Scholia in Euclidis Data

Ad definitiones.

1. Τῶν δεδομένων τὰ μὲν θέσει ἐστὶ δεδομένα, τὰ δὲ μεγέθει, τὰ δὲ καὶ θέσει καὶ μεγέθει.

Ad def 5.

5. Ἵνα ᾖ ὡρισμένος τῷ μεγέθει.

Ad def 6.

6. Ἵνα καὶ τῷ τόπῳ καὶ τῷ μεγέθει ὡρισμένος ᾖ.

Ad def. 8.

7. Ταῦτα ὡς ἐπὶ ἑνὸς ἐπιπέδου ἀκουστέον.

Ad def 9.

8. Τῷ γὰρ ἀφαιρεθέντι τὸ τὴν ἀφαίρεσιν ὑπο- μεῖναν μεῖζόν ἐστιν.

Ad def 10.

9. Τὸ μὲν πρὸ αὐτοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐνταῦθα δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος.

Ad deff. 9—10.

10. Τὰ ϛ τῶν δ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν· τοῖς γὰρ δύο· καὶ τὰ δ τῶν ς δοθέντι ἔλαττόν ἐστιν· τοῖς γὰρ δύο πάλιν δεδομένοις.

Ad def. 11.

11. Τὸ ἢ ἐν λόγῳ ἀντὶ τοῦ παρʼ ὃ ἐν λόγῳ. ἔχει δὲ τὴν ἀναφορὰν πρὸς τὸ μεῖζον· παρὰ τοσοῦτον γὰρ οὐκ ἔχουσι λόγον δοθέντα τὰ δύο μεγέθη, παῤ ὅσον ὑπερέχει τὸ ἓν τοῦ ἑτέρου δοθέντι τινὶ μεγέθει, οὗ ἀφαιρεθέντος εὑρίσκεται καὶ ὁ δεδομένος λόγος τῶν δύο μεγεθῶν. εἰ μὲν γὰρ λείπει τὸ ἢ ἐν λόγῳ, ἀφ- αιρεθέντος τοῦ ὑπερέχοντος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ λοι- πὸν πρὸς τὸ ἕτερον ἴσον ἐστίν. εἰ δὲ πρόσκειται τὸ ἢ ἐν λόγῳ, ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπερέχοντος οὐκέτι τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ ἕτερον ἴσον, ἀλλʼ ἔχει τινὰ λόγον. μεῖζον οὖν ἐστι τὸ ἓν μέγεθος τοῦ ἑτέρου ἢ ὥστε ποιῆσαι λόγον. ἐὰν οὖν ἡ ὑπεροχὴ δεδομένη ᾖ, καὶ ὁ λόγος δεδομένος ἐστίν.

Ad def. 12.

12. Ἀπὸν γὰρ τὸ προστεθὲν ἐλυμαίνετο τὴν σχέσιν τοῦ δεδομένου λόγου.

Ad deff. 13—15.

13. Τούτους Ἀπολλωνίου φασὶν εἶναι τοὺς τρεῖς ὅρους.

Ad def 13.

14. Τουτέστιν ἀκίνητον, ἵνα ὁμολογουμένη μοι ᾖ ὁποία ἐστὶν ἡ γωνία.

Ad prop. I.

15. Εἰδέναι δεῖ, ὡς, ἔνθα ὁ φιλόσοφος λέγει ἀπο- λελυμένως δεδομένα μεγέθη, μεγέθει δεδόσθαι ση- μαίνει.

16. Ὁ λόγος τοῦ πόσου διακόλουθος, ἡ θέσις δὲ οὐ διὰ τοῦ πόσου, ἀλλὰ τοῦ κεῖσθαι.

17. P. 6, 2] δέδοται καὶ τὸ διὰ τὸ ἀντιστρό- φιον τοῦ ὅρου. (l. 4) ὁμοίως καὶ τὸ ∠· ὁ αὐτὸς γὰρ αὐτῷ πεπόρισται ἐν δεδομένοις μεγέθεσι τοῖς Γ καὶ ∠.

18. Ὁ αὐτὸς γάρ p. 6, 8] διὰ τοὺς ὅρους· λόγος δεδόσθαι λέγεται, ᾧ δυνάμεθα τὸν αὐτὸν πορίσασθαι.

Ad prop. II.

19. Τῶν μὲν δεδομένων μεγεθῶν καὶ ὁ λόγος ὁ πρὸς ἄλληλα δέδοται· οὐκέτι δέ, εἰ τῶν μεγεθῶν ὁ 13. PlVat. vC1Mon. σρλ. 14. PlVat. C1Mon. σρλ. 15. PlVat. vC1 Mon. σρλc; C1 post σημαίνει continuo hab. schol. nr. 10. 16. v (coniunct. cum nr. 15.) 17. v. 18. C2. 19. Pl (ad finem libri post schol. nr. 23). 2. τούτους] τούτου Pl, τοῦτά ρ. Ἀπολλώνιος Plvσλ. τοὺς τρεῖς ὅρους Ἀπολλωνίου C1. φησίν Plvσλ. εἶναί φησι Vat. Mon. ρ. εἶναι] om. vσ. τοὺς τρεῖς ὅρους] om. C1. 8. λέγει] λέγῃ ρ. ἀπολελυμένως] -να Mon. 10. Post ση- μαίνει add. τὰ μεγέθη v. 12. οὐ] οὐκ v. 20. εἰ] om codd. πρὸς ἄλληλα λόγος δέδοται, καὶ ταῦτα πάντως δέδοται τὰ μεγέθη. πολλάκις γὰρ ὁ μὲν λόγος αὐτῶν δέδοται, αὐτὰ δὲ οὐ δέδοται.

20. Τοῦτο ἀντίστροφόν ἐστί πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ. οὐ γὰρ δὴ καθόλου ῥητέον αὐτὸ ἀντίστροφον. ἧν γὰρ ἂν τὸ ἀντίστροφον τὸ καθόλου ὄν· ἐὰν μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, δέδοται τῷ μεγέθει. τινὲς δὲ τὸ θεώρημα ψευδογραφοῦντες ἐπείγονται δεικνύειν ἀντίστροφον αὐτὸ τοῦ πρὸ αὐτοῦ καί τί φασιν ὡς· ἐὰν μεγέθη τινὰ λόγον ἔχῃ πρὸς ἄλληλα δεδομένον, δέδοται τῷ μεγέθει.

21. Καὶ ἔστω ὁ τοῦ Γ p. 6, 20] δέδοται καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ ∠ λόγος διὰ τὸ ἀντίστροφον τοῦ ὅρου. δέδοται δὲ τοῦ Α πρὸς τὸ Γ λόγος διὰ τοῦ α΄. δέ- δοται δὲ καὶ τοῦ Β πρὸς τὸ ∠ λόγος διὰ τὸ ἀντι- στρόφιον τοῦ ὅρου. ἴσον γὰρ αὐτῷ τῷ Β τὸ ∠ πεπόρισται ἐν δεδομένῳ λόγῳ.

