Optica

Όροι.

1. Ὑποκείσθω τὰς ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐξαγομένας εὐθείας γραμμὰς φέρεσθαι διάστημα μεγεθῶν μεγάλων.

2. καὶ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ὄψεων περιεχόμενον σχῆμα εἶναι κῶνον τὴν κορυφὴν μὲν ἔχοντα ἐν τῷ ὄμματι τὴν δὲ βάσιν πρὸς τοῖς πέρασι τῶν ὁρωμένων.

3. καὶ ὁρᾶσθαι μὲν ταῦτα, πρὸς ἃ ἂν αἱ ὄψεις προσπίπτωσι, μὴ ὁρᾶσθαι δέ, πρὸς ἃ ἂν μὴ προσπίπτωσιν αἱ ὄψεις.

4. καὶ τὰ μὲν ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεσθαι, τὰ δὲ ὑπὸ ἐλάττονος ἐλάττονα, ἴσα δὲ τὰ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα.

5. καὶ τὰ μὲν ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεσθαι, τὰ δὲ ὑπὸ ταπεινοτέρων ταπεινότερα.

6. καὶ ὁμοίως τὰ μὲν ὑπὸ δεξιωτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα δεξιώτερα φαίνεσθαι, τὰ δὲ ὑπὸ ἀριστερωτέρων ἀριστερώτερα.

7. τὰ δὲ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν ὁρώμενα ἀκριβέστερον φαίνεσθαι.

α΄.

Οὐδὲν τῶν ὁρωμένων ἅμα ὅλον ὁρᾶται.

ἔστω γὰρ ὁρώμενόν τι τὸ Α∠, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΑ, ΒΓ ΒΚ, Β∠. 1. Εὐκλείδου ὀπτικοὶ ὅροι V Vat Bvm; Εὐκλείδου ὀπτικά. ὅροι τούτων Vat. 1 numeros om. cood 4. μέν] deleo; μὸϲ V, οὐκοῦν, ἐπεὶ ἐν διαστήματι φέρονται αἱ προσπίπτουσαι ὄψεις, οὐκ ἂν προσπίπτοιεν συνεχεῖς πρὸς τὸ Α∠· ὥστε γένοιντο ἂν καὶ κατὰ τὸ Α∠ διαστήματα, πρὸς ἃ αἰ ὄψεις οὐ προσπεσοῦνται. οὐκ ἄρα ὀφθήσεται ὅλον ἅμα τὸ ΑΔ∠. δοκεῖ δὲ ὁρᾶσθαι ἅμα τῶν ὄψεων ταχὺ παραφερομένων.

β΄.

Τῶν ἴσων μεγεθῶν ἐν διαστήματι κειμένων τὰ ἔγγιον κείμενα ἀκριβέστερον ὁρᾶται.

ἔστω ὄμμα μὲν τὸ Β, ὁρώμενα δὲ τὸ Γ∠ καὶ τὸ ΚΛ, χρὴ δὲ νοεῖν αὐτὰ ἴσα καὶ παράλληλα, ἔγγιον δὲ ἔστω τὸ Γ∠, καὶ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΓ, Β∠, ΒΚ, ΒΛ. οὐ γὰρ ἄμ εἴποιμ, ὡς αἱ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ ΚΛ προσπίπτουσαι ὄψεις διὰ τῶν Γ, ∠ σημείων ἐλεύσονται. ἢ γὰρ τριγώνου τοῦ Β∠ΛΚΓΒ ἡ Κ Λ μείζων ἄν ἦν τῆς Γ∠ ὑπόκειται δὲ καὶ ἴση. οὐκοῦν τὸ Γ∠ ὑπὸ πλειόνων ὄψεων ὁρᾶται ἤπερ τὸ ΚΛ. ἀκριβέστερον ἄρα φανήσεται τὸ Γ∠ τοῦ ΚΛ· τὰ γὰρ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν ὁρώμενα ἀκριβέστερον φαίνεται.

γ΄.

Ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος, οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται.

ἔστω γὰρ ὄμμα μὲν τὸ Β, ὁρώμενον δὲ τὸ Γ∠. φημὶ δή, ὅτι τὸ Γ∠ ἔν τινι ἀποστήματι γενόμενον 3. γίνοιντο Vat., γίνετο v 8 περιφερομένων m 11 ἔγγειον V, corr. m 1; item lin. 13. 12 ὁρώμενα] corr ex οὐκέτι ὁραθήσεται. γεγενήσθω γὰρ τὸ Γ∠ ἐν τῷ μεταξὺ διαστήματι τῶν ὄψεων, ἐφʼ οὗ τὸ Κ. οὐκοῦν πρὸς τὸ Κ οὐδεμία τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεων προσπεσεῖται· πρὸς ὃ δὲ αἰ ὄψεις οὐ προσπίπτουσιν, ἐκεῖνο οὐχ ὁρᾶται. ἕκαστον ἄρα τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος, οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται.

δ΄.

Τῶν ἴσων διαστημάτων καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντων τὰ ἐκ πλείονος διαστήματος ὁρώμενα ἐλάττονα φαίνεται.

ἔστω ἴσα διαστήματα ἐπὶ μιᾶς εὐθείας τὰ ΑΒ, ΒΓ, Γ∠, καὶ ἀνήχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, ἐφʼ ἧς κείσθω ὄμμα τὸ Ε. λέγω, ὅτι μεῖζον φανήσεται τὸ μὲν ΑΒ τοῦ ΒΓ, τὸ δὲ ΒΓ τοῦ Γ∠. προσπιπτέτωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΕΒ, ΕΓ, Ε∠, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β σημείου τῇ ΓΕ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΒΖ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΕ. ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΑΕΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΓΕ ἦκται εὐθεῖα ἡ ΒΖ, ἔστιν ἄρα καί, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΑ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ, ὡς εἴρηται, τῇ ΖΕ. μείζων δὲ πλευρὰ ἡ ΒΖ τῆς ΖΑ· μείζων ἄρα καὶ τῆς ΖΕ. μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΕΒ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΒΕ. καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΕΓ ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΒ ἄρα 3. ἐφʼ] ἀφʼ Vat 6 προσπίπτουσι v. 8. γενόμενον] cor. ex γενομένου m. 2 V, γενομένου B Vat. v. 14 Ante ἐπί τῆς ὑπὸ ΓΕΒ γωνίας μείζων ἐστίν. μείζων ἄρα ὀφθήσεται ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. πάλιν ὁμοίως κἂν διὰ τοῦ Γ σημείου τῇ ∠Ε παράλληλος ἀχθῇ, μείζων ὀφθήσεται ἡ ΒΓ τῆς Γ∠.

ε΄.

Τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισον διεστηκότα ἄνισα φαίνεται, καὶ μεῖζον ἀεὶ τὸ ἔγγιον κείμενον τοῦ ὄμματος. ἔστω δύο ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε, ἀφʼ οὗ ἄνισον διεστηκέτω, καὶ ἔστω ἔγγιον τὸ ΑΒ. λέγω, ὅτι μεῖζον φανήσεται τὸ ΑΒ. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΚΓ, Ε∠. ἐπεὶ οὖν τὰ ὑπὸ μειζόνων γωνιῶν ὁρώμενα μείζονα φαίνεται, μείζων δὲ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠, μείζων ἄρα φανήσεται καὶ ἡ ΑΒ τῆς Γ∠.

ς΄.

Τὰ παράλληλα τῶν διαστημάτων ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα ἀνισοπλατῆ φαίνεται.

