείωσιν γράφειν· ἀπὸ γὰρ τούτων ὁρμώ-

μενοι καὶ τὰ ἄλλα δυνησόμεθα γινώσκειν, χωρὶς δὲ τούτων

οὐδέν· διὸ καὶ στοιχείωσις ὀνομάζεται. τῶν δὲ θεωρημά-

των καλουμένων τῶν μὲν στοιχείων, τῶν δὲ στοιχειωδῶν,

τῶν μὲν στοιχείων ὀνομαζομένων ἡ θεωρία διικνεῖται πρὸς

τὴν τῶν ἄλλων ἐπιστήμην, καὶ ἀφ' ὧν ἐν τοῖς λοιποῖς ἀπό-

ροις παραγίνεται λύσις, στοιχειωδῶν δὲ ὅσα διατείνει μὲν

ἐπὶ πλέον, οὐ μέντοι ἐπὶ πάντα, οἷον τὸ ἐν τοῖς τριγώνοις

τὰς ἀπὸ τῶν γωνιῶν καθέτους ἐπὶ τὰς πλευρὰς κα[θ' ἓν

ση]μεῖον συμπίπτειν. πάλιν τῶν στοιχείων δίχα λεγομέ-

νων (καὶ γὰρ τὸ κατασκευάζον τοῦ κατασκευαζομένου, ὡς

τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ δευτέρου, καὶ τὸ εἰς ἁπλούστερον

διαιρεῖται τὸ σύνθετον, ὡς τὰ αἰτήματα στοιχεῖα τῶν θεω-

ρημάτων), κατὰ δὴ τὸ σημαινόμενον τοῦτο καὶ τὰ παρ'

Εὐκλείδῃ λέγεται στοιχεῖα, τὰ μὲν περὶ τὰ ἐπίπεδα, τὰ δὲ

περὶ τὰ στερεὰ τὴν πραγματείαν ἔχοντα. ἐπεὶ οὖν ἡ γεω-

μετρία ἐπιστήμη, διττὴ δὲ αὕτη, ἡ μὲν ἐξ ὑποθέσεως, ἡ δὲ

ἀνυπόθετος, αὕτη [δὲ] ἐξ ὑποθέσεως, ἀνάγκη τὸν τὴν γεωμε-

τρίαν συντάττοντα χωρὶς μὲν παραδοῦναι τὰς ἀρχάς, χωρὶς

δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν, καὶ τῶν μὲν ἀρχῶν, εἰ καὶ τῷ τε-

λείῳ φιλοσόφῳ εἰσὶν ἀποδεικταί, μὴ διδόναι λόγον, τῶν

δὲ μετὰ τὰς ἀρχάς, ὃ καὶ Εὐκλείδης καθ' ἕκαστον ὡς εἰ-

πεῖν ποιεῖται βιβλίον. τὰς δὴ κοινὰς ταύτας ἀρχὰς διαιρεῖ

εἴς τε τὰς ὑποθέσεις καὶ τὰ αἰτήματα καὶ ἀξιώματα· δια-

φέρει γὰρ ταῦτα ἀλλήλων. ὅταν μὲν γὰρ γνώριμον ᾖ καὶ

καθ' αὑτὸ πιστὸν τὸ παραλαμβανόμενον, ἀξίωμα λέγεται,

ὅταν δὲ μὴ ἔχῃ μὲν ἔννοιαν ὁ ἀκούων αὐτόπιστον, τίθεται

δὲ ὅμως καὶ συγχωρεῖ τὸ λαμβανόμενον, ὑπόθεσίς ἐστιν·

οἷον τὸ τὸν κύκλον εἶναι σχῆμα τοιόνδε τὸ τρίγωνον, ὃ αὐ-

τόθεν μὲν οὐκ ἔχει, συγχωρούμενον δὲ ὅμως· ὅταν δὲ καὶ

ἄγνωστον ᾖ τὸ λεγόμενον καὶ μὴ συγχωροῦντος τοῦ μαν-

θάνοντος ὅμως λαμβάνηται, αἴτημα τοῦτο καλοῦμεν, ὡς

τὸ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας εἶναι. καὶ οὕτως μὲν

Ἀριστοτέλης ταῦτα διορίζεται· τινὲς δὲ πάντα ὑποθέσεις

προσεῖπον, ἄλλοι δὲ ἀξιώματα. πάλιν δὲ αὖ τὰ ἀπὸ τῶν

ἀρχῶν εἰς προβλήματα διαιρεῖται καὶ θεωρήματα, τὰ μὲν

τὰς γενέσεις περιέχοντα τῶν σχημάτων, τὰ δὲ τὰ καθ'

αὑτὰ συμβεβηκότα ἑκάστοις δεικνύοντα. καί φασιν πᾶν

πρόβλημα ἐπιδέχεσθαι τῶν κατηγορουμένων τῆς ἐν αὐτῷ

ὕλης αὐτό τε ἕκαστον καὶ τὸ ἀντικείμενον. λέγω δὲ ὕλην

μὲν αὐτὸ τὸ γένος, περὶ οὗ ἡ ζήτησις, οἷον τρίγωνον ἢ

τετράγωνον, σύμπτωμα δὲ τὸ καθ' αὑτὸ συμβεβηκός,

ἴσον ἄνισον τομὴν θέσιν ἢ ἄλλο τι τοιοῦτον. ὅταν μὲν οὖν

προτείνῃ τις ποιῆσαι, πρόβλημα λέγεται· ὅταν δὲ τὸ ὂν

θεωρῆσαι, θεώρημα· καὶ ὅλως τὰ μὲν θεωρήματα καθ-

όλου ἐστί, τὰ δὲ προβλήματα οὐκ ἔστι.

Τοσαῦτα καὶ περὶ τούτων. τοῦ δὲ πρώτου βιβλίου ὁ

σκοπός ἐστι τὰς ἀρχὰς παραδοῦναι τῆς τῶν εὐθυγράμμων

θεωρίας. εἰ γὰρ καὶ φύσει τελειότερος ὁ κύκλος, ἀλλ'

ἡμῖν τοῖς ἀτελεστέροις μᾶλλον ἡ περὶ τούτων ἁρμόσει

θεωρία· τοῖς αἰσθητοῖς οἰκεῖα τὰ εὐθύγραμμα, τοῖς δὲ

νοητοῖς ὁ κύκλος, καὶ ἀπὸ τῶν εὐθυγράμμων ἡ γένεσις

κατὰ Πλάτωνα τοῖς τέτρασι στοιχείοις. διαιρεῖται δὲ τὸ

βιβλίον τριχῆ· τὸ μὲν γὰρ πρῶτον τὴν τῶν τριγώνων

ἰδιότητα ἐμφανίζει, τὸ δεύτερον τῶν παραλληλογράμμων,

τὸ τρίτον τὴν κοινωνίαν αὐτῶν.

Σημεῖόν ἐστι οὗ μέρος οὐθέν.

Ἀπὸ τῶν συνθέτων ἐπὶ τὸ ἁπλούστερον ἀναδεδράμηκεν,

ἀπὸ μὲν τοῦ τριχῆ διαστατοῦ ἐπὶ τὸ διχῆ, ἀπὸ δὲ τούτου

ἐπὶ τὸ ἐφ' ἕν, ἀφ' οὗ εἰς τὸ πάσης διαιρέσεως καθαρεῦον

ἀναδραμὼν τὴν ἀρχὴν ποιεῖται· ἐπειδὴ δὲ τὰ πέρατα ταῦτα

πολλαχοῦ διὰ τὴν ἁπλότητα τῆς τῶν συνθέτων ὑποστά-

σεως δοκεῖ τιμιώτερα εἶναι, πολλαχοῦ δὲ συμβεβηκόσιν

ἔ[οι]κεν, λέγω μὲν, ὅτι τὰ ἄυλα καὶ ἐν χωριστοῖς ὑφεστῶτα

λόγοις ἀεὶ τὴν ἀρχικωτέραν ὑπόστασιν ἐκληρώσατο τῶν

συνθέτων, οἷον ἐν νῷ καὶ ψυχαῖς· ἐκεῖ γὰρ τὰ ἁπλούστερα

τῶν συνθέτων ἐστὶν ὑποστατικά. τὰ δὲ ὕλης δεόμενα καὶ

ἐν ἄλλοις ἑδραζόμενα κατὰ τὸ σύνθετον μᾶλλον ἔχει τὴν

ὑπόστασιν, καί εἰσιν οὐσιώδεις μᾶλλον οἱ τοιοῦτοι λόγοι.