22. Ἴσον ἄρα p. 6, 23] διὰ τοῦ θ΄ τοῦ ε΄. χρὴ δὲ γινώσκειν, ὅτι τὰ ἴσα καὶ τὸ αὐτὸ λέγειν ἕν ἐστιν. ὃ γάρ ἐστιν ἴσον τινί, καὶ τὸ αὐτό ἐστιν ἐκείνῳ κατὰ τὴν ἰσότητα. οὐκ ἀντιστρέφει δέ· οὐ γὰρ ὅπερ ἐστὶ τὸ αὐτό τινι, καὶ ἴσον ἐστὶν ἐκείνῳ· δύναται γὰρ καὶ κατὰ ποιότητα τυχὸν τὸ αὐτὸ εἶναι.

23. Ἐὰν λέγῃ ὅτι δέδοται ἄρα, δῆλον, ὅτι τῷ με- γέθει αὐτῷ δεδόσθαι λέγει. ἐὰν δεδομένον τῷ εἴδει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῷ εἴδει. ἐὰν δεδομένον τῇ θέσει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῇ θέσει. σπανίως πάνυ, ἐὰν ᾖ δεδομένον τῷ μεγέθει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῷ μεγέθει.

Ad prop. III.

24. Ὅλον ἄρα p. 8, 11] ἐὰν γὰρ ἴσα ἴσοις προσ- τεθῇ, τὰ πάντα ἐστὶν ἴσα.

Ad prop. IV.

25. Καὶ τοῦτο ἀντιστρόφιόν ἐστί πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ· τὸ γὰρ κυρίως ἀντιστρόφιον ἧν ἐὰν δεδομένον μέγεθος εἰς ὁποσαοῦν διαιρεθῇ, καὶ ἕκαστον τῶν, εἰς ἃ διῄρηται, δεδομένον ἐστίν.

26. Λοιπὸν ἄρα p. 8, 24] ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπά ἐστιν ἴσα.

Ad prop. V.

27. Οἷον ὁ ιε πρὸς ἑαυτοῦ μέρος τὸν ῑ λόγον ἔχει τὸν ἡμιόλιον, καὶ πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ε λόγον ἔχει τὸν τριπλασίονα.

28. Τοῦτο ἔοικε τῷ καὶ ἀντιστρέψαντι λόγον ἔχειν δεδομένον.

29. Ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεπορίσθω p. 10, 10] δυνατὸν γὰρ τριῶν δοθέντων μεγεθῶν τέταρτον ἀνάλογον εὑρεῖν.

30. Λόγος ἄρα τοῦ ∠ Ζ p. 10, 14] τῶν γὰρ δεδο- μένων μεγεθῶν ὁ λόγος πρὸς ἄλληλα δέδοται.

31. Ἀναστρέψαντι ἄρα p. 10, 16] διὰ τοῦ ὅρου τοῦ ε8· ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου.

32. Λόγος ἄρα καί p. 10, 19] ἴσον γὰρ αὐτῷ ἐπορίσαμεν τὸν τοῦ ∠ Ζ πρὸς ΖΕ.

Ad prop. VI.

33. Ὁ ἄρα τοῦ ∠Ε πρὸς ΕΖ p. 12, 5] ὁ γὰρ αὐτὸς αὐτῷ ἐστιν ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ.

34. Λόγος ἄρα τοῦ ∠Ζ πρὸς ἑκάτερον p. 12, 8–9] ὁ γὰρ αὐτὸς αὐτῷ πεπόρισται ὁ τοῦ ∠Ζ πρὸς ἑκάτερον τῶν ∠Ε, ΕΖ.

Ad prop. VII.

35. Λόγος ἄρα καί p. 12, 24] διὰ τοῦ ϛ΄ τῶν Δεδομένων.

36. Δοθὲν ἄρα καὶ ἑκάτερον p. 14, 1] διὰ τοῦ β΄ τῶν αὐτῶν. ἐπεὶ γὰρ μέγεθός τι τὸ ΑΒ δοθὲν λόγον ἔχει πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ ὡς πρὸς ἄλλα τινὰ ἄρα καὶ ἑκάτερον ἐκείνων ὡς ἄλλο τι δέδοται.

Ad prop. VII.

37. Οἱ τῷ αὐτῷ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί.

38. Πάλιν, ἐπεί p. 14, 12] ἐπεὶ γὰρ δέδοται ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Β λόγος, δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ Β πρὸς τὸ Γ λόγος.

39. Διʼ ἴσου ἄρα p. 14, 18] διʼ ἴσου λόγος ἐστίν: ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ πλειόνων ὄντων καὶ ἄλλων ἴσων τὸ πλῆθος, ὅταν ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν, οὕτως τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν.

Ad prop. IX.

40. Ὡς ἐκ περιουσίας ἔχων τὸ αὐτὸ δεικνύμενον, ἢν ὁ λόγος ὁ τῶν προτεθέντων πρὸς τὰ τυχόντα με- γέθη ὁ αὐτὸς ᾖ, ὅτι καὶ τὰ τυχόντα λόγον ἕξει δεδο- μένον, παρῆκεν ἐπὶ τούτου γυμνάσαι τὸ πρόβλημα. Ad prop. X.

41. P. 16, 18 Ἐνταῦθα συνεπεράνθη τὸ πρῶτον μέρος τῆς προτάσεως.

42. Ἐνταῦθα ἄρχεται τὸ δεύτερον μέρος τῆς προ- τάσεως. τὸ δεύτερον μέρος τῆς προτάσεως πάλιν ὑπο- διαιρεῖται. τὸ οὖν πρῶτον μέρος τῆς ὑποδιαιρέσεως συνεπεράνθη ἐνταῦθα.

43. Καὶ τὸ συναμφότερον p. 16, 24] τουτέστι καὶ συνθέντι δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

44. Ἔστω μέγεθος τὸ ῑ καὶ ἕτερον κγ, δοθέντα δὲ ἔστω τὰ γ καὶ συναμφότερα τὰ λγ τὴν ῑ τοῖς δοθεῖσι γδ ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ. ἀφαιρείσθω ἴσους τῶν δοθέντων τῶν γα τὰ ῑ πρὸς τὰ κ δοθέντα, οἷον ὡς νῦν τῶν β λό- γων, ὡς καὶ ἐν τοῖς ὅροις εἴρηται.

45. Τοῦτο τὸ σχόλιόν ἐστι τοῦ ῑ θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε Ƒ.