ἔστω δύο παράλληλα μεγέθη τὰ ΑΒ. ΓΔ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, Γ∠ ἀνισοπλατῆ φαίνεται, καὶ μεῖζον ἀεὶ τὸ ἔγγιον διάστημα τοῦ πορρώτερον. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΒ, ΕΖ, ΚΘ, Κ∠, ΕΗ, ΕΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ Β∠, ΖΗ, ΘΚ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΕ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΖΕΗ γωνίας, μείζων ἄρα καὶ ἡ Β∠ τῆς ΖΗ φαίνεται. 1. ΓΕΒ] ΒΕΓ B Vat. v, ΕΓΒ Vat 1 m. 2 κἂν] καί m. 3. ἀχθῇ] in ras. V. 6. ἄνισον] corr. ex ἀνίσων v 7. ἔγγειον V, corr m 1, ut lin. 10. ὄματος v. 12. ΑΕ] ΕΑ Β Vat v. 15 ΑΕΒ] τῶν ΑΕΒ B Vat v V, sed corr. 16 ἄρα] om. m. 22. ἔγγειον V. sed corr. 23. προσπιπτέτω Bv. E∠] EΚ Bv. 24 EΚ] Ε∠ Bv. 25. ἐστί v. πάλιν ἐπεὶ μείζων ἡ ὑπὸ ΖΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΘΕΚ γωνίας, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΘΚ φαίνεται. μεῖζον ἄρα τὸ μὲν Β∠ διάστημα τοῦ ΖΗ, τὸ δὲ ΖΗ τοῦ ΘΚ. οὐκέτι οὖν ὀφθήσεται παράλληλα ὄντα τὰ διαστήματα ἐπʼ ἴσης, ἀλλʼ ἀνισοπλατῆ.

ἐπὶ τῶν ἐν μετεώρῳ κειμένων διαστημάτων καθιέσθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΑΒ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι αἱ ΛΞ ΚΝ, ΘΜ. λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἀνισοπλατῆ φαίνεται τὰ Γ∠, ΕΖ μεγέθη. ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΛΞ ἡ ΒΡ. καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΡ ἐπὶ τὸ Ο, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΛ, ΑΚ, ΑΘ, ΑΞ, ΑΝ, ΑΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΡ, ΑΠ, ΑΟ. ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μετεωροτέρου σημείου τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΡΞ ἐπέζευκταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΡ, ἡ ΑΡ ἄρα ἐπὶ τὴν ΡΞ κάθετός ἐστιν, καὶ ἡ ΑΟ ἐπὶ τὴν ΟΜ, καὶ ἡ ΑΠ ἐπὶ τὴν ΠΝ. ὀρθογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΡΞ ΑΠΝ, ΑΟΜ τρίγωνα. ἐπεὶ οὖν ὀρθογώνιά ἐστι, καί ἐστιν ἡ μὲν ΠΝ τῇ ΡΞ ἴση, ἡ δὲ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων, μείζων ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ Ξ ΑΡ τῆς ὑπὸ ΠΑΝ. μεῖζον ἄρα καὶ ὀφθήσεται τὸ ΡΞ τοῦ ΠΝ. ὁμοίως καὶ τὸ ΡΛ τοῦ ΠΚ μεῖζον. ὅλον ἄρα τὸ ΛΞ ὅλου τοῦ ΚΝ ὀφθήσεται μεῖζον. ἀνισοπλατῆ ἄρα καὶ οὕτως ὀφθήσεται τὰ μεγέθη.

ζ΄.

Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα ἴσα μεγέθη μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις τεθέντα καὶ ἄνισον διεστηκότα τοῦ ὄμματος ἄνισα φαίνεται.

ἔστω δύο ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς Α∠ μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις ὄντα καὶ ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Ε, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΑ, Ε∠, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΕΑ τῆς Ε∠. λέγω, ὅτι ἡ Γ∠ τῆς ΑΒ μείζων φανήσεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΒ, ΕΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΕ∠ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΕ ∠. καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ταῖς ΕΒ, ΕΓ εὐθείαις εὐθεῖαι αἱ ΒΖ, ΓΗ, καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ σημείων πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΒΘ, ΓΚ. ἔστι δὲ ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ τῇ ὑπὸ ∠ΓΚ ἐστιν ἴση. καὶ περιφέρεια ἄρα ἡ ΑΘ περιφερείᾳ τῇ ∠Κ ἐστιν ἴση. ἡ Κ ∠ ἄρα περιφέρεια τῆς ΖΑ περιφερείας μείζων ἐστίν. πολλῷ ἄρα ἡ Η ∠ περιφέρεια τῆς ΖΑ μείζων· ἐστίν. ἀλλʼ ἐπὶ μὲν τῆς ΖΑ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία βέβηκεν, ἐπὶ δὲ τῆς Η∠ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΗΕ∠. ἡ ἄρα ὑπὸ ΗΕ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΕΖ μείζων ἐστίν. ἀλλʼ ὑπὸ μὲν τῆς ὑπὸ ΑΕΖ ἡ ΑΒ βλέπεται, ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ ΗΕ∠ ἡ Γ∠. μείζων ἄρα ἡ Γ∠ τῆς ΑΒ φαίνεται.

η΄.

Τὰ ἴση μεγέθη καὶ παράλληλα ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος οὐκ ἀναλόγως τοῖς διαστήμασιν ὁρᾶται.

ἔστω δύο μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠ ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Ε. λέγω, ὅτι οὔκ ἐστιν, ὡς φαίνεται ἔχον, ὡς τὸ Γ∠ πρὸς τὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ΒΕ πρὸς τὸ Ε∠. προσπιπτέτωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΑΕ, ΕΓ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΖ κύκλου γεγράφθω περιφέρεια ἡ ΗΖΘ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΕΖΓ τρίγωνον τοῦ ΕΖΗ τομέως μεῖζόν ἐστιν, τὸ δὲ Ε ΕΖ∠ τρίγωνον τοῦ ΕΖΘ τομέως ἔλαττόν ἐστιν, τὸ ΕΖΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΖΗ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΕΖ∠ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΖΘ τομέα. καὶ ἐναλλὰξ τὸ ΕΖΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΖ∠ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΖΗ τομεὺς πρὸς τὸν ΕΖΘ τομέα, καὶ συνθέντι τὸ ΕΓ∠ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΖ∠ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΗΘ τομεὺς πρὸς τὸν ΕΖΘ τομέα. ἀλλʼ ὡς τὸ Ε∠Γ πρὸς τὸ ΕΖ∠ τρίγωνον, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠ Ζ. ἡ δὲ Γ∠ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση, καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ∠ Ζ, ἡ ΒΕ πρὸς τὴν Ε∠. ἡ ΒΕ ἄρα πρὸς τὴν Ε∠ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΗΘ τομεὺς πρὸς τὸν ΕΖΘ τομέα. ὡς δὲ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ΗΕΘ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΕΘ γωνίαν. ἡ ΒΕ ἄρα 1. η΄] θ΄ codd. 4. Γ∠] corr ex ΒΓ B Vat., Β Γ v. 6. ὡς] om V B Vat. m v. 7. προσπιπτέτω Bv et Vat., sed corr. πρὸς τὴν Ε∠ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΗΕΘ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΕΘ. καὶ ἐκ μὲν τῆς ὑπὸ ΗΕΘ γωνίας βλέπεται τὸ Γ∠, ἐκ δὲ τῆς ὑπὸ ΖΕΘ τὸ ΑΒ. οὐκ ἀνάλογον ἄρα τοῖς ἀποστήμασιν ὁρᾶται τὰ ἴσα μεγέθη.

θ΄.

Τὰ ὀρθογώνια μεγέθη ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα περιφερῆ φαίνεται.

ἔστω γὰρ ὀρθογώνιον τὸ ΒΓ ἑστὼς μετέωρον ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενον. οὐκοῦν, ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος, οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται, ἡ μὲν Γ ἄρα γωνία οὐχ ὁρᾶται, τὰ δὲ ∠, Ζ σημεῖα μόνον φαίνεται. ὁμοίως καὶ ἐφʼ ἑκάστης τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦτο συμβήσεται. ὥστε ὅλον περιφερὲς φανήσεται.

ι΄.