διὰ τοῦτο ἐν φαντασίᾳ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς προηγουμένως

μᾶλλόν εἰσιν οἱ τῶν περατουμένων λόγοι, ἑπόμενοι δὲ οἱ

τῶν περατούντων. ἵνα γὰρ τὸ σῶμα μὴ εἰς ἀπειρίαν ἐκ-

πέσῃ, ἡ τῆς ἐπιφανείας γέγονεν φύσις, καὶ ἵνα μὴ αὕτη,

ἡ τῆς γραμμῆς, καὶ τὸ σημεῖον ἕνεκα τῆς γραμμῆς. τρα-

νέστερον γὰρ ἡ ὕλη τοὺς συνθετωτέρους ἤπερ τοὺς ἁπλου-

στέρους ὑπεδέξατο. πῶς οὖν ἐν νῷ καὶ ψυχῇ πάντων ὄντων

ἀμερῶν ἐν ὕλῃ τὰ μὲν προηγουμένως ἐμερίσθη, τὰ δ' ἔμει-

νεν ἀμερῆ; ἢ καὶ ἐν τούτοις τάξις ἐστίν; τὰ μὲν γὰρ ἑνο-

ειδέστερα τῶν εἰδῶν ἐστι, τὰ δὲ συνθετώτερα, καὶ τὰ μὲν

πέρατι σύστοιχα, τὰ δὲ ἀπειρίᾳ. καὶ τὸ σημεῖον ἀμερὲς ὃν

ἐκεῖ πάντη κατὰ τὸ πέρας ὑφέστηκεν, ἔχει δὲ τὴν ἄπειρον

δύναμιν κρυφίως, καθ' ἣν ἀπογεννᾷ πάντα. ὁ δὲ τοῦ σώμα-

τος λόγος τῆς τοῦ ἀπείρου μετέχει μᾶλλον δυνάμεως· διὸ

καὶ ἐπ' ἄπειρον τέμνεται. τὰ δὲ μεταξὺ τούτων τὰ μὲν πρὸς

τῷ πέρατι, τὰ δὲ πρὸς τῷ ἀπείρῳ ἐστί. πέρας οὖν καὶ τὸ

σημεῖον ὑπάρχον ἐν τῇ μεθέξει τὴν οἰκείαν φυλάττει δύνα-

μιν, ἔχον δὲ τὴν ἀπειρίαν κρυφίως ἀπειραχῶς ἐμφαίνεται

ἐν τοῖς ὑπ' αὐτοῦ περατουμένοις. καὶ ἐπεὶ δύναμις ἦν ἐκεῖ

πάντα τίκτουσα, δυνάμει καὶ τοῦτο προῆλθεν φυλάττον

μὲν τὴν ἀμερίαν, δεύτερον δὲ κατ' οὐσίαν ὑπάρχον τῶν

συνθέτων· μᾶλλον γὰρ ἡ ὕλη μετέσχεν τῶν σωμάτων ἢ τῆς

ἐπιφανείας καὶ ταύτης μᾶλλον ἢ τῆς γραμμῆς καὶ ταύτης

ἢ τοῦ σημείου· ὁ γὰρ τοῦ σημείου λόγος πάσης ἐξηγεῖται

τῆς σειρᾶς. διὸ καὶ ἄλλα μὲν ἄλλων πέρατα, τὸ δὲ σημεῖον

πάντων. ὅτι δὲ οὐ κατ' ἐπίνοιάν ἐστι μόνον, ὡς οἱ ἀπὸ τῆς

στοᾶς φασιν, ἀποβλέψασιν εἰς τὰς περιφορὰς καὶ τὰ κέντρα

τούτων καὶ τοὺς πόλους γίνεται δῆλον· τά τε γὰρ κέντρα

κατ' οὐσίαν ὑφέστηκεν συνεκτικὰ τῶν σφαιρῶν ὄντα καὶ

οἱ ἄξονες καὶ οἱ πόλοι. οὕτως καὶ ἐπὶ τοῖς κέντροις καὶ

τοῖς πόλοις οἱ Πυθαγόρειοι τάττουσιν δύναμιν, Ῥέας μὲν

σφραγίδα τοὺς πόλους ὀνομάζοντες, Ζανὸς δὲ πύργον τὸ

τοῦ παντὸς κέντρον, ἰυγγικὰς δὲ καὶ φρουρητικὰς αὐτοῖς

δυνάμεις ἀποδιδόασιν οἱ βάρβαροι. ἆρ' οὖν τὸ σημεῖον μό-

νον ἀμερὲς ἢ καὶ τὸ νῦν ἐν χρόνῳ καὶ ἡ μονὰς ἐν ἀριθμῷ

καὶ τὸ κίνημα ἐν κινήσει; περὶ πάντων μὲν οὖν ὁ πρῶτος

διαλέξεται φιλόσοφος, περὶ δὲ τῶν καθ' ἕκαστα ὁ κατὰ

τὴν οἰκείαν ἐπιστήμην· μόνον γὰρ οὐχὶ λέγει σαφῶς ὁ γεω-

μέτρης, ὅτι τὸ κατ' ἐμὲ ἀμερὲς σημεῖόν ἐστιν. ἐπειδὴ δὲ οἱ

ἀποφατικοὶ λόγοι, ὥς φησιν ὁ Παρμενίδης, προσήκουσιν

ταῖς ἀρχαῖς καὶ τοῖς πέρασι (πᾶσα γὰρ ἀρχὴ τῶν ἀπ'

αὐτῆς προϊόντων καθ' ἑτέραν οὐσίαν ὑφέστηκεν, καὶ αἱ τού-

των ἀποφάσεις τὴν ἐκείνων δηλοῦσιν ἡμῖν ὑπόστασιν), διὰ

τοῦτο καὶ Εὐκλείδης τοῖς ἀποφατικοῖς ἐχρήσατο λόγοις

ἐπὶ τῆς κατ' αὐτὸν ἀρχῆς. οἱ δὲ Πυθαγόρειοι τὸ σημεῖον

ὁρίζονται μονάδα θέσιν ἔχουσαν· οἱ γὰρ ἀριθμοὶ καὶ σχη-

μάτων καὶ φαντασίας καθαρεύουσιν. τὸ δὲ σημεῖον ἐν φαν-

τασίᾳ προτείνεται. πῶς οὖν οὐ μορφωτικῶς ὁρᾶται; ὅτι

τῆς φανταστικῆς κινήσεως τὸ εἶδος οὔτε μεριστόν ἐστιν

μόνως οὔτε ἀμερές· οὔτε γὰρ ἂν τοὺς πολλοὺς τύπους

ὑπεδέχετο τοὺς δευτέρους τῶν πρώτων ἀμυδρῶν ὄντων.

διττὴν οὖν ἔχουσα δύναμιν τὸ σημεῖον ἐν τῷ ἀμερεῖ αὐτῆς

ὑποδέχεται.

Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.

Δευτέραν ἔχει τάξιν ἡ γραμμή, καθ' ὅσον τὸ πρῶτον

ἔχει διάστημα καὶ ἁπλούστατον, ὅπερ ὁ γεωμέτρης μῆκος

ἐκάλεσεν προσθεὶς τὸ ἀπλατές, ἐπειδὴ καὶ γραμμὴ πρὸς

τὴν ἐπιφάνειαν ἀρχῆς ἐπέχει λόγον· διὸ τὸ μὲν σημεῖον

ἀποφατικῶς μόνως ἐδίδαξεν, τὴν δὲ γραμμὴν καὶ ἀποφα-

τικῶς καὶ καταφατικῶς. ἀπλατὴς δὲ ὡς τῶν ἄλλων καθα-

ρεύουσα διαστημάτων· πᾶν γὰρ τὸ ἀπλατὲς καὶ ἀβαθές

ἐστιν· διόπερ οὐ προσέθηκεν, ὅτι καὶ ἀβαθές. ἀλλ' οὗτος

μὲν ὁ ὅρος τέλειος, ὁ δὲ ῥύσιν εἰπὼν σημείου τὴν γραμμὴν

ἔοικεν ἀπὸ τῆς γενικῆς αἰτίας αὐτὴν παράγειν καὶ οὐ πᾶ-

σαν γραμμήν, ἀλλὰ τὴν ἄυλον· ταύτην γὰρ ὑφίστησι τὸ

σημεῖον ἀμερὲς ὄν. ἀλλὰ ταῦτα μὲν οὕτως, οἱ δὲ Πυθαγό-

ρειοι τὸ μὲν σημεῖον ἀνάλογον ἐλάμβανον μονάδι, δυάδι δὲ

τὴν γραμμὴν καὶ τριάδι τὸ ἐπίπεδον, τετράδι δὲ τὸ σῶμα.

καίτοι Ἀριστοτέλης τριαδικῶς προσεληλυθέναι φησὶ τὸ

σῶμα ὡς διάστημα πρῶτον λαμβάνων τὴν γραμμήν.

Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.