οἷον μέγεθος τὸ ΑΒ καθʼ ὑπόθεσιν κγ μεγέθους τοῦ ΒΓ ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν ῑ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ. καὶ ἔστω δοθὲν τὸ Α∠ ὂν γ. ἐὰν οὖν ἀπὸ τοῦ ΑΒ τοῦ κγ ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ Α∠ τὰ γ, τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β τὰ κ πρὸς τὸ ΒΓ τὰ ῑ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον· τῷ γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ. τοῦτο δηλοῖ καὶ δείκνυσι λοιπόν, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ δο- θέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἀλλὰ δὴ συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ 43. PlVat. Mon. λ. 44. PlMon.; coniunctum cum nr. 43 Vat. ρλ (corruptum). Fig. om. P. 45. PlVat. v Mon. Ambr. σρcS (Ambr. σ inde a τὸ δὴ δοθέν p 270, 2, cS inde ab ἀλλὰ δὴ συν- αμφότερον p. 270, 1). hoc schol. PlVat. c hab. ad finem libri. 4. ἔστω] ὡς Plλ. τήν] fort. τῶν. 5. γδ ἐστιν] fort. γ μείζονα ἔστω. 6. ἀφαιρεθείς ρ. ἴσους] fort ἀπὸ. 7. τῶν (alt.)] τήν l. 8. γα] scr. λγ. 9. καί] om. λ. 10. τοῦτο — 11. τόδρ Ƒ] Pl, om. cett., σχόλιον vMon. ρ. 12. οἷον] ὅμοιον Pl. 13. μεῖζον] -ων P (in ras). 16. τὸ ∠Β] om. Mon. lac. 3 litt. relicta. 17. τῷ] τὸ Pl. 19. πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ] om. Mon. 20. λόγῳ] seq. spatium 4. lin. in P; nihil deest. hinc relquam partem scholii om. v Mon. ρ. δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ. τὸ δὴ δοθὲν ἤτοι ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ ἢ ἔλαττον ἢ μεῖζον. ἐὰν μὲν οὖν τὸ δοθὲν ἴσον ᾖ τῷ ΑΒ, ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον η, τοῦ δὲ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ ὄντος δ, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τοῦ η ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ ΑΒ οἷον δ, τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ τὰ δ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ τὰ δ λόγον ὅλη ἡ ΑΓ μονάδων κ. ὅλη ἡ μὲν ΑΓ μονάδων ἐστὶ(ν) ιη, ἡ δὲ ΒΓ η, ἡ δὲ Α∠ δύο. ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ δείκνυσι, καὶ ὅτι λοιπὸν τὸ ΑΒ. ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ ΑΓ ἀφέλω τὸ ΒΓ, τὸ λοιπόν ἐστι τὸ ΑΒ. δείκ- νυσιν οὖν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ. μετὰ γὰρ τὸ ἀφαιρεθῆναι καὶ αὐτοῦ τὸ ΑΓ δοθέν, τὸ λοιπὸν τὸ Fig. om. lAmbr.S. 1. ἔστω] ἔσται cS. 3. ΑΒ] mut. in ΑΓ S. 4. οἷον η] ογ Ambr, ον σ (superscr.) m. 1). τοῦ δέ — 5. δ] τοῦ δὲ ΒΓ ξ, τοῦ δὲ ΑΒ ιμ καὶ ἀφέλω λοιποῦ τοῦ ΑΓ ἤτοι τοῦ ιγ τὸ δοθὲν τὸ AB ἤτοι τὰ ιμ Ambr. 4. αὐτοῦ] τοῦ αὐτοῦ codd. 5. δ] ις codd. τὸ λοιπόν] καὶ τὸ λοιπόν c. 6. δ (utrumque)] ξ Ambr.σ. 7. διά — ὁμοίως] om. Vat. σcS, item p. 271, 8. 8. καὶ ὅτι] ὅτι καί Ambr. 9. ΑΓ] ΑΓ ἤτοι τοῦ ιγ Ambr τὸ (alt.)] om. Ambr. 11. δοθέντι μεῖζον] δοθέν P. 12. καί] om. Ambr. fort. del. αὐτοῦ] αὐτὸ P. τό( pr.)] τοῦ S. ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον. πάλιν συν- αμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ, καὶ ἔστω τὸ δοθὲν ἔλασσον τοῦ ΑΒ τὸ Α∠ καὶ ἔστω τὸ β. ἐὰν οὖν ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον ιη, τοῦ δὲ ΒΓ ὄντος η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τῶν ιη ἀφέλω τὸ Α∠ τὰ β, τὸ λοιπὸν τὸ ∠Γ τὰ ιϛ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ δείκνυσι λοιπόν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ τὰ ῑ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον. καὶ διὰ τοῦτο καὶ τὸ λοιπὸν τὸ ΑΒ τὰ ι τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ τῶν η δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ· ἐὰν γὰρ ἀφέλω καὶ ἀπὸ τοῦ ΑΒ τῶν ῑ τὸ Α∠ δοθὲν τὰ β, τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β τὰ ἢ πρὸς τὸ ΒΓ τὰ η λόγον ἔχει δοθέντα· τὸν γὰρ ἴσον. πάλιν συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· καὶ ἔστω τὸ δοθὲν μεῖζον τοῦ ΑΒ τὸ ΑΕ καὶ ἔστω ιδ. ἐὰν οὖν ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον ιη, τοῦ δὲ ΒΓ οἷον η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τοῦ ιη ἀφέλω τὸ ΑΕ τὰ ιδ, τὸ λοιπὸν τὸ EΓ τὰ δ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς 1. λόγον ἔχει δεδομένον] δοθέντα λόγον ἔχει Ambr. 2. δοθέντι] om. c. 4. τὸ β] τὸ Α∠, γ Ambr. 5. ιη] ιδ Ambr. (item lin. 6), η c. 6. τῶν] ἤτοι τῶν Ambr. ἀφέλωμεν Ambr. τά] ἤτοι τά Ambr, item lin. 7 utr. β] γ Ambr, γ σ. 7. λόγον] ὅλον P. 9. ῖ] ιο Ambr. σ, item lin. 11, 13. 10. η] δ Ambr, δ σ; item lin. 11. 13. τὸ Α∠ δοθέν] δοθὲν τὸ Α∠ Ambr.σ. β] γ σ (β m. 1). η] δ σ, item lin. 14. 14. τόν] τό l. τὸν γὰρ ἴσον] τὸν τῆς ἰσότητος δηλαδή Ambr. Post ἴσον lac. unius litt. (comp.) hab. Vat.S. 17. ιδ] ιξ Ambr, ιδξ σ; item lin. 19. 18. ἐάν] καί Ambr. τοῦ (tert.)] τόν l. τοῦ ιη] om. Vat. Ambr. σcS. 19. τά(pr.)] ἤτοι τά Ambr.S. 20 η] δ σ. ὄροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ διὰ τούτου δείκνυσιν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΕ· τὸ γὰρ ΒΕ ἐστιν, πρὸς ὅ τὸ ἕτερον τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον· δοθέν ἐστιν· ὅλον γὰρ τὸ ΑΕ δοθέν ἐστιν.