Τῶν κάτω τοῦ ὄμματος κειμένων ἐπιπέδων τὰ πόρρω μετεωρότερα φαίνεται.

ἔστω ὄμμα τὸ Α μετεωρότερον κείμενον τοῦ ΒΕΓ καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΒ, ΑΕ, Α∠, ΑΓ, ὧν ἡ ΑΒ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. λέγω, ὅτι τὸ Γ∠ τοῦ ∠Ε μετεωρότερον φαίνεται, τὸ δὲ ∠E τοῦ ΒΕ. εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΕ τυχὸν σημεῖον κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὄψεις πρότερον πρὸς τὴν Ζ Η προσπίπτουσιν ἤπερ πρὸς τὴν ΖΓ, προσπιπτέτω τῇ ΖΗ ἡ 1. πρὸς τὴν Ε∠] γωνία, corr. in εὐθεῖα πρὸς τὴν Ε∠ m. 1 V. Post Ε∠ add. εὐθεῖαν Bv, εὐθεῖα Vat. (ν m. 2). μὲν ΑΓ κατὰ τὸ Η σημεῖον, ἡ δὲ Α∠ κατὰ τὸ Θ, ἡ δὲ ΑΕ κατὰ τὸ Κ. ἐπεὶ οὖν τὸ Η τοῦ Θ ἐστι μετεωρότερον, τὸ δὲ Θ τοῦ Κ, ἀλλʼ ἐν ᾧ ἐστι τὸ Η, ἐν τούτῳ τὸ Γ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Θ, ἐν τούτῳ τὸ ∠, ἐν ᾧ τὸ Κ, ἐν τούτῳ τὸ Ε, διὰ δὲ τῶν ΑΓ, Α∠ ἡ ∠Γ φαίνεται, διὰ δὲ τῶν Α∠, ΑΕ ἡ ∠Ε, ἡ Γ∠ ἄρα τῆς ∠Ε μετεωροτέρα φαίνεται. ὁμοίως καὶ ἡ ∠Ε τῆς ΒΕ μετεωροτέρα φανήσεται· τὰ γὰρ ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεται.

καὶ φανερόν, ὅτι τὰ ἐν μετεώρῳ κείμενα κοῖλα φανήσεται.

ια΄.

Τῶν ἄνω τοῦ ὄμματος κειμένων ἐπιπέδων τὰ πόρρω ταπεινότερα φαίνεται.

ἔστω ὄμμα τὸ Α ταπεινότερον κείμενον τοῦ ΒΓ ἐπιπέδου, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΑ, Α∠, ΑΕ, ΑΓ, ὧν ἡ ΑΒ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. λέγω, ὅτι τὸ ΓΕ τοῦ Ε∠ ταπεινότερον φαίνεται. διὰ δὴ τὸ προεκτεθὲν θεώρημα ταπεινοτέρα ἡ μὲν ΑΓ ἀκτὶς τῆς ΑΕ, ἡ δὲ ΑΕ, τῆς Α∠, ἡ δὲ Α∠ τῆς ΑΒ. ἀλλὰ διὰ μὲν τῶν ΓΑ, ΑΕ τὸ ΓΕ βλέπεται, διὰ δὲ τῶν ΕΑ, Α∠ τὸ Ε∠, διὰ δὲ τῶν ∠Α, ΑΒ 5. τοῦτο v. 10. ΑΓ, Α∠] corr ex ΑΓ ( in ras. ) V, Γ∠ Bv, Vat, sed corr. m. 2; supra scr. ἀκτίνων m. 2 Vat. τὸ ∠B φαίνεται. τὸ ΓΕ ἄρα τοῦ Ε∠ ταπεινότερον φαίνεται, τὸ δὲ Ε∠ τοῦ ∠Β.

ιβ΄.

Τῶν εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἐχόντων τὰ μὲν ἐν τοῖς δεξιοῖς εἰς τὰ ἀριστερὰ δοκεῖ παρῆχθαι, τὰ δὲ ἐν τοῖς ἀριστεροῖς εἰς τὰ δεξιά.

ἔστω δύο ὁρώμενα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΘ, ΕΚ, ΕΑ, ΕΖ, ΕΗ, ΕΓ. λέγω, ὅτι αἱ μὲν ΕΖ, ΕΗ, ΚΓ δοκοῦσιν εἰς τὰ ἀριστερὰ μετῆχθαι, αἱ δὲ ΕΘ, ΕΚ, ΕΑ εἰς τὰ δεξιά. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ τῆς ΕΗ ἐστι δεξιωτέρα, ἡ δὲ ΕΗ τῆς ΕΓ, ἐντεῦθεν ἄρα ἡ ΕΓ τῆς ΕΗ δοκεῖ εἰς τὰ ἀριστερὰ μετῆχθαι, ἡ δὲ ΗΕ τῆς ΕΖ. ὁμοίως καὶ αἱ ΕΚ, ΚΑ, ΕΘ δοκοῦσιν εἰς τὰ δεξιὰ μετῆχθαι.

ιγ΄.

Τῶν ἴσων μεγεθῶν καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὄμμα κειμένων τὰ πόρρω μετεωρότερα φαίνεται.

ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠, ΕΖ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Η μετεωρότερον κείμενον τῶν μεγεθῶν, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΗΑ, ΗΓ, ΗΕ. λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ τοῦ Γ∠ μετεωρότερον φαίνεται, τὸ δὲ ΓΔ τοῦ ΕΖ. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΗΑ τῆς ΗΓ ἐστι μετεωροτέρα, ἡ δὲ ΗΓ τῆς ΗΕ, καὶ ἐν ᾧ εἰσιν αἱ ΗΑ, ΗΓ ΗΕ, ἐν τούτῳ 2. ∠Β] ∠Ε Vm. 3. ιβʹ] ιγʹ codd 4. τὸ ἔμπροσθεν Bv. 7—8. ἔστω δὲ ὄμμα B Vat. v. 8. ἀκτῖνες] e corr. Vat. ἐστὶ καὶ τὰ Α, Γ. Ε σημεῖα, ἐν ᾧ δὲ τὰ Α, Γ, Ε, ἐν τούτῳ καὶ τὰ ΑΒ, Γ∠, ΕΖ μεγέθη, τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ∠ μετεωρότερον φαίνεται, τὸ δὲ Γ∠ τοῦ ΕΖ.

ιδ΄.

Τῶν ἴσων μεγεθῶν καὶ ἀνωτέρω τοῦ ὄμματος κειμένων τὰ πόρρω ταπεινότερα φαίνεται.

ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠, ΕΖ μετεωρότερα κείμενα τοῦ ὄμματος τοῦ Η. λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ τοῦ Γ∠ ταπεινότερον φαίνεται, τὸ δὲ Γ∠ τοῦ ΕΖ. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΗΒ, Η∠, ΗΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΒ ἀκτὶς τῆς Η∠ ἐστι ταπεινοτέρα, ἡ δὲ Η∠ τῆς ΗΖ, ἀλλʼ ἐν ᾧ εἰσιν αἱ ΗΒ, Η∠ ΗΖ, ἐν τούτῳ ἐστὶ καὶ τὰ Β, ∠, Ζ σημεῖα, ἐν ᾧ δὲ τὰ Β, ∠, Ζ, ἐν τούτῳ καὶ τὰ ΑΒ, Γ∠, ΕΖ μεγέθη, τὸ μὲν ΑΒ ἄρα τοῦ Γ∠ ταπεινότερον φαίνεται, τὸ δὲ Γ∠ τοῦ ΕΖ ταπεινότερόν ἐστιν.

ιε΄.

Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὄμμα κείμενα, προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος μείζονι μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται, ἀπιόντος δὲ ἐλάσσονι.