Πᾶν τὸ σύνθετον ἀπὸ τοῦ ἁπλοῦ, καὶ πᾶν τὸ μεριστὸν

ἀπὸ τοῦ ἀμερίστου καταδέχεται τὸν ὅρον, καὶ τούτων

εἰκόνες ταῖς ἀρχαῖς προτείνονται τῶν μαθημάτων. ὅταν

γὰρ τὴν γραμμὴν ὑπὸ τῶν σημείων περατοῦσθαι λέγει,

δῆλός ἐστιν αὐτὴν καθ' αὑτὴν ἄπειρον ποιῶν. ὥσπερ οὖν

ἡ δυὰς ὑπὸ τῆς μονάδος ὁρίζεται, οὕτως καὶ ἡ γραμμὴ ὑπὸ

σημείου. ἀλλ' ἐν μὲν φαντασίᾳ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς αὐτὰ τὰ

σημεῖα περατοῖ, ἐν δὲ τοῖς ἄλλοις εἴδεσι προϋφέστηκεν ὁ

ἀμέριστος τοῦ σημείου λόγος, προιὼν δ' ἐκεῖθεν οὗτος ὁ

πρῶτος ἐπ' ἄπειρον ἑαυτὸν διαστήσας καὶ κινούμενος ἐπ'

ἄπειρον καὶ ῥέων κρατεῖται μὲν ὑπὸ τῆς οἰκείας ἀρχῆς,

ἑνίζεται δὲ ὑπ' αὐτῆς καὶ περιλαμβάνεται. ἐκεῖ μὲν οὖν,

ὅπερ ἔφην, τὸ πέρας ἐξῄρηται, ἐνταῦθα δὲ τὸ ἐν αὐτῷ

ὑφεστός, καὶ τοῦτο φέροι ἂν ἔνδειξιν θαυμαστὴν τοῦ τὰ

εἴδη μένοντα μὲν ἐφ' ἑαυτῶν κατ' αἰτίαν προηγεῖσθαι τῶν

μετεχόντων, ἐπιδόντα δὲ ἐκείνοις ἑαυτὰ κατὰ τὴν ἐκείνων

ἰδιότητα τὴν ὑπόστασιν λαμβάνειν συμπληθυνόμενα τοῖς

ὑποκειμένοις καὶ ἀποπίπτοντα τῆς οἰκείας φύσεως. καὶ

μὴν καὶ τοῦτο χρὴ εἰδέναι, ὅτι τριχῶς τῇ γραμμῇ κέχρηται

ὁ γεωμέτρης· καὶ γὰρ ὡς ἐφ' ἑκάτερα πεπερασμένῃ, ὡς

ἐπὶ τοῦ πρώτου θεωρήματος, καὶ ἐφ' ἑκάτερα ἀπείρᾳ, ὡς

ὅταν λέγῃ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον, καὶ ὡς πε-

περασμένῃ μὲν κατὰ τὸ ἕτερον, ἀπείρῳ δὲ κατὰ τὸ ἕτερον,

ὡς ἐπ' ἐκείνου τοῦ προβλήματος· ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ

εἰσιν ἴσαι ταῖς δοθείσαις εὐθείαις, τρίγωνον συστήσασθαι.

πρὸς δὲ τούτοις κἀκείνῳ ἐπιστήσωμεν, ὅτι γραμμῆς πέ-

ρατά φησι σημεῖα οὔτε τῆς ἀπείρου οὔτε πάσης τῆς πεπε-

ρασμένης· ἔστι γάρ τις γραμμὴ καὶ πεπερασμένη καὶ οὐκ

ἔχουσα πέρατα σημεῖα, οἵα ἡ κυκλικὴ καὶ εἴ τις τοιαύτη.

μήποτε οὖν γραμμὴν ὁρᾶν δεῖ, καθ' ὅσον ἐστὶ γραμμή.

Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς ση-

μείοις κεῖται.

Πλάτων μὲν δύο τὰ ἁπλούστατα γραμμῆς εἴδη θέμενος

εὐθεῖαν καὶ περιφερῆ τἄλλα πάντα ἐκ τούτων ὑφίστησι

κατὰ μίξιν, ὅσα τε ἑλικοειδῆ καὶ ὅσα κατὰ τὰς τομὰς

ὑφίσταται εἴδη καμπύλων γραμμῶν. καὶ ἔοικεν τὸ μὲν ση-

μεῖον εἰκόνα φέρειν τοῦ ἑνός· ἀμερὲς γὰρ καὶ τοῦτο. καὶ

ἐπειδὴ μετὰ τὸ ἓν ὑπέστη τὸ πέρας, τὸ ἄπειρον, τὸ μικτόν,

καὶ αἱ τῶν γραμμῶν ἰδιότητες ἀπεικονίζονται τὰ τρία

ἐκεῖνα, καὶ τῷ μὲν πέρατι ἀνάλογον ἡ περιφέρεια, τῷ δ'

ἀπείρῳ τὸ εὐθύ· ἐπ' ἄπειρον γὰρ ἐκβαλλόμενον οὐ παύεται·

τῷ δὲ μικτῷ τὸ ἐκ τούτων μικτόν. καὶ μέντοι καὶ Ἀριστο-

τέλης περὶ τῶν γραμμῶν τὴν αὐτὴν ἔχει τῷ Πλάτωνι

διάνοιαν. ἀμφισβητοῦσι δέ τινες πρὸς τὴν διαίρεσιν ταύτην

καί φασιν μὴ δύο μόνας εἶναι τὰς ἁπλᾶς, ἀλλὰ καὶ τρίτην

ἄλλην τὴν περὶ κύλινδρον ἕλικα γραφομένην· καὶ αὕτη

γάρ, φασίν, ὁμοιομερὴς ὥσπερ αἱ ἄλλαι αἱ ἁπλαῖ ἥ τε περι-

φερής· ἐφαρμόζει γὰρ καὶ ταύτης τὰ μόρια ἑαυτοῖς, τῶν

ἄλλων μικτῶν οὐκ ἐχουσῶν τοῦτο τὸ ἰδίωμα. οὔτε γὰρ ἡ

περὶ κῶνον οὔτ' ἡ περὶ σφαῖραν οὔτ' ἡ περὶ ἄλλο σχῆμα

ὁμοιομερής. μήποτε οὖν, φασί, τρεῖς αἱ ἁπλούσταται γραμ-

μαί; λέξομεν δὴ πρὸς αὐτούς, ὅτι ὁμοιομερὴς μὲν ἡ τοιαύτη

γραμμή, καὶ δέδειχεν Ἀπολλώνιος τοῦτο ἐν τῷ περὶ ἑλίκων,

ἁπλῆ δὲ οὐδαμῶς ἐστιν· οὐ γὰρ ταὐτὸν ὁμοιομερὲς καὶ

ἁπλοῦν· ὁμοιομερὴς μὲν γὰρ καὶ χρυσὸς καὶ ἄργυρος, ἀλλ'

οὐχ ἁπλοῦν. οὐδὲ ἡ τῆς κυλινδρικῆς ἕλικος γένεσις ἁπλῆ·

γεννᾶται γὰρ τῆς μὲν εὐθείας κύκλῳ κινουμένης περὶ τὸν

ἄξονα, τοῦ δὲ σημείου ἐπὶ τῆς εὐθείας. δύο τοίνυν αἱ κινή-

σεις αἱ ἀπογεννῶσαι καὶ τὴν τοιαύτην ἕλικα· οὐκ ἄρα τὸ

ἁπλοῦν ἀποδώσομεν αὐτῇ, καὶ ὀρθῶς ὁ Γεμῖνος ἐκ πλειόνων

μὲν κινήσεων ὑφίστασθαι καί τινα τῶν ἁπλῶν γραμμῶν· οὐ

μέντοι πᾶσαν εἶναι τὴν τοιαύτην μικτήν, ἀλλὰ τὴν ἐξ ἀν-

ομοίων. καὶ γὰρ εἰ τετράγωνον νοήσειας καὶ δύο κινήσεις

ἰσοταχεῖς τὴν μὲν κατὰ τὸ μῆκος, τὴν δὲ κατὰ τὸ πλάτος,

ὑποστήσεται ἡ διαγώνιος εὐθεῖα οὖσα καὶ οὐ διὰ τοῦτο

μικτή. δόξειε δ' ἂν ἀμφοτέρων οὐσῶν ἁπλῶν προηγεῖσθαι

τῆς περιφεροῦς γραμμῆς ἡ εὐθεῖα· ἐπὶ ταύτης μὲν γὰρ

οὐδὲ κατ' ἐπίνοιάν ἐστιν ἀνομοιότης, ἐπὶ δὲ τοῦ περιφε-

ροῦς τὸ κοῖλον ὁρᾶται καὶ κυρτὸν διαφέροντα, καὶ ἡ εὐθεῖα

οὐ συνεισάγει τὴν περιφέρειαν, συνεισάγεται δέ· καὶ γὰρ

εἰ μὴ κατὰ γένεσιν, κατά γε τὴν πρὸς τὸ κέντρον σχέσιν.