46. Λοιποῦ ἄρα τοῦ ∠Β p. 18, 4–5] τοῦτο τὸ σχό- λιον τοῦ ι΄ θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε P. πῶς λέγει· λοιποῦ τοῦ ∠Β πρὸς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς; ἐπεὶ γὰρ τοῦ ∠Γ πρὸς τὸ ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔσται τοῦ ∠Γ καὶ πρὸς τὸ ∠Β λόγος δοθεὶς διὰ τὸ ε΄, ὥστε καὶ ἑκατέρου τῶν ∠Β, ΒΓ πρὸς τὸ ∠Γ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ διὰ τὸ η΄ καὶ τοῦ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς.

47. Τὸ ΓΑ ἄρα τοῦ ΓΒ p. 18, 7] ἐπεὶ γὰρ τοῦ Γ∠ λόγος ἀπεδείχθη δοθεὶς πρὸς τὸ ΓΒ, προσκείσθω πάλιν τὸ ἀπʼ ἀρχῆς δοθὲν τὸ Α∠· ὅλον ἄρα τὸ ΓΑ δοθέντι μεῖζόν ἐστι τοῦ ΓΒ ἢ ἐν λόγῳ.

48. Τὸ δὴ δοθέν p. 18, 15] ἐὰν γὰρ ἴσον ὑπάρχῃ τὸ δοθὲν τῷ ΑΒ, τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον. δύναμαι γὰρ αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι τῷ ἴσῳ λόγῳ, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

49. Λόγος ἄρα λοιποῦ p. 18, 22] δέδοται γὰρ τὸ ΕΓ διὰ τὸ δ΄ θεώρημα. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἑκάτερον 46. PlVat. vρc (ad finem libri PlVat.c, post schol. nr. 19 Pl.) 47. λ. 48. PlVat. v Mon ρλ. 49. Vat. Mon. Ambr. ρc. 1. ὁμοίως] om. Vat. Ambr. σcS. 3. ὅ]σ, om. cett. τό (alt.)] om. c. 5. τοῦτο — 6. P] om. v. 5. τοῦτο τό] om. Vat. 7. λέγει] om. v. 8. τό] om. v. τοῦ (alt.)] καὶ τοῦ v. 9. καί] ὡς ρ. 10. ∠Β] ΑΒ Vat. vc. 11. καί (pr.)] om. vρ. ∠B] ∠Ε Vat. ρc. 17. ὑπάρχῃ] ὑπάρχει ρ. 18. τό (quint.)] om. lvλ. 19. λόγον ἔχει] τὸ λόγον ἔχειν Pρ. 20. ἴσον] ἔτι lλ. τῷ] fort. ἐν τῷ. τῷ ἴσῳ λόγῳ] τοὺς ἴσους λόγους ρ. 21. τό] ὅτι τό c. τῶν ΑΓ, ΑΕ, καὶ ὁ πρὸς ἄλληλα λόγος αὐτῶν δέδοται διὰ τὸ α΄· ὥστε καὶ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΕ· ἀλλὰ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ· καὶ τοῦ ΒΓ ἄρα πρὸς ΓΕ.

50. Μδετὰ τοῦ ἐξῆς p. 20, 2] τουτέστι μετὰ τοῦ ΒΕ, πρὸς ὃ τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα.

51. Πρὸς ὃ τὸ ΒΓ, τουτέστι πρὸς τὸ ΒΕ.

52. Τὸ γὰρ ΒΓ πρὸς τὸ ΒΕ λόγον ἔχει δοθέντα· τὸ οὖν ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΕ. δοθέν ἐστιν, ὅλον τὸ ΑΕ.

Ad prop. XI.

53. Ἔστι δὲ καὶ ὅλου τοῦ ΑΓ p. 20, 20] διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ε΄· ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. ἡγούμενα γάρ εἰσι τό τε Γ∠ καὶ τὸ Α∠, ἑπόμενα δὲ τό τε ∠Β καὶ τὸ ∠Ε. ὡς γοῦν τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε, οὕτως ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς ὅλον τὸ ΕΒ. ὅλον γὰρ τὸ ΑΓ τὰ δύο εἰσὶν ἡγούμενα τό τε ∠Α καὶ τὸ Γ∠, καὶ ὅλον τὸ ΕΒ τὰ δύο εἰσὶν ἑπόμενα τότε Ε∠ καὶ τὸ ∠Β.

54. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α∠ πρὸς ∠Ε, οὕτως ὁ Γ∠ πρὸς ∠Β, καὶ ἐναλλὰξ ὡς Α∠ πρὸς ∠Γ, οὕτως Ε∠ πρὸς ∠Β, καὶ συνθέντι ὡς ΑΓ πρὸς Γ∠, οὕτως ΕΒ πρὸς ∠Β, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως Γ∠ πρὸς ∠Β, δέδοται δὲ ὁ τοῦ Γ∠ πρὸς ∠Β λόγος, δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος. μᾶλλον συντομώτερόν ἐστιν οὕτως εἰπεῖν· ὡς ἓν τῶν ἡγουμέ- 50. PlVat. ρ. 51. PVat. ρ. 52. PlVat. vρλ. 53. l2. 54. PiVat. v Mon. ρλ. 2. ὥστε] ἦ τε c. 5. ΒΓ] ΒΑ codd. 8. τό (utrumque)] τά Plλ. ΑΕ] ε PlVat. ρλ. 18. οὕτω PlVat. λ. 19. ὁ] om. Vat. Mon. 19. ὡς] om. Vat. 23. ἄρα καὶ ὁ] om. l lac relicta. 24. συντομιότερόν Mon. οὕτως] τό Mon.ρ. νων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, τουτέστιν ὡς ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπό- μενα, ἡ ΑΓ πρὸς ΕΒ.