ἔστω δύο ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠, μεῖζον δὲ ἔστω τὸ Α Β, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ὑπὸ τοῦ ὄμματος καὶ τῆς ΕΖ ἀκτῖνος τὰ ΖΒ, Γ∠ φαίνεται, τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ∠ 1. ἐστί| εἰσί m Γ(pr)] Ν v. ᾧ] οἷς m, corr ex ᾧ V. Ε] e corr. V. 2. τούτοις m. 3. Γ∠ (alt)] ὕπερθεν φαίνεται τῷ ΑΖ μεγέθει. μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐγγυτέρω καὶ ἔστω τὸ Η, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ὑπὸ τοῦ ὄμματος καὶ τῆς ΗΘ ἀκτῖνος φαίνεται τὸ Γ∠ καὶ τὸ ΘΒ, τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ∠ μεῖζον φανήσεται τῷ ΑΘ. ἐβλέπετο δὲ ὑπὸ τοῦ Ε τῷ Α μεῖζον, μεῖζον δὲ τὸ ΑΘ τοῦ ΑΖ. προσιόντος μὲν ἄρα τοῦ ὄμματος μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται μείζονι, ἀπιόντος δὲ ἐλάττονι φαίνεται τὸ ὑπερφαινόμενον μεῖζον.

ιϚ΄.

Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει ἐπάνω τοῦ ὄμματος ἄνισα μεγέθη, προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος ἐλάσσονι μεῖζον φαίνεται τὸ ὑπερφαινόμενον, ἀπιόντος δὲ μείζονι.

ἔστω ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠, ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ. ἔστω ὄμμα τὸ Ε, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ ἡ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ὑπὸ τῆς ΕΖ ἀκτῖνος ἀπολαμβάνεται τὰ ΖΒ, Γ∠ μεγέθη, τὰ ΒΖ, Γ∠ ἄρα ἴσα ἀλλήλοις φαίνεται. τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ∠ μεῖζον φαίνεται τῷ ΑΖ μεγέθει. προσήχθω δὴ τὸ ὄμμα ἐγγυτέρω καὶ ἔστω τὸ Η, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὗν ὑπὸ τῆς ΒΘ ἀκτῖνος ἀπολαμβάνεται τὰ Β Θ, Γ∠, ὑπὸ δὲ τῆς ΕΖ τὰ ΖΒ, Γ∠, ἔστι δὲ τὸ ΖΑ τοῦ ΑΘ μεῖζον, προσιόντος μὲν ἄρα τοῦ ὄμματος 1. μεγέθη v. 3. ὄματος v, ut saepe 4. τὸ Γ∠ καί] mg. m. 2 V. om. Bv, m. 2 Vat ΘΒ] Β in ras. V. ἐλάσσονι μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται, ἀπιόντος δὲ μείζονι μεῖζον.

ιζ΄.

Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει, ἐπʼ εὐθείας τῷ ἐλάττονι μεγέθει τοῦ ὄμματος προσιόντος τε καὶ ἀφισταμένου τῷ ἴσῳ ἀεὶ δόξει τὸ ὑπερφαινόμενον τοῦ ἐλάττονος ὑπερέχειν.

ἔστω δύο ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠, ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ζ ἐπʼ εὐθείας κείμενον τῷ πέρατι τοῦ Γρατι μεγέθους τῷ Γ. λέγω, ὅτι τοῦ Ζ ὄμματος προσιόντος καὶ ἀφισταμένου ἐπʼ εὐθείας ὄντος τῷ ἴσῳ δόξει ὑπερφαίνεσθαι τὸ ΑΒ τοῦ Γ∠. προσπιπτέτω γὰρ ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΖΕ. τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ∠ ὑπερφαίνεται τῷ ΑΕ. μετακεκινήσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω ἀπωτέρω καὶ ἔστω ἐπʼ εὐθείας τὸ Η. ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ὄμματος ἀκτὶς προσπίπτουσα ἐλεύσεται διὰ τοῦ Γ σημείου καὶ προσενεχθήσεται μέχρι τοῦ Ε σημείου, καὶ τῷ αὐτῷ ὑπερφανήσεται τὸ ΑΒ τοῦ Γ∠.

ιη΄.

Τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι, πηλίκον ἐστίν, ἡλίου φαίνοντος.

ἔστω τὸ δοθὲν ὕψος τὸ ΑΒ, καὶ δέον αὐτὸ γνῶναι, πηλίκον ἐστίν. ἔστω μὲν ὄμμα τὸ Δ, ἡλίου δὲ ἀκτὶς 2. μεῖζον] om. Vat 1m v, m. 2 Vat Dein add ~ ἐξῆς V, m 2 Vat 3. ιζʹ] ιη΄ codd. 6. τῷ ἴσῳ ἀεί] in ras. m. 1 v. ἡ ΓΑ συμβάλλουσα τῷ πέρατι τοῦ ΑΒ μεγέθους καὶ διήχθω μέχρι τοῦ ∠ ὄμματος. ἔστω δὲ σκιὰ ἡ ∠Β τοῦ ΑΒ. καὶ κείσθω ἕτερόν τι μέγεθος τὸ ΕΖ συμβάλλον τῇ ἀκτῖνι μὴ πάντως καταυγαζόμενον ὑπʼ αὐτῆς κατὰ τὸ Ζ πέρας. ἥρμοσται οὖν εἰς τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον ἕτερόν τι τρίγωνον τὸ ΕΖ∠. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΑ. ἀλλ᾿ ὁ τῆς ∠Ε πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ γνώριμος· καὶ ὁ τῆς ∠Β ἄρα πρὸς τὴν ΒΑ λόγος ἐστὶ γνώριμος. γνώριμον δὲ τὸ ∠Β. γνώριμον ἄρα καὶ τὸ ΑΒ.

ιθ΄.

Μὴ ὑπάρχοντος ἡλίου τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι, πηλίκον ἐστίν.

ἔστω τι μεγέθους ὕψος τὸ ΑΒ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ, καὶ δέον ἔστω τὸ ΑΒ γνῶναι, πηλίκον ἐστίν. ὡς μὴ ὑπάρχοντος ἡλίου. κείσθω κάτοπτρον τὸ ∠Ζ, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ Ε∠ ἐπʼ εὐθείας ἡ ∠Β, ἄχρις οὗ συμβαλεῖ τῷ πέρατι τοῦ ΑΒ μεγέθους τῷ Β, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Γ ἡ ΓΗ, καὶ ἀντανακεκλάσθω, ἄχρις οὗ συμβαλεῖ τῷ πέρατι τοῦ ΑΒ μεγέθους τῷ Α, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ ∠Ε ἡ ΕΘ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΕΘ κάθετος ἡ 7. Ante κατά add ἀλλά m, m. 2 V Vat. 8. ἡρμόσθω m. 9. ΑΕ∠] corr. ex ΑΒΓ V. 10. ∠Ε] ∠Ζ Bv, et Vat, corr. m. 2 12. ∠Ε] ∠Ζ Bv, et Vat, corr. m. 2. ΕΖ] in ras. V, ΖΕ B Vat. v. 14 Post ΑΒ add. :~ ἑξῆς V, m. 2 Vat. 15. ιθ΄] κ΄ codd. 17. ἐστί v. Dein add. ἑξῆς B, sed del. ΓΘ. ἐπεὶ οὖν προσπέπτωκεν ἀκτὶς ἡ ΓΗ καὶ ἀντανακέκλασται ἡ ΗΑ, πρὸς ἴσας γωνίας ἀνακεκλασμέναι εἰσίν, ὡς ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς λέγεται· ἴση ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ ΓΗΘ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΓΘΗ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΓΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΑΒ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗΒ τρίγωνον τῷ ΓHΘ τριγώνῳ. τῶν δὲ ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΘΗ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ. ἀλλʼ ὁ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν Θ λόγος ἐστὶ γνώριμος· καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΒΗ λόγος ἐστὶ γνώριμος. ἀλλʼ ἡ ΗΒ ἐστι γνώριμος. καὶ ἡ ΑΒ ἄρα ἐστὶ γνώριμος.

κ΄.