τί οὖν, εἰ λέγοι τις καὶ τὴν περιφέρειαν δεῖσθαι τῆς εὐθείας

κατὰ τὴν γένεσιν; ὁ γὰρ κύκλος μενούσης τῆς εὐθείας κατὰ

τὸ ἓν πέρας, κατὰ δὲ τὸ ἕτερον κινουμένης γίνεται. ἢ τὸ

γράφον τὸν κύκλον τὸ σημεῖόν ἐστιν περὶ τὸν κύκλον

φερόμενον; τὴν γὰρ ἀπόστασιν μόνον αὕτη ἀφορίζει. ἀλλὰ

ταῦτα μὲν οὕτως, καὶ ἁπλαῖ μόνον αἱ δύο, καὶ διὰ ταύτην

τὴν αἰτίαν καὶ ἡ ψυχὴ ἐκ τῶν δύο, περιφεροῦς καὶ εὐθείας,

ὑπέστη ἐκ πέρατος καὶ ἀπείρου, ἵνα τὰ ἄλλα πάντα κατευ-

θύνῃ, διὰ μὲν τοῦ πέρατος τὴν τοῦ πέρατος συστοιχίαν, διὰ

δὲ τοῦ ἀπείρου τὴν ἑτέραν· τῷ μὲν εὐθεῖ τὴν πρόοδον

ὑφίσταται, τῷ δὲ περιφερεῖ τὴν ἐπιστροφήν. καὶ μὴν καὶ ὁ τῇ

ψυχῇ ταύτας τὰς δυνάμεις παραδοὺς ἀμφοτέρων ἔχει τὰς

πρωτουργοὺς αἰτίας· καὶ γὰρ πρὸς ἑαυτὸν ἐπέστραπται

μένων, ὥς φησιν Πλάτων, ἐν τῷ ἑαυτοῦ κατὰ τρόπον ἤθει,

καὶ ἐπὶ πάντα πρόεισιν ταῖς δημιουργικαῖς προνοίαις.

Καὶ τοσαῦτα μὲν ἄν τις λέγοι καὶ περὶ τῆς πρὸς τὰ ὄντα

τῶν εἰδῶν ὁμοιότητος· τὸν δὲ ὅρον τῆς εὐθείας τοῦτον

ἀποδέδωκεν τὸν τρόπον καὶ δηλοῖ διὰ τούτων τὸ μόνην

τὴν εὐθεῖαν ἴσον κατέχειν διάστημα τῷ μεταξὺ τῶν ἐπ'

αὐτῆς σημείων· ὅσον γὰρ ἀπέχει θάτερον ἀπὸ θατέρου

σημεῖον, τοσοῦτον ἔχει καὶ ἡ μεταξὺ τούτων εὐθεῖα τὸ

διάστημα, ὅπερ οὔτ' ἐπὶ τῆς περιφεροῦς οὔτ' ἐπὶ ἄλλης

γραμμῆς σημαίνει. διὸ καὶ κατὰ κοινὴν ἔννοιαν τοὺς μὲν

ἐπ' εὐθείας βαδίζοντας τὴν ἀναγκαίαν μόνην ποιεῖσθαι

πορείαν φασίν, τοὺς δὲ μὴ ἐπ' εὐθείας οὐκέτι. ὁ δέ γε Πλά-

των ἀφορίζεται τὴν εὐθεῖαν γραμμήν, ἧς τὰ μέσα τοῖς

ἄκροις ἐπιπροσθεῖ. καὶ γὰρ τοῦτο τὰ μὲν ἐπ' εὐθείας κεί-

μενα πάσχειν ἀναγκαῖον, τὰ δ' ἐπὶ ἑτέρας οἱασοῦν γραμμῆς

οὐκέτι ἀναγκαῖον, ὅθεν καὶ τὸν ἥλιον ἐκλείπειν τότε φασίν,

ὅτε ἐπὶ μιᾶς εὐθείας γένηται αὐτός τε καὶ ἡ σελήνη καὶ

τὸ ἡμέτερον ὄμμα. ἴσως δ' ἂν ἔνδειξιν φέροι τὸ πάθος τοῦτο

τῆς εὐθείας τοῦ καὶ ἐν τοῖς οὖσι κατὰ τὰς προόδους τὰς ἀπὸ

τῶν αἰτιῶν τὰ μέσα διαιρετικὰ γίνεσθαι τῆς τῶν ἄκρων

ὑποστάσεως. ὁ δ' αὖ Ἀρχιμήδης τὴν εὐθεῖαν γραμμὴν

ἐλαχίστην τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν· καὶ μὴν καὶ οἱ

ἄλλοι πάντες ὁρισμοὶ εἰς τὰς αὐτὰς ἐννοίας ἐμπίπτουσιν.

διαιρεῖται δὲ ἡ γραμμὴ διαφόρως μὲν κατὰ Γεμῖνον καὶ

ἄλλους τινὰς τῶν καὶ τὰς μικτὰς λαμβανόντων γραμμὰς

εἰς τὴν διαίρεσιν. ὁ δὲ γεωμέτρης τὰς ἀρχοειδεστάτας

παραδιδοὺς ἐνταῦθα μὲν τὸν τῆς εὐθείας ἀποδέδωκεν λό-

γον, ἐν δὲ τῷ περὶ τοῦ κύκλου τῆς περιφεροῦς, μικτῆς δὲ

οὐδαμοῦ μέμνηται· καίτοι γωνίας οἶδεν μικτὰς τὴν τῶν

ἡμικυκλίων, τὴν κερατοειδῆ, καὶ σχήματα ἐπίπεδα μικτὰ

τοὺς τομέας καὶ στερεὰ τοὺς κώνους καὶ κυλίνδρους, τῶν δὲ

γραμμῶν διαλεγόμενος τούτων μόνον ἐμνημόνευσεν ἡγού-

μενος δεῖν τοῖς περὶ τῶν ἁπλῶν τὰ ἁπλᾶ παραλαμβάνειν.

Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.

Ἡ ἐπιφάνεια διχῆ διαστᾶσα καὶ ταύτῃ ὑποβᾶσα τήν τε

γραμμὴν καὶ τὸ σημεῖον ἀβαθὴς μείνασα τοῦ τριχῆ δια-

στάντος ἁπλουστέραν ἔλαχεν φύσιν· διὸ καὶ ὁ γεωμέτρης

τὸ μόνον προσέθηκεν ἐπὶ τοῖς δύο διαστήμασιν, ἵνα κἀν-

ταῦθα τὴν μὲν ὑπεροχὴν τῆς ἐπιφανείας τὴν κατὰ τὴν

ἁπλότητα τὴν πρὸς τὸ στερεὸν σημαίνῃ διὰ τῆς ἀποφάσεως

ἢ τῆς ἰσοδυναμούσης τῇ ἀποφάσει προσθήκης, τὴν δὲ ὕφ-

εσιν τὴν πρὸς τὰ πρὸ αὐτῆς διὰ τῶν καταφάσεων. ἄλλοι δὲ

πέρας αὐτὴν ὡρίσαντο σώματος· τὸ γὰρ περατοῦν τοῦ

περατουμένου μιᾷ λείπεται διαστάσει, ὡς ἐπιφάνεια σώμα-

τος, ἐπιφανείας δὲ γραμμή, γραμμῆς δὲ σημεῖον.

Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.

Καὶ ἀπὸ τούτων ὡς εἰκόνων ληπτέον, ὅτι πᾶν τὸ προσ-

εχῶς ἑκάστου τῶν ὄντων ἁπλούστερον τὸν ὅρον ἐπάγει καὶ

τὸ πέρας. καὶ γὰρ ἡ ψυχῆς τὴν φύσιν μετρεῖ καὶ τὰς ἐνερ-

γείας αὐτῆς καὶ νοῦς τὰς ψυχῆς περιόδους καὶ αὐτοῦ τοῦ

νοῦ τὴν ζωὴν τὸ ἕν· πάντων γὰρ ἐκεῖνο μέτρον, ὥσπερ καὶ

σημεῖον γραμμῆς καὶ ἐπιφανείας καὶ σώματος. εἰ δέ τις

ἐπιζητοίη, πῶς πάσης ἐπιφανείας πέρατα γραμμαί (μὴ

γὰρ τῆς πεπερασμένης πάσης· οὐδὲ γὰρ τῆς σφαίρας ἐπι-

φάνεια ὑπὸ τῶν γραμμῶν περιέχεται), ἐροῦμεν, ὅτι τὴν

ἐπιφάνειαν, καθ' ὅσον ἐστὶ διχῆ διαστατή, λαμβάνομεν

κατά τε μῆκος καὶ πλάτος. εἰ δὲ τὴν σφαιρικὴν θεωροῖμεν,

ἐσχηματισμένην αὐτὴν καὶ προσλαβοῦσαν ἄλλην ποιότητα

λαμβάνομεν καὶ πέρας ἀρχῇ συνάψασαν καὶ ἐκ τῶν δύο

περάτων ἓν ποιήσασαν, καὶ τοῦτο δυνάμει μόνον καὶ οὐ

κατ' ἐνέργειαν.

Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ' ἑαυτῆς

εὐθείαις κεῖται.