55. Τοῦτο τὸ σχόλιον τοῦ ια΄ θεωρήματος, ὅπου σημεῖόν ἐστι τόδε ⊙. ὥσπερ λέγομεν τὰ θ τῶν δ μείζονα ἢ διπλάσια μονάδι, οὕτω λέγομεν καὶ τὸ μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι· οἷον τοῦ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχοντος δεδομένον, ἐὰν τὸ Α∠ δεδομένον, τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ· τοῦ γὰρ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχοντος δεδομένον καὶ τοῦ Α∠ δεδομένου ὑπάρχοντος, δεδομένον καὶ ῥητὸν ὃν καὶ ἄλογον, οὐκ ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχει· ὅτι γὰρ ἄλογόν ἐστι τὸ Α∠, οὐ δύναται τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχειν. διὸ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ ∠Β τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ Β∠ δεδομένον τῷ Α∠ δεδομένῳ. ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὰ ζ τῶν δ ἐλάσσονα λέγομεν ἢ διπλάσια μονάδι, οὕτω λέγομεν καὶ τὸ ἔλασ- σον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι.

56. Ὀ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω p. 22, 6 – 7] σχόλιον εἰς τὸ ια΄ θεώρημα ??· ἐν τῷ ια΄ θεωρήματι λαβὼν τὸ 55. PlVat. vAmbr. ρc (PlVat.c ad finem libri post schol. nr. 45). 56. PlVat. ρc (ad finem libri post schol. nr. 46). 1. πρός] ὡς l. 4. τοῦτο — 5. ⊙] om. Ambr. 4. τοῦτο τό] om. Vat. 5. ἐστι] om. Vat. θ] ?? Ambr. τῶν] τόν PL. δ] ξ Ambr. 6. ἤ] om. PlVat., εἰσιν ἢ Ambr., ἦσαν ρ. οὕτω] ὄντος ρ. λέγωμεν ρ. 8. 10. δεδομένον] Ambr., om cert. 11. δεδομένον — 13. ἔχει] om. Ambr. lac relicta et add. λείπει. 11. καί (pr.)] om. ρ. 13. ἔχειν PlVat ρc. 16. ὁμοίως] — 18. δοθέντι] om. Vat. Ambr c. 16. τά] τὸ l. τῶν] τόν Pl. 19. σχόλιον τοῦ ια θεωρήματος Vat., om. c. 20. ια΄) ιβ΄ c. ΑΒ μέγεθος συναμφοτέρου τοῦ ΑΓ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ καὶ ἀφελὼν τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΕ καὶ βουλόμενος δεῖξαι, ὅτι τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒ καὶ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγω, λέγει· γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε. ἐὰν οὖν βουλώμεθα ποιῆσαι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε, κατασκευάσαντες ποιήσο- μεν οὕτως· ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΑΕ ἴση ἡ ΓΖ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ἴση τῇ ΖΓ. τουτέστιν ἡ ΑΕ, πρὸς τὴν Ε∠· δῆλον γάρ, ὅτι ποιοῦντες ὡς τὴν ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὴν ΑΕ πρὸς ἄλλην τινά, πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΒΕ ποιήσομεν· γεγονέτω οὖν πρὸς τὴν Ε∠. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς Ε∠, συνθέντι ἐστίν, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Ε. ἱση δὲ ἡ ΖΕ τῇ ΑΓ διὰ τὸ τῇ ΑΕ ἴσην εἶναι τὴν ΓΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Ε.

57. Σχόλιον. ὡς συναμφότερον τὸ ΑΕ, ΒΓ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς Α∠. καὶ ἀνάπαλιν καὶ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς συναμφότερον ΑΕ, ΒΓ, οὕτως τὸ ∠Α πρὸς ΑΕ καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ Α∠ πρὸς ∠Κ δοθείς.

58. Ἔσται δὴ καὶ λοιποῦ τοῦ Γ∠ p. 22, 13] ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ Α∠ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ∠Ε, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ Γ∠ πρὸς λοιπὸν τὸ ∠Β ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ· δοθεὶς δὲ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τοῦ Γ∠ πρὸς ∠Β.

Ad prop. XII.

59. Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη p. 22, 19] κἂν ᾖ δεδομένα κἂν μή.

60. Καὶ λοιπὸν τὸ ΑΕ p. 24, 11] ἐὰν γὰρ ἀπὸ δεδομένου δεδομένον μέγεθος ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν δεδομένον ἔσται.

61. Ἐὰν δὲ μεῖζον ᾖ τὸ Β∠ τοῦ ΑΓ, θέντες τῷ ΑΓ ἰσον ἀπὸ τοῦ Β∠ καὶ τὰ αὐτὰ ποιήσαντες δείξο- μεν τὸ Γ∠ τοῦ ΑΒ δοθέντι μεῖζον. τοῦτο γὰρ δηλοῖ τὸ ἐν τῇ προτάσει· ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν.

Ad prop. XII.

62. Λοιποῦ ἄρα τοῦ ∠Ζ p. 24, 25 — 26, 1] ὡς ἐν τοῖς ὅροις· σύγκειται γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ.

63. Καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ p. 26, 5] ἐὰν γὰρ ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν, καὶ λοιπὸν πρὸς λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.

Ad prop. XIV.

64. P. 26, 17] κἄν τε ἴσα ᾖ τὰ ΑΕ, ΓΖ κἄν τε ἄνισα.

65. Λόγος ἄρα τοῦ ΕΑ p. 26, 21–22] τῶν γὰρ δεδομένων μεγεθῶν ὁ λόγος πρὸς ἄλληλα δέδοται.

66. Λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΒ p. 28, 6–7] διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ε΄ καὶ διὰ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ ὅρου. ἐπεὶ δέδοται ὁ τοῦ ΑΒ πρὸς Γ∠ λόγος καί ἐστιν ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ΗΑ πρὸς ΖΓ. δέδοται καὶ οὕτως ὁ τοῦ ΗΒ πρὸς Ζ∠.

67. Ἐὰν δὲ ποιήσωμεν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ∠, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ Γ ὡς ἐπὶ τὸ Ζ, εὑρε- θήσεται τὸ Ζ∠ τοῦ ΕΒ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ. Ad prop. XV.

68. Τοῦτο ἀντιστρόφιόν πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ. δείξας γάρ, ὅτι ἐὰν προστεθῇ δεδομένα μεγέθη τοῖς δεδο- μένον ἔχουσι λόγον, νῦν καὶ ἀφαιρῶν τὰ αὐτὰ τῶν αὐτῶν δείκνυσι τὸ αὐτό.

Ad prop. XVI.

69. Καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ p. 30, 23–24] καὶ δῆλον, ὅτι καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ Ε∠ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ιθ΄ τοῦ ε΄ τῶν στοιχείων.

Ad prop. XX.

70. Ἀντιστρόφιον τοῦ ιε΄.

71. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΕ p. 38, 21] ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ΑΕ πρὸς ΓΖ, οὕτως ΑΗ πρὸς Γ∠, δῆλον. ὅτι καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΗ πρὸς λοιπὸν τὸ Ζ∠ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ιθ΄ τοῦ ε΄ τῶν στοιχείων, καὶ ἐν ἅπασι τοῖς τοιούτοις διὰ τὸ σχόλιον μάλιστα τοῦ ι΄ θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε P.