Τὸ δοθὲν βάθος γνῶναι, πηλίκον ἐστίν.

ἔστω τὸ δοθὲν βάθος τὸ Α∠, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε, καὶ δέον τὸ βάθος γνῶναι, πηλίκον ἐστίν. προσπιπτέτω γὰρ τῇ ὄψει ἡλίου ἀκτὶς ἡ Ε∠ συμβάλλουσα τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Β σημεῖον καὶ τῷ βάθει κατὰ τὸ ∠. καὶ προσεκβεβλήσθω ἀπὸ τοῦ Β ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΖ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΒΖ εὐθεῖαν κάθετος ἡ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΕΖΒ τῇ ὑπὸ ΒΑ∠, ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ, καὶ ἡ τρίτη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΖ τῇ ὑπὸ Α∠Β ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ Α∠Β τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ. καὶ αἰ 1. ἀνακέκλασται Bv Vat., sed corr.; ἀντανακέκλαται m. 4. ΓΗΘ] in ras. m. 5 λοιπή] λοιπόν Bv. λοιπῇ] λοιποί v, πλευραὶ ἄρα ἀνάλογον ἔσονται. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΒ, ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΒ. ἀλλʼ ὁ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΖΒ λόγος ἐστὶ γνώριμος· καὶ ὁ τῆς ∠Α ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ γνώριμος. καί ἐστι καὶ τὸ ΑΒ γνώριμον. καὶ τὸ Α∠ ἄρα γνώριμόν ἐστιν.

κα΄.

Τὸ δοθὲν μῆκος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν. ἔστω τὸ δοθὲν μῆκος τὸ ΑΒ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ. καὶ δέον ἔστω τὸ ΑΒ μῆκος γνῶναι, πηλίκον ἐστίν προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΓΑ, ΓΒ, καὶ εἰλήφθω ἐγγὺς τοῦ ὄμματος τοῦ Γ ἐπὶ τῆς ἀκτῖνος τυχὸν σημεῖον τὸ ∠, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ ∠ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος εὐθεῖα ἡ ∠Ε. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΑ ἦκται ἡ ∠Ε, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως ἡ πρὸς τὴν ΑΒ. ἀλλʼ ὁ τῆς Γ∠ πρὸς τὴν ∠Ε λόγος ἐστὶ γνώριμος· καὶ ὁ τῆς ΑΓ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος γνώριμός ἐστιν. καὶ γνώριμός ἐστιν ἡ ΑΓ. γνώριμος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ.

κβ΄.

Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν τὸ ὄμμα, κύκλου περιφέρεια τεθῇ, ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια εὐθεῖα γραμμὴ φαίνεται.

ἔστω κύκλου περιφέρεια ἡ ΒΓ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένη τῷ ὄμματι τῷ Α, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν 1. Ante ἔστιν del. comp. ἄρα B. 4. καί (alt.)] om B Vat. v. 5. ἐστι Vat. 6. κα΄] κβ΄ codd. 9. καί ] om. v ἀκτῖνες αἱ ΑΒ, Α∠, ΑΕ, ΑΖ, ΑΗ, ΑΘ, ΑΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ περιφέρεια εὐθεῖα φαίνεται. κείσθω τῆς περιφερείας τὸ κέντρον καὶ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΚΒ, Κ∠, ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ, ΚΘ, ΚΓ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΚΒ ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΚΑΒ γωνίας βλέπεται, ἡ δὲ Κ∠ ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΚΑ∠, μείζων ἄρα φανήσεται ἡ μὲν ΚΒ τῆς Κ∠, ἡ δὲ Κ∠ τῆς ΚΕ, ἡ δὲ ΚΕ τῆς ΚΖ, καὶ ἐκ τοῦ ἑτέρου μέρους ἡ μὲν ΚΓ τῆς ΚΘ, ἡ δὲ Κ τῆς ΚΗ, ἡ δὲ ΚΗ τῆς Κ μείζων φανήσεται. διὰ τοῦτο δὴ τῆς μενούσης εὐθείας τῆς ΚΑ κάθετος ἡ ΒΓ ἀεί ἐστιν. τὰ δʼ αὐτὰ συμβήσεται καὶ ἐπὶ τῆς κοίλης περιφερείας.

Ἄλλως.

Δυνατὸν δὲ καὶ ἐπʼ αὐτῶν τῶν ὄψεων ταῦτα λέγειν, ὅτι ἐλαχίστη μὲν ἡ μεταξὺ τοῦ Α ὄμματος καὶ τῆς διαμέτρου, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον αὐτῆς ἐλάττων τῆς ἀπώτερον. ταὐτὰ δὲ συμβαίνει καὶ [ἐὰν] καθέτου ἐπʼ αὐτὴν οὔσης τῆς Α Ζ. διὰ τοῦτο φαντασίαν εὐθείας ἀποστέλλει ἡ περιφέρεια, καὶ μάλιστα εἰ ἀπὸ πλείονος φαίνοιτο διαστήματος ὥστε μὴ συναισθάνεσθαι ἡμᾶς τῆς κυρτότητος. διὰ τοῦτο καὶ οἱ μὴ πάνυ ἀποτεταμένοι κάλοι ἐκ πλαγίου μὲν ὁρώμενοι ἐγχάλασμα ἔχειν 2. ΒΓ] ΓΒ Va. 5. KB] BK m. 6. ΚΖ] ΚΓ Bv. 8. ΚΒ] ΒΚ v. 9 ὑπό] supra scr. m. 2 V. ΚΑB] ΚΒ δοκοῦσιν, ὑποκάτωθεν δʼ εὐθεῖς εἶναι, καὶ αἱ σκιαὶ δὲ τῶν κρίκων ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένων τῷ φωτίζοντι εὐθεῖαι γίνονται.

Ἄλλως.

Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ ὄμματι κύκλου περιφέρεια τεθῇ, εὐθεῖα γραμμὴ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια φαίνεται.

ἔστω κύκλου περιφέρεια ἡ ΒΓ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ ∠ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὄν τῇ ΒΓ περιφερείᾳ, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ∠Β, ∠Ζ, ∠Γ. οὐκοῦν, ἐπειδὴ τῶν ὁρωμένων οὐδὲν ὅλον ἅμα ὁρᾶται, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ. ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ΖΓ. ὅλη ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια εὐθεῖα δόξει.

κγ΄.

Σφαίρας ὁπωσδηποτοῦν ὁρωμένης ὑπὸ ἑνὸς ὄμματος ἔλασσον ἀεὶ ἡμισφαιρίου φαίνεται, αὐτὸ δὲ τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας μέρος κύκλου περιφέρεια φαίνεται.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον μὲν τὸ Α, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῆς ΒΑ ἐπίπεδον. ποιήσει οὖν τομὴν· κύκλον. ποιείτω τὸν Γ∠ΘΗ κύκλον, καὶ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΒ∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΒ, Β∠, Α∠, ΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἡμικύκλιόν ἐστι τὸ ΑΓΒ, ὀρθὴ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· ὁμοίως καὶ ἡ ὑπὸ Β∠Α. 1. δοκοῦσι v εὐθεῖς] -θεῖς in ras. V, εὐσθεῖς v, εὐθέσ Vat. 1 m. 4. ἄλλως] κε΄ V Vat. v (B?), ἄλλως τὸ αὐτό Vat. 1m. αἱ ΓΒ, Β∠ ἄρα ἐφάπτονται. ἐπεζεύχθω οὖν ἡ Γ∠, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α σημείου τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΗΘ. ὀρθαὶ ἄρα αἱ πρὸς τῷ Κ. ἐὰν δὴ τὸ ΒΓΚ τρίγωνονμενούσης τῆς Α Β περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν Κ περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἡ μὲν Β Γ καθʼ ἓν σημεῖον ἐφάψεται τῆς σφαίρας, ἡ δὲ ΚΓ ποιήσει τὴν τομὴν κύκλον. κύκλου μὲν ἄρα περιφέρεια ὀφθήσεται ἐν τῇ σφαίρᾳ. λέγω δέ, ὅτι καὶ ἔλαττον ἡμισφαιρίου. ἐπεὶ γὰρ ἡμικύκλιόν ἐστι τὸ ΗΘ, τὸ Γ∠ ἔλαττον ἡμικυκλίου ἐστίν. καὶ ὁρᾶται ὑπὸ τῶν ΒΓ Β∠ ἀκτίνων τὸ αὐτὸ τῆς σφαίρας μέρος. ἔλαττον ἄρα ἡμισφαιρίου τὸ Γ∠· καὶ ὑπὸ τῶν ἀκτίνων τῶν ΒΓ, Β∠ βλέπεται.