Τοῖς μὲν παλαιοτέροις τῶν φιλοσόφων οὐκ ἐδόκει τῆς

ἐπιφανείας εἶδος τίθεσθαι τὸ ἐπίπεδον, ἀλλ' ὡς ταὐτὸν

ἑκάτερον παραλαμβάνειν εἰς παράστασιν τοῦ διχῆ διαστάν-

τος· οὕτω γὰρ καὶ ὁ θεῖος Πλάτων τὴν γεωμετρίαν τῶν

ἐπιπέδων ἔφατο θεωρητικήν, πρὸς τὴν στερεομετρίαν ταύ-

την ἀντιδιαιρῶν ὡς ἂν τῆς αὐτῆς οὔσης τῷ ἐπιπέδῳ τῆς

ἐπιφανείας. ὁ δ' Εὐκλείδης γένος μὲν ποιεῖ τὴν ἐπιφάνειαν,

εἶδος δὲ τὸ ἐπίπεδον, ὡς τῆς γραμμῆς τὴν εὐθεῖαν. διὸ καὶ

τὸ ἐπίπεδον χωρὶς ἀφορίζεται τῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ ἀνά-

λογον τῇ εὐθείᾳ· πάντας γὰρ τοὺς τῆς εὐθείας ὅρους εἰς

τὸ ἐπίπεδον μετάγουσι τὸ γένος μόνον μεταλλάττοντες,

καὶ ὁ γεωμέτρης ταύτην ὡρίσατο καὶ ἐπὶ ταύτης ὑπο-

κειμένης θεωρεῖ τά τε σχήματα καὶ πάθη. εὐπορώτερος

γὰρ ὁ λόγος ἐπὶ ταύτης ἢ ἐπ' ἄλλης ἐπιφανείας. καὶ γὰρ

εὐθεῖαν καὶ κύκλον καὶ πάντα σχήματα καὶ τὰ τούτων

πάθη δυνατὸν θεωρῆσαι· ἐπὶ γὰρ τῶν ἄλλων, οἷον σφαιρι-

κῆς, πῶς ἂν εὐθεῖαν λάβοις;

Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν

ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ' εὐθείας κειμένων ἡ πρὸς

ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.

Τὴν γωνίαν οἱ μὲν τῶν παλαιῶν ἐν τῇ τοῦ πρός τι τάτ-

τουσι κατηγορίᾳ καὶ λέγουσιν κλίσιν αὐτὴν εἶναι γραμμῶν ἢ

ἐπιπέδων πρὸς ἄλληλα κεκλιμένων· οἱ δέ τινες ποιότητά

φασιν, ὡς τὸ εὐθὺ καὶ καμπύλον πάθος τοιόνδε λέγουσιν

ἐπιφανείας ἢ στερεοῦ· οἱ δὲ εἰς ποσότητα ἀναφέροντες

ἐπιφάνειαν ἢ στερεὸν αὐτὴν εἶναι συγχωροῦσι· διαιρεῖται

γάρ, φασίν, ἡ μὲν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις ὑπὸ γραμμῆς, ἡ δ'

ἐν τοῖς στερεοῖς ὑπὸ ἐπιπέδου, τὰ δὲ ὑπὸ τούτων διαιρού-

μενα οὐκ ἄλλο τί ἐστιν ἢ μέγεθος, καὶ τοῦτο οὐ γραμμή·

αὕτη γὰρ ὑπὸ σημείου διαιρεῖται· λείπεται οὖν αὐτὴν ἐπι-

φάνειαν ἢ στερεὸν εἶναι. καὶ οὕτως ἕκαστος, εἰς ὃ βούλεται,

τὴν γωνίαν ἕλκων ἄγει ὑπὸ κατηγορίαν οἱ μὲν ὑπὸ τὸ πρός

τι, οἱ δὲ ὑπὸ ποιότητα, οἱ δὲ ὑπὸ ποσότητα. καὶ ἀντιπί-

πτουσι πρῶτον μὲν πρὸς τοὺς μέγεθος λέγοντας τὴν γωνίαν

λόγοι τοιοῦτοι· εἰ μέγεθος ἡ γωνία, τὰ δὲ ὁμογενῆ μεγέθη

πεπερασμένα ὄντα λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα, καὶ αἱ γωνίαι

αἱ ὁμογενεῖς, οἷον αἱ ἐν ἐπιφανείᾳ, λόγον ἕξουσι πρὸς ἄλλη-

λα· ὥστε καὶ ἡ κερατοειδὴς πρὸς τὴν εὐθύγραμμον λόγον

ἕξει. τὰ δὲ λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα δύναται πολλαπλα-

σιαζόμενα ὑπερέχειν ἀλλήλων· καὶ κερατοειδὴς ἄρα πολλα-

πλασιαζομένη ὑπερέξει ποτὲ τῆς εὐθυγράμμου ἡ πάσης

ὀξείας εὐθυγράμμου ἐλάττων δειχθεῖσα. οὐκ ἄρα μέγεθος

ἡ γωνία. καὶ μὴν καὶ εἰ ποιότης μόνον ἐστίν, ὡς ἡ θερμό-

της καὶ ψυχρότης, πῶς εἰς ἴσα διαιρετή ἐστιν; τῆς γὰρ

ποιότητος τὸ ἴσον καὶ ἄνισον οὐκ ἔστιν, ἀλλὰ τὸ μᾶλλον

καὶ ἧττον, ὥσπερ τῆς ποσότητος τὸ ἴσον καὶ ἄνισον. οὐ

λεκτέον τοίνυν ἴσον καὶ ἄνισον, ἀλλὰ μᾶλλον γωνίαν καὶ

ἧττον γωνίαν· καίτοι γωνίας γωνία οὐ διαφέρει· τὸν γὰρ

αὐτὸν ἐπιδέχεται πᾶσα γωνία λόγον. τὸ δὴ τρίτον, εἰ κλίσις

ἐστὶν ἡ γωνία καὶ ὅλως τῶν πρός τι, συμβήσεται μιᾶς

οὔσης κλίσεως μίαν εἶναι καὶ γωνίαν, ἀλλ' οὐ πλείους· εἰ

γὰρ μηδέν ἐστιν ἄλλο παρὰ τὴν σχέσιν γωνία, τίς μηχανὴ

μίαν μὲν εἶναι σχέσιν, πλείους δὲ τὰς γωνίας; εἰ τοίνυν

νοήσειας κῶνον τῷ διὰ τῆς κορυφῆς ἄχρι τῆς βάσεως τεμ-

νόμενον τριγώνῳ, μίαν μὲν θεωρήσεις κλίσιν τῶν γραμ-

μῶν τῶν πλευρῶν τοῦ τριγώνου, δύο δὲ γωνίας, τήν τε τοῦ

τριγώνου τὴν περιεχομένην ὑπὸ τῶν πλευρῶν, ἑτέραν δὲ

τὴν ἐπὶ τῆς μικτῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου, περιεχομένην

δ' ἑκατέραν ὑπὸ τῶν δυεῖν γραμμῶν. οὐκ ἄρα ἡ τούτων

σχέσις ἐποίει τὴν γωνίαν. ἀλλὰ μὴν ἀναγκαῖον ποιότητα

λέγειν αὐτὴν ἢ ποσὸν ἢ πρός τι· πάντα γὰρ τὰ τῆς γεωμετρίας

ὑποκείμενα ὑπὸ μίαν τούτων ἀνάγεται· τὰ μὲν γὰρ μεγέθη

ποσότητός ἐστι, τὰ δὲ σχήματα ποιότητος, οἱ δὲ λόγοι πρὸς

ἄλληλα τούτων τῶν πρός τι. ὥστε καὶ τὴν γωνίαν ὑφ' ἓν

τούτων ἀνάξομεν. τοιούτων δὲ τῶν ἀπόρων ὄντων τὴν γω-

νίαν αὐτὴν μὲν καθ' ἑαυτὴν μηδὲν εἶναι τῶν εἰρημένων, διὰ

δὲ τῆς πάντων τούτων συνδρομῆς ἔχειν τὴν ὑπόστασιν. ἔστι

δὲ οὐχ ἡ γωνία μόνον τοιοῦτον, ἀλλὰ καὶ τὸ τρίγωνον, καὶ

ἴσον λέγεται τρίγωνον καὶ ἄνισον, ὡς ποσόν, ἀλλὰ μὴν

ἔχει καὶ τὴν κατὰ τὸ σχῆμα ποιότητα, ἔχει δὲ καὶ τὴν τῶν

γραμμῶν πρὸς ἄλληλα κλίσιν. καὶ ἡ γωνία τοίνυν δεῖται

καὶ ποιότητος, καθ' ἣν οἷον μορφὴν οἰκείαν ἔχει καὶ χαρακ-

τῆρα τῆς ὑπάρξεως· δεῖται καὶ τῆς σχέσεως τῶν ἀφορι-

ζουσῶν αὐτὴν γραμμῶν, καὶ διαιρετὴ μέντοι ἐστὶν καὶ

ἰσότητος καὶ ἀνισότητος δεκτική, οὐκ ἀναγκάζεται δὲ τὸν

λόγον ἐπιδέχεσθαι τῶν ὁμογενῶν μεγεθῶν διὰ τὸ καὶ ποι-

ότητα ἰδιάζουσαν ἔχειν, καθ' ἣν ἀσύμβλητοί εἰσιν πολλάκις

γωνίαι ἄλλαι ἄλλαις. εἰ δὴ πρὸς τούτους ἀποβλέποιμεν

τοὺς προσδιορισμούς, καὶ τὰ ἄπορα διαλύσομεν καὶ τὴν

ἰδιότητα τῆς γωνίας εὑρήσομεν. ἀλλὰ ταῦτα μὲν οὕτως·

τῶν δὲ γωνιῶν τὰς μὲν ἐν ἐπιφανείᾳ συνίστασθαι λεκτέον,

τὰς δ' ἐν στερεοῖς, καὶ τῶν ἐν ἐπιφανείαις τὰς μὲν ἐν

ἁπλαῖς, τὰς δ' ἐν μικταῖς· καὶ γὰρ ἐν τῇ κυλινδρικῇ ἐπι-

φανείᾳ γένοιτ' ἂν καὶ ἐν τῇ κωνικῇ· τῶν δ' ἐν ταῖς ἁπλαῖς

αἱ μὲν ἐν ταῖς σφαίραις, αἱ δὲ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἔχουσι τὴν