Ad prop. XXII.

72. Ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ p. 42, 21] ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρε- θέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.

73. P. 44, 5] διὰ μὲν τὸ ε΄ τούτου τοῦ Γ∠ καὶ πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς.

74. P. 44, 6] συμπέρασμα· ὥστε τοῦ Γ∠ πρὸς ἕκαστον τῶν ΓΖ, Ζ∠ λόγος δοθείς· ἔστι δὲ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΖ λόγος δοθείς· καὶ τοῦ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ΓΖ λόγος ἐστὶ δοθεὶς καὶ πρὸς τὸ Ζ∠.

75. Ὥστε πάντων πρὸς πάντα p. 44, 8] ὥστε καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ΑΕ καὶ ΕΒ μέρη αὐτοῦ λόγος 70. Plλ. 71. PlVat. vMon. ρc; inde a uerb. καὶ λοιποῦ λ. 72. l2vσλ. 73. l2λ. 74. v. 75. v. 2. τοῦ] τῷ l. ιε΄] ιδ΄ λ. 5. ὅτι] om. PlVat. vc, ἐστί (comup.) ρ. 8. ὅπου — P] om. v. P] om. ρ. 10. ᾖ ὡς] om. l2λ. 14. μέν] suspectum 18. τό] τόν v. δοθείς, καὶ πάλιν τοῦ ΑΕ πρὸς πάντα καί ἐστι τοῦ ΕΒ πρὸς πάντα.

76. Ἐπεὶ οὖν συνήχθη ὁ τοῦ ΓΖ πρὸς Ζ∠ λόγος δοθείς, κεῖται δὲ καὶ τοῦ ΕΒ πρὸς Ζ∠ λόγος δοθείς, καὶ τοῦ ΓΖ ἄρα πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄. πάλιν ἐπεὶ ὁ τοῦ ΑΕ πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ὡς ἐδείχθη, κεῖται δὲ καὶ ὁ τοῦ ΕΒ πρὸς Ζ∠ λόγος δο- θείς, καὶ ὁ τοῦ ΑΕ ἄρα πρὸς Ζ∠ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄. καὶ ἐπεὶ τὰ ΑΕ, ΕΒ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον, καὶ τὸ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΕ, ΕΒ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ϛ΄. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ Γ∠ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΖ, Ζ∠ λόγον ἔχει δεδομένον. καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγον ἔχει δεδομένον, ἔχει δὲ καὶ τὸ Γ∠ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΖ, Ζ∠ λόγον δεδομένον, καὶ τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς ἑκά- τερον τῶν ΓΖ, Ζ∠ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ η΄. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ Γ∠ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΕ, ΕΒ λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε πάντα πρὸς πάντα λόγους ἔχει δεδομένους.

Ad prop. XXIV.

77. Εἰλήφθω τῶν ∠, Ζ p. 44, 20] δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.

78. Δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ∠, Ζ p. 44, 22] ἐπεὶ γὰρ ἐμάθομεν ἐν τοῖς ὅροις, ὅτι εὐθύγραμμα 76. PlVat. vMon. Ambr. ρλ. 77. P. 78. PlVat. vMon. Ambr. ρλ. 1. ἐστι] fort. ἔτι. 6 ὁ] om. Mon. Ambr. ὡς] ρ, sustulit lac. bombyc. Mon., om. cett. 7. ἐδείχθη] ἐ. γάρ Ambr. 16. διά — 18. δεδομένον] om. Vat. Mon. Ambr. 24. ὅτι] om. Mon, τό l. σχήματα τῷ εἴδει δεδόσθαι λέγεται, ὧν αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ κατὰ μίαν καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας δεδομένοι, ἐὰν ποιήσωμεν ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ∠ ἔχον ἴσην τῇ μὲν ∠ τὴν ΑΒ, τῇ δὲ Ζ ἴσην τὴν ΒΓ. ἔχομεν τῶν μὲν γω- νιῶν ἑκάστην δεδομένην διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι· πᾶσα γὰρ ὀρθὴ δέδοται· ὀρθὴ γὰρ ὀρθῆς οὐ διαφέρει. καὶ δῆλον, ὅτι καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν δεδομένοι εἰσίν· ὁ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ λόγος δέδοται, ἐπεὶ καὶ ὁ τῆς ∠ πρὸς Ζ λόγος δέδοται. καὶ διὰ τοῦτο δέδοται τὸ ὑπὸ τῶν ∠, Ζ.

79. Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε p. 44, 24] εἰ γὰρ δέδοταί μοι τὸ τετράγωνον, ἐπεὶ καὶ τὸ ἴσον αὐτῷ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΓ, δέδοται καὶ ἡ εὐθεῖα ἡ ποιοῦσα αὐτό. καὶ ἄλλως· ἐπεὶ ἕσαι εἰσὶν αἱ δ πλευραὶ τοῦ τετραγώύνου, δῆλον, ὅτι δέδοται ἡ ποιοῦσα αὐτὸ εὐθεῖα· ἴσαι γὰρ αὐταὶ ἐπορίσθησαν· ὤστε δέδοται ἡ Ε.

80. Καὶ τὸ ἀντιστρόφιον αὐτοῦ ἀληθές.

Ad prop. XXV.

81. Λέγω, ὅτι — σημεῖον p. 46, 17–18] δῆλον, ὅτι τῇ θέσει· μόνον γὰρ τῇ θέσει δέδοται τὰ σημεῖα.

Ad prop. XXVI.

82. Τὰ Α, Β δέδοται τῇ θέσει· μόνον γὰρ τῇ θέσει δέδοται τὰ σημεῖα.

Ad prop. XXVIII.

83. Εἰ μὲν γὰρ τὸ Β σημεῖον ἢ ἐντὸς ἢ ἐκτὸς μεταπεσεῖται, οὐκ ἔσται τῷ μεγέθει δεδομένη ἡ εὐθεῖα· εἰ δὲ μεταπεσεῖται ἢ ἄνω ἢ. κάτω, οὐκ ἔσται τῇ θέσει δεδομένη.

Ad prop XXX.

84. Παντὸς γὰρ τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν.

Ad prop. XXXI.

85. Ἐὰν εὐσεῖα τῇ θέσει δοθῇ, δέδοται καὶ τῳ μεγέθει· ἐὰν τῷ μεγέθει, οὔπω καὶ τῇ θέσει· δύναται γὰρ μεταπίπτειν.

86. Θέσει ἄρα p. 52, 23] διὰ τοὺς ὅρους. κύκλος γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέγεται, οὐ δέδοται τὸ μὲν κέντρον τῇ θέσει, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει.

87. Τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει κύκλος δεδόσθαι λέγεται, οὗ δέδοται κτλ., ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

Ad prop. XXXIII.

88. Ἀντιστρόφιον τοῦ λβλ΄.

Ad prop. XXXVII.

89. Ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ p. 64, 9] κἂν τε οὖν αἱ ΖΕ, ΛΝ παράλληλοι ὦσι κἄν τε μὴ ὦσι παρ- άλληλοι, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΝ, ἔσται ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΞ πρὸς ΞΕ, ὡς δὲ ἡ ΝΞ πρὸς ΞΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ, ὥστε ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ.

Ad prop. XXXIX.

90. Δέδοται ἄρα p. 68, 19] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι εἰσὶν αἱ ΚΕ, ΕΖ, ὁ πρὸς ἀλλήλας λόγος αὐτῶν δέδοται διὰ τὸ α΄. ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ΕΖ, ΖΚ λόγος δέδοται· καὶ ἔτι ὁ τῶν ΖΚ, ΚΕ λόγος δέδοται. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΚΕ, ΕΖ δεδομέναι εἰσὶ τῇ θέσει, τὸν αὐτὸν ἄρα ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν. καὶ διὰ τοῦτο. δέδοται ἡ ὑπὸ ΚΕΖ τῷ μεγέθει. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΚ δέδοται τῷ μεγέθει· καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΖΚΕ δέδοται τῷ μεγέθει.

Ad prop. XI.

91. Δέδοται ἄρα τὸ ∠ΖΕ τρίγωνον p. 70, 21] ἐπεὶ οὖν δέδοται ἑκατέρα τῶν ∠Ε, ΕΖ, δέδοται καὶ ὁ πρὸς ἀλλήλας αὐτῶν λόγος διὰ τὸ α΄. ὁμοίως καὶ ὁ τῶν ΕΖ, Ζ∠ δέδοται λόγος· καὶ ἔτι ὁ τῶν Ζ∠, ∠Ε δέ- δοται λόγος. ἔστι δὲ καὶ ἑκάστη τῶν ∠, Ε, Ζ γωνιῶν δεδομένη τῷ μεγέθει. δέδοται ἄρα τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον τῷ εἴδει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

92. Δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ p. 70, 23] ἐπεὶ τὰ ΑΒΓ, ∠ΕΖ τρίγωνα ἀνάλογον ἔχοντα τὰς πλευρὰς ἐδείχθη, τῶν δὲ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευρῶν ὁ λόγος ὁ πρὸς ἀλλήλας δέδοται, δέδονται δὲ αὐτοῦ αἱ γωνίαι· ἴσαι γάρ εἰσι ταῖς τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου· δέδοται ἄρα τῷ εἴδει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

Ad prop. XLIII.

93. Θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ∠ΗΕ ἡμικύκλιον p. 76, 23] ἐπεὶ γὰρ κεῖται ἡ ∠Ε τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδο- μένη, δῆλον, ὅτι, ἐὰν τμηθῇ δίχα ὁ κύκλος, ἔστι κέν- τρον τοῦ κύκλου ἡ ἡμίσεια, τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου 91. PlVat. v b Mon. Ambr. zσρλc. 92. z. 93. PlVat. vb (m. rec.) Mon. Ambr. zρ. 3. οὖν — τῶν] γὰρ δεδομέναι εἰσὶν αἰ Ambr. τῶν] τήν l. 4. ὁμοίως] Pl, ὁμοίως δέ cett. 5. λόγος δέδοται Ambr. καί — 6. λόγος] om. z. 6. τῶν] τῶν πρός Ambr. 7. δεδομένη] -ῳ b. 11. ΑΒΓ] om. z lac. relicta. 18. κέντρου ἔσται τοῦ κύκλου Ambr. κέντρον — 19. ἡμίσεια] καὶ τοῦ κύκλου ἡμί- σεια b. κέντρον] ἡ ἐκ τοῦ κέντρου z. 19. ἡ ἡμίσεια, τουτ- ἐστιν] τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ τέμνεται δίχα ἡ ∠Ε. ἡ δὲ ἡμίσεια ἔσται ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου. καὶ δέδοται Ambr. τουτ- ἑστιν — κέντρου] τῆς δεδομένης· καὶ γὰρ αὐτοῦ τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ ἡ διχοτομία· καί z. δέδοται τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει, ὥστε καὶ ὁ κύκλος διὰ τὸν ὅρον.1)

Ad prop. XLIV.

94. Μὴ ἔστω δή p. 80, 6] εἰ γὰρ ὑποτεθείη ὀρθή, εὐθὺς δέδοται τῷ εἴδει διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ.

95. Λόγος ἄρα τῆς ΒΑ p. 80, 11] διὰ τὸ ἀντί- στροφον τοῦ ὅρου τῶν Δεδομένων διὰ τὸ μ΄. ἐπεὶ γάρ, ὧν αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας, ἐκεῖνα δεδομένα εἰσίν, καὶ τῶν δεδομένων ἄρα τῷ εἴδει δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ γωνίαι καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας.

Ad prop. XLV.

96. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p. 82, 21] ὡς ἐν τῷ ς΄ τῶν στοιχείων (VI, 3)· ἐὰν τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῆ, ἡ δὲ τέμνουσα αὐτὴν ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθῇ, τὰ τῆς βάσεως καὶ τὰ ἑξῆς. εἰ δίχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β· καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ, ΑΒ πρὸς ΑΒ, ἡ ΓΒ πρὸς Β∠· καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ, ΑΒ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΒ πρὸς Β∠.

97. Καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ p. 82, 23] ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.

Ad prop. XLVI.

98. Ἐὰν γὰρ τριγώνου γωνία δίχα τμηθῇ, τὰ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς τοῦ τρι- γώνου πλευραῖς.

Ad prop. L.

99. Ὥστε καὶ τῆς ΑΒ p. 92, 6] ἐπεὶ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ ὁ τῆς Γ∠ πρὸς τὴν Η λόγος δοθείς, δῆλον ἄρα, ὡς καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν δύο δοθέντων λόγων δοθείς ἐστι λόγος· ἢ καὶ διὰ τὸ η΄, ὃ καὶ βέλτιον.

100. Ὡς δὲ ἡ ΑΒ p. 92, 7] ὡς γὰρ ἡ α΄ πρὸς τὴν γ΄, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς α΄ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς β΄ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.

Ad prop. LII.