κδ΄.

Τοῦ ὄμματος προσιόντος τῇ σφαίρᾳ ἔλαττον ἔσται τὸ ὁρώμενον, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον μὲν τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἀφʼ οὗ ἐπεζεύχθω εὐθεῖα ἡ ΑΒ. καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΑΒ κύκλος ὁ ΓΒ∠, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑκάτερα εὐθεῖα 1. ΒΔ] corr ex ∠ B οὖν] om. B Vat. v. 5. ΒΓΚ]| ΒΚΓ B Vat. v. 7. AB] KB m, m. 2 Vat v. 13. φαίρεσθαι m. ἡ ΕΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν EΚ, ΑΒ ἐπίπεδον. ποιήσει οὖν τομὴν κύκλον. ἔστω ὁ ΓΕΖ ∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΑ, Αζεύχθωσαν, ζεύχθωσανΒ, ΒΓ, Γζεύχθωσαν. διὰ δὴ τὸ πρὸ αὐτοῦ ὀρθαὶ [μὲν] αἱ πρὸς τοῖς Γ, ∠ σημείοις. ἐφάπτονται ἄρα αἱ ΒΓ, Β∠, αἵτινές εἰσιν ἀκτῖνες, καὶ βλέπεται ὑπὸ τοῦ Β ὄμματος τὸ Γ∠ μέρος τῆς σφαίρας. μετακεκινήσθω δὴ τὸ ὄμμα ἔγγιον τῆς σφαίρας καὶ ἔστω τὸ Θ, ἀφʼ οὗ ἐπεζεύχθω εὐθεῖα ἡ ΘΑ, καὶ [περι] γεγράφθω κύκλος ὁ ΑΛΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΚ, KΑ, ΑΛ, ΑΘ εὐθεῖαι. ὁμοίως δὴ ὑπὸ τοῦ Θ ὄμματος βλέπεται μὲν τὸ Κ Λ μέρος τῆς σφαίρας, ὑπὸ δὲ τοῦ Β ἐβλέπετο τὸ Γ∠. ἔλαττον δὲ τὸ ΚΛ τοῦ Γ∠. προσιόντος ἄρα τοῦ ὄμματος ἔλαττόν ἐστι τὸ ὁρώμενον. δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι· μείζων γὰρ ἡ ὑπὸ ΚΘΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΒ∠ γωνίας.

κε΄.

Σφαίρας διὰ δύο ὀμμάτων ὁρωμένης ἐὰν ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἴση ᾖ τῇ εὐθείᾳ, ἐφʼ ἣν διεστήκασι τὰ ὄμματα ἀπʼ ἀλλήλων, τὸ ἡμισφαίριον αὐτῆς ὀφθήσεται ὅλον.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Α, καὶ γεγράφθω ἐν τῇ σφαίρᾳ περὶ κέντρον τὸ Α κύκλος ὁ ΒΓ, καὶ ἤχθω διάμετρος αὐτοῦ ἡ ΒΓ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ πρὸς ὀρθὰς αἱ Β∠, ΓΕ, τῇ δὲ ΒΓ παράλληλος ἔστω ἡ ∠Ε, ἐφʼ ἧς κείσθω τὰ ὄμματα τὰ ∠, Ε. λέγω, ὅτι τὸ ἡμισφαίριον ὅλον ὀφθήσεται. ἤχθω διὰ τοῦ Α ἑκατέρᾳ τῶν Β∠, ΓΕ παράλληλος ἡ ΑΖ τὸ ΑΒ∠Ζ ἄρα παραλληλόγραμμόν ἐστιν. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς Α περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι τὸ περιενεχθὲν σχῆμα, ἄρξεται μὲν ἀπὸ τοῦ Β, ἐλεύσεται δὲ καὶ ἐπὶ τὸ Γ καὶ τὸ Β, καὶ τὸ περιγραφὲν ὑπὸ τῆς ΑΒ σχῆμα κύκλος ἔσται, ὅς γε διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐστίν. ἡμισφαίριον ἄρα ὀφθήσεται ὑπὸ τῶν ∠, Ε ὀμμάτων.

κς΄.

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζον ᾖ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, μεῖζον τοῦ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται τῆς σφαίρας.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Α, καὶ περιγεγράφθω περὶ κέντρον τὸ Α κύκλος ὁ ΕΘ∠Η, ὄμματα δὲ τὰ Β, Γ, καὶ ἔστω τὸ διάστημα τὸ μεταξὺ τῶν Β, Γ ὄψεων μεῖζον τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, καὶ ἐπεζεύχθω 1. σφαῖρα] Cα m, ut alibi 3 ΒΓ] ΒΝ V. Ν v. 5 Β∠] ∠ in ras. V 9 ὄματα v. 13. παραλληλό- ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι μεῖζον τοῦ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΕ, Γ∠ καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ε, ∠ μέρη· συμβάλλουσι δὴ ἀλλήλαις διὰ τὸ ἐλάσσονα εἶναι τὴν διάμετρον τῆς ΒΓ. συμβαλλέτωσαν δὴ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον. ἐπεὶ οὖν ἀπό τινος σημείου τῶν ἐκτὸς τοῦ κύκλου πρὸς τὴν περιφέρειαν προσπεπτώκασιν εὐθεῖαι αἱ ΖΕ, Ζ∠, τὸ ∠ΘΕ ἄρα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου. τὸ ΕΗ∠ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ἀλλʼ ὑπὸ τῶν Β, Γ τὸ EΗ∠ βλέπεται. μεῖζον ἄρα ἢ τὸ ἥμισυ ὀφθήσεται τοῦ κύκλου ὑπὸ τῶν Β, Γ. τὸ αὐτὸ ἄρα καὶ τῆς σφαίρας ὀφθήσεται.

κζ΄.

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα ἔλαττον ᾖ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, ἔλαττον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Α σημεῖον, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ Α σημεῖον κύκλος ὁ ΒΓ, καὶ κείσθω τὸ διάστημα τῶν ὀμμάτων τὸ γεγράφθωΕ ἔλασσον ὄν τῆς ἐν 1. ΒΓ] ΒΝ v. 3 προσεκβεβλήσθω V B Vat. vm. συμβαλοῦσι B Vat. v. 5 συμβαλλέτω Bv Vat., sed corr. 6 τῶν] τοῦ Vat. 8. ∠Θ E] e corr. V. ΘΕ Bv, δὲ Θ Ε Vat., sed corr.; ∠Θ Vat. 1 m. ἔλασσον B Vat. v. τό] τὸ δέ Vat. v. 10 μεῖζον] om v, m. 2 Vat ἤ] om v, m. 2 Vat. ἥμισυ τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, ἀφʼ οὗ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ ∠Β, ΕΓ αἱ αὐταὶ καὶ ἀκτῖνες. λέγω, ὅτι ἔλασσονι ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται. ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ αἱ Β∠. ΓΕ συμπεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰ Γ, Η, Β μέρη, ἐπειδήπερ ἡ ∠Ε ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ σημεῖον. ἐπεὶ οὗν ἀπό τινος σημείου τοῦ Ζ προσπεπτώκασιν εὐθεῖαι αἱ ΖΓ, ΖΒ. τὸ ΒΗΓ ἄρα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ἀλλʼ ἐν ᾧ ἐστι τὸ ΒΗΓ τμῆμα, ἐν τούτῳ καὶ τὸ τῆς σφαίρας ἀπολαμβάνουσιν ἄρα ἔλαττον ἡμισφαιρίου.