σύστασιν. τῶν δ' ἐν τοῖς ἐπιπέδοις αἱ μὲν ὑπὸ ἁπλῶν περι-

έχονται γραμμῶν, αἱ δὲ ὑπὸ μικτῶν, αἱ δὲ ὑπ' ἀμφοτέρων·

ἐν γὰρ τῷ θυρεῷ περιέχεται γωνία τις ὑπὸ τοῦ ἄξονος καὶ

τῆς τοῦ θυρεοῦ γραμμῆς, καὶ τούτων ἡ μέν ἐστιν ἁπλῆ, ἡ

δὲ μικτή, καὶ ὅλως πολλαὶ τοιαῦται διαφοραὶ τοῖς φιλο-

μαθοῦσιν ὀφθήσονται. ταύτας τοίνυν ἁπάσας τὰς ἐν ἐπι-

πέδοις συνισταμένας ὁ γεωμέτρης ἐν τούτοις ἀφορίζεται,

κοινὸν ὄνομα θέμενος αὐταῖς τὸ τῆς ἐπιπέδου γωνίας, τὸ

μὲν γένος αὐτῶν κλίσιν εἰπών, τὸν δὲ τόπον ἐπίπεδον. καὶ

γὰρ δύο περιφέρειαι ἐφαπτόμεναι ἢ τέμνουσαι ἀλλήλας ποι-

οῦσι γωνίας, καὶ αὖ τρεῖς· ἢ γὰρ ἀμφικύρτους, ὅταν ἐκτὸς

ᾖ τὰ κυρτά, ἢ ἀμφικοίλους, ὅταν ἀμφότερα τὰ κοῖλα ἐκτὸς

ὑπάρχῃ, ἃς καλοῦσι ξυστροειδεῖς, ἢ μικτὰς ἀπὸ κυρτῆς

καὶ κοίλης, ὡς τὰς τῶν μηνίσκων, ἢ ἐξ εὐθείας καὶ περι-

φερείας, ὡς τὰς τῶν ἡμικυκλίων καὶ τὰς κερατοειδεῖς·

πᾶσαι γὰρ αἱ τοιαῦται ὑπὸ τοῦτον ἐνεχθήσονται τὸν ὅρον.

ἀλλὰ τὸ μὲν γένος αὐτῶν οὕτως ἀφωρίσατο, τὴν δὲ γένε-

σιν, ὅτι δύο εἶναι χρὴ γραμμὰς καὶ οὐ τρεῖς τοὐλάχιστον,

ὥσπερ ἐπὶ τῆς στερεᾶς γωνίας, καὶ ταύτας ὁμιλεῖν ἀλλή-

λαις καὶ ὁμιλούσας μὴ κεῖσθαι ἐπ' εὐθείας· ἔκτασις γὰρ

οὕτως, ἀλλ' οὐ κλάσις καὶ περιοχὴ γίνεται τῶν γραμμῶν,

ἀλλὰ μὴ ἔκτασις μόνον καθ' ἓν διάστημα. δοκεῖ δὲ ὁ λόγος

οὗτος πρῶτον μὲν ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς οὐ συγχωρεῖν ἀπο-

τελεῖσθαι γωνίαν· καίτοι γε ἡ κισσοειδὴς καὶ ἱπποπέδη

ποιεῖ μία οὖσα ἑκατέρα. ἔπειτα κλίσιν ἀφοριζόμενος τὴν

γωνίαν πλὴν τρίτον παρέλκει τὸ ἐπί τινων γωνιῶν τὸ καὶ

μὴ ἐπ' εὐθείας κεῖσθαι· ἐπὶ γὰρ τῶν περιφερογράμμων

καὶ ἄνευ τούτου τέλειος ὁ ὁρισμός· οὐδὲ γὰρ ἐπ' εὐθείας

κεῖσθαι τὰς περιφερείας δυνατόν. Ἀπολλώνιος δὲ καθ'

ὅλου γωνίαν ὁριζόμενός φησι συναγωγὴν ἐπιφανείας ἢ

στερεοῦ πρὸς ἑνὶ σημείῳ ὑπὸ κεκλασμένῃ γραμμῇ ἢ ἐπι-

φανείᾳ· περιλαμβάνει γὰρ οὗτος καὶ τὴν τοῦ κώνου. κυριώ-

τερον δ' ἂν ἀποδοίη τις συναγωγὴν μεγέθους ἢ μεγεθῶν

πρὸς ἑνὶ σημείῳ.

Ὅταν δὲ αἱ τὴν γωνίαν περιέχουσαι γραμμαὶ εὐθεῖαι

ὦσιν, εὐθύγραμμος ἡ γωνία καλεῖται.

Τὴν γωνίαν σύμβολον εἶναί φαμεν καὶ εἰκόνα τῆς συν-

οχῆς τῆς ἐν τοῖς θείοις γένεσιν καὶ τῆς συναγωγοῦ τάξεως

τῶν διῃρημένων εἰς ἕν· δεσμὸς γὰρ γίνεται καὶ αὕτη τῶν

πολλῶν γραμμῶν καὶ ἐπιπέδων καὶ συναγωγὸς τοῦ μεγέ-

θους εἰς τὸ ἀμερὲς σημεῖον. διὸ καὶ τὸ λόγιον συνοχηίδας

ἀποκαλεῖ τὰς γωνίας, ὡς εἰκόνα φερούσας τῶν συνοχικῶν

ἑνώσεων. αἱ μὲν οὖν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις γωνίαι τὰς ἀυλοτέ-

ρας καὶ ἁπλουστέρας καὶ τελειοτέρας ἀποτυποῦνται, αἱ δὲ

ἐν τοῖς στερεοῖς τὰς προϊούσας μέχρι τῶν ἐσχάτων καὶ

τοῖς πάντη μεριστοῖς ὁμοφυῆ σύνταξιν. τῶν δὲ ἐν ταῖς

ἐπιφανείαις αἱ μὲν τὰς πρώτας καὶ ἀμίκτους, αἱ δὲ τὰς τῆς

ἀπειρίας συνεκτικὰς τῶν ἐν αὐτοῖς προόδων ἀπεικονίζον-

ται· καὶ αἱ μὲν τὰς τῶν νοερῶν εἰδῶν ἑνοποιοῦσιν, αἱ δὲ

τὰς τῶν αἰσθητῶν λόγων, αἱ δὲ τὰς τῶν μεταξὺ τούτων.

αἱ μὲν οὖν περιφερόγραμμοι τὰς συνελισσούσας αἰτίας

ἀπομιμοῦνται, αἱ δὲ εὐθύγραμμοι τὰς τῶν αἰσθητῶν, αἱ

δὲ μικταὶ τὰς τὴν κοινωνίαν τῶν νοερῶν εἰδῶν καὶ αἰσθη-

τῶν κατὰ μίαν ἕνωσιν ἀσάλευτον φυλαττούσας.

Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας

ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι,

καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα γραμμὴ κάθετος καλεῖται, ἐφ' ἣν ἐφέστη-

κεν· ἀμβλεῖα δὲ ἡ μείζων ὀρθῆς, ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.