101. Δέδοται ἄρα τὸ ΑΖ p. 94, 14] πᾶν γὰρ τετράγωνον δοθέν ἐστι τῷ εἴδει διὰ τὸ καὶ τὰς γωνίας 97. PlVat. cS. 98. Pzσ. 99. PlVat. vMon. Ambr. ρλc. 100. Plσ. 101. PlVat. v Mon. Ambr. σρ. Lin. 18. πᾶν — p. 286, 4 ἴσων om. γάρ lin. 18 et τῷ εἴδει lin. 19, post ἴσων autem add. μεγεθῶν in PlVat. iterum, in c primum leg. ad finem libri post schol. nr. 55, ubi sequuntur haec: καὶ πάλιν, ἐὰν ὑπὸ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν χωρίον περιέχηται ὀρθογώνιον, δοθέν ἐστι τὸ χωρίον διὰ τὸ καὶ τὰς γωνίας αὐτοῦ δεδόσθαι· πᾶσαι γάρ εἰσιν ὀρθαί· καὶ τοὺς λόγους δὲ τῶν πλευρῶν διὰ τὸ α΄ θεώρημα. 5. γάρ] om. z. τμηθῇ] hinc z haec habet: ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τοῦ (sic) βάσεως τμήματα ἀνάλογόν ἐστι ταῖς λοιπαῖς τῷ τριγώνῳ (sic) πλευραῖς. 6. τοῦ (pr.)] om. codd. 9. τῆς] Pl., ὁ τῆς cett. 10. τήν] τὸ v. 13. καί (alt.)] comp. Vat., κείμενον ρ. 15. γ΄] β΄ L. 18. Ante πᾶν add. σχόλιον. P. 19. καί] om. Ambr. αὐτοῦ δεδόσθαι· πᾶσαι γάρ εἰσιν ὀρθαί· καὶ τοὺς λόγους δὲ τῶν πλευρῶν· πᾶσαι γάρ εἰσιν ἴσαι· καὶ γὰρ οὐ τῶν ἀνίσων μόνων ἐστὶ λόγος, ἀλλὰ καὶ τῶν ἴσων. καὶ ἐπεὶ ἔκκειται τὸ τετράγωνον· ἀναγέγραπται γάρ· δύναμαι αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι· καὶ διὰ τοῦτο δέδοται καὶ τῷ μεγέθει καὶ αὐτὸ τὸ τετράγωνον καὶ ἑκάστη αὐτοῦ πλευρά.

Ad prop. LIII.

102. P. 96,1] δεδομένα τῷ εἴδει καθʼ ἑαυτὰ ἕκαστον.

103. Τῆς δὲ ∠Β p. 96, 8] ὑπόκειται γὰρ ἐν τοῖς ὅροις· δεδομένα γάρ ἐστι τῷ εἴδει.

Ad prop. LIV.

104. Ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ σχολίῳ τῷ ἐν τοῖς πρώ- τοις σχολίοις τοῦ πρό, ὅπου σημεῖόν ἐστι τόδε P, ὅτι, ἐὰν α΄ πρὸς β΄ λόγον ἔχῃ δεδομένον, ᾖ δὲ καὶ τὸ γ΄ δεδομένον, καὶ γένηται ὡς τὸ α΄ πρὸς τὸ β΄, οὕτως τὸ γ΄ πρὸς ἄλλο τι τὸ δ΄, οὐκέτι καὶ ἐναλλὰξ λόγον ἕξουσι δεδομένον, διόπερ καὶ ἐνταῦθα οὐκ ἐκ τοῦ ἐναλλὰξ εὗρε τὸν λόγον αὐτῶν δεδομένον, ἀλλὰ ἄλλως, ὡς νῦν λέγει.

105. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ∠ p. 96, 24] ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ὡς ἡ α΄ πρὸς τὴν γ΄, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.

106. Καὶ τῆς Γ∠ ἄρα p. 98, 1] σχόλιον. ἐδείχθη γάρ, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ δὲ α΄ πρὸς τὴν τρίτην λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πρὸς τὴν δευτέραν λόγον ἕξει δεδομένον, ἐν τῷ κδ΄. ἢ καὶ οὕτως· ἐπεὶ ὁ συγκείμενος λόγος δέδοται, καὶ ἑκάτερος τῶν τιθέντων αὐτὸν λόγων δέδοται· ἑκάτερος γὰρ ὁ αὐτός.

107. Καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Β p. 98, 2] ἀντὶ τοῦ· καί εἰσι δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Α, Β· καὶ γὰρ ὅμοια σχήματα εὐθύγραμμά ἐστιν, ὅσα τάς τε γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον· ὥστε δεδομένα εἰσὶ τῷ εἴδει τὰ ὅμοια· τὰ οὖν ὅμοια καὶ τῷ εἴδει εἰσὶ δεδομένα, τὰ δὲ τῷ εἴδει δεδομένα οὐ πάντως ὅμοια.

Ad prop. LVII.

108. Ὥστε καὶ τῆς ΕΑ p. 102, 23] ἐπεὶ γὰρ δύο εἴδη τὰ ΕΒ, Β∠ δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον, καὶ αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον.

109. Καί ἐστι τὸ πλάτος τοῦ παραβλήματος p. 104 8–9] τὸ μὲν ἀληθῶς πλάτος τοῦ ΑΓΗΒ παραλληλο- γράμμου ἐστὶν ἡ ΑΘ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΒ· αὐτοῦ δὲ τούτου τοῦ ΑΓΗΒ παραβλήματος ὡς ἐπὶ τούτων τῶν 106. 107. Plvσ. 108. PlVat. v Mon. σρλc. 109. Pl Vat. vMon. σρ. (hab. fig. Theonis). 3. ἔχῃ] ἔχει codd. 6. τιθέντων] fort. συντιθέντων. αὐτὸν λόγων] om. σ lac. relicta. ὁ] om. Pv. αὐτός] αὐτός ἐστιν lσ. 9. ἐστι εὐθύγραμμα σ. 10. ἀλλήλαις] -οις Plv. ἔχει κατά] σχήματα Pv. 15. Ante ἐπεί add. σχόλιον. P. 16. ΕΒ, Β∠] ΕΑ, Α∠ codd. 17. ἄλληλα Vat. vc. 20. ΑΓΗΒ] ΑΗΒ Mon. 21. ὀρθάς] ὀρθήν Mon. 22. τούτων τῶν τεσσάρων] compp. P, τῆς τῶν δ Mon. σρ. τεσσάρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΗ, ΗΓ, ΓΑ μήκους ὄντος τοῦ ΑΒ, πλάτος ἔσται τὸ ΑΓ· ἐπὶ γὰρ τῶν προκειμένων τεσσάρων εὐθειῶν τὸ πλάτος ζητεῖ, οὐ τὸ ἀληθῶς τοῦ χωρίου πλάτος· ἄλλη γάρ ἐστι παρὰ τὰς τέσσαρας ὡς ἡ ΑΘ.

Ad prop. LVIII.

110.…

111.…