κη΄.

Κυλίνδρου ὁπωσδηποτοῦν ὑπὸ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλαττον ἡμικυλινδρίου ὀφθήσεται.

ἔστω κύλινδρος, οὗ ἔστω κέντρον τῆς βάσεως τὸ Α σημεῖον, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ Α κύκλος ὁ ΒΓ καὶ κείσθω ὄμμα τὸ ∠ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κείμενον τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου τῇ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὸ Α ἡ ∠Α, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ ∠ ἀκτῖνες αἱ ∠Β, ∠Γ. καὶ ἐφαπτέσθωσαν τοῦ κύκλου, καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ σημείων πρὸς ὀρθὰς πλευραὶ τοῦ κυλίνδρου αἱ ΒΕ, ΓΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω τό τε διὰ τῶν ∠Β, ΒΕ 2. ἔλαττον Vat, comp B. 3 ἐκβεβλήσθω Vat. v, comp B 4. Γ, Η, Β] ΓΒΗ m. μέτρη Vat., corr. m 2. 5. ἔλασσον v, ἐπίπεδον καὶ τὸ διὰ τῶν ∠Γ, ΓΖ. οὐδέτερον ἄρα αὐτῶν τέμνει τὸν κύλινδρον· ἐφάπτονται γὰρ καὶ αι ∠Β, ∠Γ καὶ αἱ ΒΕ, ΓΖ. βλέπεται οὖν ὑπὸ τῶν Β∠, ∠Γ ἀκτίνων τὸ ΒΓ, ὅπερ ἐστὶν ἔλαττον ἡμικυκλίου. τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ ἔλαττον ἡμικυλινδρίου ὁραθήσεται.

εἰ δὲ ὑπὸ δύο ὀμμάτων ὁρῷτο, φανερόν, ὅτι καὶ ἐπʼ αὐτοῦ συμβήσεται τὰ ἐπὶ τῆς σφαίρας εἰρημένα.

Ἄλλως.

Ἔστω κύκλος, οὗ ἔστω κέντρον τὸ Α, σημεῖον δὲ ἐκτὸς ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Ζ ἡ ΑΖ, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΖ πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἡ Γ∠· ἡ Γ∠ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ κύκλου. καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΑΖ κύκλος ὁ ΑΒΖΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΖ, ΖΕ, ΕΑ. αἱ ΖΒ, ΖΕ ἄρα ἐφάπτονται, ἐπειδήπερ αἱ πρὸς τοῖς Β, Ε σημείοις εἰσὶν ὀρθαί. ἐπεὶ οὖν ἀπό τινος σημείου τοῦ πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν προσπεπτώκασιν ἀκτῖνες αἱ ΒΖ, ΖΕ, τὸ ΒΕ ἄρα μέρος ὁραθήσεται τοῦ κύκλου. ἔστι δὲ τὸ ΓΒΕ∠ ἡμικύκλιον. τὸ ΒΕ ἄρα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου.

τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα γέγονε πρὸς τοὺς κώνους τε καὶ τοὺς κυλίνδρους. ἐὰν γὰρ ἀπὸ τῶν Β, Ε σημείων ἀχθῶσι πρὸς ὀρθὰς αἱ πλευραὶ τῶν κυλίνδρων, ἐφάψονται αὐτῶν, καθ᾿ ὃ μέρος καὶ αἱ. ἀκτῖνες προσπίπτουσι, καὶ ἀποκλεισθήσεται τὸ Β∠Ε μέρος τῆς ὄψεως, θεωρηθήσεται δὲ τὸ ΒΕ μέρος τοῦ ἡμικυκλίου. τὸ αὐτὸ ἄρα μέρος καὶ τῶν κώνων θεωρηθήσεται τὸ ἔλαττον.

κθ΄.

Τοῦ ὄμματος τεθέντος ἔγγιον τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον μέν ἐστι τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ἀκτίνων τοῦ κυλίνδρου, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος, κέντρον δὲ τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Ε, ἀφ᾿ οὗ ἐπεζεύχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΕΑ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΒ, ΕΓ, καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ σημείων πρὸς ὀρθὰς τῷ κυλίνδρῳ αἱ ΓΖ, ΒΗ. διὰ δὴ τὰ πρότερα τὸ ΗΒΓΖ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυλινδρίου· καὶ βλέπεται ὑπὸ τοῦ Ε ὄμματος. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἔγγιον τὸ Θ. λέγω, ὅτι τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τοῦ Θ ὄμματος δοκεῖ τοῦ ΖΓΒΗ μεῖζον φαίνεσθαι ἔλαττον αὐτοῦ ὄν. 4. προσπίπτουσῖ m, προσπιπτ Bv, ut saepe. 7. καί] postea add. V, om. Bv, m. 2 Vat. τῶν κώνων] VBVat. v, τῶν κώνων καὶ τῶν κυλίνδρων Vat.1 m, τοῦ κυλίνδρου m. 2 V, κυλίνδρων supra scr. Vat. m. 2. 8. Post ἔλαττον add. :~ ἑξῆς V. 9. κθ΄] λγ΄ V, λα΄ Vat. v. 10. Post prius τοῦ ras. 1 litt. V. ἔγγιον] corr. ex ἔγγειον V, item lin. 19. 14. ἐπεζεύχθωσαν v. 16. ἀνήχθω Vat., comp. B. τῶν] corr. ex τοῦ Vat. σημείου Vat., sed corr. 17. πρότε m, πρότερον BVat. 19. τό (alt.)] τοῦ m. 21. ΖΓΒΗ] ΓΖΒΗ v. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΘΚ, ΘΛ, καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν Κ, Λ σημείων [αἱ] πλευραὶ τοῦ κυλίνδρου πρὸς ὀρθὰς αἱ ΚΜ, ΛΝ. θεωρηθήσεται δὴ ὑπὸ τῶν ΘΚ, ΘΛ ἀκτίνων τὸ ΜΚΛΝ μέρος τοῦ κυλίνδρου. ἀλλὰ καὶ ὑπὸ τῶν ΕΒ, ΕΓ τὸ ΖΓΒΗ. ἔστι δὲ τὸ ΖΓΒΗ τοῦ ΜΚΛΝ μεῖζον· δοκεῖ δὲ ἔλασσον φαίνεσθαι, ἐπειδήπερ καὶ μείζων γωνία ἡ πρὸς τῷ Θ τῆς πρὸς τῷ Ε.

λ΄.

Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ τὸν ἄξονα ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλαττον ἡμικωνίου ὀφθήσεται.

ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ ∠, ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ∠Β, ∠Γ. καὶ ἐπεὶ προσπεπτώκασιν ἀκτῖνες αἱ ∠Γ, ∠Β ἐφαπτόμεναι τοῦ ΒΓ, τὸ ΒΓ ἄρα ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου διὰ τὰ προαποδεδειγμένα. ἤχθωσαν ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου τῆς Α ἐπὶ τὰ Β, Γ σημεῖα πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΑΒ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἐμπεριλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΑΓ εὐθειῶν καὶ τοῦ ΒΓ τομέως ἔλαττόν ἐστιν ἡμικωνίου, ἐπειδήπερ καὶ τὸ ΒΓ ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ἔλασσον ἄρα ἡμικωνίου ὀφθήσεται.

λα΄.

Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον τεθέντος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ βάσις τοῦ κώνου, ἔλαττον μὲν ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ὄψεων ἐμπεριλαμβανόμενον μέρος, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ ∠, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω εὐθεῖα ἡ ∠Λ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ∠Α, ∠Β, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΑΓ, ΓΒ. οὐκοῦν ὑπὸ τοῦ ∠ ὄμματος καὶ τῶν ∠Α, ∠Β ὄψεων ἐμπεριλαμβάνεται τὸ ΑΒΓ μέρος τοῦ κώνου, καί ἐστιν ἔλαττον ἡμικωνίου. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἔγγιον καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ πλευραὶ αἱ ΖΓ, ΓΗ. πάλιν οὖν ἐμπεριλαμβάνεται ὑπὸ τοῦ Ε ὄμματος καὶ τῶν ΕΖ, ΕΗ ὄψεων τὸ ΖΓΗ μέρος τοῦ κώνου. ἔστι δὲ τὸ ΖΓΗ τοῦ ΑΒΓ ἔλασσον· δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι, ἐπειδὴ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΗ γωνία τῆς ὑπὸ Α∠Β γωνίας.

φανερὸν δέ, ὅτι καὶ ἐπὶ κώνου ὑπὸ τῶν δύο ὀμμάτων ὁρωμένου συμβήσεται τὰ ἐπὶ τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κυλίνδρου τῶν ὁμοίως ὁρωμένων συμβαίνοντα.

λβ΄.

Ἐὰν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν τοῦ κώνου βάσιν προσπίπτωσιν ἀκτῖνες, ἀπὸ δὲ τῶν προσπιπτουσῶν ἀκτίνων καὶ ἐφαπτομένων ἀπὸ τῶν ἁφῶν εὐθεῖαι ἀχθῶσι διὰ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου πρὸς τὴν κορυφὴν αὐτοῦ, διὰ δὲ τῶν ἀχθεισῶν καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν βάσιν τοῦ κώνου προσπιπτουσῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἐπὶ δὲ τῆς συναφῆς αὐτῶν, τουτέστιν ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων, τὸ ὄμμα τεθῇ, τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου διὰ παντὸς ἴσον ὀφθήσεται τῆς ὄψεως ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὑπαρχούσης.

ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ ∠, ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ∠Ζ, ∠Γ, καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν συναφῶν τῶν Ζ, Γ πρὸς τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου τὴν Α πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΖΑ, ΓΑ, καὶ ἐκβεβλήσθω τό τε διὰ τῶν ∠Ζ, ΖΑ ἐπίπεδον καὶ τὸ διὰ τῶν Γ∠, ΓΑ. ποιήσει ἄρα τὴν κοινὴν τομὴν εὐθεῖαν. ἔστω ἡ ΑΕ∠. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς ΑΕ∠ μετατεθῇ τὸ ὄμμα, τὸ ἴσον τοῦ κώνου ὀφθήσεται, ὅσον καὶ ὑπὸ τῶν ∠Γ, ∠Ζ ἀκτίνων ἐβλέπετο. κείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΕ∠ τὸ ὄμμα τὸ Ε, ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες πρὸς 1. λβ΄] λϛ΄ V, λδ΄ BVat. v. 3. προσπίπτωσιν] προσπιπτ B, προσπιπτέτωσαν v, Vat., corr. m. 2. 4. τῶν] corr. ex τόν v. ἁφῶν] ἐπαφῶν m. 8. κοινῆς] κοινῶν Bv, κοι Vat. 11. ὑπαρ B, Vat., corr. m. 2; ὑπάρχουσα v. 13. κῶνος] comp. B, κῶνον v. 14. προσπιπτέτ B. 15. ∠Ζ, ∠Γ] ∠Γ, ∠Ζ BVat. v. ∠Γ] corr. ex ∠Ν V. 18 ΖΑ] om. Bv, m. 2 Vat. Γ∠] ∠Γ BVat. v. 19. ποιείσει v. εὐθεῖαν] εὐθν BVat., εὐθεῖα v. 20. ἐπί] corr. ex ἐπεί m. τῆς] τ τὸν κῶνον. ἐλεύσονται δὴ κατὰ τὰς ΑΖ, ΑΓ, ἐπειδήπερ ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου κεῖται τὸ ὄμμα, κατ᾿ εὐθείας δὲ γραμμὰς φέρονται αἱ ὄψεις. εἰ γὰρ ἐκτὸς πεσοῦνται τῶν ΑΓ, ΑΖ, κλασθήσονται αἱ ὄψεις· ὅπερ ἄτοπον. ἔστωσαν οὖν αἱ ΕΘ, ΕΗ. ἐπεὶ οὖν ἐπὶ παραλλήλου μὲν ἐπιπέδου κατ᾿ εὐθείας γραμμὰς φέρονται αἱ ὄψεις, τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται, ὅσαι δ᾿ ἂν ὄψεις ἐπὶ τῆς ΑΕ∠ εὐθείας τεθῶσι παράλληλοι, ἴσας γωνίας περιέχουσι, τὸ ἴσον ἄρα τοῦ κώνου ὀφθήσεται εἴπερ ἴσον ὁρῶσιν· ἔλασσον δὲ τοῦ κώνου ὁρῶσιν· ὥστε καὶ τὸ ἔλαττον ὀφθήσεται τοῦ κώνου.

λγ΄.

Πάλιν δέ γε τοῦ ὄμματος μετατεθέντος ἀπὸ τοῦ ταπεινοῦ μετεώρου μὲν τοῦ ὄμματος τεθέντος μεῖζον μὲν ἔσται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον, δόξει δὲ ἔλασσον φαίνεσθαι, ταπεινοτέρου δὲ ἔλασσον μὲν ἔσται, δόξει δὲ μεῖζον φαίνεσθαι.

ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, καὶ ἔστωσαν αἱ πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΒΑ, ΑΓ. ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ ΒΓ ἡ ΒΗ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ τυχόντος τοῦ Θ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι μεῖζον μὲν ἔσται, ἔλασσον δὲ ὀφθήσεται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον τοῦ ὄμματος τεθέντος ἐπὶ τοῦ Θ σημείου ἤπερ 3. φαίρονται v. ἐκτός] ν supra scr. m. 2 V, ἐντός B Vat.1 m. 4. Α ΑΖ] corr. ex ΑΓΖ m. 2 V, mut. in ΑΓΖ m. 2 Vat., ΑΓ, ΖΑ Vat.1. κλαισθήσονται v. 8. Post ἄν del. αἱ m. τῆς] τοῦ Vat., τήν v. 9. περιε Vat., περιέχει v. 10. εἴπερ] mut. in ὅπερ m. 2 Vat., ὅπερ Vm. ἔλαττον Vat. v. δέ] ἄρα v. 13. λγ΄] λζ΄ V, λε΄ Vat. v. 14. μετα- ἐπὶ τοῦ Κ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΑΘ, καὶ προσεκβεβλήσθω ἡ ΑΘ ἐπὶ τὸ Η, ἡ δὲ ΑΚ ἐπὶ τὸ Λ. οὐκοῦν ἐπὶ τοῦ καὶ τοῦ Λ τεθέντος τοῦ ὄμματος ἄνισα τὰ ὁρώμενα τοῦ κώνου ὀφθήσεται, καὶ μεῖζον μὲν ἔσται τὸ πρὸς τῷ Η, ἔλασσον δὲ ὂν μεῖζον ὀφθήσεται τὸ πρὸς τῷ Λ. ἴσον δὲ τὸ πρὸς τῷ Η τῷ πρὸς τῷ Θ, τὸ δὲ πρὸς τῷ Λ τῷ πρὸς τῷ Κ, ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου ἐδείχθη. τοῦ ἄρα ὄμματος πρὸς τῷ Θ τεθέντος μεῖζον ἔσται τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἤπερ πρὸς τῷ Κ, δόξει δὲ ἔλασσον εἶναι.

λδ΄.

Ἐὰν κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀνασταθῇ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ εὐθεῖα, ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ, αἱ διάμετροι αἱ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ διαγόμεναι πᾶσαι ἴσαι φανήσονται.

…