Δι' ἣν αἰτίαν τὸ τριπλοῦν τῶν γωνιῶν εἶδος ὑπέστη, γεω-

μέτραι μὲν οὐκ ἂν φαῖεν, οἱ δὲ Πυθαγόρειοι καὶ τούτων

ἐπὶ τὰς ἀρχὰς ἀναφέροντες τὰς αἰτίας οὐκ ἀποροῦσι περὶ

τῆς ὑποστάσεως αὐτῶν. ἐπειδὴ γὰρ τῶν ἀρχῶν ἡ μὲν κατὰ

τὸ πέρας ὑφέστηκεν, ἡ δὲ κατὰ τὸ ἄπειρον, καί ἐστιν ἡ μὲν

ὅρου καὶ ἰσότητος τοῖς ἀποτελέσμασιν αἰτία, ἡ δὲ προόδου

καὶ αὐξήσεως καὶ μειώσεως καὶ παντοίας ἑτερότητος, καὶ

τῶν εὐθυγράμμων γωνιῶν κατ' ἐκείνας ἱσταμένων, τὴν

μὲν ὀρθὴν ὁ ἀπὸ τοῦ πέρατος ἥκων λόγος ἀπετέλεσεν ἰσό-

τητι κρατουμένην καὶ ὁμοιότητι καὶ ὡρισμένην αἰεὶ καὶ

τὴν αὐτὴν ἑστῶσαν, ὁ δὲ ἀπὸ τῆς ἀπειρίας δεύτερος ὢν

καὶ δυαδικὸς καὶ γωνίας ἀνέφηνεν δυαδικὰς ἀνισότητι

διῃρημένας κατὰ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον καὶ ὅμοιον καὶ

ἀνόμοιον. διὰ ταῦτα καὶ τὰς μὲν ὀρθὰς εἰς τοὺς ἀχράντους

ἀναπέμπουσι καὶ ἀκλίτους διακόσμους, τὰς δὲ ὀξείας καὶ

ἀμβλείας τοῖς τῆς προόδου καὶ κινήσεως καὶ ποικιλίας τῶν

γινομένων δυνάμεων χορηγοῖς. τὸ γὰρ ἀμβλὺ τῆς ἐπὶ πᾶν

ἁπλουμένης τῶν εἰδῶν ἐκτάσεως εἰκών, καὶ τὸ ὀξὺ τῆς

διαιρετικῆς καὶ κινητικῆς τῶν ὅλων αἰτίας ἀφομοίωσιν

ἔλαχεν. διὸ καὶ τῇ ψυχῇ ὀρθῶς παραινοῦσιν εἰς γένεσιν ἰούσῃ

κατὰ τὸ ἀκλινὲς καὶ ἀρρεπὲς χωρεῖν καὶ ὅλως τὸ τῆς ὀρθῆς

εἶδος. σύμβολον γὰρ καὶ ἡ κάθετός ἐστιν ἀρρεψίας καὶ ἀχράν-

του καθαρότητος καὶ μέτρου θείου καὶ νοεροῦ. καὶ γὰρ ἐν τοῖς

φαινομένοις τὰ ὑψηλότατα διὰ ταύτης ὁρῶμεν τῆς εὐθείας

καὶ τῇ πρὸς τὴν ὀρθὴν ἀναφορᾷ τὰς ἄλλας εὐθυγράμμους

γωνίας ὁρίζομεν αὐτὰς οὔσας ἀφ' ἑαυτῶν ἀορίστους· ἐν

ὑπερβολῇ γὰρ καὶ ἐλλείψει θεωροῦμεν αὐτάς. τοσαῦτα καὶ

περὶ τούτων· δεῖ δὲ τοῖς ὁρισμοῖς τῆς τε ἀμβλείας καὶ

ὀξείας προστιθέναι τὸ γένος εὐθύγραμμος γωνία, ἀλλ'

οὐχ ἁπλῶς γωνία· καὶ γὰρ ἡ κερατοειδὴς πάσης ὀρθῆς

ἐστιν ἐλάσσων, ὅπου καὶ ὀξείας πάσης, καὶ ἡ τοῦ ἡμι-

κυκλίου πάσης ὀρθῆς ἐλάσσων, ἀλλ' οὐκ ὀξείας. τὸ δ'

αἴτιον, ὅτι μικταί εἰσιν καὶ οὐκ εὐθύγραμμοι. τοῦτό τε οὖν

ἐπισημαντέον, καὶ ὅτι τὴν μὲν ὀρθὴν ἀπὸ τῶν ἐφεξῆς ἴσων

οὐσῶν ὡρίσατο, τὴν δὲ ἀμβλεῖαν καὶ ὀξεῖαν οὐκέτι, ὅτι

ἄπειροι αἱ ἐγκλίσεις ἐπὶ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον, καὶ οὐκ

ἐνῆν ἀπὸ τῆς κλίσεως ὁρίσαι τῆς εὐθείας. ὀρθῶς ἄρα πρὸς

τὴν ὀρθὴν ἀναφέρων τὸν λόγον ἀποδέδωκεν τῶν λοιπῶν

γωνιῶν.

Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.

Τὸν ὅρον οὐ πρὸς ἅπαντα ἀναφέρειν δεῖ τὰ μεγέθη (καὶ

γὰρ γραμμῆς ὅρος ἐστὶ καὶ πέρας), ἀλλὰ πρὸς τὰ χωρία τὰ

ἐν ἐπιφανείαις καὶ τὰ στερεά. νῦν γὰρ ὅρον καλεῖ τὴν

περιοχὴν τὴν ἀφορίζουσαν ἕκαστον χωρίον καὶ πέρας ἀφ-

ορίζεται τοῦτον τὸν ὅρον, οὐχ ὡς τὸ σημεῖον λέγεται πέρας

γραμμῆς, ἀλλ' ὡς τὸ περικλεῖον καὶ περιεῖργον ἀπὸ τῶν

περικειμένων. ὥστε πᾶς μὲν ὅρος καὶ πέρας, οὐ μὴν εἴ τι

πέρας, καὶ ὅρος.

Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.

Τοῦ σχήματος πολλαί τινές εἰσι διαφοραί, καὶ δεῖ ταύτας

ἐπελθόντα καὶ τὸ προκείμενον ἡμῖν θεωρῆσαι, ὑπὸ ποίαν

τῶν διαφορῶν ἀνάγεται. ἔστι μὲν οὖν σχῆμα καὶ κατὰ τρο-

πὴν ὑφιστάμενον καὶ ἀπὸ πάθους πληττομένων ἢ διαιρου-

μένων ἢ ἀφαιρουμένων ἢ προστιθεμένων τινῶν. σχῆμά

ἐστιν καὶ τὸ κατὰ τέχνην γινόμενον καὶ τὸν ἐν αὐτῇ λόγον,

τῆς χαλκευτικῆς, εἰ τύχοι, ἢ ἑτέρας τινός. ἔτι δὲ σεμνότε-

ρον τούτων ἐστὶ τὰ ὑπὸ τῆς φύσεως γενόμενα· ὧν τὰ μὲν

ὑπὸ σελήνην ἔχει τὸν πολυειδῆ σχηματισμόν, τὰ δ' ἐν

οὐρανῷ· διαφοραὶ γὰρ καὶ ἐν τοῖς θείοις εἰσὶ σώμασι, καθ'

ἃς εὐρύθμως κινούμενα τὴν νοερὰν καὶ ἄχραντον ἀπομιμοῦν-

ται γνῶσιν, ταῖς περιφοραῖς καὶ τοῖς τοιοῖσδε σχηματισ-

μοῖς καταγράφοντες τὴν ἀσώματον τῶν θεῶν βούλησιν.

ἔστι δὲ αὖ καὶ τούτων ἐπέκεινα κάλλει καὶ καθαριότητι

προὔχοντα τῶν ψυχῶν σχήματα αὐτοκίνητα πρὸς τῶν ἑτερο-

κινήτων καὶ ἀδιάστατα πρὸ τῶν διαστατῶν ὑφεστῶτα,

ζωῆς πλήρη καὶ γνώσεως ὑπάρχοντα. περὶ τούτου καὶ ὁ

Τίμαιος ἡμᾶς ἀνεδίδαξεν· πρὸ δὲ τούτων ἐστὶ τὰ νοερὰ

πάντη μὲν ὑπερέχοντα τῶν αἰσθητῶν, γόνιμα δὲ καὶ τε-

λεσιουργὰ καὶ δραστήρια καὶ πᾶσιν ἐξ ἴσου παρόντα καὶ

τοῖς μὲν ψυχικοῖς τὴν ἕνωσιν ἐπάγοντα, τὴν δ' ἐν τοῖς σώμα-

σιν παράλλαξιν ἀνακαλούμενα ἐπὶ τὸν οἰκεῖον ὅρον. ἔστι δὲ

ἄρα καὶ τὰ τούτων ἐξῃρημένα, καὶ πολὺ θειότερα τὰ ἐν

αὐτοῖς ὑφεστῶτα τοῖς θεοῖς, ἐποχούμενα μὲν τοῖς νοεροῖς

σχήμασιν, πέρας δὲ καὶ ὅρον πᾶσιν ἐπάγοντα κατὰ ταὐτά,

καὶ ἡ θεουργία τὰς ἰδιότητας ἀποτυπουμένη τῶν θεῶν

ἀγάλμασιν ἄλλα ἄλλοις περιβάλλει σχήματα καὶ χαρακτῆρ-

σιν αὐτὰ τοιῶσδε μορφοῦσα ἑστῶτα ἢ καθήμενα ἢ ἄλλως

πως ἀπεικονιζόμενα, τὰ δὲ ἐν αὐτοῖς προϋπάρχοντα τοῖς

θεοῖς. ἄνωθεν ἄρα τὸ σχῆμα διατείνει μέχρι τῶν ἐσχάτων·

δεῖ γὰρ πρὸ τῶν ἀτελῶν ὑφεστάναι τὰ τέλεια καὶ τῶν ἐν

ἄλλοις ὄντων τὰ ἐφ' ἑαυτῶν καὶ τὰ ἡνωμένα τῶν διῃρημέ-

νων. τὰ μὲν οὖν ὑπὸ τὴν σελήνην ἀναπέπλησται τῆς ὑλικῆς

ἀσχημοσύνης, τὰ δὲ οὐράνια μεριστά ἐστι καὶ ἐν ἄλλοις

ὑφέστηκεν. τὰ δὲ ψυχικὰ διαιρέσεως καὶ ποικιλίας μετ-

είληφεν, τὰ δὲ νοερὰ μετὰ τῆς ἑνώσεως καὶ πλῆθος ἔχει,

αὐτὰ δὲ τὰ τῶν θεῶν ἑνοειδῆ καὶ ἁπλᾶ πρὸ τῶν ἄλλων

ὑφέστηκεν τὴν τελειότητα πᾶσιν ἀφ' ἑαυτῶν προτείνοντα·

τελεσιουργὸν γὰρ καὶ ἀρχηγικὴν ἔχουσι τὴν αἰτίαν. οὐκ

ἄρα τὰ μὲν ἔνυλα σχήματα ὑφέστηκεν, τὰ δὲ ἄυλα καὶ

καθαρώτερον ἔχοντα τὴν οὐσίαν οὐχ ὑφέστηκεν. ἀλλὰ

ταῦτα μὲν κατὰ τὸ Πυθαγόρειον ἀρέσκον· ὁ δὲ γεωμέτρης

τὸ ἐν τῇ φαντασίᾳ σχῆμα θεωρῶν καὶ τοῦτο πρώτως οὕτως

ὁριζόμενος, εἰ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς λόγοις ἐφαρμόττει, δευ-

τέρως τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενόν φησιν εἶναι

τὸ σχῆμα· σὺν ὕλῃ γὰρ ἤδη λαβὼν αὐτὸ καὶ ὡς διαστατὸν

φανταζόμενος εἰκότως τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχό-

μενόν φησιν εἶναι τὸ σχῆμα. πᾶν γὰρ τὸ ὕλην ἔχον νοητὴν

ἢ αἰσθητὴν ἀλλαχόθεν ἔχει τὸν ὅρον, καὶ οὐκ αὐτὸ πέρας

ἐστίν, ἀλλὰ πεπερασμένον ἐστίν, οὐδ' αὐτὸ ὅρος, ἀλλ'

ἄλλο μὲν ἐν αὐτῷ τὸ ὁρίζον, ἄλλο δὲ τὸ ὁριζόμενον, οὐδ'

ἐν αὑτῷ ἐστιν, ἀλλ' ὑπ' ἄλλου περιέχεται. τῷ γὰρ ποσῷ

συμφύεται καὶ μετ' ἐκείνου συνυφίσταται, καὶ γίνεται αὐτῷ

ὑποκείμενον τὸ ποσόν. εἰ δέ τις ἐπιτιμῴη τῷ ὅρῳ ὡς ἀπὸ

τῶν εἰδῶν τὸ γένος ἀφοριζόμενον (τὸ γὰρ ὑφ' ἑνὸς ὅρου

περιεχόμενον καὶ τὸ ὑπὸ πλειόνων εἴδη τοῦ σχήματος),

γιγνωσκέτω, ὅτι καὶ τὰ γένη τὰς δυνάμεις προείληφεν τῶν

εἰδῶν ἐν ἑαυτοῖς, καὶ ὅταν ἀπὸ τῶν δυνάμεων τῶν ἐν τοῖς

γένεσιν ἐθέλωσιν αὐτὰ σαφῆ ποιεῖν οἱ παλαιοί, δοκοῦσι

μὲν ἀπὸ τῶν εἰδῶν ἐπιχειρεῖν, τῷ δ' ἀληθεῖ αὐτὰ ἀφ'

ἑαυτῶν ἅμα διδάσκουσι καὶ τῶν ἐν αὐτοῖς δυνάμεων. ἀλλὰ

πόθεν πρόεισιν ὁ τοῦ σχήματος λόγος; ἀπὸ τοῦ πέρατος

καὶ ἀπείρου καὶ μικτοῦ. τὰ μὲν γὰρ περιφερῆ αὐτῶν ἀπὸ

τοῦ πέρατος ἧκεν, τὰ δ' εὐθύγραμμα ἀπὸ τοῦ ἀπείρου, τὰ

δὲ μικτὰ ἀπὸ τοῦ μικτοῦ.

Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περι-

εχόμενον, πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχή-

ματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλ-

λήλαις εἰσίν. κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.

Τὸ πρῶτον καὶ ἁπλούστατον τῶν σχημάτων καὶ τελειό-

τατος ὁ κύκλος ἐστί· τῶν μὲν γὰρ στερεῶν ὑπερφέρει τῷ

ἐν ἁπλουστέρᾳ τάξει κεῖσθαι, τῶν δ' ἐπιπέδων τῇ ὁμοιό-

τητι καὶ ταυτότητι. καί ἐστιν ἀνάλογον τῇ ἀμείνονι συ-

στοιχίᾳ· εἰ μὲν γὰρ εἰς οὐρανὸν καὶ γένεσιν διαιροῖς τὸ

πᾶν, τῷ μὲν οὐρανῷ τὸ κυκλικὸν εἶδος ἀποδώσεις, τῇ δὲ

γενέσει τὸ εὐθύ· καὶ γὰρ ὅσον ἐν τοῖς γενητοῖς ἐστι κυκλι-

κόν, ἄνωθεν ἀπὸ τῶν οὐρανίων ἐφήκει· διὰ γὰρ τὴν ἐκεί-

νων κυκλοφορίαν ἡ γένεσις ἀνακυκλεῖται πρὸς ἑαυτήν. εἴς

γε μὴν ψυχὴν καὶ νοῦν διαιρῶν τὰ ἀσώματα τῷ μὲν νῷ

τὸ κυκλικὸν ἀποδώσεις, τὸ δὲ εὐθὺ τῇ ψυχῇ. καὶ γὰρ τὴν

ψυχὴν κατὰ κύκλον ἐπιστρέφειν πρὸς νοῦν φαμεν. καὶ

ὅλως, ὅπερ ἡ γένεσις πρὸς οὐρανόν, τοῦτο ψυχὴ πρὸς νοῦν.

καὶ γὰρ εἰκὼν νοῦ μὲν οὐρανός, γένεσις δὲ ψυχῆς. ὥστε

πάντων τῶν θειοτέρων εἰκὼν ὁ κύκλος· θεοῖς μὲν γὰρ ἐπι-

στροφὴν καὶ ἕνωσιν καὶ μονὴν παρέχεται, τὰς μὲν ἄκρας

αὐτῶν δυνάμεις καὶ ἐφετὰς σταθερῶς ὡς κέντρῳ καθ-

ιδρύων, τὰ δὲ πλήθη τῶν δυνάμεων τὸ περὶ αὐτὰς ἐνεργεῖν

παρέχων, ταῖς δὲ νοεραῖς οὐσίαις τὸ διαιωνίως ἐνεργεῖν καὶ

πρὸς ἑαυτὰς ἐπιστρέφειν καὶ παρ' ἑαυτῶν πληροῦσθαι τῆς

γνώσεως. ταῖς δὲ ψυχαῖς ἐπιλάμπει τὸ αὐτόζωον, τὸ

αὐτοκίνητον, τὸ πρὸς νοῦν ἐπιστρέφεσθαι, τὸ τὰς οἰκείας

περιόδους ἀνελίσσειν, τοῖς δὲ οὐρανίοις σώμασι τὴν πρὸς

τὸν νοῦν ἀφομοίωσιν, τοῖς δ' ὑπὸ σελήνην τὴν ἐν ταῖς

μεταβολαῖς πρόοδον καὶ τὸ ἐν τοῖς γενητοῖς ἀγέννητον καὶ

τὴν ἀείδιον παλιγγενεσίαν καὶ τὴν πρὸς τὸν οὐρανὸν ἀφ-

ομοίωσιν, τοῖς δέ γε παρὰ φύσιν λεγομένοις ὅρον καὶ τάξιν

ἐπιτίθησι. οὐ γὰρ εὐφορίαι μόνον, ἀλλὰ καὶ ἀφορίαι κατὰ

περιτροπὰς συνίστανται, ὥς φησιν ὁ ἐν Πολιτείᾳ τῶν μου-

σῶν λόγος. καὶ πάντα δὲ τὰ κακά, εἰ καὶ ἀπέρριπται πόρρω

που ἀπὸ θεῶν εἰς τὸν θνητὸν καὶ ἀεὶ μεταβαλλόμενον τό-

πον, ἀλλ' οὖν περιπολεῖ, φησὶν ὁ Σωκράτης. οὐδὲν ἄμοιρον

ἄρα λέλειπται τῆς κυκλικῆς ὁμοιότητος· διὸ καὶ τὰ μέσα

κέντρα συνέχει τῆς προόδου τῶν ἀριθμῶν τῆς ἀπὸ μονάδος

ἄχρι δεκάδος· ἡ γὰρ…

κ…